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- 2021-11-01 发布
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八年级数学上半期考知识点复习题纲
第一章 勾股定理
1、勾股定理
(1)直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即
(2)勾股定理的适用范围:仅限于直角三角形
2、勾股定理的逆定理(证明这个三角形是直角三角形)
如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形。
例题:1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长?为什么
(9,12,15) (4,3,6)
9²+12²=225 42+32=25
15²=225 62=36
所以9²+12²=15² 所以42+32≠62
所以可作为直角三角形的三条边长 所以不可作为直角三角形的三条边长
3、 勾股数:满足的三个正整数,称为勾股数。
常见的勾股数有:(6,8,10)(3,4,5)(5,12,13)(9,12,15)……
4、 构成三角形的条件
(1)两边之和大于第三边,
(2)两边之差小于第三边。
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第二章 实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数(包可除尽的分数)和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、无理数:无限不循环小数
(1)开方开不尽的数,如等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等;
(3)有特定结构的数,无限但不循环,如0.1010010001…等;
3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数,即实数和数轴上的点是一、一对应的。
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
如果a=—b ,那么a与b互为相反数,则有a+b=0。
0的相反数是0……
2、绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。
若a≥0, 则 |a|=a; 若a≤0,则|a|=-a。
0的绝对值为0
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1。
倒数等于本身的数是1和-1,0没有倒数。
4、 估算
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。(
只有正数才有算术平方根,负数没有,算术平方根的值是正数,不可能等于负数)特别0的算术平方根为0
表示方法:记作“”,读作根号a。
性质:正数和零的算术平方根都只有一个。
2、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:正数a的平方根记做“”,读作“正、负根号a”。
性质:一个正数有两个平方根,一正,一负,它们互为相反数;只有正数有平方根,负数没有平方根。0的平方根是0;
开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,a叫做被开方数。
例题:1.求下列各数的平方根
169 121
2.求下列各式的值
注意两例题的不同(例1值等于+、-;例2值只等于+)
注意的双重非负性:
0
例题:1.X满足什么条件 才有意义?
因为的双重非负性,所以0,X-20,所以X2
2. +,求a,b的值。
因为的双重非负性,所以0
因为0,题中两式相加等于0,所以只能是0+0=0
所以b+3=0 b=-3 ; a-5=0 a=5
3、立方根
一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方,a叫做被开方数
表示方法:记作
性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;
数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法(判断实数哪个大哪个小的方法有)
(1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:设a、b是实数,
(3)求商比较法:设a、b是两正实数,
(4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。
(5)平方法:设a、b是两负实数,则。
五、算术平方根有关计算(二次根式)
1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数,也就是大于等于0
2、性质:
(1)
(2)
(3) ()
(4) ()
3、运算结果若含有“”形式,必须是最简二次根式,也就是须满足:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
六、实数的运算
(1)六种运算:加、减、乘、除、乘方、开方
(2)实数的运算顺序
先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
七、完全平方公式:(a+b)²=a²+2ab+b² 或者(a-b)²=a²-2ab+b²
平方差公式: a ²-b ²=(a +b)(a -b)
相互转化: a ²+b ²=(a+b)²-2ab =(a-b)²+2ab
例题:a ²-6a+9= a ²-6a+3²=(a-3)² 把9看成3²
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第三章 位置的确定
一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
在直角坐标系中,对于平面上的任意一点,都有唯一的一个有序实数对(即点的坐标)与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都有平面上唯一的一点与它对应。
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
4、不同位置的点的坐标的特征
(1)、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限(1,2)
点P(x,y)在第二象限(-1,2)
点P(x,y)在第三象限(-1,-2)
点P(x,y)在第四象限(1,-2)
(2)、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点
(3)、平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
(4)、平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)
(6)、点到坐标轴及原点的距离
1)点P(x,y)到x轴的距离等于
2)点P(x,y)到y轴的距离等于
3)点P(x,y)到原点的距离等于
三、坐标变化与图形变化的规律:
坐标( x , y )的变化
图形的变化
x ×( -1)或 y ×( -1)
关于 y 轴或 x 轴对称
x ×( -1), y ×( -1)
关于原点成中心对称
x +a或 y+ a
沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位
x +a, y+ a
沿 x 轴平移 a个单位,再沿 y 轴平移 a个单
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第四章 一次函数
一、函数:
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x与y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
常量:有些量的数值是始终不变的,我们称它为常量
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
三、函数的三种表示法及其优缺点
(1)关系式(解析)法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成(k,b为常数,k0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。
特别地,当一次函数中的b=0时(即y=kx)(k为常数,k0),称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数的图像是经过点(0,b)的直线;
正比例函数的图像是一条经过原点(0,0)的直线,因此只要再确定一个点,过这点与原点(0,0)画直线就可以了。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
(与y轴相交的点)
k>0
b>0
y
0 x
图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。
b<0
y
0 x
图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。
K<0
b>0
y
0 x
图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小
b<0
y
0 x
图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。
注:当b=0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6、一次函数解析式的确定
一般地,当一次函数的函数值为0时,相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解。从图象上看,一次函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解。
例题:1.已知一次函数y=kx+b图象经过点(-1,1)和点(2,7),
求这个一次函数的解析表达式。
将点(-1,1)和点(2,7)代入解析式得:
-k+b=1
2k+b=7
解得k=2 b=3
一次函数的解析表达式为:y=2x+3。
(注:学会画一次函数图象,从图象上看图解题。)
第五章、二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法
6、一次函数与二元一次方程(组)的关系:
(1)一次函数与二元一次方程的关系:
直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解
(2)一次函数与二元一次方程组的关系:
二元一次方程组 的解可看作两个一次函数
和 的图象的交点。
当函数图象有交点时,说明相应的二元一次方程组有解;当函数图象(直线)平行即无交点时,说明相应的二元一次方程组无解。
第六章、数据的分析
1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量:平均数 、众数、中位数
2、平均数
(1)平均数:一般地,对于n个数我们把叫做这n个数的算术平均数,简称平均数,记为。
(2)加权平均数:
3、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
4、中位数
一般地,将一组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
第七章、平行线的证明
一、命题 :判断一件事情的句子。
如果一个句子没有对某一件事情做出任何判断,那么它就不是命题。每个命题都由
条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推论出的事项。命题通常可以写成“如果。。。。。那么。。。。”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。
正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题。
公认的真命题称为真理。演绎推理的过程称为证明,经历证明的真命题称为定理。
二、平行线的判定
1、 平行线的判定公理
(1).两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
(2).两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
注意:证明两直线平行,关键是找到与特征结论相关的角.
2、 平行线的性质.
定理:两直线平行,同位角相等.
定理:两直线平行,内错角相等.
定理:两直线平行,同旁内角互补
定理:平行于同一条直线的两条直线平行
三、三角形的内角和定理
1、三角形内角和定理:三角形内角和等于180º
2、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
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