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- 2021-11-06 发布
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第
16
课时 直角三角形
考点梳理
自主测试
考点一
直角三角形的性质
1
.
直角三角形的两锐角
互余
.
2
.
直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的
一半
.
3
.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半
.
4
.
勾股定理
:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
.
考点二
直角三角形的判定
1
.
有一个角等于
90°
的三角形是直角三角形
.
2
.
有两角
互余
的三角形是直角三角形
.
3
.
如果三角形一边上的中线等于这边的
一半
,则该三角形是直角三角形
.
4
.
勾股定理的逆定理
:如果三角形一条边的平方等于另外两条边的
平方和
,那么这个三角形是直角三角形
.
考
点
梳理
自主测试
1
.
下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长
,
不能构成直角三角形的是
(
)
A.3,4,5 B.6,8,10 D.5,12,13
答案
:
C
2
.
将一副直角三角板如图摆放
,
点
C
在
EF
上
,
AC
经过点
D.
已知
∠
A=
∠
EDF=
90°,
AB=AC
,
∠
E=
30°,
∠
BCE=
40°,
则
∠
CDF
的度数为
(
)
A.30° B.40° C.25° D.35°
答案
:
C
考
点
梳理
自主测试
3
.
如图,在
△
ABC
中,
AB=AC=
8,
AD
是底边上的高,
E
为
AC
中点,则
DE=
.
答案:
4
4
.
已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为
.
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
命题点
1
勾股定理
【例
1
】
如图,有一块直角三角形纸片,两直角边
AC=
6 cm,
BC=
8 cm,现将直角边
AC
沿直线
AD
折叠,使它落在斜边
AB
上,且与
AE
重合,求
CD
的长
.
解:
设
CD
长为
x
cm,
由折叠得
△
ACD
≌
△
AED.
∴
AE=AC=
6
cm,
∠
AED=
∠
C=
90°,
DE=CD=x
cm
.
在
Rt
△
ABC
中
,
AC=
6
cm,
BC=
8
cm,
∴
EB=AB-AE=
10
-
6
=
4(cm),
BD=BC-CD=
(8
-x
)cm
.
在
Rt
△
DEB
中
,
由勾股定理得
DE
2
+BE
2
=DB
2
.
∴
x
2
+
4
2
=
(8
-x
)
2
,
解得
:
x=
3
.
∴
CD
的长为
3
cm
.
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
变式训练
有一块直角三角形的绿地
,
量得两直角边的长分别为
6 m,8 m,
现在要将绿地扩充成等腰三角形
,
且扩充部分是以
8 m
为直角边的直角三角形
,
求扩充后等腰三角形绿地的周长
.
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
命题点
2
勾股定理的逆定理
【例
2
】
如图,在四边形
ABCD
中,
∠
A=
90°,
AB=
3,
AD=
4,
CD=
13
,
CB=
12
,求四边形
ABCD
的面积
.
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
命题点
3
勾股定理的实际应用
【例
3
】
如图,铁路上
A
,
B
两站(视为直线上两点)相距14 km,
C
,
D
为两村庄(可看为两个点),
DA
⊥
AB
于点
A
,
CB
⊥
AB
于点
B
,已知
DA=
8 km,
CB=
6 km,现要在铁路上建一个土特产收购站
E
,使
C
,
D
两村到
E
站的距离相等,则
E
站应建在距
A
站多少千米处
?
分析:
因为
DA
⊥
AB
于点
A
,
CB
⊥
AB
于点
B
,
在
AB
上找一点可构成两个直角三角形
,
我们可想到通过勾股定理列方程进行求解.
解:
设
E
站应建在距
A
站
x
km
处
.
根据勾股定理有
8
2
+x
2
=
6
2
+
(14
-x
)
2
,
解得:
x=
6
.
所以
E
站应建在距
A
站
6
km
处
.
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
命题点
4
直角三角形性质的综合应用
【例
4
】
已知,在
△
ABC
中,
AB=AC
,过点
A
的直线
α
从与边
AC
重合的位置开始绕点
A
按顺时针方向旋转角
θ
,直线
α
交
BC
边于点
P
(点
P
不与点
B
、点
C
重合),
△
BMN
的边
MN
始终在直线
α
上(点
M
在点
N
的上方),且
BM=BN
,连接
CN.
(1)当
∠
BAC=
∠
MBN=
90°时,
①
如图a,当
θ
=
45°时,
∠
ANC
的度数为
;
②
如图b,当
θ
≠45°时,
①
中的结论是否发生变化?说明理由
.
(2)如图c,当
∠
BAC=
∠
MBN
≠90°时,请直接写出
∠
ANC
与
∠
BAC
之间的数量关系,不必证明
.
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
分析
:
在
(1)
中
,
①
由
AB=AC
,
∠
BAC=
∠
MBN=
90°,
θ=
45°,
可得
AN
垂直平分
BC
,
同理可得
BC
垂直平分
AN
,
因此
AC=CN
,
所以有
∠
ANC=θ=
45°;
②
求角的度数
,
一般要想办法把它放到直角三角形中进行
,
因此可分别过
B
,
C
两点作
MN
的垂线
,
用三角形全等作为桥梁找到解决问题所需要的边角关系
;(2)
根据
②
的思路得出结论
.
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
解
:
(1)
①
45°;
②
不变
.
理由
:
过
B
,
C
分别作
BD
⊥
AP
于点
D
,
CE
⊥
AP
于点
E.
∵
∠
BAC=
90°,
∴
∠
BAD+
∠
EAC=
90°
.
∵
BD
⊥
AE
,
∴
∠
ADB=
90°,
∴
∠
ABD+
∠
BAD=
90°,
∴
∠
ABD=
∠
EAC.
又
AB=AC
,
∠
ADB=
∠
CEA=
90°,
∴
△
ABD
≌
△
CAE
,
∴
AD=CE
,
BD=AE.
∵
BD
是等腰直角三角形
NBM
斜边上的高
,
∴
BD=DN
,
∠
BND=
45°,
∴
DN=BD=AE
,
∴
DN-DE=AE-DE
,
即
NE=AD=EC.
∵
∠
NEC=
90°,
∴
∠
ANC=
45°
.
命题点
1
命题点
2
命题点
3
命题点
4
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