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- 2021-11-06 发布
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第二十一章 一元二次方程
人教版
九年级数学上册
配方法
导入新课
复习引入
(1) 9x2=1 ; (2) (x-2)2=2.
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) x2+6x+9 =5;
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成
(x+n)2=p(p≥0)的
形式,再利用开平方
讲授新课
配方的方法一
问题1.你还记得吗?填一填下列完全平方公式.
(1) a2+2ab+b2=( )2;
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
探究交流
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1)x2+4x+ = ( x + )2
(2)x2-6x+ = ( x- )2
(3)x2+8x+ = ( x+ )2
(4) 4
3x2- x+ = ( x- )2
你发现了什么规律?
22 2
32 3
42 4
22( )3
2
3
二次项系数为1的完全平方式:
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
想一想:
x2+px+( )2=(x+ )22
p
2
p
配方的方法
用配方法解方程二
合作探究
怎样解方程: x2+6x+4=0 (1)
问题1 方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢?
解: x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全
平方式:
常数项等于一次项系数
一半的平方.
方法归纳
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是
在二次项系数为1的前提下进行的.
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9?加其他
数行吗?
不行,只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,
方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方程配方的方法:
要点归纳
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方
程,叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为(x+n)2=p的形式,将一元二次方程降次,
转化为一元一次方程求解.
4 5,x 1
例1 解下列方程:
21 8 1 0 x x ;
1 24 15, 4 15.x x
解:(1)移项,得 x2-8x=-1,
配方,得 x2-8x+42=-1+42 ,
( x-4)2=15
由此可得
即
配方,得 2 2
2 3 3 1 3 ,2 4 2 4x x
23 1 ,4 16x
3 1,4 4x 由此可得
21
11, .2x x
二次项系数化为1,得 2 3 1 ,2 2x x
2 2 2 1 3 x x ;
解:移项,得 2x2-3x=-1,
即
移项和二次项系数
化为1这两个步骤
能不能交换一下呢?
配方,得 2 2 242 1 1 ,3x x
2 11 .3x
因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时,
上式都不成立,所以原方程无实数根.
解:移项,得 23 6 4,x x
二次项系数化为1,得
2 42 ,3x x
2 3 3 6 4 0.x x
为什么方程
两边都加12?
即
思考1:用配方法解一元二次方程时,移项时要
注意些什么?
思考2:用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项,二次项系数化为1;
②左边配成完全平方式;
③左边写成完全平方形式;
④降次;
⑤解一次方程.
一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 ,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两
个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
x n p
1 2,x n p x n p
规律总结
例2.试用配方法说明:不论k取何实数,多项式
k2-4k+5 的值必定大于零.
解:k2-4k+5=k2-4k+4+1
=(k-2)2+1
因为(k-2)2≥0,所以(k-2)2+1≥1.
所以k2-4k+5的值必定大于零.
配方法的应用二
例3.若a,b,c为△ABC的三边长,且
试判断△ABC的形状.
解:对原式配方,得
由代数式的性质可知
,0543 22 cba
,05,04,03 22 cba
,543 cba ,,
所以,△ABC为直角三角形.
,025586 22 cbbaa
,543 222222 cba
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0,则
m的值为( )
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值; (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
练一练
C
解:原式 = 2(x - 1)2 +3
当x =1时有最小值3
解:原式= -3(x - 2)2 - 4
当x =2时有最大值-4
归纳总结 配方法的应用
类别 解题策略
1.求最值或
证明代数式
的值为恒正
(或负)
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
+n的形式后,(x+m)2≥0,n为常数,当a>0时,
可知其最小值;当a<0时,可知其最大值.
2.完全平方
式中的配方
如:已知x2-2mx+16是一个完全平方式,所以
一次项系数一半的平方等于16,即m2=16,m=±4.
3.利用配方
构成非负数
和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式,求未知数
的值,解题突破口往往是配方成多个完全平方式
得其和为0,再根据非负数的和为0,各项均为0,
从而求解.如:a2+b2-4b+4=0,则a2+(b-2)2=0,
即a=0,b=2.
例4.读诗词解题:
(通过列方程,算出周瑜去世时的年龄.)
大江东去浪淘尽,
千古风流数人物。
而立之年督东吴,
早逝英年两位数。
十位恰小个位三,
个位平方与寿符。
哪位学子算得快,
多少年华属周瑜?
解:设个位数字为x,十位数字为(x-3)
x1=6, x2=5
x2-11x=-30
x2-11x+5.52=-30+5.52
(x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5
x2=10(x-3)+x
∴这个两位数为36或25,
∴周瑜去世的年龄为36岁.
∵周瑜30岁还攻打过东吴,
1.解下列方程:
(1)x2+4x-9=2x-11;(2)x(x+4)=8x+12;
(3)4x2-6x-3=0; (4) 3x2+6x-9=0.
解:x2+2x+2=0,
(x+1)2=-1.
此方程无解;
解:x2-4x-12=0,
(x-2)2=16.
x1=6,x2=-2;
2 3 3 02 4x x 解: ,
23 21( ) .4 16x
1 2
3 21 3 21,4 4x x ;
解:x2+2x-3=0,
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
当堂练习
2.利用配方法证明:不论x取何值,代数式-x2-x-1
的值总是负数,并求出它的最大值.
解:-x2-x-1=-(x2+x+ )+ -1
所以-x2-x-1的值必定小于零.
1
4
1
4
21( ) 0,2x+
21 3( ) ,2 4= x+
21 3( ) 0,2 4x+ <
当 时,-x2-x-1有最大值1
2x= 3 .4
3.若 ,求(xy)z 的值.013264 22 zyyxx
解:对原式配方,得 0232 22 zyx
由代数式的性质可知
02,03,02 22 zyx
.2,3,2 zyx
.36632 22 zxy
4.如图,在一块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同
样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要
使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少?
解:设道路的宽为xm, 根据题意得
(35-x)(26-x)=850,
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60(不合题意,舍去), x2=1.
答:道路的宽为1m.
5.已知a,b,c为△ABC的三边长,且
试判断△ABC的形状.
,0222 bcacabcba
解:对原式配方,得
由代数式的性质可知
,02
1 222 cbcaba
,0,0,0 222 cbcaba
,cba
所以,△ABC为等边三角形.
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