2010年湖南省株洲市中考数学试卷 13页

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1、（2010•台州）﹣4的绝对值是（　　）‎ ‎ A、4 B、﹣4‎ ‎ C、2 D、±4‎ 考点：绝对值。‎ 分析：绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是是它的相反数，0的绝对值是0．‎ 解答：解：根据绝对值的性质，得|﹣4|=4．‎ 故选A．‎ 点评：解题关键是掌握化简绝对值的规律．‎ ‎2、（2010•株洲）若分式‎2‎x﹣5‎有意义，则x的取值范围是（　　）‎ ‎ A、x≠5 B、x≠﹣5‎ ‎ C、x＞5 D、x＞﹣5‎ 考点：分式有意义的条件。‎ 分析：要使分式有意义，分式的分母不能为0．‎ 解答：解：∵x﹣5≠0，∴x≠5；‎ 故选A．‎ 点评：解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的值即可．‎ ‎3、（2010•株洲）一组数据：2，2，4，5，6的中位数是（　　）‎ ‎ A、2 B、4‎ ‎ C、5 D、6‎ 考点：中位数。‎ 分析：由于已知数据是由小到大的顺序排列，所以利用中位数的定义即可确定中位数．‎ 解答：解：∵已知数据为2，2，4，5，6，‎ ‎∴中位数为4．‎ 故选B．‎ 点评：此题比较简单，主要利用中位数定义即可以求出结果．‎ ‎4、（2010•株洲）如图是一个几何体的实物图，则其主视图是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：简单组合体的三视图。‎ 分析：找到从正面看所得到的图形即可．‎ 解答：解：从正面看可得到一个矩形和一个下底和矩形相邻的梯形的组合图，故选C．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎5、（2010•株洲）一个一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（　　）‎ ‎ A、﹣1≤x＜3 B、﹣1＜x≤3‎ ‎ C、x≥﹣1 D、x＜3‎ 考点：在数轴上表示不等式的解集。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据点的实心或空心，折线的方向来判断不等号，从而写出解集．‎ 解答：解：由图可知，﹣1处实心且方向向右，3处空心方向向左，所以解集是﹣1≤x＜3 ．‎ 故选A．‎ 点评：不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎6、（2010•株洲）2010年6月5日上海世博园入园参观人数约为470 000人，将这个数用科学记数法表示为4.7×10n，那么n的值为（　　）‎ ‎ A、3 B、4‎ ‎ C、5 D、6‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同：当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：将470 000变化为4.7小数点向左移动了5位，故n的值是5．故选C．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎7、（2010•株洲）某次考试中，某班级的数学成绩统计图如下．下列说法错误的是（　　）‎ ‎ A、得分在70～80分之间的人数最多 B、该班的总人数为40‎ ‎ C、得分在90～100分之间的人数最少 D、及格（≥60分）人数是26‎ 考点：频数（率）分布直方图。‎ 专题：图表型。‎ 分析：观察频率分布直方图，得分在70～80分之间的人数是14人，最多；‎ 该班的总人数为各组人数的和；‎ 得分在90～100分之间的人数最少，只有两人；‎ 及格（≥60分）人数是36人．‎ 解答：解：A、得分在70～80分之间的人数最多，故正确；‎ B、2+4+8+12+14=40（人），该班的总人数为40人，故正确；‎ C、得分在90～100分之间的人数最少，有2人，故正确；‎ D、40﹣4=36（人），及格（≥60分）人数是36人，故D错误，故选D．‎ 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎8、（2010•株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）‎ ‎ A、6 B、7‎ ‎ C、8 D、9‎ 考点：等腰三角形的判定。‎ 专题：分类讨论。‎ 分析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．‎ 解答：‎ 解：如上图：分情况讨论．‎ ‎①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；‎ ‎②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9、（2010•株洲）在：﹣3，0，‎2‎，1四个数中最大的数是 ．‎ 考点：实数大小比较。‎ 分析：由于正数大于所有负数，两个负数绝对值大的反而小，由此进行比较即可．‎ 解答：解：∵正数大于0，∴‎2‎＞1＞0；‎ ‎∵0大于负数，∴0＞﹣3．‎ 故﹣3＜0＜1＜‎2‎．‎ 四个数中最大的数是‎2‎．‎ 点评：此题主要考查了实数的大小比较，实数大小比较法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．‎ ‎10、（2010•株洲）当a=1，b=2时，代数式a2﹣ab的值是 ．‎ 考点：代数式求值。‎ 分析：直接代入求值即可．‎ 解答：解：∵a=1，b=2，‎ ‎∴a2﹣ab=1﹣1×2=﹣1．‎ 点评：考查了代数式求值的方法．‎ ‎11、（2010•株洲）已知一个n边形的内角和是1080°，则n= ．‎ 考点：多边形内角与外角。‎ 分析：直接根据内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解．‎ 解答：解：（n﹣2）•180°=1080°，‎ 解得n=8 ．‎ 点评：主要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：（n﹣2）•180° ．‎ ‎12、（2010•株洲）从：1，2，3，…，19，20这二十个整数中任意取一个数，这个数是3的倍数的概率是 ．‎ 考点：概率公式。‎ 分析：让20个数中3的倍数的个数除以数的总数即为所求的概率．‎ 解答：解：∵1，2，3，…，19，20这二十个整数中，‎ 是3的倍数的有：3、6、9、12、15、18共六个，‎ ‎∴这个数是3的倍数的概率是：‎6‎‎20‎=‎3‎‎10‎．‎ 点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．‎ ‎13、（2010•株洲）二次函数y=x2﹣mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是 ．‎ 考点：二次函数的图象。‎ 分析：由函数图象可知，图象与x轴交点的坐标为（1，0），把此点坐标代入函数解析式即可求解．‎ 解答：解：把（1，0）代入函数解析式得，1﹣m+3=0，‎ 解得：m=4．‎ 点评：此类题可用数形结合的思想进行解答．‎ ‎14、（2010•株洲）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是 cm2．‎ 考点：菱形的性质。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．‎ 解答：解：∵AC=4cm，BD=8cm，‎ ‎∴菱形的面积=‎1‎‎2‎×4×8=16cm2．‎ 故答案为，16．‎ 点评：本题主要考查利用对角线求面积的方法，求菱形的面积用得较多，需要熟练掌握．‎ ‎15、（2010•株洲）两圆的圆心距d=5，它们的半径分别是一元二次方程x2﹣5x+4=0的两个根，这两圆的位置关系是 ．‎ 考点：圆与圆的位置关系；根与系数的关系。‎ 分析：解答此题，先由一元二次方程的两根关系，得出两圆半径之和，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．‎ 解答：解：设两圆半径分别为R、r，依题意得R+r=5，‎ 又圆心距d=5，故两圆外切．‎ 点评：此题综合考查一元二次方程根与系数之间的关系及两圆的位置关系的判断．‎ ‎16、（2010•株洲）已知二次函数y=（x﹣2a）2+（a﹣1）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．右图分别是当a=﹣1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y= ．‎ 考点：二次函数的性质。‎ 分析：已知抛物线的顶点式，写出顶点坐标，用x、y代表顶点的横坐标、纵坐标，消去a得出x、y的关系式．‎ 解答：解：由已知得抛物线顶点坐标为（2a，a﹣1），‎ 设x=2a，y=a﹣1，消去a得，x=2y+2，‎ 即y=‎1‎‎2‎x﹣1．‎ 点评：本题考查了根据顶点式求顶点坐标的方法，消元的思想．‎ 三、解答题（共7小题，满分52分）‎ ‎17、（2010•株洲）（1）计算：（﹣2）2+tan45°+20100‎ ‎（2）在2x2y，﹣2xy2，3x2y，﹣xy四个代数式中，找出两个同类项，并合并这两个同类项．‎ 考点：特殊角的三角函数值；合并同类项；零指数幂。‎ 分析：（1）题涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，可针对各知识点分别进行计算，然后按实数的运算规则进行求解；‎ ‎（2）同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；合并同类项时，系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．‎ 解答：解：（1）原式=4+1+1=6；‎ ‎（2）同类项是：2x2y，3x2y；（2分）‎ ‎（3）合并同类项：2x2y+3x2y=（2+3）x2y=5x2y．（3分）‎ 点评：此题考查了实数的运算及合并同类项的相关知识；所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，不是同类项的不能合并．‎ ‎18、（2010•株洲）老师布置了一个探究活动作业：仅用一架天平和一个10克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量．（注：同种类的每枚硬币质量相同）‎ 聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币，经过探究得到以下两个探究记录：‎ 请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克，一枚伍角硬币多少克？‎ 考点：二元一次方程组的应用。‎ 专题：探究型。‎ 分析：两个等量关系为：5枚壹元硬币质量+10=10枚伍角硬币质量；15枚壹元硬币质量=20枚伍角硬币质量+10．‎ 解答：解：设一枚壹元硬币x克，一枚伍角硬币y克．‎ 依题意得：‎&5x+10=10y‎&15x=20y+10‎，‎ 解得：‎&x=6‎‎&y=4‎．‎ 答：一枚壹元硬币6克，一枚伍角硬币4克．‎ 点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系．‎ ‎19、（2010•株洲）如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．‎ ‎（1）求证：CD=CE；‎ ‎（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．‎ 考点：平行四边形的性质。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）根据DE是∠ADC的角平分线得到∠1=∠2，再根据平行四边形得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据等角对等边即可得证；‎ ‎（2）先根据BE=CE结合CD=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．‎ 解答：证明：（1）如图，在平行四边形ABCD中，‎ AD∥BC得，∠1=∠3‎ 又∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴CD=CE；‎ ‎（2）由平行四边形ABCD得，AB=CD，‎ 又CD=CE，BE=CE，‎ ‎∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA．‎ ‎∵∠B=80°，‎ ‎∴∠BAE=50°，‎ ‎∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．‎ 点评：（1）由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解；‎ ‎（2）根据“BE=CE”得出AB=BE是解决问题的关键．‎ ‎20、（2010•株洲）学校广播站要招聘一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目．按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．‎ 李文和孔明两位同学的各项成绩如下表：‎ ‎（1）计算李文同学的总成绩；‎ ‎（2）若孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩x应超过多少分？‎ 考点：加权平均数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）按照各项目所占比求得总成绩；‎ ‎（2）各项目所占比求得总成绩大于83分即可，列出不等式求解．‎ 解答：解：（1）70×10%+80×40%+88×50%=83（分）；‎ ‎（2）80×10%+75×40%+50%•x＞83，‎ ‎∴x＞90．‎ ‎∴李文同学的总成绩是83分，孔明同学要在总成绩上超过李文同学，则他的普通话成绩应超过90分．‎ 点评：本题综合考查平均数的运用．解题的关键是正确理解题目的含义．‎ ‎21、（2010•株洲）如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上一点，∠ABC=30°，⊙O过点B的切线与CO的延长线交于点D．‎ 求证：（1）∠CAB=∠BOD；‎ ‎（2）△ABC≌△ODB．‎ 考点：切线的性质；全等三角形的判定；圆周角定理。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角及∠ABC=30°可知∠CAB=60°，然后由圆周角定理可知∠AOC=60°，再根据对顶角相等即可解答．‎ ‎（2）根据直角三角形的性质求出AC=OB，再由ASA定理即可求出△ABC≌△ODB．‎ 解答：（1）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，由∠ABC=30°，‎ ‎∴∠CAB=60°，‎ 又OB=OC，‎ ‎∴∠OCB=∠OBC=30°，‎ ‎∴∠BOD=60°，‎ ‎∴∠CAB=∠BOD．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，∠ABC=30°，得AC=‎1‎‎2‎AB，‎ 又OB=‎1‎‎2‎AB，‎ ‎∴AC=OB，‎ 由BD切⊙O于点B，得∠OBD=90°，‎ 在△ABC和△ODB中，‎ ‎∴△ABC≌△ODB．‎ 点评：本题考查了圆的切线性质、直角三角形的性质、三角形全等的判定方法及圆周角定理的相关知识，有一定的综合性，但难度不大．‎ ‎22、（2010•株洲）如图，直角△ABC中，∠C=90°，AB=2‎‎5‎，sinB=‎‎5‎‎5‎，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连接AP．‎ ‎（1）求AC、BC的长；‎ ‎（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．‎ 考点：二次函数的最值；勾股定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）在Rt△ABC中，根据∠B的正弦值及斜边AB的长，可求出AC的长，进而可由勾股定理求得BC的长；‎ ‎（2）由于PD∥AB，易证得△CPD∽△CBA，根据相似三角形得出的成比例线段，可求出CD的表达式，也就求出AD的表达式，进而可以AD为底、PC为高得出△ADP的面积，即可求出关于y、x的函数关系式，根据所得函数的性质，可求出y的最大值及对应的x的值．‎ 解答：解：（1）在Rt△ABC中，sinB=‎‎5‎‎5‎，AB=2‎‎5‎，‎ 得ACAB‎=‎‎5‎‎5‎，‎ ‎∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4；（3分）‎ ‎（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴DCPC‎=ACBC=‎‎1‎‎2‎；‎ 设PC=x，则DC=‎1‎‎2‎x，AD=2﹣‎1‎‎2‎x，‎ ‎∴‎S‎△ADP‎=‎1‎‎2‎AD•PC=‎1‎‎2‎（2﹣‎1‎‎2‎x）•x=﹣‎1‎‎4‎x‎2‎+x=﹣‎1‎‎4‎（x﹣2‎）‎‎2‎+1‎ ‎∴当x=2时，y的最大值是1． （8分）‎ 点评：此题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识．‎ ‎23、（2010•株洲）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：‎ ‎①量得OA=3cm；‎ ‎②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．‎ 请完成下列问题：‎ ‎（1）写出抛物线的对称轴；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F．求证：S梯形EFGH=‎1‎‎6‎‎（EF‎2‎﹣9）‎．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）由于O、A关于抛物线对称轴对称，且OA=3cm，由此可求得抛物线的对称轴为x=‎3‎‎2‎．‎ ‎（2）根据O、A的坐标，可将抛物线解析式设为交点式，在（1）题求得了抛物线的对称轴，即可得到B、C的横坐标，分别代入抛物线的解析式中，表示出它们的纵坐标，根据C、B的纵坐标差为4.5即可列方程求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式．‎ ‎（3）可设出E点的横坐标，进而根据直尺的宽度得到F点的横坐标，根据（2）题所得抛物线，即可表示出两点的纵坐标，利用梯形的面积公式，可求出梯形EFGH的面积表达式，然后同‎1‎‎6‎（EF2﹣9）进行比较即可．‎ 解答：解：（1）x=‎‎3‎‎2‎；‎ ‎（2）设抛物线的解析式为：y=ax（x﹣3），‎ 当x=‎‎3‎‎2‎时，y=﹣‎9‎‎4‎a，即B（‎3‎‎2‎，﹣‎9‎‎4‎a）‎；‎ 当x=‎‎9‎‎2‎时，y=‎27‎‎4‎a，即C（‎9‎‎2‎，‎27‎‎4‎a）‎，‎ 依题意得：‎27‎‎4‎a﹣（﹣‎9‎‎4‎a）=4.5‎，‎ 解得：a=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=‎1‎‎2‎x‎2‎﹣‎3‎‎2‎x；‎ ‎（3）过点E作ED⊥FG，垂足为D，‎ 设E（x，‎1‎‎2‎x‎2‎﹣‎3‎‎2‎x）‎，‎ 则F（x+3，‎1‎‎2‎x‎2‎+‎3‎‎2‎x）‎，‎ 得：S梯形EFGH=‎3‎‎2‎‎（EH+FG）=‎3‎‎2‎•[（‎1‎‎2‎x‎2‎﹣‎3‎‎2‎x）+（‎1‎‎2‎x‎2‎+‎3‎‎2‎x）]=‎‎3‎‎2‎x‎2‎，‎ ‎∵‎1‎‎6‎‎（EF‎2‎﹣9）=‎1‎‎6‎×9x‎2‎=‎‎3‎‎2‎x‎2‎，‎ ‎∴S梯形EFGH=‎1‎‎6‎‎（EF‎2‎﹣9）‎．‎ 点评：此题考查的知识点并不是很多，主要涉及二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，能够从图中获得有效的信息是解决问题的关键．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ Linaliu；zhangCF；lanyuemeng；xinruozai；ling1022；张伟东；py168；MMCH；shenzigang；mama258；lanchong；zhangchao；CJX；bjy；zhjh；huangling。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日