2021年湖南省中考数学模拟试题含答案（二） 15页

2021 年湖南初中学业水平考试 数学模拟卷(二) (考试时间：120 分钟 满分：130 分) 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 1．下列各数中比|－3|大的是 ( C ) A．－4 B．3 C．4 D．0 2．(2020·天津)据 2020 年 6 月 24 日《天津日报》报道，6 月 23 日 下午，第四届世界智能大会在天津开幕．本届大会采取“云上”办会 的全新模式呈现，40 家直播网站及平台同时在线观看云开幕式暨主 题峰会的总人数最高约为 58 600 000 人．将 58 600 000 用科学记数 法表示为 ( B ) A．0.586×108 B．5.86×107 C．58.6×106 D．586×105 3．(2020·娄底)我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列 汽车图标是中心对称图形的是 ( B ) A B C D 4．(2020·青海)下面是某同学在一次测试中的计算： ①3m2n－5mn2＝－2mn；②2a3b·(－2a2b)＝－4a6b；③(a3)2＝a5； ④(－a3)÷(－a)＝a2. 其中运算正确的个数为 ( D ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 5．(2020·聊城)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠C＝65°，点 D 是 BC 边上任意一点，过点 D 作 DF∥AB 交 AC 于点 E，则∠FEC 的度数是 ( B ) A．120° B．130° C．145° D．150° 第 5 题图 第 6 题图 6．如图所示是从长沙市有关部门了解到的某条道路测速点所记录的 在某个时段来往车辆的车速情况，下列说法中正确的是 ( D ) A．平均数是 52 B．众数是 8 C．中位数是 52.5 D．中位数是 52 7．(2020·孝感)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将△ADE 绕 点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线， 垂足为点 H，与 BC 交于点 G.若 BG＝3，CG＝2，则 CE 的长为( B ) A．5 4 B．15 4 C．4 D．9 2 第 7 题图 第 8 题图 8．如图，在 Rt△AOB 中，两直角边 OA，OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到△A′O′B， 若反比例函数 y＝k x 的图象恰好经过斜边 A′B 的中点 C，S△ABO＝4， tan ∠BAO＝2，则 k 的值为 ( C ) A．3 B．4 C．6 D．8 二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 9．二次根式 3－x 中，x 的取值范围是__x≤3__． 10．(2020·抚顺)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－k＝0 无实数根， 则 k 的取值范围是__k<－1__． 11．(2020·聊城)某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆 的“科技”“文学”“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类 书籍的概率是__1 3 __． 12．(2019·北京)小天想要计算一组数据 92，90，94，86，99，85 的方差 s 2 0 ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减 去 90，得到一组新数据 2，0，4，－4，9，－5，记这组新数据的方 差为 s 2 1 ，则 s 2 1 __＝__s 2 0 (选填“＞”“＜”或“＝”). 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝2x－1 的图象分别交 x 轴，y 轴于点 A，B，将直线 AB 绕点 B 按顺时针方向旋转 45°，交 x 轴于点 C，则直线 BC 的函数解析式是 y＝__1 3 x－1__． 第 13 题图 14．在▱ ABCD 中，E 是 AD 上一点，且点 E 将 AD 分为 2∶3 的两部分， 连接 BE，AC 相交于 F，则 S△AEF∶S△CBF 是__4∶25 或 9∶25__． 15．(2019·呼和浩特)如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左 视图完全一样，则这个几何体的表面积是__80＋4π__． 16．(2020·苏州)如图，已知∠MON 是一个锐角，以点 O 为圆心，任 意长为半径画弧，分别交 OM，ON 于点 A，B，再分别以点 A，B 为圆 心，大于 1 2 AB 长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC.过点 A 作 AD∥ON，交射线 OC 于点 D，过点 D 作 DE⊥OC，交 ON 于点 E.设 OA＝ 10，DE＝12，则 sin ∠MON＝__24 25 __. 第 16 题图 三、解答题(本大题共 10 小题，共 82 分) 17．(6 分)计算： 2sin 30°－(π－ 2 )0＋| 3 －1|＋ －1 2 －2 . 解：原式＝2×1 2 －1＋ 3 －1＋4 ＝3＋ 3 . 18．(6 分)先化简，再求值： a a－1－1 ÷ 2 a2－1 ，然后从－2≤a＜2 中选出一个合适的整数作为 a 的值代入求值． 解：原式＝ a a－1－1 ·（a＋1）（a－1） 2 ＝a－a＋1 a－1 ·（a＋1）（a－1） 2 ＝a＋1 2 . 当 a＝－2 时，原式＝－2＋1 2 ＝－1 2 . 19．(6 分)(2020·新疆)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，DE∥BF， 且分别交对角线 AC 于点 E，F，连接 BE，DF. (1)求证：AE＝CF； (2)若 BE＝DE，求证：四边形 EBFD 为菱形． 证明：(1)∵BF∥DE， ∴∠BFE＝∠DEF， ∴∠BFC＝∠DEA. 又∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠DAE＝∠FCB. 且 AD＝CB， ∴△AED≌△CFB(AAS)，∴AE＝CF. (2)∵△AED≌△CFB，∴DE＝BF， ∵DE∥BF，∴四边形 EBFD 为平行四边形， 又∵BE＝DE，∴四边形 EBFD 为菱形． 20．(8 分)(2019·荆州)体育组为了了解九年级 450 名学生排球垫球 的情况，随机抽取了九年级部分学生进行排球垫球测试(单位：个). 根据测试结果，制成了下面不完整的统计图表： 组别 个数段 频数 频率 1 0≤x＜10 5 0.1 2 10≤x＜20 21 0.42 3 20≤x＜30 a 4 30≤x＜40 b (1)表中的数 a＝________，b＝________； (2)估算该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人数； (3)排球垫球结果小于 10 的为不达标，若不达标的 5 人中有 3 个男生， 2 个女生，现从这 5 人中随机选出 2 人调查，试通过画树状图或列表 的方法求选出的 2 人为一个男生一个女生的概率. 解：(1)抽取了九年级学生人数：5÷0.1＝50(人)， 20≤x＜30 的人数：50×144° 360° ＝20(人)，即 a＝20， 30≤x＜40 的人数：50－5－21－20＝4(人)， b＝ 4 50 ＝0.08，故答案为 20，0.08. (2)该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人数为：450×0.1＝ 45(人). 答：该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人数为 45 人． (3)列表如下： 第 1 次 第 2 次 男 1 男 2 男 3 女 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 3 男 1 女 1 男 1 女 2 男 1 男 2 男 1 男 2 男 3 男 2 女 1 男 2 女 2 男 2 男 3 男 1 男 3 男 2 男 3 女 1 男 3 女 2 男 3 女 1 男 1 女 1 男 2 女 1 男 3 女 1 女 2 女 1 女 2 男 1 女 2 男 2 女 2 男 3 女 2 女 1 女 2 ∴P(选出的 2 人为一个男生一个女生)＝12 20 ＝3 5 . 21．(8 分)(2020·恩施州)如图，一艘轮船以每小时 30 海里的速度 自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向(北偏西45°方向)， 2 小时后轮船到达 B 处，在 B 处测得小岛 P 位于其北偏东 60°方向．求 此时船与小岛 P 的距离(结果保留整数，参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732). 解：如图，过 P 作 PH⊥AB 于 H，设 PH＝x， 由题意，AB＝60，∠PBH＝30°，∠PAH＝45°， 在 Rt△PHA 中，AH＝PH＝x， 在 Rt△PBH 中，BH＝AB－AH＝60－x，PB＝2x， ∴tan 30°＝PH BH ， 即 3 3 ＝ x 60－x ，解得 x＝30( 3 －1)， ∴PB＝2x＝60( 3 －1)≈44(海里)， 答：此时船与小岛的距离约为 44 海里． 22．(8 分)快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人代替人 工分拣，已知购买甲型机器人 1 台，乙型机器人 2 台，共需 14 万元； 购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 24 万元． (1)求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元； (2)已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1 200 件和 1 000 件，该公司计划购买这两种型号的机器人共 8 台，总费用不超过 41 万元，并且使这 8 台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8 300 件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多 少万元？ 解：(1)设甲型机器人每台价格是 x 万元，乙型机器人每台价格是 y 万元，根据题意得 x＋2y＝14， 2x＋3y＝24， 解得 x＝6， y＝4. 答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是 6 万元，4 万元． (2)设该公司购买甲型机器人 a 台，乙型机器人(8－a)台，根据题意 得 6a＋4（8－a）≤41， 1 200a＋1 000（8－a）≥8 300， 解得3 2 ≤a≤9 2 . ∵a 为正整数，∴a 的取值为 2，3，4， ∴该公司有 3 种购买方案，分别是： 购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台； 购买甲型机器人 3 台，乙型机器人 5 台； 购买甲型机器人 4 台，乙型机器人 4 台； 设该公司的购买费用为 w 万元， 则 w＝6a＋4(8－a)＝2a＋32. ∵w 随 a 的增大而增大， ∴当 a＝2 时，w 最小，w 最小＝2×2＋32＝36(万元). ∴该公司购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台这个方案费用最低， 最低费用是 36 万元． 23．(8 分)(2019·广安)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6， BC＝8，AD 平分∠BAC，AD 交 BC 于点 D，ED⊥AD 交 AB 于点 E，△ADE 的外接圆⊙O 交 AC 于点 F，连接 EF. (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)求⊙O 的半径 r 及∠3 的正切值． (1)证明：∵ED⊥AD， ∴∠EDA＝90°. ∴AE 是⊙O 的直径．∴AE 的中点为圆心 O. 连接 OD，有 OA＝OD， ∴∠1＝∠ODA. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠2＝∠1＝∠ODA. ∴OD∥AC.∴∠BDO＝∠ACB＝90°. ∴BC 是⊙O 的切线． (2)解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB＝ BC2＋AC2 ＝ 82＋62 ＝10， ∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA. ∴OD AC ＝OB AB ，即r 6 ＝10－r 10 .∴r＝15 4 . 在 Rt△BDO 中， BD＝ OB2－OD2 ＝ （10－r）2－r2 ＝5. ∴CD＝BC－BD＝8－5＝3. 在 Rt△ACD 中，tan ∠2＝CD AC ＝3 6 ＝1 2 . 又∵∠3＝∠2，∴tan ∠3＝tan ∠2＝1 2 . 24．(10 分)已知函数 y＝x＋1 x . (1)写出函数自变量 x 的取值范围：______； (2)请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象． ①列表： x … －4 －3 －2 －1 －1 2 －1 3 －1 4 y … x 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 … y… ②描点(在下面给出的直角坐标系中补全表中对应的各点)； ③连线(将图中描出的各点用平滑的曲线连接起来，得到函数的图 象). (3)观察函数的图象，回答下列问题： ①函数图象在第______象限； ②函数图象的对称性是( ) A．既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．只是轴对称图形，不是中心对称图形 C．不是轴对称图形，而是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 ③在 x＞0 时，当 x＝______时，函数 y 有最______(选填“大”或“小”) 值，且这个最值等于______；在 x＜0 时，当 x＝______时，函数 y 有最______(选填“大”或“小”)值，且这个最值等于______； ④在第一象限内，x 在什么范围内，y 随 x 的增大而减小？x 在什么 范围内，y 随 x 的增大而增大？ (4)方程 x＋1 x ＝－2x＋1 是否有实数解？说明理由． 解：(1)x≠0；(2)①列表： x … －4 －3 －2 －1 －1 2 －1 3 －1 4 y … －17 4 －10 3 －5 2 －2 －5 2 －10 3 －17 4 x 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 … y 17 4 10 3 5 2 2 5 2 10 3 17 4 … ②描点，③连线，画出这个函数的图象，如图所示： (3)①一、三；②C； ③1，小，2；－1，大，－2； ④在第一象限内，当 0＜x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞1 时， y 随 x 的增大而增大； (4)无实数解．理由：由图象得 y＝x＋1 x 与 y＝－2x＋1 在同一个直 角坐标系中无交点，所以方程 x＋1 x ＝－2x＋1 没有实数解． 25．(10 分)(2019·襄阳)(1)证明推断：如图①，在正方形 ABCD 中， 点 E，Q 分别在边 BC，AB 上，DQ⊥AE 于点 O，点 G，F 分别在边 CD， AB 上，GF⊥AE. ①求证：DQ＝AE； ②推断：GF AE 的值为________； 图① 图② (2)类比探究：如图②，在矩形 ABCD 中，BC AB ＝k(k 为常数).将矩形 ABCD 沿 GF 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 E 处，得到四边形 FEPG， EP 交 CD 于点 H，连接 AE 交 GF 于点 O.试探究 GF 与 AE 之间的数量关 系，并说明理由； (3)拓展应用：在(2)的条件下，连接 CP，当 k＝2 3 时，若 tan ∠CGP ＝3 4 ，GF＝2 10 ，求 CP 的长． (1)①证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝AD，∠QAD＝∠EBA＝90°. 又∵AE⊥QD， ∴∠AQO＋∠ADQ＝∠AQO＋∠BAE. ∴∠ADQ＝∠BAE. 在△DAQ 和△ABE 中， ∠QAD＝∠EBA， DA＝AB， ∠ADQ＝∠BAE， ∴△DAQ≌△ABE(ASA).∴DQ＝AE. ②1. (2)GF AE ＝k. (3)9 5 5 . 26．(12 分)如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A(1，0)，B(5， 0)，C(0，4)三点． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)P 是抛物线对称轴上的一点，求满足 PA＋PC 的值最小的点 P 坐标 (请在图①中探索)； (3)在第四象限的抛物线上是否存在点 E，使四边形 OEBF 是以 OB 为 对角线且面积为 12 的平行四边形，若存在，请求出点 E 坐标；若不 存在，请说明理由． 解：(1)设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c， ∵抛物线经过 A(1，0)，B(5，0)，C(0，4)三点， ∴ a＋b＋c＝0， 25a＋5b＋c＝0， c＝4. 解得 a＝4 5， b＝－24 5 ， c＝4， ∴抛物线的解析式为 y＝4 5 x2－24 5 x＋4， ∴对称轴 x＝－ b 2a ＝3. (2)∵点 P 在抛物线的对称轴上，∴PA＝PB， ∴若要 PA＋PC 最小，只需 PB＋PC 最小，即需点 C，P，B 三点共线．连 接 BC，则直线 BC 与对称轴 x＝3 的交点即为 P 点． 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b， 直线 BC 经过点 B(5，0)，C(0，4)两点， ∴ 5k＋b＝0， b＝4， 解得 k＝－4 5， b＝4. ∴直线 BC 的解析式为 y＝－4 5 x＋4， ∴当 x＝3 时，y＝－4 5 ×3＋4＝8 5 ，即 P 3，8 5 . (3)存在点 E1 2，－12 5 或 E2 4，－12 5 使▱ OEBF 的面积为 12.