- 206.89 KB
- 2021-11-06 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
{来源}2019年眉山中考数学试卷
{适用范围:3. 九年级}
{标题}2019年四川省眉山市中考数学试卷
考试时间:120分钟 满分:120分
{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.
{题目}1.(2019年眉山)下列四个数中,是负数是( )
A.|-3| B.﹣(﹣3) C.(﹣3)2 D.﹣
{答案}D
{解析}本题考查了正数和负数,判断一个数是正数还是负数,关键是看它比0大还是比0小.|﹣3|=3,﹣(﹣3)=3,(﹣3)2=9,∴四个数中,负数是﹣.因此本题选D.
{分值}3
{章节:[1-1-1-1]正数和负数}
{考点:负数的定义}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}2.(2019年眉山)中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片,在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管,是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器,将120亿个用科学记数法表示为( )
A.1.2×109个 B.12×109个 C.1.2×1010个 D.1.2×1011个
{答案}C
{解析}本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-1-5-2]科学计数法}
{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}3.(2019年眉山)如图是由6个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的左视图是( )
第3题图
A
B
C
D
{答案}D
{解析}本题考查三视图,关键是把握好三视图所看的方向.属于基础题,中考常考题型.左视图有2层3列,第一层有3个正方形,第二层有一个正方形;每列上正方形的分布从左到右分别是2,1,1个.因此本题选D.
{分值}3
{章节:[1-29-2]三视图}
{考点:简单组合体的三视图}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}4.(2019年眉山)下列运算正确的是( )
A.2x2y+3xy=5x3y2 B.(﹣2ab2)3=﹣6a3b6
C.(3a+b)2=9a2+b2 D. (3a+b) (3a﹣b)=9a2﹣b2
{答案}D
{解析}本题考查了合并同类项的法则、幂的运算性质以及乘法公式,熟练掌握相关公式是解答本题的关键.A.2x2y和3xy不是同类项,故不能合并,故选项A不合题意;
B.(﹣2ab2)3=﹣8a3b6,故选项B不合题意;
C.(3a+b)2=9a2+6ab+b2,故选项C不合题意;
D.(3a+b)(3a﹣b)=9a2﹣b2,故选项D符合题意.因此本题选D.
{分值}3
{章节:[1-14-2]乘法公式}
{考点:完全平方公式}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}5.(2019年眉山)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=300,∠ADC=700,则∠C的度数是( )
A.500 B.600 C.700 D.800
A
B
D
C
第5题图
{答案}C
{解析}本题考查了三角形的外角性质定理,角平分线的定义以及三角形的内角和定理,本题较为综合,∵∠B=30°,∠ADC=70°
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=70°﹣30°=40°
∵AD平分∠BAC
∴∠BAC=2∠BAD=80°
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣30°﹣80°=70°因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}
{考点:三角形内角和定理}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}6.(2019年眉山)函数y=中自变量x的取值范围是( )
A. x≥﹣2且x≠1 B. x≥﹣2 C. x≠1 D.﹣2≤x<1
{答案}A
{解析}本题考查了分式有意义,分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义:①当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数.例如y=2x+13中的x.②当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2x﹣1.③当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问题有意义.根据二次根式有意义,分式有意义得:x+2≥0且x﹣1≠0,
解得:x≥﹣2且x≠1.因此本题选A.
{分值}3
{章节:[1-16-1]二次根式}
{考点:二次根式的有意义的条件}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}7.(2019年眉山)化简(a﹣)÷的结果是( )
A.a﹣b B.a+b C. D.
{答案}B
{解析}本题考查了分式的混合运算,正确进行通分运算是解题关键.原式=×
=×
=a+b.因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-16-3]二次根式的加减}
{考点:二次根式的混合运算}
{类别:常考题
{难度:2-简单}
{题目}8.(2019年眉山)某班七个兴趣小组人数如下:5,6,6,x,7,8,9.已知这组数据的平均数是7,则这组数据的中位数是( )
A.6 B.6.5 C.7 D.8
{答案}C
{解析}本题考查了中位数,正确得出x的值是解题关键.∵5,6,6,x,7,8,9,这组数据的平均数是7,
∴x=7×7﹣(5+6+6+7+8+9)=9,
∴这组数据从小到大排列为:5,6,6,7,8,9,9
则最中间为7,即这组数据的中位数是7.因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}
{考点:中位数}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}9.(2019年眉山)如图,一束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后经过点B(1,0).则点C的坐标是( )
A.(0,) B.(0,) C.(0,1) D.(0,2)
y
x
A(4,4)
O
C
B(1,0)
第9题图
{答案}B
{解析}本题考查了反射定律、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点,综合性较强,如图所示,延长AC交 x轴于点D.
∵这束光线从点A(4,4)出发,经y轴上的点C反射后经过点B(1,0),
∴设C(0,c),由反射定律可知,
∠1=∠OCD
∴∠OCB=∠OCD
∵CO⊥DB于O
∴∠COD=∠BOC
∴在△COD和△COB中
∴△COD≌△COB(ASA)
∴OD=OB=1
∴D(﹣1,0)
设直线AD的解析式为y=kx+b,则将点A(4,4),点D(﹣1,0)代入得
∴
∴直线AD为y=x+∴点C坐标为(0,).因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-7-2]平面直角坐标系}
{考点:点的坐标的应用}
{类别:高度原创}
{难度:3-中等难度}
{题目}10.(2019年眉山)如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是点E,∠CAO=22.50,OC=6.则CD的长为( )
A.6 B.3 C.6 D.12
A
B
D
C
O
E
第10题图
{答案}A
{解析}本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理.∵CD⊥AB,
∴CE=DE,
∵∠BOC=2∠A=2×22.5°=45°,
∴△OCE为等腰直角三角形,
∴CE=OC=×6=3,
∴CD=2CE=6.因此本题选A.
{分值}3
{章节:[1-24-1-4]圆周角}
{考点:圆周角定理}
{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}
{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题}
{题目}11.(2019年眉山)如图,在矩形ABCD中,AB=6, BC=8.过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F.则DE的长是( )
A.1 B. C.2 D.
A
B
C
D
E
F
O
第11题图
{答案}B
{解析}本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理;熟练掌握矩形的性质,由勾股定理得出方程, 连接CE,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC,
∵EF⊥AC,
∴AE=CE,
设DE=x,则CE=AE=8﹣x,
在Rt△CDE中,由勾股定理得:x2+62=(8﹣x)2,
解得:x=,
即DE=;因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-18-2-1]矩形}
{考点:矩形的性质}
{类别:思想方法}
{难度:3-中等难度}
{题目}12.(2019年眉山)如图,在菱形ABCD中,已知AB=4,∠ABC=600,∠EAF=600,点E在CB的延长线上,点F在DC的延长线上,有下列结论:①BE=CF; ②∠EAB=∠CEF; ③△ABE∽△EFC ④若∠BAC=150.则点F到BC的距离为2﹣2.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
D
C
F
B
E
第12题图
{答案}B
{解析}本题考查了
四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活应用这些知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考压轴题.∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠ACB=∠ACD,
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ACD=∠ACB=60°,
∴∠ABE=∠ACF,
在△BAE和△CAF中,
,
∴△BAE≌△CAF(SAS),
∴AE=AF,BE=CF.故①正确;
∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AEF=60°,
∵∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠EAB=60°,
∴∠EAB=∠CEF,故②正确;
∵∠ACD=∠ACB=60°,
∴∠ECF=60°,
∵∠AEB<60°,
∴△ABE和△EFC不会相似,故③不正确;
过点A作AG⊥BC于点G,过点F作FH⊥EC于点H,
∵∠EAB=15°,∠ABC=60°,
∴∠AEB=45°,
在Rt△AGB中,∵∠ABC=60°,AB=4,
∴BG=2,AG=2,
在Rt△AEG中,∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴AG=GE=2,
∴EB=EG﹣BG=2﹣2,
∵△AEB≌△AFC,
∴∠ABE=∠ACF=120°,EB=CF=2﹣2,
∴∠FCE=60°,
在Rt△CHF中,∵∠CFH=30°,CF=2﹣2,
∴CH=﹣1.
∴FH=(﹣1)=3﹣.
∴点F到BC的距离为3﹣,故④不正确.
综上,正确结论的个数是2个,
因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-18-2-2]菱形}
{考点:菱形的性质}
{类别:高度原创}
{难度:5-高难度}
{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分.
{题目}13.(2019年眉山)分解因式:3a3﹣6a2+3a= .
{答案}3a(a﹣1)2
{解析}本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分解要彻底.3a3﹣6a2+3a=3a(a2﹣2a+1)=3a(a﹣1)2.因此本题填3a(a﹣1)2.
{分值}3
{章节:[1-14-3]因式分解}
{考点:因式分解-完全平方式}
{类别:常考题}
{题目}14.(2019年眉山)设a、b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根,则(a﹣1)( b﹣1)的值为 .
{答案}﹣2017
{解析}本题考查了根与系数的关系,牢记“两根之和等于﹣,两根之积等于”是解题的关键.∵a、b是方程x2+x﹣2019=0的两个实数根,
∴a+b=﹣1,ab=﹣2019,
∴(a﹣1)(b﹣1)=ab﹣(a+b)+1=﹣2019+1+1=﹣2017.因此本题填﹣2017.
{分值}3
{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}
{考点:根与系数关系}
{类别:思想方法}
{难度:1-最简单}
{题目}15.(2019年眉山)已知关于x、y的方程组的解满足x+y=5,则k的值为 .
{答案}2
{解析}本题考查了二元一次方程组解的定义.以及解二元一次方程组的基本方法.正确解关于x、y
的方程组是关键.,
②×2﹣①,得3x=9k+9,解得x=3k+3,
把x=3k+3代入①,得3k+3+2y=k﹣1,解得y=﹣k﹣2,
∵x+y=5,
∴3k+3﹣k﹣2=5,
解得k=2.因此本题填2.
{分值}3
{章节:[1-8-2]消元——解二元一次方程组}
{考点:二元一次方程组的解}
{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:常考题}{类别:易错题}{类别:新定义}
{难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题}
{题目}16.(2019年眉山)如图,在Rt△ABC中,∠B=900,AB=5,BC=12,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,使得点D落在AC上,则tan∠ECD的值为 .
B
A
D
C
E
第16题图
{答案}
{解析}本题考查了旋转的性质以及解直角三角形,难度较小,求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度,根据线段比就可解决问题.在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC=13.
根据旋转性质可得AE=13,AD=5,DE=12,
∴CD=8.
在Rt△CED中,tan∠ECD===.因此本题填.
{分值}3
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}
{考点:解直角三角形}
{类别:思想方法}
{难度:3-中等难度}
{题目}17.(2019年眉山)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=4,⊙O的半径为2, 点P是AB
边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则线段PQ长的最小值为______________.
第17题图
A
B
O
O
P
Q
{答案}2
{解析}本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意得到当PO⊥AB时,线段PQ最短是关键.连接OQ.
∵PQ是⊙O的切线,
∴OQ⊥PQ;
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2,
∴当PO⊥AB时,线段PQ最短,
∵在Rt△AOB中,OA=OB=4,
∴AB=OA=8,
∴OP==4,
∴PQ=2.因此本题填2.
{分值}3
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
{考点:切线的性质}
{类别:常考题}
{难度:4-较高难度}
{题目}18.(2019年眉山)如图,反比例函数y= (x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别交AB、BC于点D、E,若四边形ODBC的面积为12.则k的值为 .
y
x
A
O
B
C
E
D
M
第18题图
{答案}4
{解析}本题考查了反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.由题意得:E、M、D位于反比例函数图象上,则S△OCE=|k|,S△OAD=|k|,
过点M作MG⊥y轴于点G,作MN⊥x轴于点N,则S▱ONMG=|k|,
又∵M为矩形ABCO对角线的交点,则S矩形ABCO=4S▱ONMG=4|k|,
由于函数图象在第一象限,
∴k>0,则++12=4k,
∴k=4.
因此本题填4.
{分值}3
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:反比例函数的几何意义}
{类别:思想方法}
{难度:5-高难度}
{题型:3-解答题}三、解答题:(本大题共6个小题,共46分.
{题目}19.(2019年眉山)计算:(﹣)-2﹣(4﹣)0+6sin450﹣.
{解析}本题考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案.
{答案}解:原式=9-1+6×-3
=9-1+3-3
=8
{分值}6
{章节:[1-28-2-1]特殊角}
{难度:1-最简单}
{类别:常考题}
{考点:特殊角的三角函数值}
{题目}20.(2019年眉山)解不等式组:
{解析}本题考查了.
解一元一次不等式组,根据大大取大,小小取小,比大的小比小的大取中间,比大的大比小的小无解的原则,首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.
{答案}解:解不等式①得:x≤4,
解不等式②得:x>-1,
所以不等式组的解集为:-1<x≤4,
{分值}6
{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}
{难度:1-最简单}
{类别:常考题}
{考点:解一元一次不等式组}
{题目}21.(2019年眉山)如图, 在四边形ABCD中,AB∥DC,点E是CD的中点,AE=BE.
求证:∠D=∠C.
A
B
C
E
D
第21题图
{解析}本题考查了考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质;熟练掌握等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.由等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠DEA=∠CEB,由SAS证明△ADE≌△BCE,即可得出结论.
{答案}解:证明:∵AE=BE ∴∠EAB=∠EBA ,
∵DC∥AB ∴∠DEA=∠EBA, ∠CEB=∠EBA,
∴∠DEA=∠CEB,
在△DEA和△CEB中
∴△DEA≌△CEB(SAS)
∴∠D=∠C,
{分值}8
{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:等边对等角}
{题目}22.(2019年眉山)如图,在岷江的右岸边有一高楼AB,左岸边有一坡度i=1∶2的山坡CF,点C与点B在同一水平面上,CF与AB在同一平面内.某数学兴趣小组为了测量楼AB
的高度,在坡底C处测得楼顶A的仰角为450,然后沿坡面CF上行了20米到达点D处,此时在D处测得楼顶A的仰角为300,求楼AB的高度.
A
B
C
E
D
F
300
450
岷江
第22题图
{解析}本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,通过解直角三角形得出方程是解题的关键.由i==,DE2+EC2=CD2,解得DE=20m,EC=40m,过点D作DG⊥AB于G,过点C作CH⊥DG于H,则四边形DEBG、四边形DECH、四边形BCHG都是矩形,证得AB=BC,设AB=BC=xm,则AG=(x﹣20)m,DG=(x+40)m,在Rt△ADG中,=tan∠ADG,代入即可得出结果.
{答案}解:解:在Rt△DEC中,∵i=DE∶EC=1∶2, 且DE2+EC2=DC2,
∴ DE2+(2 DE)2=(20)2, 解得:DE=20m,EC=40m ,
过点D作DG⊥AB于点G,过点C作CH⊥DG于点H,
则四边形DEBG、DECH、BCHG都是矩形
∵∠ACB=450, AB⊥BC, ∴AB=BC,
设AB=BC=xm,则AG=(x-20)m,DG=(x+40)m,
在Rt△ADG中, ∵=tan∠ADG,
∴=, 解得:x=50+30.
答:楼AB的高度为(50+30)米
{分值}8
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:解直角三角形的应用-仰角}
{题目}23.(2019年眉山)某中学举行铅笔书法大赛,对各年级同学的获奖情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图
获奖人数条形统计图
2
4
6
8
10
12
14
16
一等奖
二等奖
三等奖
参与奖
8
12
16
人数
奖项
0
获奖人数扇形统计图
一等奖
二等奖
三等奖
参与奖
40%
请结合图中相关信息解答下列问题:
(1)扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是_______________度;
(2)请将条形统计图补全;
(3)获得一等奖的同学中有来自七年级,有来自九年级,其他同学均来自八年级.现准备从获得一等奖的同沉寂中任选2人参加市级铅笔书法大赛.请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有八年级同学又有九年级同学的概率.
{解析}本题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.(1)先根据参与奖的人数及其所占百分比求得总人数,再用360°乘以三等奖人数所占比例即可得;
(2)根据各奖项的人数之和等于总人数求出一等奖的人数,从而补全图形;
(3)画树状图得出所有等可能结果,再从中找到符合条件的结果数,继而利用概率公式计算可得.
{答案}解: (1)1080,
(2)如图所示
4
获奖人数条形统计图
2
4
6
8
10
12
14
16
一等奖
二等奖
三等奖
参与奖
8
12
16
人数
奖项
0
(3)七年级一等奖人数:4×=1,
九年级一等奖人数:4×=1,
八年级一等奖人数为2.
画树状图如下:
开始
七
八1
八2
九
八1
八2
九
七
九
八2
八1
七
九
七
八1
八2
由图可知共有12种等可能的结果,其中选出的两名同学既有八年级又有九年级的结果共有4种,
∴ P(既有八年级又有九年级同学) ==.
{分值}9
{章节:[1-25-2]用列举法求概率}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:两步事件放回}
{题目}24.(2019年眉山)在我市“青山绿水”行动中,某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化,经投标由甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍,如果两队各自独立完成面积600 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用6天.
(1)求甲、乙两个工程队每天各能完成多少面积的绿化;
(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元,乙队每天绿化费用是0.5万元.社区要使这次绿化的总费用不走超过40万元,则至少应安排乙工程队绿化多少天?
{解析}本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程和不等式求解.(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2,根据题意列出方程:﹣=6,解方程即可;
(2)设甲工程队施工a天,乙工程队施工b天刚好完成绿化任务,由题意得:100a+50b=3600,则a==﹣b+36,根据题意得:1.2×+0.5b≤40,得出b≥32,即可得出结论.
{答案}解:
解:(1)设乙队每天能完成的绿化面积为xm2,则甲队每天能完成的绿化面积为2xm2,
根据题意得:
解得:x=50
经检验:x=50就原方程的解,则2 x=100.
答:甲队每天能完成的绿化面积为100m2, 乙队每天能完成的绿化面积为50m2.
(2)设甲工程队施工a天,乙工程队施工b天刚好完成绿化任务,由题意得:
100a+50b=3600,则a=
根据题意得:1.2×+0.5b≤40
解得:b≥32
答:至少应安排乙工程队绿化32天.
{分值}9
{章节:[1-15-3]分式方程}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:分式方程的应用(工程问题)}
B卷(共20分)
{题目}25.(2019年眉山)如图,正方形ABCD中,AE平分∠CAB,交BC于点E,过点C作CF⊥AE,交AE的延长线于点G,交AB的延长线于点F.
(1)求证:BE=BF;
(2)如图2,连接BG、BD,求证:BG平分∠DBF;
(3)如图3,连接DG交AC于点M,求的值.
A
B
F
C
D
G
E
图2
A
B
F
C
D
G
E
图1
A
B
F
C
D
G
E
图3
M
{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,涉及知识面广,熟练掌握正方形的性质、角平分线定义,证明三角形全等与相似是解题的关键.(1)由正方形性质得出∠ABC=90°,AB=BC,证出∠EAB=∠FCB,由ASA证得△ABE≌△CBF,即可得出结论;
(2)由正方形性质与角平分线的定义得出∠CAG=∠FAG=22.5°,由ASA证得△AGC≌△AGF得出CG=GF,由直角三角形的性质得出GB=GC=GF,求出∠DBG=∠GBF,即可得出结论;
(3)连接BG,由正方形的性质得出DC=AB,∠DCA=∠ACB=45°,∠DCB=90°,推出AC=DC,证出∠DCG=∠ABG,由SAS证得△DCG≌△ABG得出∠CDG=∠GAB=22.5°,推出∠CDG=∠CAG,证得△DCM∽△ACE,即可得出结果.
{答案}解: (1)证明:在正方形ABCD中,∠ABC=900, AB=BC,
∴∠EAB+∠AEB=900,
∵AG⊥CF, ∴∠BCF+∠CEG=900,
又∵∠AEB=∠CEG, ∴∠EAB=∠BCF .
在△ABE和△CBF中,∵AB=CB, ∠EAB=∠BCF, ∠ABE=∠CBF=900,
∴ △ABE≌△CBF(ASA) , ∴BE=BF.
(2) ∵∠CAG=∠FAG, AG=AG, ∠AGC=∠AGF=900,
∴ △AGC≌△AGF(ASA) , ∴CG=GF.
又∵∠CBF=900, ∴GB=GC=GF.
∠GBF=∠GFB=900-∠GAF=900-22.50=67.50,
∴∠DBG=1800-67.50-450=67.50,∠GBF=∠DBG,
∴BG平分∠DBF.
(3)连接BG
∵∠DCG=900+22.50=112.50, ∠ABG=1800-67.50=112.50,
∴∠DCG=∠ABG,
又∵DC=AB, CG=BG,
∴ △DCG≌△ABG(SAS)
∴∠CDG=∠GAB=22.50,
∴∠CDG=∠CAE.
又∵∠DCM=∠ACE=450,
∴△DCM∽△ACE
∴.
{分值}9
{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}
{难度:4-较高难度}
{类别:高度原创}
{考点:相似三角形的应用}
{题目}26.(2019年眉山)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣5,0)和点B(1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)点P是抛物线上A、D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标;
(3)如图2,连接AD、BD,点M在线段AB上(不与A、B重合),作∠DMN=∠DBA, MN交线段AD于点N,是否存在这样点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.
B
A
C
O
D
E
F
G
P
y
x
图1
图2
A
B
C
D
y
x
M
N
O
{解析}本题考查了二次函数综合运用,涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.(1)抛物线的表达式为:y=﹣(x+5)(
x﹣1),即可求解;
(2)PE=﹣m2﹣m+,PG=2(﹣2﹣m)=﹣4﹣2m,矩形PEFG的周长=2(PE+PG),即可求解;
(3)分MN=DM、NM=DN、DN=DM,三种情况分别求解.
{答案}解: (1)抛物线的解析式为:y=﹣(x+5)(x﹣1) =﹣x2﹣x+
配方得:y=﹣(x+2)2+4 ,∴顶点D的坐标为(﹣2,4).
(2)设点P的坐标为(a,﹣a2﹣a+),
则PE=﹣a2﹣a+,PG=2(﹣2﹣a)=﹣4﹣2a.
∴矩形PEFG的周长=2(PE+PG)=2(﹣a2﹣a+﹣4﹣2a)
=﹣a2﹣a﹣
=﹣(a+)2+
∵﹣<0,
∴当a=﹣时,矩形PEFG的周长最大,
此时,点P的横坐标为﹣.
(3)存在.
∵AD=BD, ∴∠DAB=∠DBA.
∵∠AMN+∠DMN=∠MDB+∠DBA,
又∵∠DMN=∠DBA, ∴∠AMN=∠MDB,
∴△AMN∽△BDM,
∴=
易求得:AB=6,AD=DB=5.
△DMN为等腰三角形有三种可能:
①当MN=DM时,则△AMN≌△BDM,
∴AM=BD=5, ∴AN=MB=1;
②当DN=MN时,则∠ADM=∠DMN=∠DBA,
又∵∠DAM=∠BAD, ∴△DAM∽△BAD,
∴AD2=AM•BA.
∴AM=, BM=6﹣=,
∵= , ∴ = ,
∴AN=.
③DN=DM不成立.
∵∠DNM>∠DAB, 而∠DAB=∠DMN,
∴∠DNM>∠DMN,
∴DN≠DM.
综上所述,存在点M满足要求,此时AN的长为1或.
{分值}11
{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}
{难度:5-高难度}
{类别:高度原创}
{考点:代数综合}{考点:几何综合}
相关文档
- 2019年河池中考数学试题(解析版)2021-11-0614页
- 2018中考数学试题分类:考点37锐角三2021-11-0613页
- 2009年甘肃省定西市中考数学试题(纯2021-11-069页
- 2019年四川泸州中考数学试题(解析版2021-11-0613页
- 2012年江西省南昌市中考数学试题(含2021-11-0619页
- 2018年四川眉山市中考数学试题(Word2021-11-066页
- 2009年宁夏回族自治区中考数学试题2021-11-0612页
- 中考数学试题精选50题:方程的解法和2021-11-0621页
- 2013山东东营中考数学试题2021-11-0623页
- 四川省内江市2017年中考数学试题2021-11-0610页