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  • 2021-11-06 发布

人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程配方法课件

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第二十一章 一元二次方程 人教版 九年级数学上册 配方法 导入新课 复习引入 (1) 9x2=1 ; (2) (x-2)2=2. 1.用直接开平方法解下列方程: (1) x2+6x+9 =5; (2)x2+6x+4=0. 把两题转化成 (x+n)2=p(p≥0)的 形式,再利用开平方 讲授新课 配方的方法一 问题1.你还记得吗?填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2; (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 探究交流 问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. (1)x2+4x+ = ( x + )2 (2)x2-6x+ = ( x- )2 (3)x2+8x+ = ( x+ )2 (4) 4 3x2- x+ = ( x- )2 你发现了什么规律? 22 2 32 3 42 4 22( )3 2 3 二次项系数为1的完全平方式: 常数项等于一次项系数一半的平方. 归纳总结 想一想: x2+px+( )2=(x+ )22 p 2 p 配方的方法 用配方法解方程二 合作探究 怎样解方程: x2+6x+4=0 (1) 问题1 方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢? 解: x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9 二次项系数为1的完全 平方式: 常数项等于一次项系数 一半的平方. 方法归纳 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是 在二次项系数为1的前提下进行的. 问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9?加其他 数行吗? 不行,只有在方程两边加上一次项系数一半的平方, 方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式. 方程配方的方法: 要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方 程,叫做配方法. 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为(x+n)2=p的形式,将一元二次方程降次, 转化为一元一次方程求解. 4 5,x  1 例1 解下列方程:   21 8 1 0 x x    ; 1 24 15, 4 15.x x    解:(1)移项,得 x2-8x=-1, 配方,得 x2-8x+42=-1+42 , ( x-4)2=15 由此可得 即 配方,得 2 2 2 3 3 1 3 ,2 4 2 4x x              23 1 ,4 16x     3 1,4 4x 由此可得 21 11, .2x x  二次项系数化为1,得 2 3 1 ,2 2x x     2 2 2 1 3 x x    ; 解:移项,得 2x2-3x=-1, 即 移项和二次项系数 化为1这两个步骤 能不能交换一下呢? 配方,得 2 2 242 1 1 ,3x x     2 11 .3x  因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时, 上式都不成立,所以原方程无实数根. 解:移项,得 23 6 4,x x   二次项系数化为1,得 2 42 ,3x x     2 3 3 6 4 0.x x     为什么方程 两边都加12? 即 思考1:用配方法解一元二次方程时,移项时要 注意些什么? 思考2:用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项,二次项系数化为1; ②左边配成完全平方式; ③左边写成完全平方形式; ④降次; ⑤解一次方程. 一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 ,方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两 个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根. x n p   1 2,x n p x n p      规律总结 例2.试用配方法说明:不论k取何实数,多项式 k2-4k+5 的值必定大于零. 解:k2-4k+5=k2-4k+4+1 =(k-2)2+1 因为(k-2)2≥0,所以(k-2)2+1≥1. 所以k2-4k+5的值必定大于零. 配方法的应用二 例3.若a,b,c为△ABC的三边长,且 试判断△ABC的形状. 解:对原式配方,得 由代数式的性质可知     ,0543 22  cba     ,05,04,03 22  cba ,543  cba ,, 所以,△ABC为直角三角形. ,025586 22  cbbaa ,543 222222 cba  1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0,则 m的值为( ) A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值; (2) -3x2 + 5x +1的最大值. 练一练 C 解:原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3 解:原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 (或负) 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 +n的形式后,(x+m)2≥0,n为常数,当a>0时, 可知其最小值;当a<0时,可知其最大值. 2.完全平方 式中的配方 如:已知x2-2mx+16是一个完全平方式,所以 一次项系数一半的平方等于16,即m2=16,m=±4. 3.利用配方 构成非负数 和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式,求未知数 的值,解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0,再根据非负数的和为0,各项均为0, 从而求解.如:a2+b2-4b+4=0,则a2+(b-2)2=0, 即a=0,b=2. 例4.读诗词解题: (通过列方程,算出周瑜去世时的年龄.) 大江东去浪淘尽, 千古风流数人物。 而立之年督东吴, 早逝英年两位数。 十位恰小个位三, 个位平方与寿符。 哪位学子算得快, 多少年华属周瑜? 解:设个位数字为x,十位数字为(x-3) x1=6, x2=5 x2-11x=-30 x2-11x+5.52=-30+5.52 (x-5.5)2=0.25 x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5 x2=10(x-3)+x ∴这个两位数为36或25, ∴周瑜去世的年龄为36岁. ∵周瑜30岁还攻打过东吴, 1.解下列方程: (1)x2+4x-9=2x-11;(2)x(x+4)=8x+12; (3)4x2-6x-3=0; (4) 3x2+6x-9=0. 解:x2+2x+2=0, (x+1)2=-1. 此方程无解; 解:x2-4x-12=0, (x-2)2=16. x1=6,x2=-2; 2 3 3 02 4x x  解: , 23 21( ) .4 16x   1 2 3 21 3 21,4 4x x   ; 解:x2+2x-3=0, (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 当堂练习 2.利用配方法证明:不论x取何值,代数式-x2-x-1 的值总是负数,并求出它的最大值. 解:-x2-x-1=-(x2+x+ )+ -1 所以-x2-x-1的值必定小于零. 1 4 1 4 21( ) 0,2x+  21 3( ) ,2 4= x+  21 3( ) 0,2 4x+   < 当 时,-x2-x-1有最大值1 2x=  3 .4  3.若 ,求(xy)z 的值.013264 22  zyyxx 解:对原式配方,得     0232 22  zyx 由代数式的性质可知     02,03,02 22  zyx .2,3,2  zyx        .36632 22  zxy 4.如图,在一块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同 样宽的两条互相垂直的道路,剩余部分栽种花草,要 使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少? 解:设道路的宽为xm, 根据题意得 (35-x)(26-x)=850, 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60(不合题意,舍去), x2=1. 答:道路的宽为1m. 5.已知a,b,c为△ABC的三边长,且 试判断△ABC的形状. ,0222  bcacabcba 解:对原式配方,得 由代数式的性质可知        ,02 1 222  cbcaba       ,0,0,0 222  cbcaba ,cba  所以,△ABC为等边三角形.