2020年四川省南充市中考试卷 23页

南充市二〇二〇年初中学业水平考试 数学试卷 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1.若 1 - 4x  ，则 x的值是 （ ） A. 4 B. 1 4 C. 1 4  D. ﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据解分式方程即可求得 x 的值． 【详解】解： 1 4x   ，去分母得1 4x  ， ∴ 1 4x   ， 经检验， 1 4x   是原方程的解 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 2.2020 年南充市各级各类学校学生人数约为 1 150 000 人，将 1 150 000 用科学计数法表示为（ ） A. 1.15×106 B. 1.15×107 C. 11.5×105 D. 0.115×107 【答案】A 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝 对值＜1 时，n 是负数． 【详解】解：1150000 用科学计数法表示为：1.15×106， 故选：A． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值，注意保留的数位． 3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若 AB=2，当风车转动 90°时，点 B 运动路径的长度为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【答案】A 【解析】 【分析】 B 点的运动路径是以 A 点为圆心，AB 长为半径的圆的 1 4 的周长，然后根据圆的周长公式即可得到 B 点的 运动路径长度为π． 【详解】解：∵B 点的运动路径是以 A 点为圆心，AB 长为半径的圆的 1 4 的周长， ∴ 90 2 2 360 p p= o o ， 故选：A． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键． 4.下列运算正确的是（ ） A. 3a+2b=5ab B. 3a·2a=6a2 C. a3+a4=a7 D. (a-b)2=a2-b2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据同类项、同底数幂乘法、完全平方公式逐一进行判断即可． 【详解】A．不是同类项，不能合并，此选项错误； B．3a·2a=6a2，此选项正确； C．不是同类项，不能合并，此选项错误； D．(a-b)2=a2-2ab+b2，此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查整式的加法和乘法，熟练掌握同类项、同底数幂乘法、完全平方公式的运算法则是解题 的关键． 5.八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则 下列说法错误的是（ ） A. 该组成绩的众数是 6 环 B. 该组成绩的中位数数是 6 环 C. 该组成绩的平均数是 6 环 D. 该组成绩数据的方差是 10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、∵6 出现了 3 次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是 6 环，故本选项正确； B、该组成绩的中位数是 6 环，故本选项正确； C、该组成绩的平均数是： 1 7 （4+5+6+6+6+7+8）=6（环），故本选项正确； D、该组成绩数据的方差是： 2 2 2 2 2(4 6) (5 6) 3(6 6) (7 6) (8 6) 10 7 7           ，故本选项错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义． 6.如图，在等腰三角形 ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则 CD=（ ） A. 2 a b B. 2 a b C. a-b D. b-a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等腰三角形的性质和判定得出 BD=BC=AD，进而解答即可． 【详解】解：∵在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°， ∴∠ABD=36°=∠A， ∴BD=AD， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C， ∴BD=BC， ∵AB=AC=a，BC=b， ∴CD=AC-AD=a-b， 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出 BD=BC=AD 解答． 7.如图，面积为 S 的菱形 ABCD 中，点 O 为对角线的交点，点 E 是线段 BC 单位中点，过点 E 作 EF⊥BD 于 F，EG⊥AC 与 G，则四边形 EFOG 的面积为（ ） A. 1 4 S B. 1 8 S C. 1 12 S D. 1 16 S 【答案】B 【解析】 【分析】 由菱形的性质得出 OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝ 1 2 AC×BD，证出四边形 EFOG 是矩形，EF∥OC， EG∥OB，得出 EF、EG 都是△OBC 的中位线，则 EF＝ 1 2 OC＝ 1 4 AC，EG＝ 1 2 OB＝ 1 4 BD，由矩形面积 即可得出答案． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝ 1 2 AC×BD， ∵EF⊥BD 于 F，EG⊥AC 于 G， ∴四边形 EFOG 是矩形，EF∥OC，EG∥OB， ∵点 E 是线段 BC 的中点， ∴EF、EG 都是△OBC 的中位线， ∴EF＝ 1 2 OC＝ 1 4 AC，EG＝ 1 2 OB＝ 1 4 BD， ∴矩形 EFOG 的面积＝EF×EG＝ 1 4 AC× 1 4 BD＝ 1 8 1 2 AC BD    = 1 8 S； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握 菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 8.如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sin∠BAC=（ ） A. 2 6 B. 26 26 C. 26 13 D. 13 13 【答案】B 【解析】 【分析】 作 BD⊥AC 于 D，根据勾股定理求出 AB、AC，利用三角形的面积求出 BD，最后在直角△ABD 中根据三 角函数的意义求解． 【详解】解：如图，作 BD⊥AC 于 D， 由勾股定理得， 2 2 2 23 2 13, 3 3 3 2AB AC      ， ∵ 1 1 13 2 1 32 2 2ABCS AC BD BD        ， ∴ 2 2BD  ， ∴ 2 262sin 2613 BDBAC AB     ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直 角三角形和利用三角形的面积求出 BD 是解决问题的关键． 9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线 y=ax2 的图象与正方 形有公共顶点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 1 39 a  B. 1 19 a  C. 1 33 a  D. 1 13 a  【答案】A 【解析】 【分析】 求出抛物线经过两个特殊点时的 a 的值即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3， 当抛物线经过（3，1）时，a= 1 9 ， 观察图象可知 1 9 ≤a≤3， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10.关于二次函数 2 4 5( 0)y ax ax a    的三个结论：①对任意实数 m，都有 1 2x m  与 2 2x m  对 应的函数值相等；②若 3≤x≤4，对应的 y 的整数值有 4 个，则 4 13 a    或 41 3a  ；③若抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6，则 5 4a   或 1a  ．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可求次函数 y=ax2-4ax-5 的对称轴为直线 4 22 ax a    ，由对称性可判断①；分 a＞0 或 a＜0 两种情 况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分 a＞0 或 a＜0 两种情况讨论，由题意列出不等式组，可 求解，可判断③；即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为 4 22 ax a    ， ∴x1=2+m 与 x2=2-m 关于直线 x=2 对称， ∴对任意实数 m，都有 x1=2+m 与 x2=2-m 对应的函数值相等； 故①正确； 当 x=3 时，y=-3a-5，当 x=4 时，y=-5， 若 a＞0 时，当 3≤x≤4 时，-3a-5＜y≤-5， ∵当 3≤x≤4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， ∴ 41 3a  ， 若 a＜0 时，当 3≤x≤4 时，-5≤y＜-3a-5， ∵当 3≤x≤4 时，对应的 y 的整数值有 4 个， ∴ 4 13 a    ， 故②正确； 若 a＞0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6， ∴△＞0，25a-20a-5≥0， ∴ 216 20 0 5 5 0 a a a       ， ∴ 1a  ； 若 a＜0，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6， ∴△＞0，25a-20a-5≤0， ∴ 216 20 0 5 5 0 a a a       ∴a＜ 5 4  ， 综上所述：当 a＜ 5 4  或 a≥1 时，抛物线与 x 轴交于不同两点 A，B，且 AB≤6． 故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与 x 轴的 交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 11.计算： 01 2 2   __________． 【答案】 2 【解析】 【分析】 原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值． 【详解】解： 01 2 2  = 2 -1+1 = 2 故答案为： 2 ． 【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12.如图，两直线交于点 O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度． 【答案】38 【解析】 【分析】 直接利用对顶角的性质结合已知得出答案． 【详解】解：∵两直线交于点 O， ∴∠1=∠2， ∵∠1+∠2=76°， ∴∠1=38°． 故答案为：38． 【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键． 13.从长度分别为 1,2,3,4 的四条线段中任选 3 条，能构成三角形的概率为____． 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数．再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组 数，就可求出概率． 【详解】解：这四条线段中任取三条，所有的结果有： （1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4） 共 4 个结果， 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 其中能构成三角形的只有（2，3，4）一种情况， 故能构成三角形的概率是 1 4 ． 故答案为： 1 4 . 【点睛】注意分析任取三条的总情况，再分析构成三角形的情况，从而求出构成三角形的概率．用到的知 识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14.笔记本 5 元/本，钢笔 7 元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去 100 元，那么最多可以购买钢笔_______ 支． 【答案】10 【解析】 【分析】 首先设某同学买了 x 支钢笔，则买了 y 本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100 元，可 得 720 5 xy = - ，根据 x 最大且又能被 5 整除，即可求解． 【详解】设钢笔 x 支，笔记本 y 本，则有 7x+5y=100，则 100 7 7205 5 x xy -= = - ， ∵x 最大且又能被 5 整除，y 是正整数， ∴x=10， 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系． 15.若 2 3 1x x   ，则 1 1x x- =+ __________． 【答案】 2 【解析】 【分析】 1 1x x- + 中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据 2 3 1x x   ，代入化简即可得到结果． 【详解】解： 2 21 1 3 2 1 2 2 2( 1) 21 1 1 1 1 x x x x x x xx x x x x x + - + - - - - - +- = = = = = -+ + + + + 故答案为：-2 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16.△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O的直径，将△ABC 绕点 C 旋转到△EDC，点 E 在⊙上，已知 AE=2，tanD=3， 则 AB=__________． 【答案】10 3 【解析】 【分析】 过 C 作 CH⊥AE 于 H 点，由旋转性质可得 D AEC   ，根据三角函数可求得 AC，BC 长度，进而通过 解直角三角形即可求得 AB 长度． 【详解】解：过 C 作 CH⊥AE 于 H 点， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴ 90AEB ACB    ， 由旋转可得 90ECD ACB    ， ∴ 90 90D CED AEC CED         ， ， ∴ D AEC   ， ∴tanD=tan∠AEC=CH∶EH=3，AE=2， ∴HE=1，CH=3， ∴AC=CE= 10 ， ∵tanD=tan∠ABC=AC∶BC=3， ∴BC= 10 3 ， ∴AB= 2 2 10 3AC BC  ， 故答案为：10 3 ． 【点睛】本题考查图形的旋转，圆的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题共 9 个小题，共 86 分． 17.先化简，再求值： 21( 1)1 1 x x x x    ，其中 2 1x   ． 【答案】 1 1x   ， 2 2  【解析】 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 1 1 ( 1) 1 1 1 x x x x x x          1 1 ( 1) x x x x x     1 1x    当 2 1x   时，原式 2 2   ． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18.如图，点 C 在线段 BD 上，且 AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 根据 AB  BD，DE  BD，AC  CE，可以得到 90ABC CDE ACB       ， 90ACB ECD     ， 90ECD CED     ，从而有 ACB CED   ，可以验证 ABC 和 CDE 全等，从而得到 AB=CD． 【详解】证明： ∵ AB BD ， DE BD ， AC CE ∴ 90ABC CDE ACB       ∴ 90ACB ECD     ， 90ECD CED     ∴ ACB CED   在 ABC 和 CDE 中 ACB CED BC DE ABC CDE         ∴ ABC ≌ CDE 故 AB CD ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角 之间的关系是解题的关键． 19.今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助，某批次派出 20 人组成的专家组， 分别赴 A、B、C、D 四个国家开展援助工作，七人员分布情况如统计图（不完整）所示： （1）计算赴 B 国女专家和 D 国男专家的人数，并将条形统计图补充完整; （2）根据需要，从赴 A 国的专家，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好 是一男一女的概率． 【答案】（1）1，3，图详见解析；（2） 3 5P  【解析】 【分析】 （1）先求出 B 国专家总人数，然后减去男专家人数即可求出，先求 D 国专家的总人数，然后减去女专家人 数即可； （2）用列表法列出所有等可能的情况，然后找出两名专家恰好是一男一女的情况即可． 【详解】解：（1） B 国女专家： 20 40% 5 3   （人）， D 国男专家： 20 (1 25% 40% 20%) 2 1      （人）， （注：补全条形图如图所示） ； （2）从 5 位专家中，随机抽取两名专家的所有可能结果是： 男 1 男 2 女 1 女 2 女 3 男 1 （男 1，男 2） （男 1，女 1） （男 1，女 2） （男 1，女 3） 男 2 （男 2，男 1） （男 2，女 1） （男 2，女 2） （男 2，女 3） 女 1 （女 1，男 1） （女 1，男 2） （女 1，女 2） （女 1，女 3） 女 2 （女 2，男 1） （女 2，男 2） （女 2，女 1） （女 2，女 3） 女 3 （女 3，男 1） （女 3，男 2） （女 3，女 1） （女 3，女 2） 由上表可知，随机抽取两名专家的所有可能有 20 种情况，并且出现的可能性相等， 其中恰好抽到一男一女的情况有 12 种， 则抽到一男一女专家的概率为： 12 3 20 5P   ． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用列表法和树状图法求概率，列出所有等可能情况是解题 关键． 20.已知 1x ， 2x 是一元二次方程 2 2 2 0x x k    的两个实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使得等式 1 2 1 1 2kx x    成立？如果存在，请求出 k 的值，如果不存在，请说明理 由． 【答案】（1） 1k   ；（2） 6k   【解析】 【分析】 （1）根据方程的系数结合  ≥0，即可得出关于 k 的一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出 x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合 1 2 1 1 2kx x    ，即可得出关于 k 的方程， 解之即可得出 k 值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴ 2( 2) 4( 2) 0k     … 解得 1k   ； （2）由一元二次方程根与系数关系， 1 2 1 22, 2x x x x k    ∵ 1 2 1 1 2kx x    ， ∴ 1 2 1 2 2 22 x x kx x k     即 ( 2)( 2) 2k k   ，解得 6k   ． 又由（1）知： 1k   ， ∴ 6k   ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0 时，方程有两个实 数根”；（2）根据根与系数的关系结合 1 2 1 1 2kx x    ，找出关于 k 的方程． 21.如图，反比例函数 (k 0,x 0)ky x    的函数与 y=2x 的图象相交于点 C，过直线上一点 A（a，8）作 AAB⊥y 轴交于点 B，交反比函数图象于点 D，且 AB=4BD． （1）求反比例函数的解析式； （2）求四边形 OCDB 的面积． 【答案】（1） 8y x  ；（2）10 【解析】 【分析】 （1）求出点 D 的坐标即可解决问题； （2）构建方程组求出点 C 的坐标，利用分割法求面积即可． 【详解】解：（1）由点 ( ,8)A a 在 2y x 上，则 4a  ， ∴ (4,8)A ， ∵ AB y 轴，与反比例函数图象交于点 D ，且 4AB BD ∴ 1BD  ，即 (1,8)D ， ∴ 8k = ，反比例函数解析式为 8y x  ； （2）∵C 是直线 2y x 与反比例函数 8y x  图象的交点 ∴ 82x x  ， ∵ 0x  ∴ 2x  ，则 (2,4)C ∴ 1 4 8 162ABOS     ， 1 3 4 62ADCS     ， ∴ 10ABO ADCOCDBS S S   四边形 ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题 型． 22.如图，点 A，B，C 是半径为 2 的⊙O 上三个点，AB 为直径，∠BAC 的平分线交圆于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 得延长线于点 E，延长线 ED 交 AB 得延长线于点 F． （1）判断直线 EF 与⊙O 的位置关系，并证明． （2）若 DF= 4 2 ，求 tan∠EAD 的值． 【答案】（1）直线 EF 与圆 O 相切，证明详见解析；（2） 2tan 2EAD  【解析】 【分析】 （1）连接 OD，由 OA＝OD 知∠OAD＝∠ODA，由 AD 平分∠EAF 知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝ ∠ADO，继而知 OD∥AE，根据 AE⊥EF 即可得证； （2）根据勾股定理得到 2 2 6OF OD DF= + = ，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到 结论． 【详解】解：（1）直线 EF 与圆 O 相切 理由如下：连接 OD ∵ AD 平分 BAC ∴ EAD OAD   ∵OA OD ∴ ODA OAD EAD     ∴ / /OD AE 由 AE EF ，得OD EF ∵点 D 在圆 O 上 ∴ EF 是圆O 的切线 （2）由（1）可得，在 Rt ODF 中， 2OD  ， 4 2DF  ， 由勾股定理得 2 2 6OF OD DF= + = ∵ / /OD AE ∴ OD OF DF AE AF EF   即 2 6 4 2 8 4 2AE ED    ，得 8 3AE  ， 4 2 3ED  ∴在 Rt AED 中， 2tan 2 DEEAD AE    【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图 形是解题的关键． 23.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 10 万元/件（1）如图，设第 x （0＜x≤20）个生产周期设备售价 z 万元/件，z 与 x 之间的关系用图中的函数图象表示，求 z 关于 x 的函数 解析式（写出 x 的范围）． （2）设第 x 个生产周期生产并销售的设备为 y 件，y 与 x 满足关系式 y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件 下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本） 【答案】（1） 16, (0 12) 1 19. (12 20)4 x z x x     „ „ ；（2）工厂在第 14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 万元． 【解析】 【分析】 （1）由图像可知，当 0 12x „ ，函数为常数函数 z=16；当12 20x  ，函数为一次函数，设函数解析式 为 ( 0)y kx b k   ，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到 z 关于 x 的函数解析式； （2）根据 x 的不同取值范围，z 关于 x 的关系式不同，设 W 为利润，当 0 12x „ ， 30 240W x  ，可知 x=12 时有最大利润；当12 20x  ， 25 ( 14) 6054W x    ，当 14x  时有最大利润． 【详解】解：（1）由图可知，当 0 12x „ 时， 16z  当12 20x  时， z 是关于 x 的一次函数，设 z kx b  则 12 16 20 14 k b k b      ，得 1 , 194k b   ，即 1 194z x   ∴ z 关于 x 的函数解析式为 16, (0 12) 1 19. (12 20)4 x z x x     „ „ （2）设第 x 个生产周期工厂创造的利润为W 万元 ① 0 12x „ 时， (16 10) (5 40) 30 240W x x      当 12x  时， 30 12 240 600W    最大值 （万元） ②12 20x  时， 1 19 10 (5 40)4W x x         2 25 535 360 ( 14) 6054 4x x x        当 14x  时， 605W 最大值 （万元） 综上所述，工厂在第 14 个生产周期创造的利润最大，最大是 605 万元． 【点睛】（1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的 解析式，能根据图像找到函数所过点； （2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式 是解本题的关键． 24.如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 K 在 AD 上，连接 BK，过点 A，C 作 BK 的垂线，垂足分别为 M，N，点 O 是正方形 ABCD 的中心，连接 OM，ON． （1）求证：AM=BN； （2）请判断△OMN 的形状，并说明理由； （3）若点 K 在线段 AD 上运动（不包括端点），设 AK=x，△OMN 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式 （写出 x 的范围）；若点 K 在射线 AD 上运动，且△OMN 的面积为 1 10 ，请直接写出 AK 长． 【答案】（1）详见解析；（2） OMN 是等腰直角三角形，理由详见解析；（3） 2 2 2 1(0 1)4 4 x xy xx     ， AK 长为 1 3 或 3． 【解析】 【分析】 （1）由“AAS”可证△ABM≌△BCN，可得 AM＝BN； （2）连接 OB，由“SAS”可证△AOM≌△BON，可得 MO＝NO，∠AOM＝∠BON，由余角的性质可得∠MON ＝90°，可得结论； （3）由勾股定理可求 BK 的值，由 AM BM ，四边形 ABCD 是正方形，可得： ABM KBAV :V ， AKM BKAV :V ，则可求得 2 1 1 xMN x -= + ，由三角形面积公式可求得 2 2 2 1 4 4 x xy x - += + ；点 K 在射线 AD 上运 动，分两种情况：当点 K 在线段 AD 上时和当点 K 在线段 AD 的延长线时分别求解即可得到结果． 【详解】解：（1）证明： ∵ ,AM BM CN BN  ∴ 90AMB BNC     又∵ 90ABC   ∴ 90 , 90MAB MBA CBN MBA         ∴ MAB CBN   又 AB BC ∴ AMB ≌ BNC （AAS） ∴ AM BN （2） OMN 是等腰直角三角形 理由如下：连接OB ， ∵O 为正方形的中心 ∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO， ∵∠MAB＝∠CBM， ∴ MAB OAB NBC OBC     ，即 MAO OBN   ∵ ,OA OB AM BN  ∴ AMO ≌ BNO （SAS） ∴OM ON ， AOM BON   ∵ 90AOB AON BON       ∵∠AON+∠BON＝90°， ∴∠AON+∠AOM＝90°， ∴ 90MON   ∴ OMN 是等腰直角三角形． （3）在 Rt ABK 中， 2 2 2 1BK AK AB x    由 AM BM ，四边形 ABCD 是正方形， 可得： ABM KBAV :V ， AKM BKAV :V ∴ AB MA KB AK= ， AK MK BK AK= ∴ BK AM AB AK   ，得： 2 1 AB AK xBN AM BK x     ∴ 2AK KM BK  ，得： 2 2 2 1 AK xKM BK x    ∴ 2 2 2 2 2 11 1 1 1 x x xMN BK BN KM x x x x            ∴ 2 2 2 1 (1 ) 4 4 4OMN xS MN x    即： 2 2 2 1(0 1)4 4 x xy xx     当点 K 在线段 AD 上时，则 2 2 1 2 1 10 4 4 x x x - += + ， 解得：x1＝3（不合题意舍去）， 2 1 3x  ， 当点 K 在线段 AD 的延长线时，同理可求得 2 2 2 1( 1)4 4 x xy xx - += >+ ∴ 2 2 1 2 1 10 4 4 x x x - += + ， 解得：x1＝3， 2 1 3x  （不合题意舍去）， 综上所述： AK 长为 1 3 或 3 时，△OMN 的面积为 1 10 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，解分式方程等知识点，能熟练应用相关性质是本题的关键． 25.已知二次函数图象过点 A（-2，0），B（4，0），C（0，4） （1）求二次函数的解析式； （2）如图，当点 P 为 AC 的中点时，在线段 PB 上是否存在点 M，使得∠BMC=90°？若存在，求出点 M 的 坐标，若不存在，请说明理由． （3）点 K 在抛物线上，点 D 为 AB 的中点，直线 KD 与直线 BC 的夹角为锐角 ，且 tan = 5 3 ，求点 K 的 坐标． 【答案】（1） 21 42y x x    ；（2）线段上存在 24 56,29 29M ÷ç- ÷ç ÷ç ，使得 90BMC   ，理由详见解析；（3） 抛物线上符合条件的点 K 坐标为： (2,4) 或 ( 8, 36)  或 3 145 1 145,4 16 + - + ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç 或 3 145 1 145,4 16 - - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ． 【解析】 【分析】 （1）设二次函数的解析式为 ( 2)( 4)y a x x   ，将点 C 坐标代入可求解； （2）利用中点坐标公式可求 P（﹣1，2），点 Q（2，2），由勾股定理可求 BC 的长，由待定系数法可求 PB 解析式，设点 M 2 8, 5 5a a ÷ç - + ÷ç ÷ç ，由两点距离公式可得 2 22 2 ( 2) 85 5a a÷ç + + - =÷ç ÷ç ，可求 24 29a   或 4a  ，即可 求解； （3）过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，设直线 DK 与 BC 交于点 N，先求出 3DB  ， 3 2 2DE  ，由锐角三角 函数可求 9 2 tan 10 DENE q = = ，分 DK 与射线 EC 交于点 ( ,4 )N m m 和 DK 与射线 EB 交于 ( ,4 )N m m 两种 情况讨论，求出直线 DK 解析式，联立方程组可求点 K 坐标． 【详解】 解：（1）二次函数的图象过点 ( 2,0), (4,0)A B 设二次函数解析式为 ( 2)( 4)y a x x   又二次函数的图象过点 (0,4)C ， ∴ 8 4a  ，即 1 2a   故二次函数解析式为 21 42y x x    （2）线段上存在 24 56,29 29M ÷ç- ÷ç ÷ç ，使得 90BMC   ，理由如下： 设 BC 中点为Q ，由题意，易知Q 的坐标为 (2,2) ， 4 2BC  若 90BMC   ，则 1 2 22MQ BC  ∵ ( 2,0), (0,4)A C ，∴≈ AC 的中点 P 为 ( 1,2) 设 PB 所在的直线为 y kx b  ，则 2 4 0 k b k b ì- + =ïïíï + =ïî ，得 2 8,5 5k b   PB 所在的直线为 2 8 5 5y x   M 在线段 PB 上，设 M 的坐标为 2 8, 5 5a a ÷ç - + ÷ç ÷ç ，其中 1 4a „ „ 如图 1，分别过 M ，Q 作 y 轴与 x 轴的垂线 1l ， 2l ，设 1l ， 2l 相交于点T ， ∴ 2 8 2 225 5 5 5QT a a= - + - = + | 2 |MT a  ∵ 2 2 2MQ QT MT  ∴ 2 22 2 ( 2) 85 5a a÷ç + + - =÷ç ÷ç 整理得 229 92 96 0a a   ，解得 24 29a   或 4a  当 4a  时， B ， M 重合，不合题意（舍去） ∴ 24 29a   ，则 M 的坐标为 24 56( , )29 29  故线段 PB 上存在 24 56,29 29M ÷ç- ÷ç ÷ç ，使得 90BMC   （3）如图 2，过点 D 作 DE BC 于点 E ，设直线 DK 与 BC 交于点 N ∵ (1,0), (4,0), 45D B EBD   ∴ 3 2 5 33, , ,2 2 2DB DE E ÷ç= = ÷ç ÷ç ∵ (0,4)C ∴直线 : 4BC y x   在 Rt DNE 中 3 2 9 22 5tan 10 3 DENE    ①若 DK 与射线 EC 交于点 ( ,4 )N m m ∴ 5 9 22 2 10NE m÷ç= - =÷ç ÷ç ∴ 8 5m  ∴ 8 12,5 5N ÷ç ÷ç ÷ç ∴直线 : 4 4DK y x  ∴ 2 4 4 1 42 y x y x x ì = -ïïïíï =- + +ïïî 解得 2 4 x y    或 8 36 x y ì = -ïïíï = -ïî ②若 DK 与射线 EB 交于点 ( ,4 )N m m ∴ 5 9 22 2 10NE m ÷ç= - =÷ç ÷ç ∴ 17 5m  ∴ 17 3,5 5N ÷ç ÷ç ÷ç ∴直线 1 1: 4 4DK y x  2 1 1 4 4 1 42 y x y x x ìïï = -ïïïíïï = - + +ïïïî ，解得 3 145 4 1 145 16 x y ìï +ï =ïïïíï - +ïï =ïïî 或 3 145 4 1 145 16 x y ìï -ï =ïïïíï - -ïï =ïïî 综上所述，抛物线上符合条件的点 K 坐标为： (2,4) 或 ( 8, 36)  或 3 145 1 145,4 16 + - + ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç 或 3 145 1 145,4 16 - - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰 直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是 本题的关键．