初中数学8年级教案：第11讲 特殊的平行四边形（上） 9页

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目：‎ 授课日期 ‎××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 特殊的平行四边形（上）‎ 教学内容 ‎1．理解矩形、菱形的概念，知道它们之间的关系以及它们与平行四边形的关系；‎ ‎2．掌握矩形、菱形的性质与判定并能运用这些性质与判定进行有关的证明和计算．‎ ‎（此环节设计时间在10-15分钟）‎ 教法说明：首先回顾上次课的预习思考内容，归纳总结矩形和菱形的性质与判定．‎ ‎1．回顾矩形和菱形除了具备平行四边形的性质以外的特殊性质，完成下表；‎ 边 角 对角线 对称性 矩形 四个角都是直角 对角线相等 轴对称 菱形 四条边都相等 对角线互相垂直 每一条对角线平分一组对角 轴对称 ‎2．总结一下矩形和菱形的判定，完成下表；‎ 矩形的判定 菱形的判定 四边形矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 四边形菱形 四条边相等的四边形是菱形 平行四边形矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 平行四边形菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ‎1．下列命题中，假命题是（              ） ‎ A、矩形的两条对角线互相平分且相等； ‎ B、菱形的对角线互相平分且垂直； ‎ C、矩形的两条对角线把矩形分成四个直角三角形；‎ D、菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形.‎ ‎2．在线段、平行四边形、等边三角形、菱形、角、等腰三角形、矩形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（　　 ） A、2个　　 B、3个　 　 C、4个　　 D、5个 ‎3．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是  （        ）‎ A、测量对角线是否相互平分                   B、测量两组对边是否分别相等 C、测量一组对角是否都为直角                 D、测量其中三角形是否都为直角 ‎4．下列图形中不一定是菱形的是 （          ）‎ A、两条对角线互相垂直平分的四边形        B、四条边相等的四边形 C、有一条对角线平分一个内角的平行四边形  D、一组邻边相等的四边形 ‎5．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABE，△BCF，△ACD．‎ 请回答下列问题：‎ ‎（1）四边形ADFE是什么四边形？‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？‎ ‎（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？‎ 参考答案：1．C； 2．B； 3．D； 4．D； 5．（1）平行四边形；（2）∠BAC＝150°；（3）AB＝AC；‎ ‎（此环节设计时间在50-60分钟）‎ 例题1：已知：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠AOD＝120°，求：∠BOE 教法说明：由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，得到等边三角形OAB，推出AB＝OB，求出 ‎∠OAB、∠OBC的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB＝BE，根据三角形的内角和定理即可 参考答案：∠BOE＝75°‎ 例题2：如图，已知矩形的纸片沿对角线折叠，使落在处，边交于，，‎ ‎．（1）求的长； （2）的面积 参考答案：‎ ‎（1）∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的，∴∠C′BD＝∠CBD， ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ‎ ‎∴∠C′BD＝∠EDB， ∴BE＝DE；‎ 设AE＝x，则BE＝BE＝8—x，在Rt△ABE中 ； 解得 ‎（2）△BED的面积为：10‎ 说明：证明BE＝DE还可以通过证明△ABE≌△C’DE 例题3：如图，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别是∠DAB、∠CBA的角平分线，AE、BF交于O点，与DC分别交于E、F两点。‎ ‎（1）求证：DF＝CE；‎ ‎（2）M是边AB上不与端点重合的任意一点，过M作MN//BF，交AE于点N，MG//AE交BF于点G，‎ 求证：四边形MNOG是矩形。‎ 参考答案：‎ ‎（1）∵AE是∠DAB的角平分线 ∴∠EAD＝∠EAB； ∵DC//AB ∴∠AED＝∠EAB ‎∴∠AED＝∠EAD， ∴DA＝DE； 同理：BC＝CF ‎∵BC＝DA， ∴DE＝CF； ∴DF＝EC ‎（2）∵四边形ABCD为平行四边形； ∴∠BAD＋∠ABC＝180°；‎ ‎∵AE、BF分别是∠DAB、∠CBA的角平分线； ∴∠BAD＝2∠EAB，∠ABC＝2∠ABF ‎∴∠EAB＋∠ABF＝90°； ∴∠AOB＝180°—90°＝90°；‎ ‎∵MN//BF,MG//AE； ∴四边形MNOG是平行四边形； ∴四边形MNOG为矩形 例题4：如图，已知菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求：∠CEF 参考答案：‎ 联结AC，在菱形ABCD中，AB＝CB，‎ ‎∵∠B＝60°， ∴∠BAC＝60°，△ABC是等边三角形，‎ ‎∵∠EAF＝60°， ∴∠BAC—∠EAC＝∠EAF—∠EAC，即：∠BAE＝∠CAF，‎ 在△ABE和△ACF中，∠BAE＝∠CAF，AB＝AC，∠B＝∠ACF， ∴△ABE≌△ACF（ASA），‎ ‎∴AE＝AF， 又∠EAF＝∠D＝60°，则△AEF是等边三角形，‎ ‎∴∠AFE＝60°， 又∠AEC＝∠B＋∠BAE＝80°，‎ 则∠CEF＝80°-60°＝20°‎ 例题5：如图，在中，，于，的平分线交于， 于．‎ 求证：四边形是菱形．‎ 参考答案：根据等角对等边可证AD＝AE，根据角平分线定理可得AD＝DF，所以AE＝AD＝DF 由，，可得AD∥DF，所以四边形是菱形 例题6：如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H． ‎ ‎（1）求证：CF＝CH； ‎ ‎（2）如图（2），△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．‎ ‎ 图（1） 图（2）‎ 参考答案：‎ ‎（1）证明：∵AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠D＝∠E＝45°．‎ 在△BCF和△ECH中，∠B＝∠E，BC＝EC，∠BCE＝∠ECH，‎ ‎∴△BCF≌△ECH（ASA）， ∴CF＝CH；‎ ‎（2）四边形ACDM是菱形．‎ 证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCE＝45°， ∴∠ACF＝∠DCH＝45°．‎ ‎∵∠E＝45°， ∴∠ACF＝∠E， ‎ ‎∴AC∥DE，∴∠AMH＝180°—∠A＝135°＝∠ACD，‎ 又∵∠A＝∠D＝45°， ∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），‎ ‎∵AC＝CD， ∴四边形ACDM是菱形．‎ 此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。‎ ‎1．如图，矩形中，，，将其折叠，使其点与点重合，折痕为，求和的长．‎ ‎2．如图，已知在菱形中，与交于点，且，，求 的度数．‎ ‎3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O为边AC的中点，点D为边AB上一点，过点C作AB的平行线，交DO的延长线于点E．‎ ‎（1）证明：四边形ADCE为平行四边形；‎ ‎（2）当四边形ADCE为怎样的四边形时，AD＝BD，并加以证明；‎ 参考答案：‎ ‎1．； 2．30°；‎ ‎3．（1）∵点O为边AC中点，∴AO＝CO ‎ 又∵CE∥AB，∴∠DAC＝∠ECA，∠ADE＝∠CED ‎∴△ADO≌△CEO，∴OD＝OE ‎ ‎ ∴四边形ADCE为平行四边形 ‎ ‎（2）当四边形ADCE为菱形时，AD＝BD， ‎ ‎∵四边形ADCE为菱形，∴AD＝CD，∴∠BAC＝∠ACD ‎ ‎∵∠BAC＋∠B＝90° ，∠BCD＋∠ACD＝90°， ‎ ‎∴∠B＝∠BCD，∴CD＝BD，∴AD＝BD ‎ ‎（此环节设计时间在5-10分钟内）‎ 让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾 ‎【巩固练习】‎ ‎1．矩形对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为2，则其对角线长为 ．‎ ‎2．若矩形的一条内角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的面积为 cm2．‎ ‎3．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ．‎ ‎4．已知菱形的两条对角线长分别是10cm，24cm，那么这个菱形的边长是 cm．‎ ‎5．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E。 　求证：四边形ADCE是矩形；‎ ‎6．△ABC中，AD是中线，将△ADC沿直线AD翻折后点C落在E处，联结BE和DE，若AC＝DC。‎ ‎（1）求证：四边形AEDC是菱形；‎ ‎（2）判断四边形AEBD的形状，并证明你的结论。‎ 参考答案： 1．4； 2．24或40； 3．2或6； 4．13； ‎ ‎5．证明三个角是直角的四边是矩形 ‎6．（1）由翻折的性质：AC＝AE，DC＝DE； ‎ 又∵AC＝DC，∴AC＝DC＝DE＝EA ‎∴四边形AEDC是菱形 ‎（2）四边形AEBD为平行四边形 证明：∵四边形AEDC是菱形 ‎∴AE＝DC，AE∥DC ‎∵BD＝DC ∴AE＝BD ‎∴四边形AEBD为平行四边形 ‎【预习思考】‎ ‎1．在下图箭头上填上适当条件；‎ 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一 ‎2．总结一下正方形所具备的性质：‎ 边 角 对角线 对称性 正方形 ‎ ‎ ‎ ‎