[精]2017-2018学年芜湖市无为县八年级上期末数学试卷(有答案) 21页

‎2017-2018 学年安徽省芜湖市无为县八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）‎ ‎1．在式子 中，分式的个数有（ ）‎ A． 2 B．3 C．4 D．5 2．一个三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm，则此三角形第三边长可能是（ ）‎ A． 3cm B．5cm C．7cm D．11cm 3．下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ）‎ A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 ‎4．下列运算正确的是（ ）‎ ‎2 2 4 2 3 5‎ A． x ‎+x ＝ 2x ‎B．a ?a ＝a ‎2 4 6 2 2‎ C．（﹣ 2x ）‎ ‎＝16x ‎D．（ x+3y）（ x﹣3y）＝ x ‎﹣ 3y ‎5．用三个正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种是正方形和正六边形，则第三种是（ ）‎ A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正三角形 ‎6．如图，△ ABC 中， AB＝AC，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交 AC、AD、AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（ ）‎ A． 1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 ‎7．如图，∠ AOB＝ 150°， OC 平分∠ AOB，P 为 OC 上一点， PD∥OA 交 OB 于点 D，PE⊥‎ OA 于点 E．若 OD＝4，则 PE 的长为（ ）‎ A． 2 B．2.5 C．3 D．4‎ ‎8．某服装厂准备加工 400 套运动装，在加工完 160 套后，采用了新技术，使得工作效率比原 计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，‎ 设计划每天加工 x 套服装，则根据题意可得方程为（ ）‎ A． + ＝18‎ B． + ＝18‎ C． + ＝ 18‎ D． + ＝18‎ ‎9．因式分解 x2+mx﹣ 12＝（ x+p）（x+q），其中 m、p、q 都为整数，则这样的 m 的最大值是 ‎（ ）‎ A． 1 B．4 C．11 D．12‎ ‎10．对于任意非零实数 a，b，定义运算“※”如下：“ a※b”＝ ，则 1※ 2+2※3+3※4+‎ ‎+2017※2018 的值为（ ）‎ A． B． C． D．﹣ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）‎ ‎2 2‎ ‎11．分解因式： 3x ‎﹣12xy+12y ＝ ．‎ ‎12．水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为 0.0000000001 米，用科学记数法表示 为 米．‎ ‎13．如图，在长方形 ABCD 的边 AD 上找一点 P，使得点 P 到 B、C 两点的距离之和最短，则 点 P 的位置应该在 ．‎ ‎14．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ ABC 为含有 45°角的三角板，直线 AD 是 等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点 D 为另一块三角板 DMN 的直角顶点， DM、DN 分别交 AB、AC 于点 E、F．则下列四个结论： ① BD＝AD＝CD；② △AED≌△ CFD ；③ BE+CF ‎2‎ ‎＝EF； ④ S 四边形 AEDF ＝ BC ．其中正确结论是 （填序号）．‎ 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）‎ ‎﹣ 2 3 0‎ ‎15．（ 1）计算：（﹣ ）‎ ‎﹣2 ×0.125+2005 +|﹣1|；‎ ‎（2）解方程： ＝ ．‎ ‎2‎ ‎16．先化简，再求值： y（ x+y）+（x+y）（ x﹣y）﹣ x ‎，其中 x＝﹣ 2，y＝ ．‎ 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）‎ ‎17．如图 ① ，将一个长方形沿着对角线剪开即可得到两个全等的三角形，再把△ ABC 沿着 AC 方向平移，得到图 ② 中的△ GBH，BG 交 AC 于点 E，GH 交 CD 于点 F．在图 ② 中，除△ ACD 与△ HGB 全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请 选择其中一对加以证明．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A（ 1，﹣ 4），B（3，﹣3）， C（ 1，﹣ 1）．‎ ‎（1）画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1B1C1；‎ ‎（2）写出△ A1B1C1 各顶点的坐标．‎ 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）‎ ‎19．任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解： n＝p×q（p、q 是正整数，且 p≤q）．如果 p ‎× q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q 是 n 的最佳分解，并 且规定 F（ n）＝ ．例如 18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有 F（18）＝ ＝ ．请解答下 列问题：‎ ‎（1）计算： F（24）；‎ ‎2‎ ‎（2）当 n 为正整数时，求证： F（n3+2n ‎+n）＝ ．‎ ‎20．保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯．最近无为县城又引进了共享单车，只需要交 点押金，就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车，以极低的费用，轻松 骑到目的地．王老师家与学校相距 2km，现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑 电动车多用 4min．已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的 1.5 倍，则王老师骑共 享单车的速度是多少？‎ 六、（本题满分 12 分）‎ ‎21．如图，在等边△ ABC 中，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 的延长线上， DE＝DA．‎ ‎（1）求证：∠ BAD＝∠EDC；‎ ‎（2）作出点 E 关于直线 BC 的对称点 M，连接 DM、AM，猜想 DM 与 AM 的数量关系，并说 明理由．‎ 七、（本题满分 12 分）‎ ‎22．北京奥运会开幕前， 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000 元购进了一 批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用 68 000 元购进第二批这种运动服，所购数量是 第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元．‎ ‎（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？‎ ‎（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每套售价 至少是多少元？（利润率＝ ×100%）‎ 八、（本题满分 14 分）‎ ‎23．如图，∠ ABC＝90°，D、E 分别在 BC、AC 上，AD⊥DE，且 AD＝DE，点 F 是 AE 的中 点， FD、AB 的延长线相交于点 M，连接 MC．‎ ‎（1）求证：∠ FMC＝∠ FCM；‎ ‎（2）将条件中的 AD⊥DE 与（ 1）中的结论互换，其他条件不变，命题是否正确？请给出理 由．‎ ‎2017-2018 学年安徽省芜湖市无为县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）‎ ‎1．在式子 中，分式的个数有（ ）‎ A． 2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母 则不是分式．‎ ‎【解答】 解：分式有： ， ，9x+ 工 3 个． 故选： B．‎ ‎【点评】 本题主要考查分式的定义，注意 π不是字母，是常数，所以 不是分式，是整式．‎ ‎2．一个三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm，则此三角形第三边长可能是（ ）‎ A． 3cm B．5cm C．7cm D．11cm ‎【分析】 根据已知边长求第三边 x 的取值范围为： 5＜x＜11，因此只有选项 C 符合．‎ ‎【解答】 解：设第三边长为 xcm， 则 8﹣3＜x＜3+8，‎ ‎5＜ x＜11， 故选： C．‎ ‎【点评】 本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长， 则第三边的范围为大于两边差 且小于两边和．‎ ‎3．下列图案是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中是轴对称图形的共有（ ）‎ A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 ‎【分析】 关于某条直线对称的图形叫轴对称图形． 绕一个点旋转 180 度后所得的图形与原图形 完全重合的图形叫做中心对称图形．‎ ‎【解答】 解：第一个是中心对称图形，但不是轴对称图形，其它三个是轴对称图形．故选 C．‎ ‎【点评】 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合， 中心对称图形是要寻找 对称中心，旋转 180 度后两部分重合．‎ ‎4．下列运算正确的是（ ）‎ ‎2 2 4 2 3 5‎ A． x ‎+x ＝ 2x ‎B．a ?a ＝a ‎2 4 6 2 2‎ C．（﹣ 2x ）‎ ‎＝16x ‎D．（ x+3y）（ x﹣3y）＝ x ‎﹣ 3y ‎【分析】 根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不 变指数相加；积的乘方，底数不变指数相乘；平方差公式，对各选项分析判断后利用排除 法求解．‎ ‎2 2‎ ‎【解答】 解： A、应为 x2+x ‎＝ 2x ‎，故本选项错误；‎ ‎2 3 5‎ B、 a ‎?a ＝a ‎，正确；‎ ‎2‎ C、应为（﹣ 2x ‎）4＝16x6‎ ‎，故本选项错误；‎ ‎2‎ D、应为（ x+3y）（ x﹣ 3y）＝ x 故选： B．‎ ‎﹣3y2‎ ‎，故本选项错误；‎ ‎【点评】 本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式，熟练掌握运算性质 和公式是解题的关键．‎ ‎5．用三个正多边形镶嵌成一个平面时，若前两种是正方形和正六边形，则第三种是（ ）‎ A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正三角形 ‎【分析】 分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除 ‎360 即可作出判断．‎ ‎【解答】 解：正方形的每个内角是 90°，正六边形每个内角是 180°﹣ 360°÷ 6＝120°， 正十二边形每个内角是 180°﹣ 360°÷ 12＝150°，‎ ‎90°+120°+150°＝ 360°，‎ 故选： A．‎ ‎【点评】 本题考查一种正多边形的镶嵌问题． 用一种正多边形镶嵌， 只有正三角形， 正四边形， 正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．‎ ‎6．如图，△ ABC 中， AB＝AC，D 是 BC 的中点， AC 的垂直平分线分别交 AC、AD、AB 于点 E、O、 F，则图中全等三角形的对数是（ ）‎ A． 1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 ‎【分析】 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 OA＝ OC，然后判断出△ AOE 和△ COE 全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AD⊥BC，从而得到△ ABC 关 于直线 AD 轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．‎ ‎【解答】 解：∵ EF 是 AC 的垂直平分线，‎ ‎∴OA＝OC， 又∵OE＝OE，‎ ‎∴Rt△AOE≌Rt△COE，‎ ‎∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∴△ABC 关于直线 AD 轴对称，‎ ‎∴△AOC≌△AOB，△ BOD≌△ COD，△ABD≌△ ACD， 综上所述，全等三角形共有 4 对．‎ 故选： D．‎ ‎【点评】 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质， 全等三角形的判 定，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各性质以及全等三角形的判定是解题的关键．‎ ‎7．如图，∠ AOB＝ 150°， OC 平分∠ AOB，P 为 OC 上一点， PD∥OA 交 OB 于点 D，PE⊥‎ OA 于点 E．若 OD＝4，则 PE 的长为（ ）‎ A． 2 B．2.5 C．3 D．4‎ ‎【分析】 过 P 点作 PF⊥OD，利用平行线的性质和角平分线的性质解答即可．‎ ‎【解答】 解：过 P 点作 PF⊥OD，‎ ‎∵∠AOB＝150°， OC 平分∠ AOB，‎ ‎∴∠DOP＝∠ POE＝75°，‎ ‎∵DP∥OA，‎ ‎∴∠DPO＝∠ POE＝75°，‎ ‎∴∠DOP＝∠ DPO﹣ 75°，‎ ‎∴DP＝OD＝4，‎ ‎∴∠PDO＝180°﹣ 75°﹣ 75°＝ 30°，‎ ‎∵PF⊥OD，‎ ‎∴∠PFD＝90°，‎ ‎∴PF＝ DP＝2，‎ ‎∵PE⊥OA，OC 平分∠ AOB，‎ ‎∴PE＝PF＝ 2， 故选： A．‎ ‎【点评】 此题考查角平分线的性质，关键是利用平行线的性质和角平分线的性质解答．‎ ‎8．某服装厂准备加工 400 套运动装，在加工完 160 套后，采用了新技术，使得工作效率比原 计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中， 设计划每天加工 x 套服装，则根据题意可得方程为（ ）‎ A． + ＝18‎ B． + ＝18‎ C． + ＝ 18‎ D． + ＝18‎ ‎【分析】 关键描述语为：“共用了 18 天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时 间+采用新技术后所用时间＝ 18 天．‎ ‎【解答】 解：设计划每天加工 x 套服装，那么采用新技术前所用时间为： ，采用新技术后 所用时间为： ，‎ 则所列方程为： + ＝ 18．‎ 故选： A．‎ ‎【点评】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出题目中的关键语， 找到相应的等量关系 是解决问题的关键．注意工作时间＝工作总量÷工作效率．‎ ‎2‎ ‎9．因式分解 x +mx﹣ 12＝（ x+p）（x+q），其中 m、p、q 都为整数，则这样的 m 的最大值是 ‎（ ）‎ A． 1 B．4 C．11 D．12‎ ‎【分析】 根据十字相乘法的分解方法和特点可知 m＝ p+q，pq＝﹣ 12．‎ ‎【解答】 解：﹣ 12 可以分成：﹣ 2× 6， 2×（﹣ 6），﹣ 1×12，1×（﹣ 12）， 3×（﹣ 4），‎ ‎﹣ 3× 4，‎ 而﹣ 2+6＝ 4， 2+（﹣ 6）＝﹣ 4，﹣ 1+12＝11， 1+（﹣ 12）＝﹣ 11， 3+（﹣ 4）＝﹣ 1，﹣ 3+4‎ ‎＝ 1，‎ 因为 11＞4＞1＞﹣ 1＞﹣ 4＞﹣ 11， 所以 m 最大＝p+q＝11．‎ 故选： C．‎ ‎【点评】 本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．‎ ‎10．对于任意非零实数 a，b，定义运算“※”如下：“ a※b”＝ ，则 1※ 2+2※3+3※4+‎ ‎+2017※2018 的值为（ ）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎【分析】 根据已知将原式变形进而计算得出答案．‎ ‎【解答】 解：由题意可得： 原式＝ + + + +‎ ‎＝﹣（ 1﹣ + ﹣ + ﹣ + + ﹣ ）‎ ‎＝﹣（ 1﹣ ）‎ ‎＝﹣ ． 故选： D．‎ ‎【点评】 此题主要考查了实数运算，正确将原式变形是解题关键． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）‎ ‎2 2 2‎ ‎11．分解因式： 3x ‎﹣12xy+12y ‎＝ 3（x﹣2y） ．‎ ‎【分析】 直接提取公因式 3，再利用完全平方公式分解因式得出答案．‎ ‎【解答】 解： 3x2﹣ 12xy+12y2＝3（x2﹣ 4xy+4y2）‎ ‎＝3（x﹣ 2y）2． 故答案为： 3（x﹣2y） 2．‎ ‎【点评】 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．‎ ‎12．水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为 0.0000000001 米，用科学记数法表示 为 1×10﹣ 10 米．‎ ‎【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a× 10﹣ n，与较大数的 科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定．‎ ‎﹣ 10‎ ‎【解答】 解： 0.000 000 0001＝1×10 ，‎ 故答案为： 1×10﹣ 10．‎ ‎﹣ n ‎【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a× 10‎ 原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．‎ ‎，其中 1≤|a|＜ 10，n 为由 ‎13．如图，在长方形 ABCD 的边 AD 上找一点 P，使得点 P 到 B、C 两点的距离之和最短，则 点 P 的位置应该在 AD 的中点 ．‎ ‎【分析】 根据轴对称的性质作出 B 关于 AD 的对称点 B'，再连接 CB'，利用长方形的性质和全 等三角形的判定和性质解答即可．‎ ‎【解答】 解：作出 B 关于 AD 的对称点 B'，连接 CB'，如图；‎ ‎∵长方形 ABCD，‎ ‎∴AB＝CD，∠B'AP＝∠ PDC＝ 90°，‎ ‎∵AB'＝AB，‎ ‎∴AB'＝CD，‎ 在△B'AP 与△ CDP 中 ‎，‎ ‎∴△B'AP≌△ CDP（AAS），‎ ‎∴AP＝PD， 故答案为： AD 的中点．‎ ‎【点评】 此题考查轴对称问题， 关键是根据轴对称的性质和矩形的性质以及全等三角形的判定 和性质解答．‎ ‎14．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ ABC 为含有 45°角的三角板，直线 AD 是 等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点 D 为另一块三角板 DMN 的直角顶点， DM、DN 分别交 AB、AC 于点 E、F．则下列四个结论： ① BD＝AD＝CD；② △AED≌△ CFD ；③ BE+CF ‎2‎ ‎＝EF； ④ S 四边形 AEDF ＝ BC ．其中正确结论是 ①②④ （填序号）．‎ ‎【分析】 根据等腰直角三角形的性质可得 AD＝CD＝BD，故① 正确，∠ CAD＝∠ B＝ 45°，根 据同角的余角相等求出∠ CDF＝∠ ADE，然后利用“角边角”证明△ ADE 和△ CDF 全等， 判断出 ② 正确，根据全等三角形对应边相等可得 DE＝DF、 BE＝AF，求出 AE＝CF，根据 BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得 BE+CF＞EF，判断出 ③ 错误；‎ ‎2‎ 根据全等三角形的面积相等可得 S△ ADF＝ S△ BDE，从而求出 S 四边形 AEDF＝S△ ABD＝ BC ，判断 出④ 正确．‎ ‎【解答】 解：∵∠ B＝45°， AB＝AC，‎ ‎∴△ABC 是等腰直角三角形，‎ ‎∵点 D 为 BC 中点，‎ ‎∴AD＝CD＝BD，故 ① 正确；‎ AD⊥BC，∠ BAD＝45°，‎ ‎∴∠EAD＝∠C，‎ ‎∵∠MDN 是直角，‎ ‎∴∠ADF+∠ADE＝ 90°，‎ ‎∵∠CDF+∠ADF＝∠ ADC＝90°，‎ ‎∴∠ADE＝∠CDF，‎ 在△ADE 和△ CDF 中， ，‎ ‎∴△ADE≌△CDF（ASA），故 ② 正确；‎ ‎∴DE＝DF、BE＝AF，‎ ‎∴△DEF 是等腰直角三角形；‎ ‎∵AE＝AB﹣ BE， CF＝AC﹣ AF，‎ ‎∵BE+CF＝AF+AE ‎∴BE+CF＞EF，故 ③ 错误；‎ ‎∵△BDE≌△ADF，‎ ‎∴S△ADF ＝S△ BDE，‎ ‎2 2 2‎ ‎∴S 四边形 AEDF＝ S△ ABD＝ AD ‎＝ AB ‎＝ BC 故④ 正确； 故答案为： ①②④ ．‎ ‎【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质， 同角的余角相等的性 质，熟记三角形全等的判定方法并求出△ ADE 和△CDF 全等是解题的关键．‎ 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）‎ ‎﹣ 2 3 0‎ ‎15．（ 1）计算：（﹣ ）‎ ‎﹣2 ×0.125+2005 +|﹣1|；‎ ‎（2）解方程： ＝ ．‎ ‎【分析】 （1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；‎ ‎（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式 方程的解．‎ ‎【解答】 解：（ 1）原式＝ 4﹣ 8× 0.125+1+1‎ ‎＝4﹣1+1+1‎ ‎＝5．‎ ‎（2）两边同乘以 x（ 2x﹣1），得 6（2x﹣ 1）＝ 5x， 解得 x＝ ．‎ 经检验， x＝ 是原方程的解．‎ ‎【点评】 此题考查了实数的运算与解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分 式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎2‎ ‎16．先化简，再求值： y（ x+y）+（x+y）（ x﹣y）﹣ x ‎，其中 x＝﹣ 2，y＝ ．‎ ‎【分析】 先根据单项式乘多项式的法则，平方差公式化简，再代入数据求值．‎ ‎【解答】 解： y（x+y） +（ x+y）（ x﹣y）﹣ x2，‎ ‎2 2 2 2‎ ‎＝xy+y ‎＝xy，‎ ‎+x ﹣y ‎﹣x ，‎ 当 x＝﹣ 2，y＝ 时，原式＝﹣ 2× ＝﹣ 1．‎ ‎【点评】 本题考查了单项式乘多项式，平方差公式，关键是先把代数式化简，再把题目给定的 值代入求值，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．‎ 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）‎ ‎17．如图 ① ，将一个长方形沿着对角线剪开即可得到两个全等的三角形，再把△ ABC 沿着 AC 方向平移，得到图 ② 中的△ GBH，BG 交 AC 于点 E，GH 交 CD 于点 F．在图 ② 中，除△ ACD 与△ HGB 全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？请 选择其中一对加以证明．‎ ‎【分析】 由平移的性质得到 AG＝CH，根据全等三角形的性质得到∠ A＝∠ H，推出△ AGE≌‎ ‎△HCF（ASA）；根据全等三角形的性质得到 EG＝FC，AG＝HC，根据线段的和差得到 BE ‎＝DF， DG＝BC，于是得到结论．‎ ‎【解答】 解：△ AGE≌△ HCF，△EBC≌△FDG； 证明过程如下：‎ 由平移可知 AG＝ CH，‎ ‎∵△ACD 与△ HGB 全等，‎ ‎∴∠A＝∠ H，‎ 又 BG⊥AD，DC⊥BH，‎ ‎∴∠AGE＝∠HCF＝90°，‎ ‎∴△AGE≌△HCF（ASA）；‎ ‎∴EG＝FC，AG＝HC，‎ ‎∵BG＝CD，AD＝HB，‎ ‎∴BE＝DF，DG＝BC，‎ ‎∵∠D＝∠ B＝90°，‎ ‎∴△EBC≌△FDG（SAS）．‎ ‎【点评】 本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质，掌握相关的判定 定理和性质定理是解题的关键．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点坐标分别为 A（ 1，﹣ 4），B（3，﹣3），‎ C（ 1，﹣ 1）．‎ ‎（1）画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1B1C1；‎ ‎（2）写出△ A1B1C1 各顶点的坐标．‎ ‎【分析】 （1）分别作出 A、B、C 关于 x 轴的对称点即可；‎ ‎（2）根据图中各点写出坐标即可．‎ ‎【解答】 解：（ 1）△ A1B1C1 如图所示．‎ ‎（2）A1（ 1，4）， B1（3，3）， C1（1，1）．‎ ‎【点评】 本题考查轴对称变换知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）‎ ‎19．任何一个正整数 n 都可以进行这样的分解： n＝p×q（p、q 是正整数，且 p≤q）．如果 p ‎× q 在 n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 p×q 是 n 的最佳分解，并 且规定 F（ n）＝ ．例如 18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有 F（18）＝ ＝ ．请解答下 列问题：‎ ‎（1）计算： F（24）；‎ ‎2‎ ‎（2）当 n 为正整数时，求证： F（n3+2n ‎+n）＝ ．‎ ‎【分析】 （1）把 24 因式分解为 1×24，2×12，3×8，4×6，再由定义即可得 F（24）‎ ‎3 2 2 2 2‎ ‎（2）把 n ‎+2n ‎+n 因式分解得 n（ n+1）‎ ‎，则可化为 1× n（ n+1）‎ ‎， n×（ n+1）‎ ‎，（n+1）×‎ n（n+1）‎ ‎2 2 2‎ 当 n 为正整数时， n（ n+1）2﹣1＝ n3+2n ‎＝ n2﹣1‎ ‎+n﹣1，（ n+1）‎ ‎﹣n＝n ‎+n+1， n（ n+1）﹣（ n+1）‎ ‎2‎ 易得 n（n+1）与（n+1）得差绝对值最小， 且（n+1）≤n（ n+1），得出 F（n3 +2n ‎+n）＝‎ ‎【解答】 解：（ 1）∵ 24＝ 1× 24＝2×12＝3×8＝4×6，其中 4 与 6 的差的绝对值最小，‎ ‎∴F（24）＝ ＝ ．‎ ‎2 2‎ ‎（2）∵n3‎ ‎n +n＝n（n+1） ，其中 n（n+1）与（n+1）的差的绝对值最小， 且（n+1）≤ n（n+1），‎ ‎+2‎ n ‎∴F（n3+2 2‎ ‎+n）＝ ＝ ．‎ ‎【点评】 此题是因式分解的应用，设计一个新题型来考察学生的因式分解能力，（ 1）中直接 列出 24 的因式，（ 2）中列出因式后仍需比较因数差的绝对值，找出差绝对值最小即可 ‎20．保护环境、低碳出行已渐渐成为人们的习惯．最近无为县城又引进了共享单车，只需要交 点押金，就可以通过扫描二维码的方式解锁一辆停在路边的自行车，以极低的费用，轻松 骑到目的地．王老师家与学校相距 2km，现在每天骑共享单车到学校所花的时间比过去骑 电动车多用 4min．已知王老师骑电动车的速度是骑共享单车速度的 1.5 倍，则王老师骑共 享单车的速度是多少？‎ ‎【分析】 设王老师骑共享单车的速度为 xkm/h，则王老师骑电动车的速度是 1.5xkm/h，根据时 间＝路程÷速度结合骑共享单车到学校所花的时间比过去骑电动车多用 4min，即可得出关 于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．‎ ‎【解答】 解：设王老师骑共享单车的速度为 xkm/h，则王老师骑电动车的速度是 1.5xkm/h， 根据题意得： ﹣ ＝ ，‎ 解得： x＝10，‎ 经检验， x＝ 10 是原方程的解． 答：王老师骑共享单车的速度是 10km/h．‎ ‎【点评】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 六、（本题满分 12 分）‎ ‎21．如图，在等边△ ABC 中，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 的延长线上， DE＝DA．‎ ‎（1）求证：∠ BAD＝∠EDC；‎ ‎（2）作出点 E 关于直线 BC 的对称点 M，连接 DM、AM，猜想 DM 与 AM 的数量关系，并说 明理由．‎ ‎【分析】 （ 1）根据等腰三角形的性质，得出∠ E＝∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠‎ BAD+∠DAC＝∠E+∠EDC＝60°，据此可得出∠ BAD＝∠ EDC；‎ ‎（2）根据轴对称作图，要证明 DA＝AM，只需根据有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角 形，证△ ADM 是等边三角形即可．‎ ‎【解答】 解：（ 1）如图 1，∵△ ABC 是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACB＝60°．‎ 又∵∠ BAD+∠DAC＝∠ BAC，∠ EDC+∠DEC＝∠ACB，‎ ‎∴∠BAD+∠DAC＝∠ EDC+∠DEC．‎ ‎∵DE＝DA，‎ ‎∴∠DAC＝∠DEC，‎ ‎∴∠BAD＝∠EDC．‎ ‎（2）猜想： DM＝AM．理由如下：‎ ‎∵点 M、E 关于直线 BC 对称，‎ ‎∴∠MDC＝∠ EDC， DE＝DM． 又由（ 1）知∠ BAD＝∠EDC，‎ ‎∴∠MDC＝∠ BAD．‎ ‎∵∠ADC＝∠BAD+∠B，‎ 即∠ADM+∠MDC ＝∠ BAD+∠B，‎ ‎∴∠ADM＝∠ B＝ 60°． 又∵DA＝DE＝DM，‎ ‎∴△ADM 是等边三角形，‎ ‎∴DM＝AM．‎ ‎【点评】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、 轴对称变换以及三角 形外角性质等知识的综合应用．解题时注意运用等边三角形的三个内角都等于 60°，三条 边都相等．‎ 七、（本题满分 12 分）‎ ‎22．北京奥运会开幕前， 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000 元购进了一 批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用 68 000 元购进第二批这种运动服，所购数量是 第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元．‎ ‎（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？‎ ‎（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于 20%，那么每套售价 至少是多少元？（利润率＝ ×100%）‎ ‎【分析】 （1）求的是数量，总价明显，一定是根据单价来列等量关系，本题的关键描述语是： 每套进价多了 10 元．等量关系为：第二批的每件进价﹣第一批的每件进价＝ 10；‎ ‎（2）等量关系为：（总售价﹣总进价）÷总进价≥ 20%．‎ ‎【解答】 解：（ 1）设商场第一次购进 x 套运动服，由题意得：‎ ‎，（ 3 分）‎ 解这个方程，得 x＝200， 经检验， x＝ 200 是所列方程的根， 2x+x＝2×200+200＝600，‎ 所以商场两次共购进这种运动服 600 套；‎ ‎（2）设每套运动服的售价为 y 元，由题意得：‎ ‎，‎ 解这个不等式，得 y≥200， 所以每套运动服的售价至少是 200 元．‎ ‎【点评】 本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决 问题的关键．注意利润率＝ ×100%的应用． 八、（本题满分 14 分）‎ ‎23．如图，∠ ABC＝90°，D、E 分别在 BC、AC 上，AD⊥DE，且 AD＝DE，点 F 是 AE 的中 点， FD、AB 的延长线相交于点 M，连接 MC．‎ ‎（1）求证：∠ FMC＝∠ FCM；‎ ‎（2）将条件中的 AD⊥DE 与（ 1）中的结论互换，其他条件不变，命题是否正确？请给出理 由．‎ ‎【分析】（ 1）想办法证明△ FAM≌△ FDC（AAS），即可推出 FM＝FC，可得∠ FMC＝∠FCM；‎ ‎（2）正确．只要证明△ AMF≌△ DCF（ ASA），即可解决问题；‎ ‎【解答】 （1）证明：∵ AD＝DE，点 F 是 AE 的中点，‎ ‎∴MF⊥AC，‎ ‎∴∠AMF+∠MAF＝90°，‎ ‎∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ACB+∠MAF＝ 90°，‎ ‎∴∠AMF＝∠ ACB，‎ ‎∵AD⊥DE，AD＝DE，‎ ‎∴△ADE 为等腰直角三角形，‎ ‎∠DAF＝ 45°， 又∵MF⊥AC，‎ ‎∴∠DFA＝90°，‎ ‎∴∠ADF＝180°﹣∠ DFA ﹣∠DAF＝45°，‎ ‎∴∠ADF＝∠DAF，‎ ‎∴FA＝FD，‎ 在△FAM 和△ FDC 中，‎ ‎，‎ ‎∴△FAM≌△ FDC（AAS），‎ ‎∴FM＝FC，‎ ‎∴∠FMC＝∠ FCM．‎ ‎（2）解：正确． 理由如下：∵∠ FMC＝∠ FCM，‎ ‎∴FM＝FC．，‎ ‎∵AD＝DE，点 F 是 AE 的中点，‎ ‎∴MF⊥AC，‎ ‎∴∠AFM＝∠ DFC＝90°，∠ AMF+∠MAC＝ 90°， 又∵∠ MAC+∠DCF＝90°，‎ ‎∴∠AMF＝∠ DCF． 在△AMF 和△ DCF 中，‎ ‎，‎ ‎∴△AMF≌△ DCF（ASA），‎ ‎∴AF＝DF， 又∵∠ AFD＝90°，‎ ‎∴∠DAF＝∠ADF＝45°， 又∵AD＝DE，‎ ‎∴∠DEA＝∠DAF＝45°，‎ ‎∴∠ADE＝180°﹣∠ DAF ﹣∠DEA＝90°，‎ ‎∴AD⊥DE．‎ ‎【点评】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质， 直角三角形斜边 中线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．‎