中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义07 不等式（组）（学生版） 11页

专题 07 不等式（组） 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 不等式的有关概念和性质 不等式的定义：用符号“  ”或“  ”表示大小关系的式子，叫作不等式.像 a  3 这样用符号“  ”表示 不等关系的式子也是不等式。 【注意】 1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。 2.常用的不等号有“ , , , ,     ”五种.“  ”“  ”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边 的大小；“ ”“ ”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等 于）；“  ”表示左右两边不相等。 3.在不等式 a>b 或 ab，则 a+c>b+c，a-c>b-c。 基本性质 2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于 0 的整式，不等号方向不变，即 若 a>b,c>0，则 ac>bc（或 ） 基本性质 3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，即 若 a>b,c<0，则 acb，则 bb>c，则 a>c。 基本性质 6：如果 a b ，c d ，那么 a c b d   . 【注意】 1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质 2 和性质 3 的区别，当不等式两边乘（或 除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。 2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。 不等式性质与等式性质的相同和不同点： 相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子 不同点： 1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立 2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向 发生改变； 解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。 【典型例题】 1．（2019·阜宁县容山中学初一期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A．x  y B． 2 2 0a b  C． 1 1x  D． 3 4 x  4 03  2．（2019·重庆市南坪中学校初二期中）下列各式中，是一元一次不等式的有（ ） ① 5x  ，② ( 5) 5x x   ，③ 1 5x  ，④ 2 5x y y   ，⑤ 2 5a   ，⑥ 3 yx  A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【考查题型】 考查题型一 不等式性质的应用 1．（2019·四川中考真题）若 m n＞ ，下列不等式不一定成立的是（ ） A． 3 3m n ＞ B． 3 3m n﹣ ＜﹣ C． 3 3 m n D． 2 2m n＞ 2.（2019·浙江中考真题）已知四个实数 a，b，c，d，若 a>b，c>d，则（ ） A．a+c>b+d B．a-c>b-d C．ac>bd D． a b c d  3．（2019·上海中考真题）如果 m﹥n，那么下列结论错误的是（ ） A．m＋2﹥n＋2 B．m－2﹥n－2 C．2m﹥2n D．－2m﹥－2n 4．（2019·江苏中考真题）实数 a、b、c 满足 a＞b 且 ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） A． B． C． D． 知识点二 解一元一次不等式 一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是 1，像这 样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为： 0ax b  或  0 0ax b a   。 例如， 1 3x   ， 4 02 y  是一元一次不等式，而 0x y  ， 2 5 3xx   不是一元一次不等式。 一元一次不等式的解集的表示方法： 表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示。 下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况： 【注意】 1、 用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点，定方向。 2、 若符号为“>或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”，边界点为实心。 3、 定方向时要注意“小于向左，大于向右”。 解一元一次不等式的一般步骤： 1 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为 1 解一元一次方程和解一元一次不等式的区别： 一元一次方程 一元一次不等式 解法的依据 方程得两边加（或减）同一个数 （或式子），方程的解不变 方程的两边乘（或除以）同一个 不为零的数，方程的解不变 不等式两边加（或减）同一个数（或式 子），不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变 不等式的两边乘（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变 解法的步骤 ①去分母；②去括号；③移项； ④合并同类项；⑤未知数的系数 化为 1 ①去分母；②去括号；③移项；④合并 同类项；⑤未知数的系数化为 1 在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除 以）是负数，不等号要改变方向 解得情况 一元一次方程只有一个解 一元一次不等式可以有无数多个解 【典型例题】 1．（2018·广东中考模拟）不等式 2x－5≥－1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）. A． B． C． D． 2．（2019·太原市第五十三中学初二期中）用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ） A．x≥-2 B．x≤-2 C．x＜-2 D．x＞-2 3．（2019·河北初一期末）已知 ൅ ͵ ，要使 是负数，则 的取值范围是（ ） A． ൅ B． ൅ C． 㐲 ൅ D． 㐲 ൅ ൅【考查题型汇总】 考查题型二 求一元一次不等式的特解的方法 1．（2019·江苏中考真题）不等式 1 2x   的非负整数解有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 3（x﹣1）≤5﹣x 的非负整数解有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．（2017·广东中考模拟）如图，直线 y x m   与  4 0y nx n n   的交点的横坐标为 2 ，则关于 x 的 不等式 4 0x m nx n     的整数解为（ ）. A． 1 B． 5 C． 4 D． 3 4．（2019·内蒙古中考模拟）不等式 3 1 22 x    的最小整数解是______． 考查题型三 确定不等式中字母的取值范围的方法 1．（2019·黑龙江中考真题）已知 x=4 是不等式 ax-3a-1＜0 的解，x=2 不是不等式 ax-3a-1＜0 的解，则实数 a 的取值范围是____． 2．（2019·四川中考真题）关于 x 的不等式 2 1x a  只有 2 个正整数解，则 a 的取值范围为（ ） A． 5 3a    B． 5 3a    C． 5 3a    D． 5 3a    3．（2012·江苏中考模拟）已知关于 x 的不等式 x≥a-1 的解集如图所示,则 a 的值为__. 考查题型四 确定一元一次不等式中待定字母的值的方法 1．（2019·河南中考模拟）若不等式组 1 3 0 x a bx      的解集是﹣1＜x≤1，则 a＝_____，b＝_____． 知识点三 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的 解集。 不等式组解集的确定方法： 【注意】 1、 在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。 2、 利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。 解一元一次不等式组的一般步骤： 1. 求出不等式组中各不等式的解集 2. 将各不等式的解决在数轴上表示出来。 3. 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。 【考查题型汇总】 考查题型五 一元一次不等式组的解集的确定方法 1．（2018·湖南中考真题）不等式组 2 0 2 4 0 x x      的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2019·山东中考模拟）一元一次不等式组 2 0 11 03 x x     的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2019·江苏中考模拟）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ） A． 2 3 x x     B． 2 3 x x     C． 2 3 x x     D． 2 3 x x     4．（2019·广东中考模拟）不等式组 2 1 3 3 1 2 x x      ＜ 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 考查题型六 求一元一次不等式组的整数解的方法 1．（2019·台湾中考真题）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋 糕，花费的金额不超过 2500 元．若他将蛋糕分给 75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元 购买蛋糕？（ ） A． 2150 B． 2250 C． 2300 D． 2450 2．（2019·四川中考真题）红星商店计划用不超过 4200 元的资金，购进甲、乙两种单价分别为 60 元、100 元的商品共 50 件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利 10 元、20 元，两种商品均售完．若所 获利润大于 750 元，则该店进货方案有( ) A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种 3．（2019·浙江中考模拟）如图，等腰三角形 ABC 的周长为 20cm，底边 BC 长为 y（cm），腰 AB 长为 x （cm）. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求 x 的取值范围； （3）腰长 AB=3 时，底边的长． 考查题型七 求一元一次方程组中的待定字母的值 1．（2017·内蒙古中考模拟）若不等式组 㐲 㐲 ൅ 的解集为﹣1＜x＜1，那么(a+1)(b﹣1)的值等于_____． 2．（2012·四川中考真题）如果关于 x 的不等式组： ൅x-a ≥ x-b ≤ ，的整数解仅有 1，2，那么适合这个不等式组 的整数 a，b 组成的有序数对（a，b）共有___________个． 3．（2018·四川中考真题）若不等式组 㐲 㐲 的解集为 1 1x   ，则 ͵ ________. 考查题型八 求一元一次方程组中的待定字母的取值范围 1．（2018·山东省寿光世纪学校中考模拟）若不等式组 8 4 1x x x m      的解集是 x＞3，则 m 的取值范围是 （ ）. A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3 2．（2019·四川中考真题）若关于 x 的代等式组 1 02 3 3 5 4 4( 1) 3 x x x a x a          恰有三个整数解，则 a 的取值范 围是（ ） A． 31 2a „ B． 31 2a „ C． 31 2 a  D． 1a„ 或 3 2a  3.若关于 x 的一元一次不等式组 x 2m<0 x m>2    有解，则 m 的取值范围为( ) A． 2m> 3  B． 2m 3  C． 2m> 3 D． 2m 3   知识点四 列一元一次不等式（组）解应用题 列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键“字眼”， 如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. （2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. （3）列：根据题中的不等关系，列出不等式. （4）解：解出所列不等式的解集. （5）验：检验答案是否符合题意. （6）答：写出答案. 在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难 点.以上过程可简单表述为:  分析 求解 抽象 检验问题 不等式 解答 . 【考查题型汇总】 考查题型九 利用一元一次不等式（组）解决实际问题的方法 1．（2019·湖北中考真题）某县有 A、B 两个大型蔬菜基地，共有蔬菜 700 吨.若将 A 基地的蔬菜全部运往甲 市所需费用与 B 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从 A、B 两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表: （1）求 A、B 两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？ （2）现甲市需要蔬菜 260 吨，乙市需要蔬菜 440 吨.设从 A 基地运送 m 吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使 总运费最少？ 2．（2019·辽宁中考模拟）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的 2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲、乙两种图书的 总经费不超过 1060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？ 考查题型十 方程组与不等式组相结合解决实际问题 1．（2018·山东中考模拟）今年 3 月 12 日植树节期间，学校预购进 A，B 两种树苗．若购进 A 种树苗 3 棵， B 种树苗 5 棵，需 2100 元；若购进 A 种树苗 4 棵，B 种树苗 10 棵，需 3800 元． (1)求购进 A，B 两种树苗的单价； (2)若该学校准备用不多于 8000 元的钱购进这两种树苗共 30 棵，求 A 种树苗至少需购进多少棵． 2．（2019·湖南中考模拟）东东玩具商店用 500 元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完， 接着又用 900 元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的 1.5 倍，但每套进价多了 5 元． （1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元； （2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套悠悠球的售价至少是多 少元？ 考查题型十一 利用不等式计算获利问题 1．（2014·四川中考真题）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共 20 台，空调的采购单价 y1（元/台） 与采购数量 x1（台）满足 y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1 为整数）；冰箱的采购单价 y2（元/台）与采购数量 x2（台）满足 y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2 为整数）． （1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的 ，且空调采购单价不低于 1200 元，问该商 家共有几种进货方案？ （2）该商家分别以 1760 元/台和 1700 元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下， 问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润． 2．（2018·四川中考模拟）宜兴某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是 200 元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是 400 元/台时，可售出 200 台，且售价每降低 10 元， 就可多售出 50 台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务． （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x 的取值范围； （2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？最大利润 是多少？ 3．（2018·山东中考模拟）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分 类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买 2 个温馨提示牌和 3 个垃圾箱共需 550 元，且垃圾箱的单价是温馨提示 牌单价的 3 倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ （2）该小区至少需要安放 48 个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共 100 个，且费用不超过 10000 元， 请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 考查题型十二 运用一元一次不等式组进行方案设计 1．（2018·河南中考模拟）某校计划购买篮球、排球共 20 个．购买 2 个篮球，3 个排球，共需花费 190 元； 购买 3 个篮球的费用与购买 5 个排球的费用相同． （1）篮球和排球的单价各是多少元？ （2）若购买篮球不少于 8 个，所需费用总额不超过 800 元．请你求出满足要求的所有购买方案，并直接写 出其中最省钱的购买方案． 2．（2019·广西中考模拟）某文化商店计划同时购进 A、B 两种仪器，若购进 A 种仪器 2 台和 B 种仪器 3 台， 共需要资金 1700 元；若购进 A 种仪器 3 台，B 种仪器 1 台，共需要资金 1500 元． （1）求 A、B 两种型号的仪器每台进价各是多少元？ （2）已知 A 种仪器的售价为 760 元/台，B 种仪器的售价为 540 元/台．该经销商决定在成本不超过 30000 元的前提下购进 A、B 两种仪器，若 B 种仪器是 A 种仪器的 3 倍还多 10 台，那么要使总利润不少于 21600 元，该经销商有哪几种进货方案？ 3．（2019·贵州中考真题）某校计划组织 240 名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有 A， B 两种客车可供租用，A 型客车每辆载客量 45 人，B 型客车每辆载客量 30 人．若租用 4 辆 A 型客车和 3 辆 B 型客车共需费用 10700 元；若租用 3 辆 A 型客车和 4 辆 B 型客车共需费用 10300 元． （1）求租用 A，B 两型客车，每辆费用分别是多少元； （2）为使 240 名师生有车坐，且租车总费用不超过 1 万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？