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- 2021-11-06 发布
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第1章 二次函数
1.4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决面积的最值问题
知识点1 矩形(正方形)面积的最值问题
1.用一根长为30 cm的绳子围成一个矩形,其面积的最大值为( )
A.225 cm2 B.112.5 cm2
C.56.25 cm2 D.100 cm2
图1-4-1
2.如图1-4-1所示,在长度为1的线段AB上取一点P,分别以AP,BP为边作正方形,则这两个正方形面积之和的最小值为________.
3.2016·衢州某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图1-4-2).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________m2.
图1-4-2
知识点2 其他图形面积的最值问题
图1-4-3
4.如图1-4-3,已知▱ABCD的周长为8 cm,∠B=30°,若边长AB=x cm.
(1)▱ABCD的面积y(cm2)与x之间的函数表达式为________,自变量x的取值范围为________;
(2)当x=________时,y的值最大,最大值为________.
7
5.如图1-4-4,在矩形ABCD中,AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q分别从点A,B同时出发,点P在边AB上以每秒2 cm的速度匀速向点B运动,点Q在边BC上以每秒1 cm的速度匀速向点C运动,当点P,Q中的一方到达终点,运动便停止.设运动时间为x s,△PBQ的面积为y(cm2).
(1)求y关于x的函数表达式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的面积的最大值.
图1-4-4
6.课本例1变式课本中有一个例题:
有一个窗户形状如图1-4-5①,上部分是一个半圆,下部分是一个矩形,如果制作窗户边框的材料的总长度为6 m,如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大?
这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为0.35 m时,窗户的透光面积最大,最大值约为1.05 m2.
我们如果改变这个窗户的形状,上部分改为由两个正方形组成的矩形,如图②,材料的总长度仍为6 m,利用图③,解答下列问题:
(1)若AB为1 m,求此时窗户的透光面积;
(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.
图1-4-5
7
7.如图1-4-6所示,在矩形ABCD的边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H,使得AE=AH=CF=CG.如果AB=60,BC=40,那么四边形EFGH的最大面积是( )
A.1350 B.1300 C.1250 D.1200
图1-4-6
图1-4-7
8.如图1-4-7所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=60°,E是AD上一动点(不与点A,D重合),F是CD上一动点,AE+CF=4,则△BEF面积的最小值为________.
9.如图1-4-8,在△ABC中,BC=AC=4,∠ACB=120°,E是AC上一个动点(点E与点A,C不重合),ED∥BC,连结CD,求△CED面积的最大值.
图1-4-8
图1-4-9
10.2017·义乌某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室的长为x(m),占地面积为y(m2).
7
(1)如图1-4-10①,饲养室的长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室的长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
图1-4-10
11.如图1-4-11,在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A,B,C,D四个顶点正好重合于上底面一点).已知E,F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x cm.
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;
(2)某广告商要求包装盒的表面积S(不含下底面)最大,x应取何值?
图1-4-11
7
详解详析
1.C
2.
3.144 [解析] 设AB长为x m,则BC=(48-4x)m,饲养室的面积S=x(48-4x)=-4(x-6)2+144,当x=6时,Smax=144.
4.(1)y=-x2+2x 01.05,
故窗户透光面积的最大值变大了.
7.C
8.3
9.设DE=x,
∵BC=AC,∠ACB=120°,
∴∠B=∠A=30°.
∵DE∥BC,
∴∠AED=∠ACB=120°,
∴∠ADE=30°=∠A,
∴AE=DE=x,
∴CE=4-x.
过点C作CM⊥DE于点M,
∴EM=CE,CM==(4-x),
∴S△CED=CM·DE=·(4-x)x=-(x-2)2+,
当x=2时,△CED的面积最大,最大值为.
10.解:(1)∵y=x·=-(x-25)2+,
7
∴当x=25时,占地面积y最大,
即当饲养室的长x为25 m时,占地面积y最大.
(2)∵y=x·=-(x-26)2+
338,
∴当x=26时,占地面积y最大,
即当饲养室的长为26 m时,占地面积y最大.
∵26-25=1(m)≠2 m,
∴小敏的说法不正确.
11.(1)根据题意,知这个正方体的底面边长a=x,EF=a=2x,
∴x+2x+x=24,解得x=6,∴a=6 ,
V=a3=(6 )3=432 (cm3).
(2)设包装盒的底面边长为b cm,高为h cm,则b=x,h==12 -x,
∴S=4bh+b2=4 x·(12-x)+(x)2=-6x2+96x=-6(x-8)2+384.
∵0
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