初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第四章 统计与概率 聚焦中考第四章第15讲数据的收集与整理 37页

人教 数 学 第四章　统计与概率 第 15 讲　数据的收集与整理 要点梳理 1 ． 数据收集的途径 (1) 直接手段： 等． (2) 间接途径： 等． 2 ． 数据整理的方法 等． 调查、观察、测量、实验 查阅文献资料、使用互联网查询 分类、排序、分组、编码 要点梳理 3 ． 平均数、总体、个体、样本及样本容量 (1) 总体：把 的全体叫总体． (2) 个体： 叫做个体． (3) 样本：从总体中所抽取的 叫做 总体的一个样本． (4) 样本容量：样本中 叫做样本容量． 所要考察对象 每一个考察对象 一部分个体 个体的数目 要点梳理 ( 5 ) 平均数：一般地 ， 如果有 n 个数 x 1 ， x 2 ， x 3 ， … ， x n ， 那么平均数 x ＝ 1 n ( x 1 ＋ x 2 ＋ x 3 ＋ … ＋ x n ) ． 如果在 n 个数据中 ， x 1 出现了 f 1 次 ， x 2 出现了 f 2 次 ， … ， x k 出现了 f k 次 ， 那么 x ＝ x 1 f 1 ＋ x 2 f 2 ＋ … ＋ x k f k n . ( f 1 ＋ f 2 ＋ … ＋ f k ＝ n ) 要点梳理 4 ． 众数与中位数 在一组数据中 ， 出现次数最多的那个数据叫做这组数据的 ．将一组数据按大、小依次排列 ， 把排在正中间的一个数据称为 ．但中位数并不一定是数据中的一个数．当数据的个数是偶数个时 ， 最中间有两个数 ， 这两个数的平均数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是奇数个时 ， 中位数是正中间的那个数． 众数 中位数 要点梳理 5 ． 方差 设一组数据 x 1 ， x 2 ， … ， x n 中 ， 各数据与它们的平均数 x 的差的平方分别是 ( x 1 － x ) 2 ， ( x 2 － x ) 2 ， … ， ( x n － x ) 2 . 那么我 们用它的平均数即 s 2 ＝ 1 n [( x 1 － x ) 2 ＋ ( x 2 － x ) 2 ＋ … ＋ ( x n － x ) 2 ] 来衡量一组数据的波动大小 ， 并把它叫做这组数据的方 差 ． 6 ． 由样本特征估计总体特征是统计数据常用的方法 “ 集中 ” 问 “ 三数 ” 平均数、中位数、众数都是数据的代表 ， 它们是 “ 同一家族的三个成员 ” ， 都是用来刻画一组数据的平均水平 ， 表示数据的集中趋势．应用平均数时 ， 所有数据都参与运算 ， 它能充分地利用数据所提供的信息 ， 但当一组数据中存在极大值或极小值时 ， 平均数将不能准确地表示数据的集中情况．应用中位数时 ， 计算较简单 ， 不会受极大值或极小值的影响 ， 但不能充分利用所有数据的信息． 应用众数时 ， 某些情况下 ， 人们最关心、最重视的是出现次数最多的数据 ， 这时应用众数比较简单且能够直接满足人们的需求 ， 但当各个数据的重复次数大致相等时 ， 众数往往没有意义． “ 波动 ” 问 “ 方差 ” 方差是刻画数据离散程度的统计量 ， 能反映一组数据的波动情况． 1 ． ( 2014 · 漳州 ) 中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患 ， 为了解某中学 2500 个学生家长对 “ 中学生骑电动车上学 ” 的态度 ， 从中随机调查 400 个家长 ， 结果有 360 个家长持反对态度 ， 则下列说法正确的是 ( ) A ． 调查方式是普查 B ． 该校只有 360 个家长持反对态度 C ． 样本是 360 个家长 D ． 该校约有 90% 的家长持反对态度 D 2 ． ( 2014 · 盐城 ) 数据－ 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 的平均数是 ( ) A ． － 1 　　　 B ． 0 　　　 C ． 1 　　　 D ． 5 3 ． ( 2014 · 南昌 ) 某市 6 月份某周气温 ( 单位： ℃ ) 为 23 ， 25 ， 28 ， 25 ， 28 ， 31 ， 28. 则这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A ． 25 ， 25 B ． 28 ， 28 C ． 25 ， 28 D ． 28 ， 31 C B 4 ． ( 2014 · 河北 ) 五名学生投篮球 ， 规定每人投 20 次 ， 统计他们每人投中的次数 ， 得到五个数据．若这五个数据的中位数是 6. 唯一众数是 7 ， 则他们投中次数的总和可能是 ( ) A ． 20 B ． 28 C ． 30 D ． 31 B 5 ． ( 2014 · 威海 ) 在某中学举行的演讲比赛中 ， 七年级 5 名参赛选手的成绩如下表所示 ， 请你根据表中提供的数据 ， 计算出这 5 名选手成绩的方差 ( ) 选手 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 平均成绩 得分 90 95 █ 89 88 91 A.2 B ． 6.8 C ． 34 D ． 93 B 选择合适的调查方式 【 例 1】 　 ( 2014 · 内江 ) 下列调查中 ， ① 调查本班同学的视力； ② 调查一批节能灯管的使用寿命； ③ 为保证 “ 神舟 9 号 ” 的成功发射 ， 对其零部件进行检查； ④ 对乘坐某班次客车的乘客进行安检．其中适合采用抽样调查的是 ( ) A ． ① 　　　 B ． ② 　　　 C ． ③ 　　　 D ． ④ B 【 点评 】 　全面调查可以直接获得总体的情况 ， 调查的结果准确 ， 但搜集、整理、计算数据的工作量大；抽样调查的范围小 ， 节省人力、物力 ， 但往往不如全面调查的结果准确．调查范围的大小是相对而言的 ， 类似的问题应联系实际才不会出错． 1 ． ( 2013 · 黔西南州 ) 下列调查中， 可用普查的是 ( ) A ． 了解某市学生的视力情况 B ． 了解某市中学生课外阅读的情况 C ． 了解某市百岁以上老人的健康情况 D ． 了解某市老年人参加晨练的情况 C 平均数、众数、中位数的计算 【 例 2】 　 (1)( 2014 · 孝感 ) 为了解某社区居民的用电情况 ，随机对该社区 10 户居民进行了调查，下表是这 10 户居民 2014 年 4 月份用电量的调查结果： 居民 ( 户 ) 1 3 2 4 月用电量 ( 度 / 户 ) 40 50 55 60 那么关于这 10 户居民月用电量 ( 单位：度 ) ， 下列说法错误的是 ( ) A ． 中位数是 55 B ．众数是 60 C ． 方差是 29 D ．平均数是 54 C (2) ( 2014 · 广安 ) 我市某校举办 “ 行为规范在身边 ” 演讲比赛中 ， 7 位评委给其中一名选手的评分 ( 单位：分 ) 分别为： 9.25 ， 9.82 ， 9.45 ， 9.63 ， 9.57 ， 9.35 ， 9.78. 则这组数据的中位数和平均数分别是 ( ) A ． 9.63 和 9.54 B ． 9.57 和 9.55 C ． 9.63 和 9.56 D ． 9.57 和 9.57 B 【 点评 】 　 平均数、众数、中位数是中考的热点之一 ， 解决这类问题的关键是弄清概念．平均数的大小与一组数据里的每一个数据均有关系 ， 其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动；众数着眼于各数据出现的频率 ， 其大小只与这组数据中的部分数据有关 ， 可以是一个或多个；中位数则与数据的排列位置有关 ， 某些数据的变动对中位数没有影响 ， 计算时要分清数据是奇数个 ， 还是偶数个． 2 ． (1) ( 2014 · 襄阳 ) 五箱梨的质量 ( 单位： kg) 分别为： 18 ， 20 ， 21 ， 18 ， 19 ， 则这五箱梨质量的中位数和众数分别为 ( ) A ． 20 和 18 B ． 20 和 19 C ． 18 和 18 D ． 19 和 18 D ( 2 ) ( 2013· 内江 ) 一组数据 3 ， 4 ， 6 ， 8 ， x 的中位数是 x ， 且 x 是满足不等式组 î í ì x － 3 ≥ 0 ， 5 － x ＞ 0 的整数 ， 则这组数据的 平均数是 __ __ ． 5 方差的计算 【 例 3】 　 (1)( 2014 · 呼和浩特 ) 某校五个绿化小组一天的植树棵数如下： 10 ， 10 ， 12 ， x ， 8. 已知这组数据的平均数是 10 ，那么这组数据的方差是 __ __ ． 1.6 (2) ( 2014 · 重庆 ) 2014 年 8 月 26 日 ， 第二届青奥会将在南京举行 ， 甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运动会积极准备．在某天 “ 110 米跨栏 ” 训练中 ， 每人各跑 5 次 ， 据统计 ， 他们的平均成绩都是 13.2 秒 ， 甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是 0.11 ， 0.03 ， 0.05 ， 0.02. 则当天这四位运动员 “ 110 米跨栏 ” 的训练成绩最稳定的是 ( ) A ． 甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 D 【 点评 】 　理解中位数、方差的概念 ， 灵活运用求平均数、方差的计算公式． 3 ． (1) ( 2014 · 湘潭 ) 为测试两种电子表的走时误差 ， 做了如下统计： 平均数 方差 甲 0.4 0.026 乙 0.4 0.137 则这两种电子表走时稳定的是 __ __ ． 甲 ( 2 ) ( 2013· 常州 ) 已知：甲、乙两组数据的平均数都是 5 ， 甲 组数据的方差 S 甲 2 ＝ 1 12 ， 乙组数据的方差 S 乙 2 ＝ 1 10 ， 下 列结论中正确的是 ( ) A ． 甲组数据比乙组数据的波动大 B ． 乙组数据比甲组数据的波动大 C ． 甲组数据与乙组数据的波动一样大 D ． 甲组数据与乙组数据的波动不能比较 B 利用统计量 ， 解决实际问题 【 例 4】 　 (1)( 2014 · 滨州 ) 有 19 位同学参加歌咏比赛 ，所得的分数互不相同，取得前 10 位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这 19 位同学的 ( ) A ．平均数 B ．中位数 C ．众数 D ．方差 B (2) ( 2014 · 扬州 ) 八 (2) 班组织了一次经典朗读比赛 ， 甲、乙两队各 10 人的比赛成绩如下表 (10 分制 ) ： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 ① 甲队成绩的中位数是 __ 分 ， 乙队成绩的众数是 _ __ 分； ② 计算乙队的平均成绩和方差； ③ 已知甲队成绩的方差是 1.4 分 2 ， 则成绩较为整齐的是 _ _ ． 乙 9.5 10 【 点评 】 　此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义 ， 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列 ， 位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据 ， 注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 4 ． ( 2013 · 遂宁 ) 我市某中学举行 “ 中国梦 · 校园好声音 ” 歌手大赛 ， 高、初中部根据初赛成绩 ， 各选出 5 名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的 5 名选手的决赛成绩 ( 满分为 100 分 ) 如图所示． (1) 根据图示填写上表； 解： ( 1 ) 填表：初中平均数为 ( 75 ＋ 80 ＋ 85 ＋ 85 ＋ 100 ) ＝ 85 ( 分 ) ， 众数 85 ( 分 ) ；高中部中位数 80 ( 分 ) (2) 结合两队成绩的平均数和中位数 ， 分析哪个队的决赛成绩较好； (3) 计算两队决赛成绩的方差 ， 并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 试题　某校七年级六个班的人数依次为 52 人 ， 55 人， 53 人 ， 51 人 ， 54 人 ， 52 人 ， 各班的期末数学平均成绩分别为 95 分 ， 91.5 分 ， 93 分 ， 95 分 ， 91 分 ， 93.5 分 ， 求七年级期末数学考试的平均成绩． 错解 解： x ＝ 1 6 ( 95 ＋ 91.5 ＋ 93 ＋ 95 ＋ 91 ＋ 93.5 ) ≈ 93.2 ( 分 ) 答：七年级期末数学考试的平均成绩为 93.2 分 ． 剖析 　七年级的平均成绩应该是七年级每个学生成绩的平均数 ， 题目已知六个班各班的平均成绩 ， 求这个年级的平均成绩 ， 只需分别求出每个班的总分数 ， 这些总分数的和就是这个年级所有学生成绩的和 ， 再除以年级总人数 ， 就是所求的这个年级的平均成绩 ， 而上面的错解把六个班的平均成绩的平均数误当成年级的平均成绩 ， 导致了错误． 正解 x ＝ 95 × 52 ＋ 91.5 × 55 ＋ 93 × 53 ＋ 95 × 51 ＋ 91 × 54 ＋ 93.5 × 52 52 ＋ 55 ＋ 53 ＋ 51 ＋ 54 ＋ 52 ≈ 93.1( 分 ) 答：该校七年级期末数学考试的平均成绩为 93.1 分．