中考卷-2020中考数学试卷（解析版） (6) 16页

1 2020 年贵州省黔东南州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．﹣2020 的倒数是（ ） A．﹣2020 B．﹣ C．2020 D． 【分析】根据倒数的概念解答． 【解答】解：﹣2020 的倒数是﹣ ， 故选：B． 2．下列运算正确的是（ ） A．（x+y）2＝x2+y2 B．x3+x4＝x7 C．x3•x2＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2 【分析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出 答案． 【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误； B、x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误； C、x3•x2＝x5，故此选项错误； D、（﹣3x）2＝9x2，正确． 故选：D． 3．实数 2 介于（ ） A．4 和 5 之间 B．5 和 6 之间 C．6 和 7 之间 D．7 和 8 之间 【分析】首先化简 2 ＝ ，再估算 ，由此即可判定选项． 【解答】解：∵2 ＝ ，且 6＜ ＜7， ∴6＜2 ＜7． 故选：C． 4．已知关于 x 的一元二次方程 x2+5x﹣m＝0 的一个根是 2，则另一个根是（ ） A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：设另一个根为 x，则 x+2＝﹣5， 解得 x＝﹣7． 故选：A． 5．如图，将矩形 ABCD 沿 AC 折叠，使点 B 落在点 B′处，B′C 交 AD 于点 E，若∠l＝25°，则∠2 等于（ ） 2 A．25° B．30° C．50° D．60° 【分析】由折叠的性质可得出∠ACB′的度数，由矩形的性质可得出 AD∥BC，再利用“两直线平行，内错角 相等”可求出∠2 的度数． 【解答】解：由折叠的性质可知：∠ACB′＝∠1＝25°． ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠2＝∠1+∠ACB′＝25°+25°＝50°． 故选：C． 6．桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体 的小正方体的个数最多有（ ） A．12 个 B．8 个 C．14 个 D．13 个 【分析】易得此几何体有三行，三列，判断出各行各列最多有几个正方体组成即可． 【解答】解：底层正方体最多有 9 个正方体，第二层最多有 4 个正方体，所以组成这个几何体的小正方体 的个数最多有 13 个． 故选：D． 7．如图，⊙O 的直径 CD＝20，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，OM：OC＝3：5，则 AB 的长为 （ ） A．8 B．12 C．16 D．2 【分析】连接 OA，先根据⊙O 的直径 CD＝20，OM：OD＝3：5 求出 OD 及 OM 的长，再根据勾股定理可 求出 AM 的长，进而得出结论． 【解答】解：连接 OA， 3 ∵⊙O 的直径 CD＝20，OM：OD＝3：5， ∴OD＝10，OM＝6， ∵AB⊥CD， ∴AM＝ ＝ ＝8， ∴AB＝2AM＝16． 故选：C． 8．若菱形 ABCD 的一条对角线长为 8，边 CD 的长是方程 x2﹣10x+24＝0 的一个根，则该菱形 ABCD 的周 长为（ ） A．16 B．24 C．16 或 24 D．48 【分析】解方程得出 x＝4，或 x＝6，分两种情况：①当 AB＝AD＝4 时，4+4＝8，不能构成三角形；②当 AB＝AD＝6 时，6+6＞8，即可得出菱形 ABCD 的周长． 【解答】解：如图所示： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣10x+24＝0， 因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0， 解得：x＝4 或 x＝6， 分两种情况： ①当 AB＝AD＝4 时，4+4＝8，不能构成三角形； ②当 AB＝AD＝6 时，6+6＞8， ∴菱形 ABCD 的周长＝4AB＝24． 故选：B． 9．如图，点 A 是反比例函数 y═ （x＞0）上的一点，过点 A 作 AC⊥y 轴，垂足为点 C，AC 交反比例函数 y＝ 的图象于点 B，点 P 是 x 轴上的动点，则△PAB 的面积为（ ） 4 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】连接 OA、OB、PC．由于 AC⊥y 轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数 k 的几何意 义得到 S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用 S△PAB＝S△APC﹣S△APB 进行计算． 【解答】解：如图，连接 OA、OB、PC． ∵AC⊥y 轴， ∴S△APC＝S△AOC＝ ×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝ ×|2|＝1， ∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2． 故选：A． 10．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，点 E、F 分别为 BC、AD 的中点．以 C 为圆心， 2 为半径作圆弧 ，再分别以 E、F 为圆心，1 为半径作圆弧 、 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π 【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以 2 为半径的四分之一个圆的面积减去以 1 为半径的半 圆的面积再减去 2 个以边长为 1 的正方形的面积减去以 1 半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， 阴影部分的面积是： •π×22﹣ ﹣2（1×1﹣ •π×12）＝π﹣2， 故选：B． 二．填空题（共 10 小题） 5 11．cos60°＝ ． 【分析】根据记忆的内容，cos60°＝ 即可得出答案． 【解答】解：cos60°＝ ． 故答案为： ． 12．2020 年以来，新冠肺炎橫行，全球经济遭受巨大损失，人民生命安全受到巨大威胁．截止 6 月份，全 球确诊人数约 3200000 人，其中 3200000 用科学记数法表示为 3.2×106 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当 原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：3200000＝3.2×106． 故答案为：3.2×106． 13．在实数范围内分解因式：xy2﹣4x＝ x（y+2）（y﹣2） ． 【分析】本题可先提公因式 x，再运用平方差公式分解因式即可求解． 【解答】解：xy2﹣4x ＝x（y2﹣4） ＝x（y+2）（y﹣2）． 故答案为：x（y+2）（y﹣2）． 14．不等式组 的解集为 2＜x≤6 ． 【分析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组的解 集． 【解答】解：解不等式 5x﹣1＞3（x+1），得：x＞2， 解不等式 x﹣1≤4﹣ x，得：x≤6， 则不等式组的解集为 2＜x≤6， 故答案为：2＜x≤6． 15．把直线 y＝2x﹣1 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则平移后所得直线的解析式为 y ＝2x+3 ． 【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案． 【解答】解：把直线 y＝2x﹣1 向左平移 1 个单位长度，得到 y＝2（x+1）﹣1＝2x+1， 再向上平移 2 个单位长度，得到 y＝2x+3． 6 故答案为：y＝2x+3． 16．抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为 x ＝﹣1，则当 y＜0 时，x 的取值范围是 ﹣3＜x＜1 ． 【分析】根据物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个交点，再 根据抛物线的增减性可求当 y＜0 时，x 的取值范围． 【解答】解：∵物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为 x＝﹣1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0）， 由图象可知，当 y＜0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 17．以▱ ABCD 对角线的交点 O 为原点，平行于 BC 边的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若 A 点坐标为（﹣2，1），则 C 点坐标为 （2，﹣1） ． 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ ABCD 对角线的交点 O 为原点和点 A 的坐标，即可得 到点 C 的坐标． 【解答】解：∵▱ ABCD 对角线的交点 O 为原点，A 点坐标为（﹣2，1）， ∴点 C 的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 18．某校九（1）班准备举行一次演讲比赛，甲、乙、丙三人通过抽签方式决定出场顺序，则出场顺序恰好 是甲、乙、丙的概率是 ． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出场顺序恰好是甲、乙、丙的 情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画出树状图得： 7 ∵共有 6 种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的只有 1 种结果， ∴出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为 ， 故答案为： ． 19．如图，AB 是半圆 O 的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点 O 到 CD 的距离 OE 为 ． 【分析】在等腰△ACD 中，顶角∠A＝30°，易求得∠ACD＝75°；根据等边对等角，可得：∠OCA＝∠A＝ 30°，由此可得，∠OCD＝45°；即△COE 是等腰直角三角形，则 OE＝ ． 【解答】解：∵AC＝AD，∠A＝30°， ∴∠ACD＝∠ADC＝75°， ∵AO＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝30°， ∴∠OCD＝45°，即△OCE 是等腰直角三角形， 在等腰 Rt△OCE 中，OC＝2； 因此 OE＝ ． 故答案为： ． 20．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝ ，E 为 CD 的中点，连接 AE、BD 交于点 P，过点 P 作 PQ⊥BC 于点 Q，则 PQ＝ ． 【分析】根据矩形的性质得到 AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到 DE 8 ＝ CD＝ AB，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°， ∵E 为 CD 的中点， ∴DE＝ CD＝ AB， ∴△ABP∽△EDP， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵PQ⊥BC， ∴PQ∥CD， ∴△BPQ∽△DBC， ∴ ＝ ＝ ， ∵CD＝2， ∴PQ＝ ， 故答案为： ． 三．解答题（共 6 小题） 21．（1）计算：（ ）﹣2﹣| ﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0； （2）先化简，再求值：（ ﹣a+1）÷ ，其中 a 从﹣1，2，3 中取一个你认为合适的数代入求值． 【分析】（1）先算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂，再算加减法即可求解； （2）先通分，把除法转化成乘法，再把分式的分子与分母因式分解，然后约分，最后代入一个合适的数即 可． 【解答】解：（1）（ ）﹣2﹣| ﹣3|+2tan45°﹣（2020﹣π）0 ＝4+ ﹣3+2×1﹣1 ＝4+ ﹣3+2﹣1 ＝2+ ； 9 （2）（ ﹣a+1）÷ ＝ × ＝ ＝﹣a﹣1， 要使原式有意义，只能 a＝3， 则当 a＝3 时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4． 22．某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩 x 分（x 为整数）评定为优秀、良好、合格、 不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用 A、B、C、D 表示），A 等级：90≤x≤100，B 等级：80≤x ＜90，C 等级：60≤x＜80，D 等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图 不完整的统计图表． 等级 频数（人数） 频率 A a 20% B 16 40% C b m D 4 10% 请你根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）上表中的 a 8 ，b＝ 12 ，m＝ 30% ． （2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图． （3）若从 D 等级的 4 名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生 恰好是一男一女的概率． 【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论； （2）用 D 等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣ 10%＝30%； 10 故答案为：8，12，30%； （2）本次调查共抽取了 4÷10%＝40 名学生； 补全条形图如图所示； （3）将男生分别标记为 A，B，女生标记为 a，b， A B a b A （A，B） （A，a） （A，b） B （B，A） （B，a） （B，b） a （a，A） （a，B） （a，b） b （b，A） （b，B） （b，a） ∵共有 12 种等可能的结果，恰为一男一女的有 8 种， ∴抽得恰好为“一男一女”的概率为 ＝ ． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点（与点 A，B 不重合），过点 C 作直线 PQ，使得∠ACQ＝ ∠ABC． （1）求证：直线 PQ 是⊙O 的切线． （2）过点 A 作 AD⊥PQ 于点 D，交⊙O 于点 E，若⊙O 的半径为 2，sin∠DAC＝ ，求图中阴影部分的面 积． 【分析】（1）连接 OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性质及已知条 件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论． （2）由 sin∠DAC＝ ，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD 的 度数，进而判定△AEO 为等边三角形，则 ∠AOE 的度数可得；利用 S 阴影＝S 扇形﹣S△AEO，可求得答案． 11 【解答】解：（1）证明：如图，连接 OC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠ACO． ∵∠ACQ＝∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即 OC⊥PQ， ∴直线 PQ 是⊙O 的切线． （2）连接 OE， ∵sin∠DAC＝ ，AD⊥PQ， ∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°． 又∵OA＝OE， ∴△AEO 为等边三角形， ∴∠AOE＝60°． ∴S 阴影＝S 扇形﹣S△AEO ＝S 扇形﹣ OA•OE•sin60° ＝ ×22﹣ ×2×2× ＝ ﹣ ． ∴图中阴影部分的面积为 ﹣ ． 24．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进 3 件甲商品和 2 件乙商品，需 60 元；购进 2 件甲商品 和 3 件乙商品，需 65 元． （1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设甲商品的销售单价为 x（单位：元/件），在销售过程中发现：当 11≤x≤19 时，甲商品的日销售量 y （单位：件）与销售单价 x 之间存在一次函数关系，x、y 之间的部分数值对应关系如表： 12 销售单价 x（元/件） 11 19 日销售量 y（件） 18 2 请写出当 11≤x≤19 时，y 与 x 之间的函数关系式． （3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 w 元，当甲商品的销售单价 x（元/件）定为多少时，日 销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b 元/件，由题意得关于 a、b 的二元一次方程组，求 解即可． （2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可． （3）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数关系式，然后写成顶点式，按照二次函数的性质可得答 案． 【解答】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b 元/件，由题意得： ， 解得： ． ∴甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15 元/件． （2）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得： ，解得： ． ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣2x+40（11≤x≤19）． （3）由题意得： w＝（﹣2x+40）（x﹣10） ＝﹣2x2+60x﹣400 ＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）． ∴当 x＝15 时，w 取得最大值 50． ∴当甲商品的销售单价定为 15 元/件时，日销售利润最大，最大利润是 50 元． 25．如图 1，△ABC 和△DCE 都是等边三角形． 探究发现 （1）△BCD 与△ACE 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 拓展运用 （2）若 B、C、E 三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求 BD 的长． （3）若 B、C、E 三点在一条直线上（如图 2），且△ABC 和△DCE 的边长分别为 1 和 2，求△ACD 的面积 及 AD 的长． 13 【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据 SAS 可证明△ACE≌△BCD； （2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算 AE 的长，可得 BD 的长； （3）如图 2，过 A 作 AF⊥CD 于 F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得 AF 的 长，由三角形面积公式可得△ACD 的面积，最后根据勾股定理可得 AD 的长． 【解答】解：（1）全等，理由是： ∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD 和△ACE 中， ， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）； （2）如图 3，由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE， ∵△DCE 都是等边三角形， ∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°， 在 Rt△ADE 中，AD＝3，DE＝2， ∴AE＝ ＝ ＝ ， ∴BD＝ ； （3）如图 2，过 A 作 AF⊥CD 于 F， 14 ∵B、C、E 三点在一条直线上， ∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°， ∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝60°， 在 Rt△ACF 中，sin∠ACF＝ ， ∴AF＝AC×sin∠ACF＝1× ＝ ， ∴S△ACD＝ ＝ ＝ ， ∴CF＝AC×cos∠ACF＝1× ＝ ， FD＝CD﹣CF＝2﹣ ， 在 Rt△AFD 中，AD2＝AF2+FD2＝ ＝3， ∴AD＝ ． 26．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C（0，﹣ 3），顶点 D 的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式． （2）在 y 轴上找一点 E，使得△EAC 为等腰三角形，请直接写出点 E 的坐标． （3）点 P 是 x 轴上的动点，点 Q 是抛物线上的动点，是否存在点 P、Q，使得以点 P、Q、B、D 为顶点， BD 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P、Q 坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点 C 坐标代入求解，即可得出结论； 15 （2）先求出点 A，C 坐标，设出点 E 坐标，表示出 AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可； （3）利用平移先确定出点 Q 的纵坐标，代入抛物线解析式求出点 Q 的横坐标，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣4， 将点 C（0，﹣3）代入抛物线 y＝a（x﹣1）2﹣4 中，得 a﹣4＝﹣3， ∴a＝1， ∴抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知，抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3， 令 y＝0，则 x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1 或 x＝3， ∴B（3，0），A（﹣1，0）， 令 x＝0，则 y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴AC＝ ， 设点 E（0，m），则 AE＝ ，CE＝|m+3|， ∵△ACE 是等腰三角形， ∴①当 AC＝AE 时， ＝ ， ∴m＝3 或 m＝﹣3（点 C 的纵坐标，舍去）， ∴E（3，0）， ②当 AC＝CE 时， ＝|m+3|， ∴m＝﹣3± ， ∴E（0，﹣3+ ）或（0，﹣3﹣ ）， ③当 AE＝CE 时， ＝|m+3|， ∴m＝﹣ ， ∴E（0，﹣ ）， 即满足条件的点 E 的坐标为（0，3）、（0，﹣3+ ）、（0，﹣3﹣ ）、（0，﹣ ）； （3）如图，存在，∵D（1，﹣4）， ∴将线段 BD 向上平移 4 个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点 B 的对应点落在抛物线上，这 样便存在点 Q，此时点 D 的对应点就是点 P， 16 ∴点 Q 的纵坐标为 4， 设 Q（t，4）， 将点 Q 的坐标代入抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 中得，t2﹣2t﹣3＝4， ∴t＝1+2 或 t＝1﹣2 ， ∴Q（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）， 分别过点 D，Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F，G， ∵抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 与 x 轴的右边的交点 B 的坐标为（3，0），且 D（1，﹣4）， ∴FB＝PG＝3﹣1＝2， ∴点 P 的横坐标为（1+2 ）﹣2＝﹣1+2 或（1﹣2 ）﹣2＝﹣1﹣2 ， 即 P（﹣1+2 ，0）、Q（1+2 ，4）或 P（﹣1﹣2 ，0）、Q（1﹣2 ，4）．