中考数学 数与式 整式及其运算复习 30页

山西省 数学 第2 节 　整式及其运算 第一章　数与式 1 ． 代数式及求值 (1) 概念：用 __________________________________________ 把数或表示数的 ________ 连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式； (2) 列代数式：找出数量关系 ， 用表示数的字母将它数学化的过程； (3) 代数式的值：用 ________ 代替代数式中的字母 ， 按运算顺序计算出的结果叫代数式的值； (4) 代数式求值的步骤：①化简　②代数值　③计算． 基本运算符号 ( 加、减、乘、除、乘方、开方等 ) 字母 具体数 2 ． 单项式： 由 _______________ 或 _____________ 相乘组成的代数式叫做单项式 ， 所有字母指数的和叫做 ________________ ， ___________________ 叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式． 3 ． 多项式： 由几个 _____________ 组成的代数式叫做多项式 ， __________________________ 叫多项式的次数 ， 一个多项式中的每个单项式叫做多项式的 ____ ， 其中不含字母的项叫做 _________ ． 4 ． 整式： _____________________ 统称为整式． 数与字母 字母与字母 单项式的次数 单项式中的数字因数 单项式相加 多项式里次数最高项的次数 项 常数项 单项式和多项式 5 ． 同类项： 多项式中所含 ________ 相同并且 _______________ 也相同的项 ， 叫做同类项；所有的常数项都是同类项． 6 ． 幂的运算法则 (1) 同底数幂相乘： _________________________________ ； (2) 幂的乘方： _________________________________ ； 字母 相同字母的指数 (a m ) n ＝ a mn (m ， n 都是整数 ， a ≠ 0) a m ·a n ＝ a m ＋ n (m ， n 都是整数 ， a ≠ 0) (ab) n ＝ a n ·b n (n 是整数 ， a≠0 ， b≠0) a m ÷a n ＝ a m － n (m ， n 都是整数 ， a≠0) 指数 (3) 积的乘方： ______________________________________ ； (4) 同底数幂相除： _______________________________________ ． 7 ． 整式加减 整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加 ， 合并为一项 ， 叫做合并同类项 ， 其法则是：几个同类项相加 ， 把它们的系数相加 ， 所得的结果作为系数 ， 字母和字母的 _______ 不变． ma ＋ mb ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd 8 ． 整式乘法 单项式 × 单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式 ， 只在一个单项式里含有的字母 ， 连同它的指数一起作为积的一个因式； 单项式 × 多项式： m(a ＋ b) ＝ ________________ ； 多项式 × 多项式： (a ＋ b)(c ＋ d) ＝ __________________ ． 9 ． 乘法公式 (1) 平方差公式： __________________________ ； (2) 完全平方公式： __________________________ ． (a ＋ b)(a － b) ＝ a 2 － b 2 (a±b) 2 ＝ a 2 ±2ab ＋ b 2 10 ． 整式除法 单项式 ÷ 单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式 ， 对于只在被除式里含有的字母 ， 则连同它的指数作为商的一个因式； 多项式 ÷ 单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式 ， 再把所得的商相加． 1 ． 法则公式的逆向运用 法 则 公式既可正向运用 ， 也可逆向运用．当直接 计 算有 较 大困 难时 ， 考 虑 逆向运用 ， 可起到化 难为 易的功效． 2 ． 整式运算中的整体思想 在 进 行整式运 算或求代数式 值时 ， 若将注意力和着眼点放在 问题 的整体 结 构上 ， 把一些 紧 密 联 系的代数式作 为 一个整体来 处 理． 借助 “ 整体思想 ” ， 可以拓 宽 解 题 思路 ， 收到事半功倍之效．整体思想最典型的是 应 用于乘法公式中 ， 公式中的字母 a 和 b 不 仅 可以表示 单项 式 ， 也可以表示多 项 式 ， 如 (x － 2y ＋ z)(x ＋ 2y － z) ＝ [x － (2y － z)][x ＋ (2y － z)] ＝ x 2 － (2y － z) 2 ＝ x 2 － 4y 2 ＋ 4yz － z 2 . D D B A 6a 4 b 4 B C 4xy － 3y (3) 计算： 3(2xy － y) － 2xy ＝ ___________ ． 【 点评 】 　整式的加减 ， 实质 上就是合并同 类项 ， 有括号的 ， 先去括号 ， 只要算式中没有同 类项 ， 就是最后的 结 果． C D (3) ( 2015 · 河北 ) 老师在黑板上书写了一个正确的演算过程随后用手掌捂住了一个二次三项式 ， 形式如图： ① 求所捂的二次三项式； ② 若 x ＝＋ 1 ， 求所捂二次三项式的值． 【 例 2 】 　若－ 4x a y ＋ x 2 y b ＝－ 3x 2 y ， 则 a ＋ b ＝ ______ ． 【 点评 】 　 (1) 判断同 类项时 ， 看字母和相 应 字母的指数 ， 与系数无关 ， 也与字母的相关位置无关 ， 两个只含数字的 单项 式也是同 类项 ； ( 2) 只有同 类项 才可以合并． 3 A D B A 【 点评 】 　 (1) 幂 的运算法 则 是 进 行整式乘除法的基 础 ， 要熟 练 掌握 ， 解 题时 要明确运算的 类 型 ， 正确运用法 则 ； ( 2) 在运算的 过 程中 ， 一定要注意指数、系数和符号的 处 理． D B 【 点评 】 　注意多 项 式乘多 项 式的运算中要做到不重不漏 ， 应 用乘法公式 进 行 简 便 计 算 ， 另外去括号 时 ， 要注意符号的 变 化 ， 最后把所得式子化 简 ， 即合并同 类项 ， 再代 值 计 算． [ 对应训练 ] 4 ． ( 2015 · 北京 ) 已知 2a 2 ＋ 3a － 6 ＝ 0. 求代数式 3a(2a ＋ 1) － (2a ＋ 1)(2a － 1) 的值． 解： ∵ 2a 2 ＋ 3a － 6 ＝ 0 ， 即 2a 2 ＋ 3a ＝ 6 ， ∴ 原式＝ 6a 2 ＋ 3a － 4a 2 ＋ 1 ＝ 2a 2 ＋ 3a ＋ 1 ＝ 6 ＋ 1 ＝ 7 D 【 例 5 】 　 (1) ( 2015 · 遵义 ) 下列运算正确的是 ( ) A ． 4a － a ＝ 3 B ． 2(2a － b) ＝ 4a － b C ． (a ＋ b) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 D ． (a ＋ 2)(a － 2) ＝ a 2 － 4 (2) ( 2015 · 邵阳 ) 已知 a ＋ b ＝ 3 ， ab ＝ 2 ， 则 a 2 ＋ b 2 的值为 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 C 【 点评 】 　 (1) 在利用完全平方公式求 值时 ， 通常用到以下几种 变 形： ① a 2 ＋ b 2 ＝ (a ＋ b) 2 － 2ab ； ② a 2 ＋ b 2 ＝ (a － b) 2 ＋ 2ab ； ③ (a ＋ b) 2 ＝ (a － b) 2 ＋ 4ab ； ④ (a － b) 2 ＝ (a ＋ b) 2 － 4ab. 注意公式的 变 式及整体代入的思想． (2) 算式中的局部直接使用乘法公式、 简 化运算 ， 任何 时 候都要遵循先化 简 ， 再求 值 的原 则． － 3 [ 对应训练 ] 5 ． (1) ( 2015 · 衡阳 ) 已知 a ＋ b ＝ 3 ， a － b ＝－ 1 ， 则 a 2 － b 2 的值为 __________ ． (2) ( 2014 · 广州 ) 已知多项式 A ＝ (x ＋ 2) 2 ＋ (1 － x)(2 ＋ x) － 3. ① 化简多项式 A ； ②若 (x ＋ 1) 2 ＝ 6 ， 求 A 的值． 试题 　计算： ① x 3 ·x 5 ； ② x 4 ·x 4 ； ③ (a m ＋ 1 ) 2 ； ④ ( － 2a 2 ·b) 2 ； ⑤ (m － n) 6 ÷(n － m) 3 . 错解 　 ① x 3 ·x 5 ＝ x 3 × 5 ＝ x 15 ； ② x 4 ·x 4 ＝ 2x 4 ； ③ (a m ＋ 1 ) 2 ＝ a 2m ＋ 1 ； ④ ( － 2a 2 ·b) 2 ＝－ 2 2 a 4 b 2 ； ⑤ (m － n) 6 ÷(n － m) 3 ＝ (m － n) 6 － 3 ＝ (m － n) 3 . 剖析 　 幂 的四种运算 ( 同底数幂相乘、 幂 的乘方、 积 的乘方、同底数 幂 相除 ) 是学 习 整式乘除的基 础 ， 对幂 运算的性 质 理解不深刻 ， 记忆 不牢固 ， 往往会出 现这样 或那 样 的 错误．针对 具体 问题 要分清 问题 所 对应 的基本形式 ， 以便合理运用法 则 ，对 符号的 处 理 ，应 特 别 引起重 视． 正解 　解：① x 3 ·x 5 ＝ x 3 ＋ 5 ＝ x 8 ；② x 4 ·x 4 ＝ x 4 ＋ 4 ＝ x 8 ；③ (a m ＋ 1 ) 2 ＝ a (m ＋ 1)×2 ＝ a 2m ＋ 2 ；④ ( － 2a 2 ·b) 2 ＝ ( － 2) 2 a 4 b 2 ＝ 4a 4 b 2 ；⑤ (m － n) 6 ÷(n － m) 3 ＝ (n － m) 6 ÷(n － m) 3 ＝ (n － m) 3 5 解：化简得 2ab ， 值为－ 3