2019年广东省茂名市茂南区中考数学一模试卷（含答案解析） 18页

‎2019年广东省茂名市茂南区中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．的倒数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．我县人口约为530060人，用科学记数法可表示为（　　）‎ A．53006×10人 B．5.3006×105人 ‎ C．53×104人 D．0.53×106人 ‎3．如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为中点，则说法错误的是（　　）‎ A．AD⊥BC B．＝ C．AE＝DE D．OE＝BE ‎4．由方程组可得出x与y的关系是（　　）‎ A．x+y＝1 B．x+y＝﹣1 C．x+y＝7 D．x+y＝﹣7‎ ‎5．如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为（　　）‎ A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1‎ ‎6．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎7．下列调查方式，你认为最合适的是（　　）‎ A．了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式 ‎ B．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式 ‎ C．了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式 [来源:学科网ZXXK]‎ D．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式 ‎8．某区“引进人才”招聘考试分笔试和面试．其中笔试按60%、面试按40%计算加权平均数作为总成绩．吴老师笔试成绩为90分．面试成绩为85分，那么吴老师的总成绩为（　　）分．‎ A．85 B．86 C．87 D．88[来源:学科网]‎ ‎9．在﹣3，1，0，﹣1这四个数中，最大的数是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎10．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点．若△ABC的面积是8，则四边形BCEF的面积是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）‎ ‎11．因式分解：9a3b﹣ab＝　 　．‎ ‎12．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是　 　．‎ ‎13．当x　 　时，分式的值为零．‎ ‎14．已知：如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为　 　．‎ ‎15．如图，已知直线y＝与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是　 　．‎ 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）‎ ‎16．化简：x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y）‎ ‎17．若关于x的不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围．‎ ‎18．如图，适当地改变方格图中的平行四边形的部分位置，并保持面积不变，先使其为矩形，再将矩形向下平移3个格后，继续改变其中某些部分的位置并保持面积不变，使其成为菱形．说明在变化过程中所运用的图形变换．‎ 四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）‎ ‎19．为了满足广大手机用户的需求，某移动通信公司推出了三种套餐，资费标准如下表：‎ 套餐资费标准 月套餐类型 套餐费用 套餐包含内容 超出套餐后的费用 本地主叫市话 短信 本地主叫市话 短信 国内移动数据流量 国内移动数据流量 套餐一 ‎18元 ‎30分钟 ‎100条 ‎50兆 ‎0.1元/‎ 分钟 ‎0.1元/条 ‎0.5元/兆 套餐二 ‎28元 ‎50分钟 ‎150条 ‎100兆 套餐三 ‎38元 ‎80分钟 ‎200条 ‎200兆 小莹选择了该移动公司的一种套餐，下面两个统计图都反映了她的手机消费情况．‎ ‎（1）已知小莹2013年10月套餐外通话费为33.6元，则她选择的上网套餐为套餐（填“一”、“二”或“三”）；‎ ‎（2）补全条形统计图，并在图中标明相应的数据；‎ ‎（3）根据2013年后半年每月的消费情况，小莹估计自己每月本地主叫市话通话大约430分钟，发短信大约240条，国内移动数据流量使用量大约为120兆，除此之外不再产生其他费用，则小莹应该选择套餐最划算（填“一”、“二”或“三”）；选择该套餐后，她每月的手机消费总额约为元．‎ ‎20．车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中一个通过．‎ ‎（1）一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是　 　．‎ ‎（2）用树状图或列表法求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．‎ 五．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）‎ ‎21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝BC，DF⊥AE，垂足是F，连接DE．求证：（1）DF＝AB；（2）DE是∠FDC的平分线．‎ ‎22．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．‎ ‎（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？‎ ‎23．如图，已知等边△ABC，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）求FG的长；‎ ‎（3）求tan∠FGD的值．‎ 六．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）‎ ‎24．如图，过点P（2，）作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作PM⊥AN交双曲线于点M，连接AM，若PN＝4．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）设直线MN解析式为y＝ax+b，求不等式的解集．‎ ‎2019年广东省茂名市茂南区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵×＝1，‎ ‎∴的倒数是．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．‎ ‎2．【分析】根据科学记数法的定义及表示方法进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵530060是6位数，‎ ‎∴10的指数应是5，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是科学记数法的定义及表示方法，熟知以上知识是解答此题的关键．‎ ‎3．【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．‎ ‎【解答】解：∵BC为⊙O直径，交弦AD于点E，B点为中点 ‎∴AD⊥BC，故A选项正确；‎ ‎∵BC为⊙O直径，B点为中点，‎ ‎∴＝，AE＝DE，故B、C选项正确，D选项错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的是垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．‎ ‎4．【分析】先把方程组化为的形式，再把两式相加即可得到关于x、y的关系式．‎ ‎【解答】解：原方程可化为，‎ ‎①+②得，x+y＝7．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是解二元一次方程组的加减消元法，比较简单．‎ ‎5．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字互为相反数列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形．‎ ‎“5”与“2x﹣3”是相对面，‎ ‎“y”与“x”是相对面，‎ ‎“﹣2”与“2”是相对面，‎ ‎∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，‎ ‎∴2x﹣3+5＝0，‎ x+y＝0，‎ 解得x＝﹣1，[来源:学*科*网]‎ y＝1，‎ ‎∴2x+y＝2×（﹣1）+1＝﹣2+1＝﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．‎ ‎6．【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．‎ ‎【解答】解：设这个多边形是n边形．‎ 依题意，得n﹣3＝5，‎ 解得n＝8．‎ 故这个多边形的边数是8．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了多边形的对角线，如果一个多边形有n条边，那么经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．‎ ‎7．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．‎ ‎【解答】解：A、了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，正确；‎ B、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，故错误；‎ C、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，抽样调查方式，故错误； ‎ D、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用抽样调查方式，故错误；‎ 故选：A．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．‎ ‎8．【分析】根据笔试和面试所占的百分比以及笔试成绩和面试成绩，列出算式，进行计算即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得，吴老师的综合成绩为90×60%+85×40%＝88（分），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了加权平均数，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式，用到的知识点是加权平均数．‎ ‎9．【分析】将各数按照从小到大顺序排列，找出最大的数即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得：﹣3＜﹣1＜0＜1，‎ 则最大的数是1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了有理数大小比较，将各数按照从小到大顺序排列是解本题的关键．‎ ‎10．【分析】由于E、F分别是AB、AC的中点，可知EF是△ABC的中位线，利用中位线的性质可知EF∥BC，且＝，再利用平行线分线段成比例定理可得△AEF∽△ABC，再利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可求△AEF的面积，从而易求四边形BEFC的面积．‎ ‎【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴EF是△ABC的中位线，[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎∴EF∥BC，＝，‎ ‎∴△AEF∽△ABC，‎ ‎∴S△AEF：S△ABC＝，[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴S△AEF＝2，‎ ‎∴S四边形BEFC＝8﹣2＝6．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了中位线的判定和性质、相似三角形的面积之比等于相似比的平方、平行线分线段成比例定理．‎ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）‎ ‎11．【分析】原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式＝ab（9a2﹣1）＝ab（3a+1）（3a﹣1）．‎ 故答案为：ab（3a+1）（3a﹣1）‎ ‎【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎12．【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．‎ ‎【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，‎ 故答案为：三角形具有稳定性．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．‎ ‎13．【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵分式的值为零，‎ ‎∴，‎ 解得x＝﹣4．‎ 故答案为：＝﹣4．[来源:学科网]‎ ‎【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式的分子等于零且分母不等于零．‎ ‎14．【分析】若连接正方形的对角线，可发现阴影部分的面积是圆（以A为圆心、正方形边长为半径的圆）与正方形的面积差，由此得解．‎ ‎【解答】解：如图；‎ ‎∵S弓形OB＝S弓形OD，‎ ‎∴S阴影＝S扇形ABD﹣S△ABD＝π×22﹣×2×2‎ ‎＝π﹣2．‎ ‎【点评】此题的计算过程并不复杂，关键是能够发现弓形OD和弓形OB的关系．‎ ‎15．【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，可知圆C上点到直线y＝x﹣3的最短距离是﹣1＝，由此求得答案．‎ ‎【解答】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，‎ 则由三角形面积公式得，×AB×CM＝×OA×BC，‎ ‎∴5×CM＝16，‎ ‎∴CM＝，‎ ‎∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最小距离是﹣1＝，‎ ‎∴△PAB面积的最小值是×5×＝，‎ 故答案是：．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离，属于中档题目．‎ 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）‎ ‎16．【分析】原式第一项利用单项式乘以多项式法则计算，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式＝4x2+3xy﹣4x2+y2‎ ‎＝3xy+y2．‎ ‎【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎17．【分析】首先利用a表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有3个，即可确定a的值．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x＞﹣，‎ 由②得：x＜2a，‎ 则不等式组的解集为：﹣＜x＜2a，‎ ‎∵不等式组只有3个整数解为0、1、2，‎ ‎∴2＜2a≤3，‎ ‎∴1＜a≤，‎ 故答案为：1＜a≤．‎ ‎【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎18．【分析】可先求原平行四边形的面积等于6，根据矩形和菱形的判定来作图形变化．‎ ‎【解答】解：把平行四边形竖着的一组对边与网格重合，即可得到一矩形，且面积＝6；再将矩形向下平移3个格后，使对角线分别为2、6，连接顶点，可得菱形，且面积为6，在变化过程中所运用的图形变换是平移变换．‎ ‎【点评】此题需熟练掌握矩形和菱形的判定以及面积计算．‎ 四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）‎ ‎19．【分析】（1）根据小莹2013年10月套餐外通话费和所占的百分比求出总的费用，再根据套餐费用占35%，列式计算即可；‎ ‎（2）根据扇形统计图提供的数据求出10月份的总金额，再补全统计图即可；‎ ‎（3）根据每种套餐的优惠方法分别求出每种套餐的费用，再找出最划算的套餐即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：×35%＝28（元），‎ 答：她选择的上网套餐为套餐二；‎ 故答案为：二；‎ ‎（2）根据题意得：10月份的总金额是：＝80（元），‎ 补图如下：‎ ‎（3）根据题意可得：‎ 选择套餐一的费用是：18+400×0.1+140×0.1+70×0.5＝107（元），‎ 选择套餐二的费用是：28+380×0.1+90×0.1+20×0.5＝85（元），‎ 选择套餐三的费用是：38+350×0.1+40×0.1＝77（元），‎ 则小莹应该选择套餐三最划算，她每月的手机消费总额约77元．‎ ‎【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ ‎20．【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；‎ ‎（2）画出树状图即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）选择A通道通过的概率＝，‎ 故答案为：；‎ ‎（2）设两辆车为甲，乙，‎ 如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，‎ ‎∴选择不同通道通过的概率＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．‎ 五．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）‎ ‎21．【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，得出∠DAF＝∠AEB，证出AD＝AE，由AAS证明△ADF≌△EAB，即可得出结论；‎ ‎（2）由HL证明Rt△DEF≌Rt△DEC，得出对应角相等∠EDF＝∠EDC，即可得出结论．‎ ‎【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD＝BC，AB＝DC，AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，‎ ‎∴∠DAF＝∠AEB，‎ ‎∵AE＝BC，‎ ‎∴AD＝AE，‎ ‎∵DF⊥AE，‎ ‎∴∠AFD＝∠DFE＝90°，‎ ‎∴∠AFD＝∠B，‎ 在△ADF和△EAB中，，‎ ‎∴△ADF≌△EAB（AAS），‎ ‎∴DF＝AB；‎ ‎（2）∵DF＝AB，AB＝DC，‎ ‎∴DF＝DC，‎ 在Rt△DEF和Rt△DEC中，，‎ ‎∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），‎ ‎∴∠EDF＝∠EDC，‎ ‎∴DE是∠FDC的平分线．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．‎ ‎22．【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；‎ ‎（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；‎ ‎（3）把y＝4000代入函数解析式，求得相应的x值，即可确定销售单价应控制在什么范围内．‎ ‎【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]‎ ‎＝（x﹣50）（﹣5x+550）‎ ‎＝﹣5x2+800x﹣27500，‎ ‎∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；‎ ‎（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，‎ ‎∵a＝﹣5＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下．‎ ‎∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，‎ ‎∴当x＝80时，y最大值＝4500；‎ ‎（3）当y＝4000时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，‎ 解得x1＝70，x2＝90．‎ ‎∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，再求解．‎ ‎23．【分析】（1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，所以∠ODB＝60°＝∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD＝CD＝6．在Rt△CDF中，由∠C＝60°，得∠CDF＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF＝CD＝3，所以AF＝AC﹣CF＝9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；‎ ‎（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD＝∠GDH．解Rt△BDH，得BH＝BD＝3，DH＝BH＝3．解Rt△AFG，得AG＝AF＝，则GH＝AB﹣AG﹣BH＝，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH＝＝，则tan∠FGD可求．‎ ‎【解答】（1）证明：连结OD，如图，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，‎ 而OD＝OB，‎ ‎∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，‎ ‎∴∠ODB＝∠C，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵DF⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∴DF是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵OD∥AC，点O为AB的中点，‎ ‎∴OD为△ABC的中位线，‎ ‎∴BD＝CD＝6．‎ 在Rt△CDF中，∠C＝60°，‎ ‎∴∠CDF＝30°，‎ ‎∴CF＝CD＝3，‎ ‎∴AF＝AC﹣CF＝12﹣3＝9，‎ 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，‎ ‎∴FG＝AF×sinA＝9×＝；‎ ‎（3）解：过D作DH⊥AB于H．‎ ‎∵FG⊥AB，DH⊥AB，‎ ‎∴FG∥DH，‎ ‎∴∠FGD＝∠GDH．‎ 在Rt△BDH中，∠B＝60°，‎ ‎∴∠BDH＝30°，‎ ‎∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3．‎ 在Rt△AFG中，∵∠AFG＝30°，‎ ‎∴AG＝AF＝，‎ ‎∵GH＝AB﹣AG﹣BH＝12﹣﹣3＝，‎ ‎∴tan∠GDH＝＝＝，‎ ‎∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识．‎ 六．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）‎ ‎24．【分析】（1）首先根据点P（2，）的坐标求出N点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出；‎ ‎（2）利用图形两函数谁在上上面谁大，交点坐标即是函数大小的分界点，可以直接判断出函数的大小关系．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，则AN＝4+2＝6，‎ ‎∴N（6，2），‎ 把N（6，2）代入y＝得：‎ xy＝12，‎ ‎∴k＝12；‎ ‎（2）∵M点横坐标为2，‎ ‎∴M点纵坐标为：＝6，‎ ‎∴M（2，6），‎ ‎∴由图象知，≥ax+b的解集为：‎ ‎0＜x≤2或x≥6．‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求解析式和利用图形判断函数的大小关系，数形结合解决比较函数的大小关系是初中阶段的难点问题，同学们重点学习．‎