2020八年级数学下册 专题突破讲练 一次函数中的分段函数试题 （新版）青岛版 11页

一次函数中的分段函数 ‎ ‎ 分段函数的基本模型 ‎1. 分段记费问题（如收取水费、电费、通信费等类型）：‎ 我国是世界上严重缺水的国家之一。为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费，即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（b＞a）收费。设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图所示。求出a和b值。‎ 解析：根据图中的相关数据利用解析式分析求值，解题关键是弄清函数图象的意义。‎ 答案：，2。‎ ‎2. 行程中的分段计算问题：‎ 由速度或时间的不同而产生的不同计算。如图是小明从学校到家里行进的路程s（米）与时间t（分）的函数图象，观察图象，从图中能得到什么信息呢？（结合背景对图象含义进行理解）‎ 解析：考查函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论。‎ 答案：小明行进总路程为‎1000米，行进时间为20分钟，前10分钟的行进速度比后10分钟的行进速度慢。‎ ‎3. 与几何图形有关的分段函数：‎ 由图形的运动变化所产生的线段、面积等的不同产生的分段计算。如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A →B→C→D的方向运动到D。如图2，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y。（当点P与A或D重合时，y＝0），写出y与x的函数关系式并画出图象。‎ 11‎ 解析：利用点运动到不同位置产生对应值解决问题。图象如图。‎ ‎。‎ ‎4. 商品销售中的分段计算：‎ 根据数量将商品进行分段销售。如：某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，试写出付款金额y（单位：元）与购书数量x（单位：本）之间的函数关系。‎ 解析：考查了分段函数，理解分段收费的意义，明确每一段购书数量及相应的购书单价是解题的关键，要注意x的取值范围．‎ ‎。‎ 总结：‎ ‎（1）要特别注意相应的自变量变化区间，在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围；‎ ‎（2）分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线。其中每条线段（射线）代表某一个阶段的情况；‎ ‎（3）分析分段函数的图象，要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解，尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义。‎ ‎（4）本节运用的数学思想有分类讨论思想、转化思想、数形结合思想。‎ 例题 甲、乙两人在一段长为‎1200米的笔直路上匀速跑步，甲、乙的速度分别为‎4m/s和‎6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面‎100米处。若同时起跑，甲、乙两人在从起跑至其中一人先到达终点的过程中，他们之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象如图所示。则t1＝　　　　　s，y2＝ 　　　m。‎ 解析：根据图象可知，当t1‎ 11‎ 时，y＝0，即6t＝4t＋100，求出即可；分为两种情况：①甲在乙的前面，y＝（4t＋100）－6t，②乙在甲的前面，y＝6t－（4t＋100），求出即可。‎ 答案：解：当y＝0时，6t＝4t＋100，解得：t＝50，即t1＝50，‎ 当0≤t＜50时，甲在乙的前面，∴y＝4t＋100－6t＝－2t＋100，1200÷6＝200，‎ 当50＜t≤200时，乙在甲的前面，∴y＝6t－（4t＋100）＝2t－100，‎ 当t＝200时，y2＝2×200－100＝300。‎ 故答案为：50s，‎300m。‎ 点拨：考查了分段函数与函数的图象的应用，主要考查学生的阅读能力和观察图象的能力，用的数学思想是转化思想和数形结合思想。‎ 几何图形中的分段计算 例题 如图，在矩形MNPQ中，MN＝6，PN＝4，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止。设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，‎ ‎（1）当x＝3时，y＝ 　 　　　；‎ 当x＝12时，y＝　　　 　　；‎ 当y＝6时，x＝ 　　　　 　　；‎ ‎（2）分别求当0≤x＜4、4≤x≤10、10＜x≤14时，y与x的函数关系式。‎ 解析：（1）利用当x＝3时，y＝MN·RN，当x＝12时，y＝RM·MN以及当y＝6时分别求出即可；（2）利用当0≤x＜4、4≤x≤10、10＜x≤14时，根据R不同的位置，分别求出y与x的函数关系式即可。‎ 答案：解：（1）如图1，∵点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，‎ ‎∴当x＝3时，y＝MN·RN＝×6×3＝9，‎ 如图2，当x＝12时，y＝RM·MN＝×2×6＝6，‎ 11‎ 根据以上计算可以得出当y＝6时，x＝2或12，‎ 故答案为：9，6，2或12；‎ ‎（2）当0≤x＜4时，R在PN上运动，y＝MN·RN＝×6x＝3x；‎ 当4≤x≤10时，R在QP上运动，y＝MN·PN＝×6×4＝12；‎ 当10＜x≤14时，R在QM上运动，y＝MN·RM＝×6×[4－（x－10）]＝42－3x。‎ 收费问题中的分段计算 例题 （徐州中考）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自‎1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：‎ 每月用气量 单价（元/m3）‎ 不超出‎75m3‎的部分 ‎2.5‎ 超出‎75m3‎不超出‎125m3‎的部分 a 超出‎125m3‎的部分 a＋0.25‎ ‎（1）若甲用户3月份的用气量为‎60m3‎，则应缴费　　　元；‎ ‎（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；‎ 解析：（1）根据单价×数量＝总价，就可以求出3月份应该缴纳的费用；（2）结合统计表的数据，根据单价×数量＝总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可。‎ 答案：解：（1）由题意，得60×2.5＝150（元）；‎ ‎（2）由题意，得a＝（325－75×2.5）÷（125－75），a＝2.75，∴a＋0.25＝3，‎ 设OA的解析式为y1＝k1x，则有2.5×75＝75k1，∴k1＝2.5，‎ ‎∴线段OA的解析式为y1＝2.5x（0≤x≤75）；‎ 11‎ 设线段AB的解析式为y2＝k2x＋b，由图象，得，解得：，‎ ‎∴线段AB的解析式为：y2＝2.75x－18.75（75＜x≤125）；‎ ‎（385－325）÷3＝20，故C（145，385），‎ 设BC的解析式为y3＝k3x＋b1，由图象，得 ‎，解得：，‎ ‎∴BC的解析式为y3＝3x－50（x＞125）‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1.（永州中考）某市打市话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）。某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元。如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为（　　）‎ A. 0.6‎元 B. 0.7元 C. 0.8元 D. 0.9元 ‎2.（泸州中考）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计算）。现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　）‎ ‎*3. 在一次远足活动中，小聪和小明由甲地步行到乙地后原路返回，小明在返回途中的丙地时发现物品可能遗忘在乙地，于是从丙地返回乙地，然后沿原路返回。两人同时出发，步行过程中保持匀速。设步行的时间为t（h），两人离甲地的距离分别为s1（km）和s2（km），图中的折线分别表示s1、s2与t之间的函数关系。则下列说法中正确的是（　　）‎ 11‎ A. 甲、乙两地之间的距离为‎20km ‎ B. 乙、丙两地之间的距离为‎4km C. 小明由甲地出发首次到达乙地的时间为小时 D. 小明乙地到达丙地用了小时 ‎*4.（黄冈模拟）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。下列说法中错误的是（　　）‎ A. 甲，乙两地相距‎1000km B. B点表示此时两车相遇 C. 快车的速度为‎166‎km/h D. B－C－D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地 ‎**5.（哈尔滨道里区一模）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，甲出发不久因故停车检修，修好后甲车继续向前行驶。乙车比甲车晚出发（从甲车出发时开始计时）。图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象。根据图象中所提供的信息，有下列说法：①乙车比甲车晚2小时出发；②甲车修好后行驶了1.5小时与乙车在途中第二次相遇；③乙车行驶的平均速度为每小时48千米；④甲、乙两车到达目的地所用的时间相同。符合图象描述的说法有（　　）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11‎ 二、填空题：‎ ‎*6. （孝感模拟）某市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：月用水量不超过40吨的部分，按每吨1元收取水费，超过40吨的部分，按每吨1.5元收取水费。另外每吨用水加收0.2元的城市污水处理费。若某户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在3月份交水费43.2元，该用户3月份实际应交水费 元。‎ ‎*7. （秀洲区二模）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2.5元收费。如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费。设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元。‎ ‎（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式。 ‎ ‎（2）若该城市某户4月份水费平均为每吨2.8元，求该户4月份用水 吨。‎ ‎**8. （黄陂区模拟）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港。设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示，若两船的距离不超过‎10km时能够相互望见，则甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围为 。‎ ‎**9. 已知正方形ABCD的边长是2，E是CD的中点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E点即停止运动，若点P经过的路程为x，△APE的面积记为y，试求出y与x之间的函数解析式 ，并求出当y＝时，x的值为 。‎ 三、解答题：‎ ‎*10. 下图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，各时间段的平均速度v（千米/小时）随时间t（分）变化的图象（全程），根据图象提供的信息：（1）求这次比赛全程是多少千米；（2）求比赛开始后多少分钟两人相遇。‎ 11‎ ‎**11.（衡阳中考）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从‎2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如下折线图，请根据图象回答下列问题；‎ ‎（1）当用电量是180千瓦时时，电费是 元；‎ ‎（2）第二档的用电量范围是 ；‎ ‎（3）“基本电价”是 元/千瓦时；‎ ‎（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？‎ ‎**12.（荆州中考）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕。他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示。‎ ‎（1）直接写出y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；‎ ‎（3）若日销售量不低于‎24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？‎ 图甲 图乙 11‎ ‎1. B 解析：由已知通过分析可得：根据小刚通话的方式进行，需要电话费最少，即先打3分钟，挂断后再打3分钟，再挂断打10－3－3＝4分钟，则费用为：0.2＋0.2＋0.2＋0.1＝0.7。故选B。‎ ‎2. C 解析：根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x，当x＞100时，y＝100×0.5＋0.8（x－100）＝50＋0.8x－80＝0.8x－30，所以，y与x的函数关系为，纵观各选项，只有C选项图形符合。故选C。‎ ‎3. C 解析：根据图中信息，甲、乙两地之间的距离为‎10km，乙、丙两地之间的距离为‎2km；故选项A、B错误；根据小明到达丙时所用时间为1小时，所行路程为（10＋2）km，即v2＝（10＋2）÷1＝‎12km/h，t1＝10÷12＝（小时），t2＝2÷12＝（小时），故小明由甲地出发首次到达乙地用了小时，故选项C正确，由乙地到达丙地用了小时，故D选项错误。故选C。‎ ‎4. D 解析：解：A、由图象知x＝0时，y＝1000，即甲、乙两地的距离为‎1000km。故A正确；B. B点表示此时两车在此处相遇，所用时间是4小时，故B正确；C. 快车速度为：−＝166。故C正确；D. B－C－D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地，故本选项错误。故选D。‎ ‎5. C 解析：结合图象即可得出：D点即是乙车比甲车晚出发的时间，①乙车比甲车晚2小时出发，故此说法正确；②根据两函数图象交点坐标F的横坐标为6，B点横坐标为4.5，即可得出甲车修好后行驶了1.5小时与乙车在途中第二次相遇，故此说法正确；③乙车行驶的平均速度为每小时48千米；根据乙行驶时间为：10－2＝8小时，路程为‎480km，故480÷8＝‎60km/h，故此说法错误；④甲、乙两车到达目的地所用的时间相同，根据两车所用时间均为8小时，故此说法正确。故正确的有：3个。故选C。‎ ‎6. 82 解析：设实际用水x吨，根据题意得60%x×1.2＝43.2解得：x＝60故实际缴费40×1.2＋20×1.7＝48＋34＝82元，故答案为82。‎ ‎7. （1） （2）32 解析：（1）当x≤20时，y＝2.5x，当x＞20时，y＝3.3（x－20）＋50，y＝3.3x－16；（2）∵该户4月份水费平均为每吨2.8元，∴该户4月份用水超过20吨。设该用户4月份用水a吨，得‎2.8a＝‎3.3a－16，解得a＝32。 ‎ ‎8. ≤x≤ 解析：由图象可知，甲船的速度为：30÷0.5＝‎60千米/时，乙船的速度为：90÷3＝‎30千米/时，由此可得：所以，甲、乙两船离A港口的距离为s甲＝60x，s乙＝30x＋30，①当甲船在乙船前面10千米时，s甲－s乙＝10，即：60x－（30x＋30）＝10，解得x＝ ，②当甲船在乙船前面10千米时，s乙－s甲＝10，‎ 即：30x＋30－60x＝10，解得x＝ ，所以，当两船的距离不超过‎10km时，≤x≤。‎ 11‎ ‎9. x＝或 解析：当P在AB上，即0＜x≤2时，如图1，y＝AP×AD＝x×2＝x；当P在BC上，即2＜x≤4时，如图2，y＝S正方形ABCD－S△ADE－S△CEP－S△ABP，＝2×2－×2×1－×1×（4－x）－×2×（x－2）＝－x＋3；当P在CE上，即4＜x≤5时，如图3，y＝EP·AD＝×（6－1－x）×2＝－x＋5；∴。当y＝时，＝x或＝－x＋3或＝－x＋5，解得：x＝或。‎ ‎ ‎ ‎10. 解：（1）这次比赛全程为15×＝12千米；‎ ‎（2）设甲行驶的路程为y甲，乙行驶的路程为y乙，则y甲＝t（0＜t≤15），y甲＝t＋（15＜t≤33），y甲＝t－（33＜t≤43），y乙＝t，当15＜t≤33时，由t＋＝t，解得t＝24，当33＜t≤43时，由t－＝t，解得t＝38，∴比赛开始后24分钟和38分钟两人相遇。‎ ‎11. 解：（1）由函数图象，得当用电量为180千瓦时，电费为：108元。故答案为：108；‎ ‎（2）由函数图象，得设第二档的用电量为x千瓦时，则180＜x≤450。故答案为：180＜x≤450；‎ ‎（3）基本电价是：108÷180＝0.6；故答案为：0.6；‎ ‎（4）设直线BC的解析式为y＝kx＋b，由图象，得，解得：，；y＝328.5时，x＝500。答：这个月他家用电500千瓦时。‎ ‎12. 解：（1）分两种情况：①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y＝k1x，∵直线y＝k1x过点（15，30），∴15k1＝30，解得k1＝2，∴y＝2x（‎ 11‎ ‎0≤x≤15）；‎ ‎②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y＝k2x＋b，∵点（15，30），（20，0）在y＝k2x＋b的图象上，∴，解得：，∴y＝－6x＋120（15＜x≤20）；综上，可知y与x之间的函数关系式为：；‎ ‎（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p＝mx＋n，∵点（10，10），（20，8）在p＝mx＋n的图象上，∴，解得：，∴p＝－x＋12（10≤x≤20），当x＝10时，p＝10，y＝2×10＝20，销售金额为：10×20＝200（元），当x＝15时，p＝－×15＋12＝9，y＝30，销售金额为：9×30＝270（元）。故第10天和第15天的销售金额分别为200元、270元；‎ ‎（3）若日销售量不低于‎24千克，则y≥24。当0≤x≤15时，y＝2x，解不等式2x≥24，得x≥12；当15＜x≤20时，y＝－6x＋120，解不等式－6x＋120≥24，得x≤16，∴12≤x≤16，∴“最佳销售期”共有：16－12＋1＝5（天）；‎ ‎∵p＝－x＋12（10≤x≤20），－＜0，∴p随x的增大而减小，∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p＝－×12＋12＝9.6（元/千克）。故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元。‎ 11‎