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- 2021-11-06 发布
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2018年湖南省湘西州中考数学试卷
一、填空题(本大题8小题,每小题4分,共32分)
1.(4.00分)﹣2018的绝对值是 .
2.(4.00分)分解因式:a2﹣9= .
3.(4.00分)要使分式有意义,则x的取值范围为 .
4.(4.00分)“可燃冰”作为新型能源,有着巨大的开发使用潜力,1千克“可燃冰”完全燃烧放出的热量约为420000000焦耳,数据420000000用科学记数法表示为 .
5.(4.00分)农历五月初五为端午节,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.小明妈妈买了3个红豆粽、2个碱水粽、5个腊肉粽,粽子除了内部馅料不同外其他均相同.小明随意吃了一个,则吃到腊肉棕的概率为 .
6.(4.00分)按照如图的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值是 .(用科学计算器计算或笔算)
7.(4.00分)如图,DA⊥CE于点A,CD∥AB,∠1=30°,则∠D= .
8.(4.00分)对于任意实数a、b,定义一种运算:a※b=ab﹣a+b﹣2.例如,2※5=2×5﹣2+5﹣2=11.请根据上述的定义解决问题:若不等式3※x<2,则不等式的正整数解是 .
二、选择题(本大题10小题,每小题4分,共40分,每个小题所给四个选项只有一个正确选项)
9.(4.00分)下列运算中,正确的是( )
A.a2•a3=a5 B.2a﹣a=2 C.(a+b)2=a2+b2 D.2a+3b=5ab
10.(4.00分)如图所示的几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
11.(4.00分)在某次体育测试中,九年级(1)班5位同学的立定跳远成绩(单位:m)分别为:1.8l,1.98,2.10,2.30,2.10.这组数据的众数为( )
A.2.30 B.2.10 C.1.98 D.1.81
12.(4.00分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
13.(4.00分)一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为( )
A.(0,2) B.(0,﹣2) C.(2,0) D.(﹣2,0)
14.(4.00分)下列四个图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
15.(4.00分)已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
16.(4.00分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1,则另一个解为( )
A.1 B.﹣3 C.3 D.4
17.(4.00分)下列说法中,正确个数有( )
①对顶角相等;
②两直线平行,同旁内角相等;
③对角线互相垂直的四边形为菱形;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
18.(4.00分)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O的半径为5,CD=8,则弦AC的长为( )
A.10 B.8 C.4 D.4
三、解答题(本大题8小题,共78分,每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤)
19.(6.00分)计算:+(π﹣2018)0﹣2tan45°
20.(6.00分)解方程组:
21.(8.00分)如图,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE、CE.
(1)求证:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.
22.(8.00分)中华文化源远流长,在文学方面,《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表,被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况,就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中抽取n名学生进行调查.根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图,请结合图中信息解决下列问题:
(1)求n的值;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该校共有2000名学生,请估计该校四大古典名著均已读完的人数.
23.(8.00分)如图,某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点,景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量,C位于A的北偏东60°的方向上,C位于B的北偏东30°的方向上,且AB=10km.
(1)求景点B与C的距离;
(2)为了方便游客到景点C游玩,景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路,不考虑其他因素,求出这条最短公路的长.(结果保留根号)
24.(8.00分)反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象经过点A(1,3)、B(3,m).
(1)求反比例函数的解析式及B点的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标.
25.(12.00分)某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0<a<200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
26.(22.00分)如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a、b为常数,a≠0)与x轴相交于另一点A(3,0).直线l:y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B(5,t),与抛物线的对称轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点P,使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似,求满足条件的点P的坐标;
(3)直线l沿着x轴向右平移得到直线l′,l′与线段OA相交于点M,与x轴下方的抛物线相交于点N,过点N作NE⊥x轴于点E.把△MEN沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上时(图2),求直线l′的解析式;
(4)在(3)问的条件下(图3),直线l′与y轴相交于点K,把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′,点F为直线l′上的动点.当△M'FK′为等腰三角形时,求满足条件的点F的坐标.
2018年湖南省湘西州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题8小题,每小题4分,共32分)
1.(4.00分)﹣2018的绝对值是 2018 .
【分析】根据绝对值的定义即可求得.
【解答】解:﹣2018的绝对值是2018.
故答案为:2018
2.(4.00分)分解因式:a2﹣9= (a+3)(a﹣3) .
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案.
【解答】解:a2﹣9=(a+3)(a﹣3).
故答案为:(a+3)(a﹣3).
3.(4.00分)要使分式有意义,则x的取值范围为 x≠﹣2 .
【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案.
【解答】解:由题意可知:x+2≠0,
∴x≠﹣2
故答案为:x≠﹣2
4.(4.00分)“可燃冰”作为新型能源,有着巨大的开发使用潜力,1千克“可燃冰”完全燃烧放出的热量约为420000000焦耳,数据420000000用科学记数法表示为 4.2×108 .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<
10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【解答】解:420000000=4.2×108.
故答案为:4.2×108
5.(4.00分)农历五月初五为端午节,端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.小明妈妈买了3个红豆粽、2个碱水粽、5个腊肉粽,粽子除了内部馅料不同外其他均相同.小明随意吃了一个,则吃到腊肉棕的概率为 .
【分析】根据题意和题目中的数据可以求得小明随意吃了一个,则吃到腊肉棕的概率.
【解答】解:由题意可得,
小明随意吃了一个,则吃到腊肉棕的概率为:,
故答案为:.
6.(4.00分)按照如图的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值是 2 .(用科学计算器计算或笔算)
【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果.
【解答】解:将x=2代入得:3×(2)2﹣10=12﹣10=2.
故答案为:2.
7.(4.00分)如图,DA⊥CE于点A,CD∥AB,∠1=30°,则∠D= 60° .
【分析】先根据垂直的定义,得出∠BAD=60°,再根据平行线的性质,即可得出∠D的度数.
【解答】解:∵DA⊥CE,
∴∠DAE=90°,
∵∠EAB=30°,
∴∠BAD=60°,
又∵AB∥CD,
∴∠D=∠BAD=60°,
故答案为:60°.
8.(4.00分)对于任意实数a、b,定义一种运算:a※b=ab﹣a+b﹣2.例如,2※5=2×5﹣2+5﹣2=11.请根据上述的定义解决问题:若不等式3※x<2,则不等式的正整数解是 1 .
【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式,解之取其中的正整数即可得出结论.
【解答】解:∵3※x=3x﹣3+x﹣2<2,
∴x<,
∵x为正整数,
∴x=1.
故答案为:1.
二、选择题(本大题10小题,每小题4分,共40分,每个小题所给四个选项只有一个正确选项)
9.(4.00分)下列运算中,正确的是( )
A.a2•a3=a5 B.2a﹣a=2 C.(a+b)2=a2+b2 D.2a+3b=5ab
【分析】根据合并同类项的法则,完全平方公式,同底数幂的乘法的性质,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【解答】解:A、a2•a3=a5,正确;
B、2a﹣a=a,错误;
C、(a+b)2=a2+2ab+b2,错误;
D、2a+3b=2a+3b,错误;
故选:A.
10.(4.00分)如图所示的几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【分析】根据圆锥体的三视图即可得.
【解答】解:圆锥体的主视图是等腰三角形,
故选:C.
11.(4.00分)在某次体育测试中,九年级(1)班5位同学的立定跳远成绩(单位:m)分别为:1.8l,1.98,2.10,2.30,2.10.这组数据的众数为( )
A.2.30 B.2.10 C.1.98 D.1.81
【分析】根据众数的概念解答.
【解答】解:在数据1.8l,1.98,2.10,2.30,2.10中,2.10出现2次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是2.10,
故选:B.
12.(4.00分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B. C. D.
【分析】先定界点,再定方向即可得.
【解答】解:不等式组的解集在数轴上表示如下:
故选:C.
13.(4.00分)一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为( )
A.(0,2) B.(0,﹣2) C.(2,0) D.(﹣2,0)
【分析】代入x=0求出y值,进而即可得出发一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标.
【解答】解:当x=0时,y=x+2=0+2=2,
∴一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为(0,2).
故选:A.
14.(4.00分)下列四个图形中,是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.
【解答】解:D选项的图形是轴对称图形,A,B,C选项的图形不是轴对称图形.
故选:D.
15.(4.00分)已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5,则直线和圆相切.
【解答】解:∵圆心到直线的距离5cm=5cm,
∴直线和圆相切.
故选:B.
16.(4.00分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+
m=0有一个解为x=﹣1,则另一个解为( )
A.1 B.﹣3 C.3 D.4
【分析】设方程的另一个解为x1,根据两根之和等于﹣,即可得出关于x1的一元一次方程,解之即可得出结论.
【解答】解:设方程的另一个解为x1,
根据题意得:﹣1+x1=2,
解得:x1=3.
故选:C.
17.(4.00分)下列说法中,正确个数有( )
①对顶角相等;
②两直线平行,同旁内角相等;
③对角线互相垂直的四边形为菱形;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案.
【解答】解:①对顶角相等,故①正确;
②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,
故选:B.
18.(4.00分)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O的半径为5,CD=8,则弦AC的长为( )
A.10 B.8 C.4 D.4
【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB,结合CD∥AB知AO⊥CD,从而得出CE=4,Rt△COE中求得OE=3及AE=8,在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案.
【解答】解:∵直线AB与⊙O相切于点A,
∴OA⊥AB,
又∵CD∥AB,
∴AO⊥CD,记垂足为E,
∵CD=8,
∴CE=DE=CD=4,
连接OC,则OC=OA=5,
在Rt△OCE中,OE===3,
∴AE=AO+OE=8,
则AC===4,
故选:D.
三、解答题(本大题8小题,共78分,每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤)
19.(6.00分)计算:+(π﹣2018)0﹣2tan45°
【分析】原式利用算术平方根定义,零指数幂法则,以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.
【解答】解:原式=2+1﹣2=1.
20.(6.00分)解方程组:
【分析】①+②求出x,把x=2代入①求出y即可.
【解答】解:①+②得:4x=8,
解得:x=2,
把x=2代入①得:2+y=3,
解得:y=1,
所以原方程组的解为.
21.(8.00分)如图,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE、CE.
(1)求证:△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.
【分析】(1)由全等三角形的判定定理SAS证得结论;
(2)由(1)中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度,结合三角形的周长公式解答.
【解答】(1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,∠A=∠B=90°.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE.
在△ADE与△BCE中,
,
∴△ADE≌△BCE(SAS);
(2)由(1)知:△ADE≌△BCE,则DE=EC.
在直角△ADE中,AE=4,AE=AB=3,
由勾股定理知,DE===5,
∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16.
22.(8.00分)中华文化源远流长,在文学方面,《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表,被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况,就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中抽取n名学生进行调查.根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图,请结合图中信息解决下列问题:
(1)求n的值;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该校共有2000名学生,请估计该校四大古典名著均已读完的人数.
【分析】(1)由读完3部的人数乘以占的百分比求出n的值即可;
(2)求出读完2部的人数,补全条形统计图即可;
(3)求出读完4部的百分比,乘以2000即可得到结果.
【解答】解:(1)根据题意得:30÷30%=100(人),
则n的值为100;
(2)四大古典名著你读完了2部的人数为100﹣(5+15+30+25)=25(人),
补全条形统计图,如图所示:
(3)根据题意得:25%×2000=500(人),
则该校四大古典名著均已读完的人数为500人.
23.(8.00分)如图,某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点,景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量,C位于A的北偏东60°的方向上,C位于B的北偏东30°的方向上,且AB=10km.
(1)求景点B与C的距离;
(2)为了方便游客到景点C游玩,景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路,不考虑其他因素,求出这条最短公路的长.(结果保留根号)
【分析】(1)先根据方向角的定义得出∠CAB=30°,∠ABC=120°,由三角形内角和定理求出∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°,则∠CAB=∠C=30°,根据等角对等边求出BC=AB=10km.;
(2)首先过点C作CE⊥AB于点E,然后在Rt△CBE中,求得答案.
【解答】解:(1)如图,由题意得∠CAB=30°,∠ABC=90°+30°=120°,
∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°,
∴∠CAB=∠C=30°,
∴BC=AB=10km,
即景点B、C相距的路程为10km.
(2)过点C作CE⊥AB于点E,
∵BC=10km,C位于B的北偏东30°的方向上,
∴∠CBE=60°,
在Rt△CBE中,CE=km.
24.(8.00分)反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象经过点A(1,3)、B(3,m).
(1)求反比例函数的解析式及B点的坐标;
(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标.
【分析】(1)先把A点坐标代入y=求出k得到反比例函数解析式;然后把B(3,m)代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标;
(2)作A点关于x轴的对称点A′,连接BA′交x轴于P点,则A′(1,﹣3),利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小,再利用待定系数法求出直线BA′的解析式,然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标.
【解答】解:(1)把A(1,3)代入y=得k=1×3=3,
∴反比例函数解析式为y=;
把B(3,m)代入y=得3m=3,解得m=1,
∴B点坐标为(3,1);
(2)作A点关于x轴的对称点A′,连接BA′交x轴于P点,则A′(1,﹣3),
∵PA+PB=PA′+PB=BA′,
∴此时此时PA+PB的值最小,
设直线BA′的解析式为y=mx+n,
把A′(1,﹣3),B(3,1)代入得,解得,
∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5,
当y=0时,2x﹣5=0,解得x=,
∴P点坐标为(,0).
25.(12.00分)某商店销售A型和B型两种电脑,其中A型电脑每台的利润为400元,B型电脑每台的利润为500元.该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大,最大利润是多少?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调a(0<a<200)元,且限定商店最多购进A型电脑60台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
【分析】(1)根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式;
(2)根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围,再结合(1)所求函数解析式及一次函数的性质求解可得;
(3)据题意得y=(400+a)x+500(100﹣x),即y=(a﹣100)x+50000,分三种情况讨论,①当0<a<100时,y随x的增大而减小,②a=100时,y=50000,③当100<m<200时,a﹣100>0,y随x的增大而增大,分别进行求解.
【解答】解:(1)根据题意,y=400x+500(100﹣x)=﹣100x+50000;
(2)∵100﹣x≤2x,
∴x≥,
∵y=﹣100x+50000中k=﹣100<0,
∴y随x的增大而减小,
∵x为正数,
∴x=34时,y取得最大值,最大值为46600,
答:该商店购进A型34台、B型电脑66台,才能使销售总利润最大,最大利润是46600元;
(3)据题意得,y=(400+a)x+500(100﹣x),即y=(a﹣100)x+50000,
33≤x≤60
①当0<a<100时,y随x的增大而减小,
∴当x=34时,y取最大值,
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大.
②a=100时,a﹣100=0,y=50000,
即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时,均获得最大利润;
③当100<a<200时,a﹣100>0,y随x的增大而增大,
∴当x=60时,y取得最大值.
即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大.
26.(22.00分)如图1,经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a、b为常数,a≠0)与x轴相交于另一点A(3,0).直线l:y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B(5,t),与抛物线的对称轴相交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点P,使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似,求满足条件的点P的坐标;
(3)直线l沿着x轴向右平移得到直线l′,l′与线段OA相交于点M,与x轴下方的抛物线相交于点N,过点N作NE⊥x轴于点E.把△MEN沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上时(图2),求直线l′的解析式;
(4)在(3)问的条件下(图3),直线l′与y轴相交于点K,把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′,点F为直线l′上的动点.当△M'FK′为等腰三角形时,求满足条件的点F的坐标.
【分析】(1)应用待定系数法;
(2)利用相似三角形性质分类讨论求解;
(3)由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°,△EMN为等腰直角三角形,当沿直线l′折叠时,四边形ENE′M为正方形,表示点N、E′坐标带入抛物线解析式,可解;
(4)由(3)图形旋转可知,M′K′⊥直线l′,△M'FK′只能为等腰直角三角形,则分类讨论可求解.
【解答】解:(1)由已知点B坐标为(5,5)
把点B(5,5),A(3,0)代入y=ax2+bx,得
解得
∴抛物线的解析式为:y=
(2)由(1)抛物线对称轴为直线x=,则点C坐标为(,)
∴OC=,OB=5
当△OBA∽△OCP时,
∴
∴OP=
当△OBA∽△OPC时,
∴
∴OP=5
∴点P坐标为(5,0)或(,0)
(3)设点N坐标为(a,b),直线l′解析式为:y=x+c
∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°
∴△MEN为等腰直角三角形.
当把△MEN沿直线l′折叠时,四边形ENE′M为正方形
∴点′E坐标为(a﹣b,b)
∵EE′平行于x轴
∴E、E′关于抛物线对称轴对称
∵
∴b=2a﹣3
则点N坐标可化为(a,2a﹣3)
把点N坐标带入y=
得:
2a﹣3=
解得
a1=1,a2=6
∵a=6时,b=2a﹣3=﹣9<0
∴a=6舍去
则点N坐标为(1,﹣1)
把N坐标带入y=x+c
则c=﹣2
∴直线l′的解析式为:y=x﹣2
(4)由(3)K点坐标为(0,﹣2)
则△MOK为等腰直角三角形
∴△M′OK′为等腰直角三角形,M′K′⊥直线l′
∴当M′K′=M′F时,△M'FK′为等腰直角三角形
∴F坐标为(1,0)或(﹣1,﹣2)
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