2020八年级数学上册第12章全等三角形12 17页

‎12.3 角的平分线的性质 学校：___________姓名：___________班级：___________‎ 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．如图，△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，则下列结论中正确有（　　）个．‎ ‎（1）DE=DF；（2）AD⊥BC；（3）AE=AF；（4）∠EDA=∠FDA；（5）AB=AC；（6）∠B=∠C；（7）BD=CD．‎ A．3 B．‎4 ‎C．6 D．7‎ ‎2．如图，∠1=∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D、E，则下列结论中错误的是（　　）‎ A．PD=PE B．BD=BE C．∠BPD=∠BPE D．BP=BE ‎3．点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（　　）‎ A．BC的中线上 B．BC边的垂直平分线上 C．BC边的高线上 D．∠A的平分线所在的直线上 ‎4．如图，有三条公路l1、l2、l3两两相交，要选择一地点建一座加油站，使加油站到三条公路的距离相等，不考虑其他因素，则符合条件的地点有（　　）个 A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎5．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）‎ 17‎ A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE ‎6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=‎6cm则PD的长可以是（　　）‎ A．‎3cm B．‎4cm C．‎5cm D．‎‎7 cm ‎7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：‎ ‎①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；‎ 其中正确的是（　　）个．‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎8．下列画图的语句中，正确的为（　　）‎ A．画直线AB=‎‎10cm B．画射线OB=‎‎10cm C．延长射线BA到C，使BA=BC D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交 ‎9．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：‎ ‎①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，‎ 四个结论中成立的是（　　）‎ 17‎ A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③‎ ‎10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 ‎11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（　　）‎ A．9 B．‎8 ‎C．7 D．6‎ ‎12．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）‎ A．1：2：3 B．2：3：‎4 ‎C．3：4：5 D．4：5：6‎ ‎13．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若BC=15，则点D到线段AB的距离等于（　　）‎ A．6 B．‎5 ‎C．8 D．10‎ 17‎ ‎14．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（　　）‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎15．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．‎ 如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）‎ A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎16．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果　 　，那么　 　．‎ ‎17．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∠BOC=20°，则∠AOB=　 　．‎ 17‎ ‎18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是　 　．‎ ‎19．如图l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　 　处．‎ ‎20．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎21．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．‎ 已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．‎ 求证：AM、BN、CP交于一点．‎ 证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．‎ ‎∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（　 　），‎ ‎∴OE=OF（　 　）．‎ 同理，OD=OF．‎ ‎∴OD=OE（　 　）．‎ ‎∵CP是∠ACB的平分线（　 　），‎ 17‎ ‎∴O在CP上（　 　）．‎ 因此，AM，BN，CP交于一点．‎ ‎22．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．‎ ‎23．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．‎ 求证：∠OAB=∠OBA．‎ ‎24．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．‎ 17‎ 求证：AB=AC．‎ ‎25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．‎ 求证：DE=BF．‎ ‎　‎ 17‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共15小题）‎ ‎1．‎ 解：∵在△ADE和△ADF中AD为公共边，‎ 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，‎ ‎∴△AED≌△ADF，‎ ‎∴DE=DF，AE=AF，∠EDA=∠FDA，‎ 故（1）（3）（4）正确．‎ 要想证得（2）（5）（6）（7）那就要求△ABC为等腰三角形，但是已知条件没有，从已知条件中也不能证得．‎ ‎∴只有三个答案是正确的．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．‎ 解：由题意可得，∵∠1=∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，∴∠BPD=∠BPD，‎ 又BP为公共边，∴Rt△BPE≌Rt△BPD，‎ ‎∴PD=PE，BD=BE，‎ 所以D错，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．‎ 解：∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，‎ ‎∴点D应在∠A的平分线上．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．‎ 解：如图所示：‎ 符合条件的地点有4个，‎ 故选：D．‎ 17‎ ‎　‎ ‎5．‎ 解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．‎ A、OE是∠AOB的平分线，A正确；‎ B、OC=OD，B正确；‎ C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；‎ D、∠AOE=∠BOE，D正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．‎ 解：作PD⊥OA于D，‎ ‎∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，‎ ‎∴PD=PC=6cm，‎ 则PD的最小值是6cm，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．‎ 解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，‎ ‎∴CD=DE，故①正确；‎ 在Rt△ACD和Rt△AED中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），‎ ‎∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，‎ ‎∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；‎ AD平分∠CDE，故④正确；‎ 17‎ ‎∵∠B+∠BAC=90°，‎ ‎∠B+∠BDE=90°，‎ ‎∴∠BDE=∠BAC，故③正确；‎ 综上所述，结论正确的是①②③④共4个．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．‎ 解：A、错误．直线没有长度；‎ B、错误．射线没有长度；‎ C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；‎ D、正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．‎ 解：过E作EF⊥AD于F，如图，‎ ‎∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，‎ ‎∴Rt△AEF≌Rt△AEB ‎∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；‎ 而点E是BC的中点，‎ ‎∴EC=EF=BE，所以③错误；‎ ‎∴Rt△EFD≌Rt△ECD，‎ ‎∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；‎ ‎∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；‎ ‎∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．‎ 故选：A．‎ 17‎ ‎　‎ ‎10．‎ 解：∵AD平分∠BAC ‎∴∠DAC=∠DAE ‎∵∠C=90°，DE⊥AB ‎∴∠C=∠E=90°‎ ‎∵AD=AD ‎∴△DAC≌△DAE ‎∴∠CDA=∠EDA ‎∴①AD平分∠CDE正确；‎ 无法证明∠BDE=60°，‎ ‎∴③DE平分∠ADB错误；‎ ‎∵BE+AE=AB，AE=AC ‎∴BE+AC=AB ‎∴④BE+AC=AB正确；‎ ‎∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B ‎∴∠BDE=∠BAC ‎∴②∠BAC=∠BDE正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．‎ 解：过D作DF⊥AC于F，‎ ‎∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，‎ ‎∴DE=DF=2，‎ ‎∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，‎ ‎∵△ABC的面积为10，‎ ‎∴△ADC的面积为10﹣4=6，‎ ‎∴AC×DF=6，‎ 17‎ ‎∴AC×2=6，‎ ‎∴AC=6‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．‎ 解：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，‎ ‎∵三条角平分线交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，‎ ‎∴OD=OE=OF，‎ ‎∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=4：5：6，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎13．‎ 解：作DE⊥AB于E，‎ ‎∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，‎ ‎∴DE=DC，‎ ‎∵∠C=90°，∠BAC=60°，‎ ‎∴∠B=30°，‎ ‎∴DE=BD，‎ ‎∴CD=BC=5，‎ 故选：B．‎ 17‎ ‎　‎ ‎14．‎ 解：如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，‎ ‎∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB，‎ ‎∴PF=PE，‎ 同理可得PG=PE，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴点F、P、G三点共线，‎ ‎∴FG的长即为AD、BC间的距离，‎ ‎∴平行线AD与BC间的距离为3+3=6，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎15．‎ 解：（1）如图所示：过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，‎ ‎∵两把完全相同的长方形直尺，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），‎ 故选：A．‎ 17‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题）‎ ‎16．‎ 解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．‎ ‎　‎ ‎17．‎ 解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=20°，‎ ‎∴∠AOB=40°‎ 故答案为40°．‎ ‎　‎ ‎18．‎ 解：作DE⊥AB于E，‎ 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，‎ ‎∵∠C=90°，DE⊥AB，‎ ‎∴DE=DC=4，‎ ‎∴△ABD的面积=×AB×DE=30，‎ 故答案为：30．‎ ‎　‎ 17‎ ‎19．‎ 解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．‎ 故答案为：4‎ ‎　‎ ‎20．‎ 解：作DF⊥AC于F，‎ ‎∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎∴DF=DE=2，‎ ‎∴△ADC的面积=×AC×DF=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ 三．解答题（共5小题）‎ ‎21．‎ 证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．‎ ‎∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），‎ ‎∴OE=OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．‎ 同理，OD=OF．‎ ‎∴OD=OE（等量代换）．‎ ‎∵CP是∠ACB的平分线（已知），‎ 17‎ ‎∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．‎ 因此，AM，BN，CP交于一点；‎ 故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．‎ ‎　‎ ‎22．‎ 解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，‎ ‎∴DE=DF，‎ ‎∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，‎ ‎∴×6×DE+×8×DF=28，‎ ‎∴7DE=28．‎ ‎∴DE=4．‎ ‎　‎ ‎23．‎ 证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，‎ ‎∴AM=BM，‎ 在Rt△AOM和Rt△BOM中，，‎ ‎∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），‎ ‎∴OA=OB，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA．‎ ‎　‎ ‎24．‎ 证明：在Rt△BOF和Rt△COE中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△BOF≌Rt△COE，‎ ‎∴∠FBO=∠ECO，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠CBO=∠BCO，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB，‎ 17‎ ‎∴AB=AC．‎ ‎　‎ ‎25．‎ 证明：∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵DE⊥AC，∠ABC=90°‎ ‎∴DE=BD，∠3=∠4，‎ ‎∵BF∥DE，‎ ‎∴∠4=∠5，‎ ‎∴∠3=∠5，‎ ‎∴BD=BF，‎ ‎∴DE=BF．‎ ‎　‎ 17‎