2020年四川省乐山市中考数学试卷 26页

2020 年四川省乐山市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分． 1．（3 分） 1 2 的倒数是 ( ) A． 1 2  B． 1 2 C． 2 D．2 2．（3 分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷 中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级， 并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有 2000 人，则其中成绩为“良”和“优” 的总人数估计为 ( ) A．1100 B．1000 C．900 D．110 3．（3 分）如图，E 是直线 CA 上一点， 40FEA   ，射线 EB 平分 CEF ，GE EF ．则 (GEB  ) A．10 B． 20 C．30 D． 40 4．（3 分）数轴上点 A 表示的数是 3 ，将点 A 在数轴上平移 7 个单位长度得到点 B ．则点 B 表示的数是 ( ) A．4 B． 4 或 10 C． 10 D．4 或 10 5．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中， 4AB  ， 120BAD   ，O 是对角线 BD 的中点，过点 O 作 OE CD 于点 E ，连结 OA ．则四边形 AOED 的周长为 ( ) A．9 2 3 B． 9 3 C． 7 2 3 D．8 6．（3 分）直线 y kx b  在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 2kx b „ 的解集是 ( ) A． 2x „ B． 4x „ C． 2x … D． 4x … 7．（3 分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1) ，如果将它们 沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是 ( ) A． B． C． D． 8．（3 分）已知 3 4m  ， 2 43 2m n  ．若 9n x ，则 x 的值为 ( ) A．8 B．4 C． 2 2 D． 2 9．（3 分）在 ABC 中，已知 90ABC   ， 30BAC   ， 1BC  ．如图所示，将 ABC 绕 点 A 按逆时针方向旋转 90 后得到△ AB C  ．则图中阴影部分面积为 ( ) A． 4  B． 3 2   C． 3 4   D． 3 2  10．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y x  与双曲线 ky x  交于 A 、B 两点，P 是 以点 (2,2)C 为圆心，半径长 1 的圆上一动点，连结 AP ， Q 为 AP 的中点．若线段OQ 长度 的最大值为 2，则 k 的值为 ( ) A． 1 2  B． 3 2  C． 2 D． 1 4  二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分． 11．（3 分）用“  ”或“  ”符号填空： 7 9 ． 12．（3 分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分 40 分）依次为 37，40，39，37，40， 38，40．则这组数据的中位数是 ． 13．（3 分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯 AB 的倾斜角为30 ，在自动 扶梯下方地面 C 处测得扶梯顶端 B 的仰角为 60，A 、C 之间的距离为 4m ．则自动扶梯的 垂直高度 BD  m ．（结果保留根号） 14．（3 分）已知 0y  ，且 2 23 4 0x xy y   ．则 x y 的值是 ． 15．（3 分）把两个含30 角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点 E 为 AD 的中点，连结 BE 交 AC 于点 F ．则 AF AC  ． 16．（3 分）我们用符号[ ]x 表示不大于 x 的最大整数．例如：[1.5] 1 ，[ 1.5] 2   ．那么： （1）当 1 [ ] 2x  „ 时， x 的取值范围是 ； （2）当 1 2x „ 时，函数 2 2 [ ] 3y x a x   的图象始终在函数 [ ] 3y x  的图象下方．则实 数 a的范围是 ． 三、本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27 分． 17．（9 分）计算： 0| 2| 2cos60 ( 2020)     ． 18．（9 分）解二元一次方程组： 2 2, 8 3 9 x y x y       19．（9 分）如图，E 是矩形 ABCD 的边 CB 上的一点，AF DE 于点 F ， 3AB  ， 2AD  ， 1CE  ．求 DF 的长度． 四、本大题共 3 个小题，每小题 10 分，共 30 分． 20．（10 分）已知 2y x  ，且 x y ，求 2 2 2 1 1( ) x y x y x y x y     的值． 21．（10 分）如图，已知点 ( 2, 2)A   在双曲线 ky x  上，过点 A 的直线与双曲线的另一支交 于点 (1, )B a ． （1）求直线 AB 的解析式； （2）过点 B 作 BC x 轴于点 C ，连结 AC ，过点 C 作 CD AB 于点 D ．求线段CD 的长． 22．（10 分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然 而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如 图是某国截止 5 月 31 日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图． 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人，扇形统计图中 40 59 岁感 染人数对应圆心角的度数为  ； （2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； （3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取 1 人，求该患者年龄为 60 岁或 60 岁以上 的概率； （4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1% 、2.75% 、3.5%、10% 、20% ， 求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率． 五、本大题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分． 23．（10 分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是 乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数（人 ) 租金（元 / 辆） 商务车 6 300 轿车 4 （1）如果单程租赁 2 辆商务车和 3 辆轿车共需付租金 1320 元，求一辆轿车的单程租金为多 少元？ （2）某公司准备组织 34 名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前 往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 24．（10 分）如图 1， AB 是半圆 O 的直径， AC 是一条弦， D 是 AC 上一点， DE AB 于 点 E ，交 AC 于点 F ，连结 BD 交 AC 于点 G ，且 AF FG ． （1）求证：点 D 平分 AC ； （2）如图 2 所示，延长 BA 至点 H ，使 AH AO ，连结 DH ．若点 E 是线段 AO 的中点．求 证： DH 是 O 的切线． 六、本大题共 2 个小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分． 25．（12 分）点 P 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 所在直线上的一个动点（点 P 不与点 A 、 C 重合），分别过点 A 、 C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E 、 F ．点 O 为 AC 的中点． （1）如图 1，当点 P 与点 O 重合时，线段 OE 和 OF 的关系是 ； （2）当点 P 运动到如图 2 所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结 论是否仍然成立？ （3）如图 3，点 P 在线段 OA 的延长线上运动，当 30OEF   时，试探究线段 CF 、 AE 、 OE 之间的关系． 26．（13 分）已知抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于 ( 1,0)A  ， (5,0)B 两点， C 为抛物线的 顶点，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D ，连结 BC ，且 4tan 3CBD  ，如图所示． （1）求抛物线的解析式； （2）设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点． ①过点 P 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 E ，过点 E 作 EF PE 交抛物线于点 F ，连结 FB 、 FC ，求 BCF 的面积的最大值； ②连结 PB ，求 3 5 PC PB 的最小值． 2020 年四川省乐山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分． 1．（3 分） 1 2 的倒数是 ( ) A． 1 2  B． 1 2 C． 2 D．2 【解答】解：根据倒数的定义，可知 1 2 的倒数是 2． 故选： D ． 2．（3 分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷 中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级， 并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有 2000 人，则其中成绩为“良”和“优” 的总人数估计为 ( ) A．1100 B．1000 C．900 D．110 【解答】解： 85 252000 110025 85 72 18     （人 ) ， 故选： A ． 3．（3 分）如图，E 是直线 CA 上一点， 40FEA   ，射线 EB 平分 CEF ，GE EF ．则 (GEB  ) A．10 B． 20 C．30 D． 40 【解答】解： 40FEA   ， GE EF ， 180 180 40 140CEF FEA         ， 180 180 40 90 50CEG AEF GEF            ， 射线 EB 平分 CEF ，  1 1 140 702 2CEB CEF       ， 70 50 20GEB CEB CEG          ， 故选： B ． 4．（3 分）数轴上点 A 表示的数是 3 ，将点 A 在数轴上平移 7 个单位长度得到点 B ．则点 B 表示的数是 ( ) A．4 B． 4 或 10 C． 10 D．4 或 10 【解答】解：点 A 表示的数是 3 ，左移 7 个单位，得 3 7 10    ， 点 A 表示的数是 3 ，右移 7 个单位，得 3 7 4   ． 所以点 B 表示的数是 4 或 10 ． 故选： D ． 5．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中， 4AB  ， 120BAD   ，O 是对角线 BD 的中点，过点 O 作 OE CD 于点 E ，连结 OA ．则四边形 AOED 的周长为 ( ) A．9 2 3 B． 9 3 C． 7 2 3 D．8 【解答】解：四边形 ABCD 为菱形， 4AD AB   ， / /AB CD ， 120BAD   ， 30ADB CDB    ， O 是对角线 BD 的中点， AO BD  ， 在 Rt AOD 中， 1 22AO AD  ， 3 2 3OD OA  ， OE CD ， 90DEO   ， 在 Rt DOE 中， 1 32OE OD  ， 3 3DE OE  ， 四边形 AOED 的周长 4 2 3 3 9 3      ． 故选： B ． 6．（3 分）直线 y kx b  在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 2kx b „ 的解集是 ( ) A． 2x „ B． 4x „ C． 2x … D． 4x … 【解答】解：直线 y kx b  与 x 轴交于点 (2,0) ，与 y 轴交于点 (0,1) ，  2 0 1 k b b     ，解得 1 2 1 k b      直线为 1 12y x   ， 当 2y  时， 12 12 x   ，解得 2x   ， 由图象可知：不等式 2kx b „ 的解集是 2x … ， 故选： C ． 7．（3 分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为1) ，如果将它们 沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解：由题意，选项 D 阴影部分面积为 6， A ， B ， C 的阴影部分的面积为 5， 如果能拼成正方形，选项 D 的正方形的边长为 6 ，选项 A ，B ，C 的正方形的边长为 5 ， 观察图象可知，选项 A ，B ，C 阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图 1 的 5 个图形， 可以拼成图 2 的边长为 5 的正方形， 故选： D ． 8．（3 分）已知 3 4m  ， 2 43 2m n  ．若 9n x ，则 x 的值为 ( ) A．8 B．4 C． 2 2 D． 2 【解答】解： 3 4m  ， 2 4 2 43 (3 ) (3 ) 2m n m n    ． 2 44 (3 ) 2n   ， 4 2(3 ) 4 2 8n    ， 又 29 3n n x  ， 4 2 2 2(3 ) (3 )n n x   ， 2 8x  ， 8 2 2x   ． 故选： C ． 9．（3 分）在 ABC 中，已知 90ABC   ， 30BAC   ， 1BC  ．如图所示，将 ABC 绕 点 A 按逆时针方向旋转 90 后得到△ AB C  ．则图中阴影部分面积为 ( ) A． 4  B． 3 2   C． 3 4   D． 3 2  【解答】解： 90ABC   ， 30BAC   ， 1BC  ， 3 3AB BC   ， 2 2AC BC  ，  290 2 90 3 1 30 3 3( 1 3 )360 360 2 360 2               ， 故选： B ． 10．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y x  与双曲线 ky x  交于 A 、B 两点，P 是 以点 (2,2)C 为圆心，半径长 1 的圆上一动点，连结 AP ， Q 为 AP 的中点．若线段OQ 长度 的最大值为 2，则 k 的值为 ( ) A． 1 2  B． 3 2  C． 2 D． 1 4  【解答】解：点 O 是 AB 的中点，则 OQ 是 ABP 的中位线， 当 B 、 C 、 P 三点共线时， PB 最大，则 1 2OQ BP 最大， 而 OQ 的最大值为 2，故 BP 的最大值为 4， 则 4 1 3BC BP PC     ， 设点 ( , )B m m ，则 2 2 2( 2) ( 2) 3m m     ， 解得： 2 1 2m  ， 1( ) 2k m m     ， 故选： A ． 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分． 11．（3 分）用“  ”或“  ”符号填空： 7  9 ． 【解答】解： | 7 | 7  ，| 9 | 9  ， 7 9 ， 7 9   ， 故答案为：  ． 12．（3 分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分 40 分）依次为 37，40，39，37，40， 38，40．则这组数据的中位数是 39 ． 【解答】解：把这组数据从小到大排序后为 37，37，38，39，40，40，40， 其中第四个数据为 39， 所以这组数据的中位数为 39． 故答案为 39． 13．（3 分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯 AB 的倾斜角为30 ，在自动 扶梯下方地面 C 处测得扶梯顶端 B 的仰角为 60，A 、C 之间的距离为 4m ．则自动扶梯的 垂直高度 BD  2 3 m ．（结果保留根号） 【解答】解： BCD BAC ABC     ， 30BAC   ， 60BCD   ， 30ABC BCD BAC      ， BAC ABC   ， 4BC AC   ， 在 Rt BDC 中， sin BDBCD BC   ， 3sin 60 4 2 BD    ， 2 3( )BD m  ， 答：自动扶梯的垂直高度 2 3BD m ， 故答案为： 2 3 ． 14．（3 分）已知 0y  ，且 2 23 4 0x xy y   ．则 x y 的值是 4 或 1 ． 【解答】解： 2 23 4 0x xy y   ，即 ( 4 )( ) 0x y x y   ， 可得 4x y 或 x y  ，  4x y  或 1x y   ， 即 x y 的值是 4 或 1 ； 故答案为：4 或 1 ． 15．（3 分）把两个含30 角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点 E 为 AD 的中点，连结 BE 交 AC 于点 F ．则 AF AC  3 5 ． 【解答】解：连接 CE ， 30CAD   ， 90ACD   ， E 是 AD 的中点， 3 2AC AD  ， 1 2CE AD AE  ， 30ACE CAE     30BAC   ， 90ABC   ， 3 3 2 4AB AC AD   ， BAC ACE   ， / /AB CE ， ABF CEF ∽ ，  3 34 1 2 2 ADAF AB CF CE AD    ，  3 5 AF AC  ， 故答案为 3 5 ． 16．（3 分）我们用符号[ ]x 表示不大于 x 的最大整数．例如：[1.5] 1 ，[ 1.5] 2   ．那么： （1）当 1 [ ] 2x  „ 时， x 的取值范围是 0 2x„ „ ； （2）当 1 2x „ 时，函数 2 2 [ ] 3y x a x   的图象始终在函数 [ ] 3y x  的图象下方．则实 数 a的范围是 ． 【解答】解：（1）由题意 1 [ ] 2x  „ ， 0 2x „ „ ， 故答案为 0 2x„ „ ． （2）由题意：当 1 2x „ 时，函数 2 2 [ ] 3y x a x   的图象始终在函数 [ ] 3y x  的图象下 方， 则有 1x   时，1 2 3 1 3a     ，解得 1a   ， 或 2x  时， 4 2 3 1 3a  „ ，解得 3 2a… ， 故答案为 1a   或 3 2a… ． 三、本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27 分． 17．（9 分）计算： 0| 2| 2cos60 ( 2020)     ． 【解答】解：原式 12 2 12     2 ． 18．（9 分）解二元一次方程组： 2 2, 8 3 9 x y x y       【解答】解： 2 2 8 3 9 x y x y      ① ② ， 法 1：②  ① 3 ，得 2 3x  ， 解得： 3 2x  ， 把 3 2x  代入①，得 1y   ， 原方程组的解为 3 2 1 x y      ； 法 2：由②得： 2 3(2 ) 9x x y   ， 把①代入上式， 解得： 3 2x  ， 把 3 2x  代入①，得 1y   ， 原方程组的解为 3 2 1 x y      ． 19．（9 分）如图，E 是矩形 ABCD 的边 CB 上的一点，AF DE 于点 F ， 3AB  ， 2AD  ， 1CE  ．求 DF 的长度． 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， 3DC AB   ， 90ADC C    ． 1CE  ， 2 2 10DE DC CE    ． AF DE ， 90AFD C     ， 90ADF DAF    ． 又 90ADF EDC     ， EDC DAF   ， EDC DAF ∽ ，  DE CE AD FD  ，即 10 1 2 FD  ， 10 5FD  ，即 DF 的长度为 10 5 ． 四、本大题共 3 个小题，每小题 10 分，共 30 分． 20．（10 分）已知 2y x  ，且 x y ，求 2 2 2 1 1( ) x y x y x y x y     的值． 【解答】解：原式 2 2 2 2 ( )( ) x x y x y x y x y     2 2 2 2 2 2x x y x y x y   2 xy  ，  2y x  ， 原式 2 12x x    解法 2：同解法 1，得原式 2 xy  ，  2y x  ， 2xy  ， 原式 2 12   ． 21．（10 分）如图，已知点 ( 2, 2)A   在双曲线 ky x  上，过点 A 的直线与双曲线的另一支交 于点 (1, )B a ． （1）求直线 AB 的解析式； （2）过点 B 作 BC x 轴于点 C ，连结 AC ，过点 C 作 CD AB 于点 D ．求线段CD 的长． 【解答】解：（1）将点 ( 2, 2)A   代入 ky x  ，得 4k  ， 即 4y x  ， 将 (1, )B a 代入 4y x  ，得 4a  ， 即 (1,4)B ， 设直线 AB 的解析式为 y mx n  ， 将 ( 2, 2)A   、 (1,4)B 代入 y kx b  ，得 2 2 4 m n m n        ，解得 2 2 m n    ， 直线 AB 的解析式为 2 2y x  ； （2） ( 2, 2)A   、 (1,4)B ，  2 2( 2 1) ( 2 4) 3 5AB        ，  1 1 32 2ABCS AB CD BC       ，  3 4 3 4 5 53 5 BCCD AB     ． 22．（10 分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然 而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如 图是某国截止 5 月 31 日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图． 根据上面图表信息，回答下列问题： （1）截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 20 万人，扇形统计图中 40 59 岁 感染人数对应圆心角的度数为  ； （2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； （3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取 1 人，求该患者年龄为 60 岁或 60 岁以上 的概率； （4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为1% 、2.75% 、3.5%、10% 、20% ， 求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率． 【解答】解：（1）截止 5 月 31 日该国新冠肺炎感染总人数累计为 9 45% 20  （万人）， 扇形统计图中 40 59 岁感染人数对应圆心角的度数为 4360 7220   ， 故答案为：20、72； （2） 20 39 岁人数为 20 10% 2  （万人）， 补全的折线统计图如图 2 所示； （3）该患者年龄为 60 岁及以上的概率为： 9 4.5 100% 67.5% 0.67520     ； （ 4 ） 该 国 新 冠 肺 炎 感 染 病 例 的 平 均 死 亡 率 为 ： 0.5 1% 2 2.75% 4 3.5% 9 10% 4.5 20% 100% 10%20            ． 五、本大题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分． 23．（10 分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是 乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表： 车型 每车限载人数（人 ) 租金（元 / 辆） 商务车 6 300 轿车 4 （1）如果单程租赁 2 辆商务车和 3 辆轿车共需付租金 1320 元，求一辆轿车的单程租金为多 少元？ （2）某公司准备组织 34 名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前 往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为 x 元， 由题意得： 300 2 3 1320x   ， 解得 240x  ， 答：租用一辆轿车的租金为 240 元； （2）①若只租用商务车，  34 256 3  ， 只租用商务车应租 6 辆，所付租金为 300 6 1800  （元 ) ； ②若只租用轿车，  34 8.54  ， 只租用轿车应租 9 辆，所付租金为 240 9 2160  （元 ) ； ③若混和租用两种车，设租用商务车 m 辆，租用轿车 n 辆，租金为W 元． 由题意，得 6 4 34 300 240 m n W m n      ， 由 6 4 34m n  ，得 4 6 34n m   ， 300 60( 6 34) 60 2040W m m m        ， 6 34 4 0m n   … ，  17 3m„ ， 1 5m „ „ ，且 m 为整数， W 随 m 的增大而减小， 当 5m  时，W 有最小值 1740，此时 1n  ． 综上，租用商务车 5 辆和轿车 1 辆时，所付租金最少为 1740 元． 24．（10 分）如图 1， AB 是半圆 O 的直径， AC 是一条弦， D 是 AC 上一点， DE AB 于 点 E ，交 AC 于点 F ，连结 BD 交 AC 于点 G ，且 AF FG ． （1）求证：点 D 平分 AC ； （2）如图 2 所示，延长 BA 至点 H ，使 AH AO ，连结 DH ．若点 E 是线段 AO 的中点．求 证： DH 是 O 的切线． 【解答】证明：（1）如图 1，连接 AD 、 BC ， AB 是半圆 O 的直径， 90ADB   ， DE AB ， ADE ABD   ， 又 AF FG ，即点 F 是 Rt AGD 的斜边 AG 的中点， DF AF  ， DAF ADF ABD     ， 又 DAC DBC   ， ABD DBC   ，   AD DC ， 即点 D 平分 AC ； （2）如图 2 所示，连接 OD 、 AD ， 点 E 是线段 OA 的中点，  1 1 2 2OE OA OD  ， 60AOD   ， OAD 是等边三角形， AD AO AH   ， ODH 是直角三角形，且 90HDO   ， DH 是 O 的切线． 六、本大题共 2 个小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分． 25．（12 分）点 P 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 所在直线上的一个动点（点 P 不与点 A 、 C 重合），分别过点 A 、 C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E 、 F ．点 O 为 AC 的中点． （1）如图 1，当点 P 与点 O 重合时，线段 OE 和 OF 的关系是 OE OF ； （2）当点 P 运动到如图 2 所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结 论是否仍然成立？ （3）如图 3，点 P 在线段 OA 的延长线上运动，当 30OEF   时，试探究线段 CF 、 AE 、 OE 之间的关系． 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， AO CO  ， 又 AEO CFO   ， 90AOE COF     ， ( )AEO CFO AAS   ， OE OF  ， 故答案为： OE OF ； （2）补全图形如图所示， 结论仍然成立， 理由如下： 延长 EO 交 CF 于点 G ， AE BP ， CF BP ， / /AE CF ， EAO GCO   ， 点 O 为 AC 的中点， AO CO  ， 又 AOE COG   ， ( )AOE COG AAS   ， OE OG  ， 90GFE   ， OE OF  ； （4）点 P 在线段 OA 的延长线上运动时，线段 CF 、AE 、OE 之间的关系为 OE CF AE  ， 证明如下：如图，延长 EO 交 FC 的延长线于点 H ， 由（2）可知 AOE COH   ， AE CH  ， OE OH ， 又 30OEF   ， 90HFE   ， 1 2HF EH OE   ， OE CF CH CF AE     ． 26．（13 分）已知抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于 ( 1,0)A  ， (5,0)B 两点， C 为抛物线的 顶点，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D ，连结 BC ，且 4tan 3CBD  ，如图所示． （1）求抛物线的解析式； （2）设 P 是抛物线的对称轴上的一个动点． ①过点 P 作 x 轴的平行线交线段 BC 于点 E ，过点 E 作 EF PE 交抛物线于点 F ，连结 FB 、 FC ，求 BCF 的面积的最大值； ②连结 PB ，求 3 5 PC PB 的最小值． 【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为： ( 1)( 5)y a x x   ， 抛物线的对称轴为直线 2x  ， (2,0)D ， 又 4tan 3 CDCBD DB    ， tan 4CD BD CBD    ， 即 (2,4)C ， 代入抛物线的解析式，得 4 (2 1)(2 5)a   ， 解得 4 9a   ， 二次函数的解析式为 24 4 16 20( 1)( 5)9 9 9 9y x x x x        ； （2）①设 (2, )P t ，其中 0 4t  ， 设直线 BC 的解析式为 y kx b  ，  0 5 , 4 2 . k b k b      ， 解得 4 ,3 20.3 k b      即直线 BC 的解析式为 4 20 3 3y x   ， 令 y t ，得： 35 4x t  ， 点 3(5 4E t ， )t ， 把 35 4x t  代入 4 ( 1)( 5)9y x x    ，得 (2 )4 ty t  ， 即 23 1(5 ,2 )4 4F t t t  ，  2 21(2 )4 4 tEF t t t t     ， BCF 的面积 2 2 21 3 3 3 3( ) ( 4 ) ( 2)2 2 4 8 8 2 tEF BD t t t t            ， 当 2t  时， BCF 的面积最大，且最大值为 3 2 ； ②如图，连接 AC ，根据图形的对称性可知 ACD BCD   ， 5AC BC  ，  3sin 5 ADACD AC    ， 过点 P 作 PG AC 于 G ，则在 Rt PCG 中， 3sin 5PG PC ACD PC   ，  3 5 PC PB PG PB   ， 过点 B 作 BH AC 于点 H ，则 PG PH BH … ， 线段 BH 的长就是 3 5 PC PB 的最小值，  1 1 6 4 122 2ABCS AB CD        ， 又 1 5 2 2ABCS AC BH BH     ，  5 122 BH  ， 即 24 5BH  ，  3 5 PC PB 的最小值为 24 5 ．