2020春八年级数学下册第18章函数及其图象单元复习习题课件华东师大版 61页

第 18 章 单元复习课 一、一次函数和反比例函数的定义 1. 一次函数的定义 一般地，形如 y=kx+b(k,b 是常数， k≠0) 的函数，叫做一次函数 . (1) 形式： y=kx+b ； (2) 条件： k,b 是常数， k≠0 ； (3) 实质：自变量 x 的指数是 1. 特别地，当 b=0 时，函数 y=kx(k 是常数 ,k≠0) 叫做正比例函数 . 二者的关系如图所示： 2. 反比例函数 一般地，函数 (k 是常数， k≠0) 叫做反比例函数 . (1) 反比例函数的关系式也可以写成 y=kx -1 或 xy=k 的形式 . (2) 比例系数 k≠0 是反比例函数定义的一个重要组成部分 . (3) 自变量ｘ的取值范围是ｘ≠ 0 的一切实数 . (4) 函数ｙ的取值范围也是一切非零实数 . 二、函数的图象和性质 1. 一次函数 (1) 一次函数的图象和性质 注：一次函数的图象是一条直线，根据两点确定一条直线可 得，画一次函数的图象时，只要先确定两点，再连成直线即可 . 画正比例函数的图象时，一般选取 (0,0) 和 (1,k) ；画一次函数 的图象时 , 一般选取 (0,b) 和 (2) 一次函数图象的平移 ①若平面直角坐标系中，两条直线平行，则它们的 k 值相等； ② y=kx+b(k,b 是常数， k≠0) 沿 y 轴向上平移 m(m ＞ 0) 个单位得到 y=kx+b+m ，向下平移 m(m ＞ 0) 个单位得到 y=kx+b-m ； ③ y=kx+b(k,b 是常数， k≠0) 沿 x 轴向左平移 m(m ＞ 0) 个单位得到 y=k(x+m)+b ，向右平移 m(m ＞ 0) 个单位得到 y=k(x-m)+b. (3) 直线 y=kx+b(k,b 是常数， k≠0) 的位置与 k,b 的符号之间的关系 ① ⇔ 直线经过第一、二、三象限； ② ⇔ 直线经过第一、三、四象限； ③ ⇔ 直线经过第一、二、四象限； ④ ⇔ 直线经过第二、三、四象限 . 注：在 y=kx+b(k,b 是常数， k≠0) 中， k 决定直线的倾斜方向及程度： ① k ＞ 0 时，从左向右直线上升； ② k ＜ 0 时，从左向右直线下降 . b 决定直线与 y 轴的交点，直线与 y 轴的交点为 (0 ， b) ： ①当 b ＞ 0 时，直线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上； ②当 b ＜ 0 时，直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上； ③当 b=0 时，直线过原点 . 2. 反比例函数 (1) 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称 . 由于反比例函数中自变量 x≠0, 函数值 y≠0 ，所以，它的图象与 x 轴、 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交 . (2) 反比例函数图象的画法 ( 描点法 ) ： ①列表：自变量的取值，应以 0 为中心，沿 0 的两边取三对 ( 或三对以上 ) 互为相反数的数； ②描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称的性质去找； ③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸 . 注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交 . (3) 反比例函数的性质 注：①描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限 内”，也就是说，研究反比例函数的增减性，只能在每个分支 所在的象限内讨论，尽管这两个分支的增减情况一样，但笼统 地合在一起说就会出现矛盾，就会导致错误 . ② 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数 k 的 符号决定的 . 反过来，由双曲线所在位置或函数的增减性，也可 以推断出 k 的符号 . 如，已知双曲线 (k 是常数， k≠0) 在第 二、四象限，则可知 k<0. (4) 反比例函数中比例系数的几何意义如 图，过反比例函数 (k 是常数 ,k≠0) 图象上任一点 P(x,y) 作 x 轴， y 轴的垂线 PM ， PN ，垂足分别为 M,N, 则所得的矩形 PMON 的面积 S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|. ∵ ∴xy=k. ∴S=|k|. 即过双曲线上任意一点作 x 轴、 y 轴的垂线，所得的矩 形面积为 |k|. 常量变量 函数 表示法 函数图象 实践与探索 解析法 列表法 图象法 一次函数 正比例函数 反比例函数 实际应用 一次函数与一元一次方程 一次函数与一元一次不等式 一次函数与二元一次方程组 函数与方程（组）、不等式的应用 函数关系式 函数的概念与图象 【 相关链接 】 分析函数的相关概念及图象的三个角度 1. 正确区分常量与变量 : 常量与变量是相对于某一个过程而言的 , 同一个变量在不同的过程中可能是常量 , 也可能是变量 ( 如温度在恒温过程中是常量 , 在变温过程中是变量 ) ； 2. 自变量取值范围的求法 :① 根据函数解析式的特点求 . 要求自变量的取值满足表示函数的代数式有意义即可；②根据实际问题的条件或函数图象的特点求 . 要求自变量的取值既要使解析式有意义 , 还要使它表示的实际问题有意义； 3. 函数图象画法 : 函数图象画法的三个步骤是列表、描点、连线；特别注意画有自变量取值范围的函数图象 , 取点应在自变量取值范围内 , 画出满足条件的函数图象 . 【 例 1】(2012· 徳阳中考改编 ) 使函数 有意义的 x 的取值 范围是 ( ) (A)x≥0 (B) (C)x≥0 且 (D) 一切实数 【 教你解题 】 审题 列式求解 结论 自变量的表示形式中有分母，分子是二次根式，需满足分母不为 0 ，分子中被开方数是非负数 . 当 x≥0 且 时， 有意义，故选项 C 正确 . 平面直角坐标系 【 相关链接 】 分析平面直角坐标系的三点认识 1. 象限内点的坐标特点 :“ 一”全正 ,“ 二”负正 ,“ 三”全负 ,“ 四”正负； 2. 对称点的特征 :① 关于 x 轴对称 , 横坐标不变 , 纵坐标互为相反数；②关于 y 轴对称 , 纵坐标不变 , 横坐标互为相反数；③关于原点对称 , 横、纵坐标互为相反数； 3. 点到坐标轴或原点的距离 : 已知点 (x,y), 到 x 轴的距离是 |y|, 到 y 轴的距离是 |x|, 到原点的距离是 【 例 2】(2011· 莆田中考 ) 已知点 P(a,a-1) 在平面直角坐标系的第一象限 , 则 a 的取值范围在数轴上可表示为 ( ) 【 思路点拨 】 【 自主解答 】 选 A.∵ 点 P(a,a-1) 在平面直角坐标系的第一象限 内 ,∴ 解得 a ＞ 1. 一次函数的概念和性质 【 相关链接 】 一次函数的两个要点和五条性质 1. 一次函数 y=kx+b(k ， b 为常数 ,k≠0) 的两个要点 (1) 自变量 x 的指数为 1,(2) 自变量 x 的系数 k 不为 0 ； 2. 一次函数 y=kx+b 的五条性质 (1) 一次函数图象是一条直线 ,|k| 的值越大 , 图象越靠近 y 轴； (2) 当 k ＞ 0 时 , 图象过一、三象限 ,y 随 x 的增大而增大，从左至右图象是上升的 ( 左低右高 ) ； (3) 当 k ＜ 0 时 , 图象过二、四象限 ,y 随 x 的增大而减小，从左至右图象是下降的 ( 左高右低 ) ； (4) 当 b ＞ 0 时 , 与 y 轴的交点 (0,b) 在正半轴；当 b ＜ 0 时 , 与 y 轴的交点 (0,b) 在负半轴；当 b=0 时 , 一次函数就是正比例函数 , 图象是过原点的一条直线； (5) 几条直线互相平行时 ,k 值相等而 b 不相等 . 【 例 3】(2012· 山西中考 ) 如图，一次函数 y=(m-1)x-3 的图象分别与 x 轴、 y 轴的负半轴相交于 A ， B ，则 m 的取值范围是 ( ) (A)m ＞ 1 (B)m ＜ 1 (C)m ＜ 0 (D)m ＞ 0 【 思路点拨 】 【 自主解答 】 选 B. 由函数图象可得函数 y=(m-1)x-3 过二、三、四象限，即 m-1 ＜ 0 ，解得 m ＜ 1 ，故选 B. 一次函数关系式的确定及应用 【 相关链接 】 1. 待定系数法确定一次函数关系式的四个步骤 (1) 设 , 设出一次函数的一般形式； (2) 列 , 根据条件列出方程或方程组； (3) 解 , 解方程或方程组求出待定系数的值； (4) 写出一次函数的关系式 . 2. 应用一次函数解决问题的三个步骤 (1) 分析问题 : 一种类型是从情境中或借助图、表等手段分析题目中的数量关系 , 从而确定函数关系式；再一种类型是根据函数图象 , 获取信息分析数量关系 . (2) 确定模型 : 根据获取到的信息确定一次函数模型 . (3) 解决问题 : 根据题目中的数量关系或者数学模型 , 将具体数字代入 , 从而解决问题 . 【 例 4】(2012· 衢州中考 ) 在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对 A ， B 两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从 A 村向 B 村方向修筑，乙工程队从 B 村向 A 村方向修筑 . 已知甲工程队先施工 3 天，乙工程队再开始施工 . 乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通 . 下图是甲、乙两个工程队修公路的长度 y( 米 ) 与施工时间 x( 天 ) 之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1) 乙工程队每天修公路多少米？ (2) 分别求甲、乙工程队修公路的长度 y( 米 ) 与施工时间 x( 天 ) 之间的函数关系式 . (3) 若该工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？ 【 思路点拨 】 【 自主解答 】 (1)∵720÷(9 － 3) ＝ 120 ， ∴乙工程队每天修公路 120 米 . (2) 设 y 乙 ＝ kx+b ，则 ∴ ∴ y 乙 ＝ 120x － 360. 当 x ＝ 6 时， y 乙 ＝ 360. 设 y 甲 ＝ kx ，则 360=6k ， k ＝ 60 ，∴ y 甲 ＝ 60x. (3) 当 x ＝ 15 时， y 甲 ＝ 900 ， ∴该公路总长为： 720+900 ＝ 1 620( 米 ). 设需 x 天完成，由题意得， (120+60)x ＝ 1 620, 解得 x ＝ 9. 答：需 9 天完成 . 反比例函数的图象与性质 【 相关链接 】 反比例函数图象的三点性质 1. 反比例函数 (k≠0) 的图象是双曲线； 2. 当 k ＞ 0, 双曲线的两支分别位于第一、三象限 , 在每一象限内 y 随 x 的增大而减小； 3. 当 k ＜ 0, 双曲线的两支分别位于第二、四象限 , 在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 . 【 例 5】(2012· 济宁中考 ) 如图是反比例函数 的图象的一个分支，对于给出的下列说法： ①常数 k 的取值范围是 k ＞ 2 ； ②另一个分支在第三象限； ③在函数图象上取点 A(a 1 ， b 1 ) 和点 B(a 2 ， b 2 ) ，当 a 1 ＞ a 2 时，则 b 1 ＜ b 2 ； ④在函数图象的某一个分支上取点 A(a 1 ， b 1 ) 和点 B(a 2 ， b 2 ) ，当 a 1 ＞ a 2 时，则 b 1 ＜ b 2 ， 其中正确的是 ___________( 在横线上填出正确的序号 ). 【 思路点拨 】 【 自主解答 】 由图象知， k-2>0, 所以 k>2,① 正确；反比例函数的图象在一，三象限或二，四象限，所以②正确；若 A,B 在不同的分支，则③不正确；在同一分支上，则一定正确，故④正确 . 答案： ①②④ 反比例函数关系式的确定及应用 【 相关链接 】 1. 待定系数法求关系式的方法 反比例函数 (k≠0) 中只有一个待定系数 , 因此只需找到 一个条件 , 用待定系数法代入即可求出关系式 . 2. 应用反比例函数解决实际问题的两思路 (1) 建立反比例函数模型 . 通过所给变量之间的关系 , 利用 k=xy 求得 k 值 , 求出反比例函数关系式 , 然后解决问题 . (2) 实际问题中的反比例函数 , 其自变量的取值往往受到一定的限制 , 这时其图象通常是双曲线的一支或一段 . 【 例 6】(2011· 郴州中考 ) 用洗衣粉洗衣物时 , 漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系 . 寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服 , 漂洗时 , 小红每次用一盆水 ( 约 10 升 ), 小敏每次用半盆水 ( 约 5 升 ), 如果她们都用了 5 克洗衣粉 , 第一次漂洗后 , 小红的衣服中残留的洗衣粉还有 1.5 克 , 小敏的衣服中残留的洗衣粉还有 2 克 . (1) 请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量 y 与漂洗次数 x 的函数关系式； (2) 当洗衣粉的残留量降至 0.5 克时 , 便视为衣服漂洗干净 , 从节约用水的角度来看 , 你认为谁的漂洗方法值得提倡 , 为什么 ? 【 思路点拨 】 【 自主解答 】 (1) 设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次 数的函数关系式分别为 : 将 分别代入两个关系式得 : 解得 :k 1 =1.5,k 2 =2. ∴ 小红的函数关系式是 小敏的函数关系式是 (2) 把 y=0.5 分别代入两个函数得 : 解得 :x 1 =3,x 2 =4, 10×3=30( 升 ),5×4=20( 升 ). 答 : 小红共用 30 升水 , 小敏共用 20 升水 , 小敏的方法更值得提倡 . 【 命题揭秘 】 从近两年的中考试题看 : 对于这部分知识的考查题型既有选择题、填空题 , 又有难度较大的解答题 . 试题考查的范围不仅有函数的基础知识、基本技能、基本的数学方法 , 对学生灵活运用知识的能力、探索能力和动手操作的实践能力的考查也越来越重视 . 1.(2012· 娄底中考 ) 已知反比例函数的图象经过点 (-1,2) ，则 它的解析式是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【 解析 】 选 B. 设反比例函数的解析式为 ∵反比例函数的 图象经过点 (-1 ， 2) ， ∴ k=xy=-1×2=-2, 故反比例函数的解析式为 2. 在平面直角坐标系中 , 点 O 为原点 , 直线 y=kx+b 交 x 轴于点 A(-2,0), 交 y 轴于点 B. 若△ AOB 的面积为 8, 则 k 的值为 ( ) (A)1 (B)2 (C)-2 或 4 (D)4 或 -4 【 解析 】 选 D.(1) 当点 B 在 y 轴的正 半轴上时，∵△ AOB 的面积为 8, ∴ ×OA×OB=8,∵A(-2,0), ∴OA=2,∴OB=8,∴B(0,8) ∵ 直线 y=kx+b 交 x 轴于点 A(-2,0), 交 y 轴于点 B(0,8). ∴ 解得 : (2) 当点 B 在 y 轴的负半轴上时， ∵△ AOB 的面积为 8, ∴ ×OA×OB=8, ∵A(-2,0),∴OA=2, ∴OB=8,∴B(0,-8). ∵ 直线 y=kx+b 交 x 轴于点 A(-2,0), 交 y 轴于点 B(0,-8). ∴ 解得 : 3.(2012· 万宁中考 ) 函数 自变量 x 的取值范围是 _____. 【 解析 】 根据二次根式的被开方数是非负数，分式有意义的条 件是分母不等于 0, 得 解得 x≥-3 且 x≠1. 答案： x≥-3 且 x≠1 4.(2012· 南京中考 ) 已知一次函数 y=kx+k-3 的图象经过点 (2 ， 3) ，则 k 的值为 ___________. 【 解析 】 将 (2,3) 代入 y=kx+k-3 中，得 3=2k+k-3, 解得 k=2. 答案： 2 5.(2012· 兰州中考 ) 如图，点 A 在双曲线 上，点 B 在双曲线 上，且 AB∥x 轴，点 C 和点 D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩 形，则矩形 ABCD 的面积为 ___________. 【 解析 】 由题意可设 A(a,b),B(c,b), 则 AB=c-a= AD=b, 所以矩形的面积为 :AB · AD= 答案： 2 6.(2012· 益阳中考 ) 反比例函数 的图象与一次函数 y=2x+1 的图象的一个交点是 (1 ， k) ，则反比例函数的关系式是 _______. 【 解析 】 把 (1 ， k) 代入 y=2x+1, 解得 k=3, 所以反比例函数的关系 式是 答案： 7.(2012· 内江中考 ) 如图，已知 A 1 ， A 2 ,A 3 ， … ， A n ， … 是 x 轴上的 点，且 OA 1 =A 1 A 2 =A 2 A 3 =…=A n-1 A n = …=1 ，分别过 A 1 ,A 2 ,A 3 ， … ， A n ， … 作 x 轴的垂线交反比例函数 (x ＞ 0) 的图象于点 B 1 ,B 2 ， B 3 ， … ， B n ， … ，过点 B 2 作 B 2 P 1 ⊥A 1 B 1 于点 P 1 ，过点 B 3 作 B 3 P 2 ⊥A 2 B 2 于点 P 2 ,… 记△ B 1 P 1 B 2 的面积为 S 1 ，△ B 2 P 2 B 3 的面积为 S 2 ， … △B n P n B n+1 的面积为 S n ，则 S 1 +S 2 +S 3 +…+S n =_____. 【 解析 】 S 1 +S 2 +S 3 + … +S n = (A 1 B 1 -A 1 P 1 )×(2-1)+ (A 2 B 2 -A 2 P 2 )×(3-2)+ (A 3 B 3 -A 3 P 3 )×(4-3)+ … + (A n B n -A n P n )×(n+1-n) = (A 1 B 1 -A 1 P 1 +A 2 B 2 -A 2 P 2 +A 3 B 3 -A 3 P 3 + … +A n B n -A n P n )×1 = = = 答案： 8.(2012· 湛江中考 ) 某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后， 2009 年全市荔枝种植面积为 24 万亩 . 调查分析结果显示 , 从 2009 年开始，该市荔枝种植面积 y( 万亩 ) 随着时间 x( 年 ) 逐年成直线上升， y 与 x 之间的函数关系如图所示 . (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式 ( 不必注明自变量 x 的取值范围 ) ； (2) 该市 2012 年荔枝种植面积为多少万亩？ 【 解析 】 (1) 由图象可知函数图象经过点 (2 009 ， 24) 和 (2 011 ， 26) ， 设函数的关系式为 y=kx+b ， 解得： ∴ y 与 x 之间的关系式为 y=x-1 985 ； (2) 令 x=2 012 ， ∴ y=2 012-1 985=27, ∴ 该市 2012 年荔枝种植面积为 27 万亩 . 9.(2012· 江西中考 ) 如图，等腰梯形 ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知 A(-2,0) ， B(6,0) ， D(0,3) ，反比例函数的图象经过点 C. (1) 求点 C 的坐标和反比例函数的关系式； (2) 将等腰梯形 ABCD 向上平移 m 个单位后，使点 B 恰好落在曲线上，求 m 的值 . 【 解析 】 (1) 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E, ∵ 四边形 ABCD 是等腰梯形 , ∴AD=BC,DO=CE,∴△AOD≌△BEC, ∴AO=BE=2,∵BO=6,∴DC=OE=4, ∴C(4 ， 3) ； 设反比例函数的关系式为 (k≠0). 根据题意得 : 解得 k=12 ， ∴反比例函数的关系式为 (2) 将等腰梯形 ABCD 向上平移 m 个单位后得到梯形 A′B′C′D′ ， ∴点 B′(6,m), ∵ 点 B′(6 ， m) 恰好落在双曲线 上 , ∴ 当 x=6 时， 即 m=2.