2020八年级数学上册第十一章三角形11 3页

第十一章 ‎11.3.2‎多边形的内角和 知识点1：多边形的内角和 ‎(1)多边形的内角和:n边形内角和等于(n-2)×180°.‎ ‎(2)多边形的内角和的推导方法有很多,但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的,即利用多边形对角线或对角线的一部分,可以把多边形分割成若干个小三角形,再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和. 这种转化是化归思想的体现,也是解决多边形问题的基本思想.下面提供三种方法:‎ ‎                       ‎ ‎   (1)                        (2)                       (3)‎ 方法一:教材中所提供的方法如图 (1)所示,以多边形的某一个顶点为端点,与其他顶点相连接构成多边形的对角线,把多边形分割成(n-2)个小三角形.‎ 方法二:如图 (2)所示,在n边形中,取某边上一点(非顶点)为端点,与其他顶点相连,把多边形分割成(n-1)个小三角形.‎ 方法三:如图 (3)所示,在n边形的内部任取一点,与多边形的各顶点相连,把多边形分割成n个小三角形.‎ 关键提醒:多边形的内角和与边数有关,边数每增加一条,则内角和就增加180°.‎ 知识点2：多边形的外角和 ‎ ‎(1)多边形的外角和:任意多边形的外角和都等于360°.‎ 3‎ ‎(2)多边形外角和定理的证明:多边形每个内角与它相邻的外角都是邻补角,所以n边形的内角和加外角和为n· 180°,外角和等于n· 180°-(n-2)180°=360°.‎ 归纳整理:1. 多边形外角和都等于360°,与边数多少无关.‎ ‎2. 外角和定理的作用:‎ ‎(1)已知各相等外角度数求多边形边数;‎ ‎(2)已知多边形边数求各相等的外角度数.‎ ‎(3)通常与正多边形的知识连用求其内角度数或者外角的度数. 正n边形其外角和为360°,所以正n边形外角度数都相等且为,与外角相邻的内角的度数为180°- .‎ 考点1：多边形内角和的计算 ‎【例1】两个正多边形的边数之比为1∶2,内角和之比为3∶8,求这两个多边形的边数、内角和.‎ 解:设这两个正多边形的边数分别为n和2n条.‎ 根据多边形的内角和公式,得两多边形的内角和分别为(n-2)·180°和(2n-2)·180°.‎ 由于两内角和度数之比为3∶8,因此=,‎ 解得n=5.‎ ‎(n-2)·180°=540°,(2n-2)·180°=1440°.‎ 因此这两个多边形分别是五边形和十边形,内角和分别为540°和1440°.‎ 点拨:由于正多边形的每一个内角都相等,从而可建立方程.‎ 考点2：多边形内角和的应用 ‎【例2】小华想:2010年世博会在上海举行,设计一个内角和是2010°的多边形图案多有意义,她的想法能实现吗?说说理由.‎ 解:小华的想法不能实现.因为多边形的内角和为(n-2)·180°,一定是180°的整数倍,而2010不能被180整除,所以不可能有内角和为2010°的多边形,因此她的想法是不能实现的.‎ 点拨:观察多边形的内角和公式(n-2)·180°,发现多边形的内角和一定是180°的整数倍.‎ 考点3：多边形外角和的应用 ‎【例2】正多边形的一个外角等于30°,则这个多边形的边数为(　　).‎ 3‎ A. 6         B. 9         C. 12       D. 15‎ 答案:C.‎ 点拨:根据多边形的外角和为360°,正多边形的每一外角都相等,用360÷30即可求出边数﹒‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 3‎