【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试19 轴对称与等腰三角形（培优提高）（教师版） 13页

专题 19 轴对称与等腰三角形（专题测试-提高） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（2011·河北中考模拟）在等腰△ABC 中，AB=AC，一腰上的中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A．7 B．7 或 11 C．11 D．7 或 10 【答案】B 【详解】 解：设这个等腰三角形的腰长为 a，底边长为 b. ∵D 为 AC 的中点， ∴AD＝DC＝ 1 2 AC＝ 1 2 a. 根据题意得 3 152 1 122 a a b      或 3 122 1 152 a a b      解得 10 7 a b    或 8 11 a b    又∵三边长为 10，10，7 和 8，8，11 均可以构成三角形． ∴这个等腰三角形的底边长为 7 或 11. 2．（2018·福建中考真题）如图，等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，∠EBC=45°， 则∠ACE 等于（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】A 【详解】 ∵等边三角形 ABC 中，AD⊥BC， ∴BD=CD，即：AD 是 BC 的垂直平分线， ∵点 E 在 AD 上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°， 故选 A． 3．（2018·湖北中考真题）如图，两条直线 l1∥l2，Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=BC，顶点 A、B 分别在 l1 和 l2 上，∠1=20°，则∠2 的度数是（ ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 【详解】∵l1∥l2， ∴∠1+∠CAB=∠2， ∵Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=BC， ∴∠CAB=45°， ∴∠2=20°+45°=65°， 故选 C． 4．（2019·四川中考模拟）若点 A（1+m，1﹣n）与点 B（﹣3，2）关于 y 轴对称，则 m+n 的值是（ ） A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1 【答案】D 【详解】∵点 A（1+m，1﹣n）与点 B（﹣3，2）关于 y 轴对称， ∴1+m=3、1﹣n=2， 解得：m=2、n=﹣1， 所以 m+n=2﹣1=1， 故选 D． 5．（2019·江苏中考模拟）已知点 A(m+1，﹣2)和点 B(3，m﹣1)，若直线 AB∥x 轴，则 m 的值为( ) A．2 B．﹣4 C．﹣1 D．3 【答案】C 【详解】 ∵点  , 2A m  ，  3, 1B m ，直线 / /AB x 轴， 1 2m    ， 解得 1m   ． 故选：C． 6．（2018·江苏中考真题）若实数 m、n 满足 2 4 0m n    ，且 m、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的 边长，则△ABC 的周长是 （ ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4， 又∵m、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长， ①若腰为 2，底为 4，此时不能构成三角形，舍去， ②若腰为 4，底为 2，则周长为：4+4+2=10， 故选 B. 7．（2019·天津中考模拟）如图，将▱ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在 B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ） A．66° B．104° C．114° D．124° 【答案】C 【详解】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD=∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC， ∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC= 1 2 ∠1=22° ∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°； 故选 C． 8．（2019·山东中考模拟）如图，把直角三角形 ABO 放置在平面直角坐标系中，已知 30OAB   ，B 点的 坐标为 0,2 ，将 ABO 沿着斜边 AB 翻折后得到 ABC ，则点 C 的坐标是 ( ) A． 2 3,4 B．  2,2 3 C． 3,3 D． 3, 3 【答案】C 【详解】 OAB BAC 30    ， BOA BCA 90    ， AB AB ， BOA ≌ BCA ， OB BC 2   ， CBA OBA 60    ， 过点 C 作 CD y 轴，垂直为 D，则 DCB 30   ， 1DB BC 12    ， 3DC BC 32   ，  C 3,3 ， 故选 C． 9．（2018·江苏中考真题）在 ′香䁞 中， 䁞香 ⸲ ， 䁞 香 于 ， 䁞 平分 䁞 交 香 于 ，则下列 结论一定成立的是（ ） A． 香䁞 ⸲ 䁞 B． 䁞 ⸲ 香 C． 香䁞 ⸲ 香 D． ⸲ 䁞【答案】C ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠BCD=∠A． ∵CE 平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE． 又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BC=BE． 故选 C． 10．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片 ABCD，沿着 BE 折叠，使 C、D 两点分别落在点 1C 、 1D 处.若 1C BA 50   ，则 ABE 的度数为 ( ) A．10 B． 20 C．30 D． 40 【答案】B 【详解】 设∠ABE=x， 根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x， 所以 50°+x+x=90°， 解得 x=20°． 故选：B 11．（2019·山东中考模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3，动点 P 满足 S△PAB＝ 1 3 S 矩形 ABCD，则点 P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为（ ） A． 29 B． 34 C．5 2 D． 41 【答案】D 【解析】 解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h．∵S△PAB= 1 3 S 矩形 ABCD，∴ 1 2 AB•h= 1 3 AB•AD，∴h= 2 3 AD=2，∴动点 P 在 与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，连接 BE，则 BE 就是所求的最短距离． 在 Rt△ABE 中，∵AB=5，AE=2+2=4，∴BE= 2 2AB AE = 2 25 4 = 41 ，即 PA+PB 的最小值为 41 ．故 选 D． 12．（2019·山东省临沂实验中学中考模拟）如图，直线 AB∥CD，∠C＝44°，∠E 为直角，则∠1 等于（ ） A．132° B．134° C．136° D．138° 【答案】B 【解析】 解： 过 E 作 EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA， ∵∠C=44°，∠AEC 为直角， ∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°， ∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°， 故选 B． 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（2018·山东中考模拟）如图所示，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC 中的∠A 沿 DE 向 下翻折，使点 A 落在点 C 处．若 AE= 3 ，则 BC 的长是_____． 【答案】 3 【详解】∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB= 180 36 2    =72°， ∵将△ABC 中的∠A 沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处， ∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°， ∴∠CEB=72°， ∴BC=CE=AE= 3 ， 故答案为 3 ． 14．（2018·江苏中考模拟）如图，在正方形 ABCD 中，等边三角形 AEF 的顶点 E，F 分别在边 BC 和 CD 上， 则∠AEB＝__________. 【答案】75 【解析】 因为△AEF 是等边三角形，所以∠EAF=60°，AE=AF， 因为四边形 ABCD 是正方形，所以 AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°. 所以 Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），所以∠BAE=∠DAF. 所以∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°， 所以∠BAE=15°，所以∠AEB=90°-15°=75°. 故答案为 75. 15．（2018·广东中考模拟）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，BC 边上的高 AD=6cm，腰 AB 上的高 CE=8cm， 则 BC=_____cm 【答案】 24 55 【详解】 ∵AD 是 BC 边上的高，CE 是 AB 边上的高， ∴ 1 2 AB•CE＝ 1 2 BC•AD， ∵AD＝6，CE＝8， ∴ AB BC ＝ 3 4 ， ∴ 2 2 AB BC ＝ 9 16 ， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC＝ 1 2 BC， ∵AB2−BD2＝AD2， ∴AB2＝ 1 4 BC2＋36，即 9 16 BC2＝ 1 4 BC2＋36， 解得：BC＝ 24 55 ． 故答案为： 24 55 ． 16．（2019·江西中考模拟）Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点 B 的直线把△ABC 分割成两个 三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____． 【答案】3.6 或 4.32 或 4.8 【详解】在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4， ∴AB= 2 2AB BC =5，S△ABC= 1 2 AB•BC=6． 沿过点 B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： ①当 AB=AP=3 时，如图 1 所示， S 等腰△ABP= AP AC •S△ABC= 3 5 ×6=3.6； ②当 AB=BP=3，且 P 在 AC 上时，如图 2 所示， 作△ABC 的高 BD，则 BD= · 3 4 2.45 AB BC AC   ， ∴AD=DP= 2 23 2.4 =1.8， ∴AP=2AD=3.6， ∴S 等腰△ABP= AP AC •S△ABC= 3.6 5 ×6=4.32； ③当 CB=CP=4 时，如图 3 所示， S 等腰△BCP= CP AC •S△ABC= 4 5 ×6=4.8； 综上所述：等腰三角形的面积可能为 3.6 或 4.32 或 4.8， 故答案为：3.6 或 4.32 或 4.8． 17．（2018·广西中考真题）如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则 AD 的取值范 围是_____． 【答案】2＜AD＜8 【详解】如图，延长 BC 交 AD 的延长线于 E，作 BF⊥AD 于 F， 在 Rt△ABE 中，∵∠E=30°，AB=4， ∴AE=2AB=8， 在 Rt△ABF 中，AF= 1 2 AB=2， ∴AD 的取值范围为 2＜AD＜8， 故答案为：2＜AD＜8． 三、解答题（共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 18．（2019·江苏中考模拟）如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F，交 AC 的平 行线 BG 于 G 点，DE⊥DF，交 AB 于点 E，连结 EG、EF． （1）求证：BG＝CF； （2）请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）BE+CF＞EF．理由见解析． 【详解】 （1）∵BG∥AC， ∴∠DBG=∠DCF． ∵D 为 BC 的中点， ∴BD=CD 又∵∠BDG=∠CDF， 在△BGD 与△CFD 中，{ DBG DCF BD CD BDG CDF        ∴△BGD≌△CFD（ASA）． ∴BG=CF． （2）BE+CF＞EF． ∵△BGD≌△CFD， ∴GD=FD，BG=CF． 又∵DE⊥FG， ∴EG=EF． ∴在△EBG 中，BE+BG＞EG，即 BE+CF＞EF． 19．（2018·浙江中考真题）数学课上，张老师举了下面的例题： 例 1 等腰三角形 ABC 中， 110A  o ，求 BÐ 的度数.（答案： 35 ） 例 2 等腰三角形 ABC 中， 40A   ，求 BÐ 的度数.（答案： 40 或 70 或100 ） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形 ABC 中， 80A  ∠ ，求 BÐ 的度数. （1）请你解答以上的变式题. （2）解（1）后，小敏发现， A 的度数不同，得到 BÐ 的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形 ABC 中，设 A x   ，当 BÐ 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范围. 【答案】（1） 50B   或 20 或80 ；（2）当 0 90x  且 60x  ， BÐ 有三个不同的度数. 【解答】（1）当 A 为顶角，则 50B   ， 当 A 为底角，若 B 为顶角，则 20B   ， 若 B 为底角，则 80B   ， ∴ 50B   或 20 或80 . （2）分两种情况： ①当 90 180x  时， A 只能为顶角， ∴ B 的度数只有一个. ②当 0 90x  时， 若 A 为顶角，则 180 2 xB        ， 若 A 为底角，则 B x   或  180 2B x    ， 当180 180 22 x x   且 180 2 x x  且180 2x x  ，即 60x  时， B 有三个不同的度数. 综上①②，当 0 90x  且 60x  ， B 有三个不同的度数. 20．（2018·江苏中考真题）（A 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．（B 类）已知如图，四边形 ABCD 中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD． 【答案】（A 类）证明见解析；（B 类）证明见解析. 【详解】（A 类）连接 AC， ∵AB=AC，AD=CD， ∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA， ∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA， 即∠BAD=∠BCD； （B 类）连接 AC， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA， 又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=CD． 21．（2016·江苏中考真题）如图，已知△ABC 中，AB=AC，BD、CE 是高，BD 与 CE 相交于点 O （1）求证：OB=OC； （2）若∠ABC=50°，求∠BOC 的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠BOC=1000 【解析】 （1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE 是△ABC 的两条高线，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC； （2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．