初中数学八年级上册第十三章轴对称13-4课题学习最短路径问题教案 人教版 8页

‎13.4.课题学习《最短路径》教学设计 ‎ 一、教材分析 ‎1、地位作用： 随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。‎ ‎2、目标和目标解析：‎ ‎（1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.‎ ‎（2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.‎ ‎3、教学重、难点 教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决.‎ 二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景 引入课题 师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． ‎ ‎（板书）课题 学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识.‎ 从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望.‎ 二、自主探究 合作交流 建构新知 追问1：观察思考，抽象为数学问题 ‎　这是一个实际问题，你打算首先做什么？ ‎ 活动1：思考画图、得出数学问题 动手画 88‎ 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． ‎ B ‎。‎ ‎。A l 追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思， ‎ 并把它抽象为数学问题吗？ ‎ 师生活动：学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； ‎ ‎（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． ‎ ‎ ‎ l A B′‎ C B 强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”‎ 活动2：尝试解决数学问题 问题2 ： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？‎ ‎ 追问1　你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ ‎ 直线 观察口答 动手连线 观察口答 独立思考 合作交流 汇报交流成果，书写理由.‎ 思考感悟活动1中的将军饮马问题，把刚学过的方法经验迁移过来 为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的能力.‎ 经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.‎ 达到轴对称知识的学以致用 注意问题解决方法的小结：抓对称性来解决 及时进行学法指导，注重方法规律的提炼总结.‎ 88‎ B ‎。‎ ‎。A l ‎　问题3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的B l A C 一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？‎ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充 如果学生有困难，教师可作如下提示 作法：‎ ‎（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；‎ ‎（2）连接AB′，与直线l 相交于点C，则点C 即为所求． ‎ 如图所示：‎ B′‎ l C A B 问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ ‎ 教师展示：证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．‎ ‎ 由轴对称的性质知，‎ ‎ BC =B′C，BC′=B′C′．‎ ‎ ∴　AC +BC ‎ = AC +B′C = AB′，‎ ‎ AC′+BC′‎ ‎ = AC′+B′C′．‎ 学生独立完成，集体订正 学生独立完成，集体订正 学以致用，及时巩固 注意问题解决方法的小结：抓轴对称来解决 88‎ B l A B′‎ C C′‎ 方法提炼：‎ 将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.‎ 问题4‎ 练习　如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径． ‎ A B C P Q 山 河岸 大桥 基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”． ‎ 问题5 造桥选址问题 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）‎ 互相交流解题经验 独立完成，交流经验 观察思考，动手画图，用轴对称知识进行解决 经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.‎ 提炼思想方法：轴对称，线段和最短 体会转化思想，‎ 体验轴对称知识的应用 88‎ B A 思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？‎ ‎2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？‎ B A Ｍ Ｎ 思维点拨：改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法）‎ ‎1、把A平移到岸边.‎ ‎2、把B平移到岸边.‎ ‎3、把桥平移到和A相连.‎ ‎4、把桥平移到和B相连.‎ 教师：上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.‎ ‎1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?‎ 问题解决：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１. 由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN 如图所示：‎ B A 各抒己见 合作与交流 交流体会 动手体验 动手作图 88‎ A1‎ N Ｎ１‎ Ｍ１‎ M 方法提炼：‎ 将最短路径问题转化为“线段和最小问题”‎ 体验转化思想 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 三、巩固训练 ‎（一）基础训练：1、最短路径问题 ‎(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．‎ 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．‎ ‎(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．‎ 如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．‎ ‎2.如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）‎ 如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.‎ 学生独立思考解决问题 独立思考，合作交流.‎ 巩固所学知识，增强学生应用知识的能力，渗透转化思想.‎ 提炼方法，为课本例题奠定基础.‎ 88‎ 平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处 ‎.‎ ‎（二）变式训练：‎ 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．‎ ‎(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？‎ ‎(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？‎ ‎（三）综合训练：‎ 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？‎ ‎ ‎ 图a 　图b 四、反思小结 布置作业 小结反思 ‎ ‎（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ ‎ ‎（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？‎ 解决问题中，我们应用了哪些数学思想方法？‎ 你还有哪些收获？ ‎ 作业布置、课后延伸 必做题：课本P93-15题；选做题：生活中，你发现那些需要用到本课知识解决的最短路径问题 自由发言,相互借鉴.自我评价.‎ 总结回顾学习内容，帮助学生归纳反思所学知识及思想方法.‎ 关注学生的个体差异.‎ 88‎ ‎ 13.4 最短路径问题 两点的所有连线中，线段最短”、‎ ‎“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．‎ 方法提炼：‎ 将最短路径问题转化为“线段和最小问题”‎ 板书设计：‎ 教学反思：‎ 88‎