数学冀教版九年级上册教案25-3相似三角形 6页

- 1 - 25.3 相似三角形 教学目标 【知识与能力】 1.体会全等三角形与相似三角形之间的关系. 2.了解相似三角形的概念,会用相似三角形的定义判定两个三角形相似. 3.知道平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角形与原三 角形相似. 【过程与方法】 1.类比全等三角形的概念建立相似三角形的概念,渗透数学中的类比思想和转化思想. 2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力. 3.通过应用相似三角形的定义解决简单问题,培养学生的应用意识. 【情感态度价值观】 1.通过相似三角形概念的引入,提高学生联系实际的意识,提高数学应用能力. 2.通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,发展概括能力,提高数学思考的意识和能力. 3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯. 教学重难点 【教学重点】 1.相似三角形的有关概念. 2.由平行判断三角形相似. 【教学难点】 探索由平行线判定三角形相似的方法. 课前准备 多媒体课件 教学过程 一、新课导入： 一、新课导入： 导入一: 【课件展示】 欣赏图片: [导入语] 图片中的三角形形状和大小相同吗?它们的对应角、对应边之间有什么关系?对应 角相等、对应边也相等的两个三角形为全等三角形.类似地,我们来学习相似三角形的有关知 识. 导入二: 复习提问 1.什么是全等三角形?全等三角形的形状和大小有什么关系? - 2 - (能够完全重合的三角形是全等三角形,全等三角形的形状相同、大小相等) 2.全等三角形有什么性质? (全等三角形的对应边相等、对应角相等) 【师生活动】 学生独立回答,教师点评,导出新课的学习. [设计意图] 通过欣赏生活中的图片,让学生体会数学来源于生活,激发学生学习的兴趣,感 受数学中的美.通过复习全等三角形的概念及性质,为本节课学习相似三角形做好铺垫. 二、新知构建： [过渡语] 全等三角形是相似三角形的特例,让我们一起认识相似三角形吧. 探究一 认识相似三角形 思路一 【学生活动】 自主学习教材 69 页,小组合作交流下列问题,并归纳总结. 【问题】 1.什么是相似三角形、相似比? 2.如何用几何语言表示相似三角形的概念? 3.如果相似比是 1∶1,那么这两个三角形是什么关系? 4.ΔABC 与ΔA'B'C'的相似比为 k,那么ΔA'B'C'与ΔABC 的相似比是多少? 5.类比全等三角形的性质,你能得到相似三角形的性质吗?怎样用几何语言表示相似三角形 的性质? 【师生活动】 学生合作交流后展示讨论的结果,教师点评并补充,课件展示相似三角形的概 念及性质. 【课件展示】 1.定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫 做它们的相似比. 几何表示:如图所示,在ΔABC 和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', 㠱 ' 㠱 ' = 㠱 㠱 ' ' = ' ' =k, 即ΔABC 与ΔA'B'C'相似.ΔABC 与ΔA'B'C'的相似比为 k. 2.表示:ΔABC 与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC 相似于ΔA'B'C'”. 注意:对应顶点写在对应的位置上. 3.相似比为 1∶1 时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例. 4.ΔABC 与ΔA'B'C'的相似比为 k,那么ΔA'B'C'与ΔABC 的相似比是 1 . 5.性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC, 则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', 㠱 ' 㠱 ' = 㠱 㠱 ' ' = ' ' . - 3 - 思路二 教师引导学生思考并回答: 1.相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形 对应边的比叫做它们的相似比. 2.根据相似三角形的定义,我们可以用几何语言表示为: 如图所示,在ΔABC 和ΔA'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', 㠱 ' 㠱 ' = 㠱 㠱 ' ' = ' ' =k,即ΔABC 与ΔA'B'C'相似.ΔABC 与ΔA'B'C'的相似比为 k. 3.相似三角形的表示:ΔABC 与ΔA'B'C'相似记作“ΔABC∽ΔA'B'C'”,读作“ΔABC 相似于 ΔA'B'C'”. 注意:对应顶点写在对应的位置上. 4.思考: (1)如果两个三角形的相似比是 1∶1,那么这两个三角形的关系是 . (2)ΔABC 与ΔA'B'C'的相似比为 k,那么ΔA'B'C'与ΔABC 的相似比是 . 5.类比全等三角形的性质,可以得到相似三角形的性质是 . 6.相似三角形的性质用几何语言表示为 . 【课件展示】 性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例. 几何语言:如上图所示,ΔA'B'C'∽ΔABC,则∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C', 㠱 ' 㠱 ' = 㠱 㠱 ' ' = ' ' . 【师生活动】 教师边引导学生回答,边归纳总结、展示相似三角形的性质及几何语言表示, 师生共同归纳. [设计意图] 通过自主学习或教师引导,复习全等三角形的定义和性质,迁移到相似三角形 的定义和性质中,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系, 体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般的联系. 大家谈谈: [过渡语] 我们学习了相似三角形的概念,哪些特殊的三角形是相似三角形呢?全等三 角形和相似三角形都是形状相同的三角形,它们之间是否有联系呢?我们一起共同交流一下 下面的问题. 【课件展示】 1.两个直角三角形相似吗? (不一定相似) 2.两个等腰三角形相似吗?两个等边三角形呢? (两个等腰三角形不一定相似,两个等边三角形相似) 3.相似三角形与全等三角形有什么区别和联系? (全等三角形都是相似比为 1∶1 的相似三角形,即全等三角形一定是相似三角形,但相似三 - 4 - 角形不一定是全等三角形) 【师生活动】 学生思考回答,教师点评. [设计意图] 通过大家谈谈,进一步掌握利用相似三角形的定义判断三角形是否相似,利用 定义判断三角形相似时,对应角相等、对应边成比例,两个条件缺一不可,学生加深对概念的 理解,体会全等三角形和相似三角形之间的区别和联系. 例题讲解 【课件展示】 (教材 69 页例)如图所示,ΔAEF∽ΔABC. (1)若 AE=3,AB=5,EF=2.4,求 BC 的长. (2)求证 EF∥BC. 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书过程,教师点评并规范书写过 程. (板书) 解:(1)∵ΔAEF∽ΔABC, ∴ 㠱 = 㠱 . 又∵AE=3,AB=5,EF=2.4, ∴BC= 㠱 · = 5 × 2 . 4 3 =4. (2)∵ΔAEF∽ΔABC, ∴∠AEF=∠B. ∴EF∥BC. [设计意图] 通过例题掌握“相似三角形的对应边成比例、对应角相等”的应用,归纳出由 相似三角形可以求线段长、证明角相等等结论,培养学生独立思考解决问题的能力,提高学生 的应用意识,同时通过规范学生的书写格式,培养学生严谨的学习态度. 探究二 由平行线证明三角形相似 [过渡语] 我们知道平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角 形与原三角形的对应边成比例.那么截得的三角形与原三角形是否相似呢? 【课件展示】 如图所示,EF∥BC,与 AB,AC(或它们的延长线)相交于点 E,F.求证ΔAEF∽Δ ABC. - 5 - 教师引导回答问题: (1)要证明三角形相似,需要哪些条件? ∠BAC=∠EAF,∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB, 㠱 = = 㠱(2)你能证明这些角对应相等吗? (由两直线平行,同位角相等、内错角相等及对顶角相等可得) (3)如何证明 㠱 = = 㠱 ? (由平行线分线段成比例的基本事实易得) (4)你能写出ΔAEF∽ΔABC 的证明过程吗? (5)用同样的方法能证明图(2)(3)两种情况吗? (6)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论. 【师生活动】 学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师对学生 的板书点评,规范书写过程,师生共同归纳结论,并用几何语言表示这一结论. (板书) 证明:如图(1)所示,在ΔAEF 和ΔABC 中, ∵EF∥BC, ∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,且 㠱 = = 㠱 . 又∵∠A=∠A, ∴ΔAEF∽ΔABC. 同理可证其他两种情况. 【课件展示】 平行于三角形一边的直线和其他两边(或它们的延长线)相交,所截得的三角 形与原三角形相似. 【教师活动】 教师总结归纳由平行线证明三角形相似的“A”型和“X”型两个基本图形. [设计意图] 通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握, 提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结能力,掌握由平行线证明三角形相似的方 法. 做一做 【课件展示】 如图所示,在ΔABC 中,E,F 分别为 AB,AC 的中点.求证ΔABC∽ΔAEF. 【师生活动】 学生独立完成证明过程,小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评,规范 学生的书写过程,强调由平行线直接证明三角形相似. [设计意图] 通过学生独立完成三角形相似的证明,让学生进一步理解由平行线证明三角形 相似的方法,培养学生的应用意识,提高解题能力. [知识拓展] - 6 - 1.相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形 的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是 1∶1 的两个 相似三角形是全等三角形. 2.书写两个三角形相似时,要注意对应点的位置要一致,即若ΔABC∽ΔDEF,则说明 A 的对应 点是 D,B 的对应点是 E,C 的对应点是 F. 3.相似三角形的传递性:如果ΔABC∽ΔA'B'C',ΔA'B'C'∽ΔA″B″C″,那么ΔABC∽Δ A″B″C″. 4.符合由平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图所示,若 DE ∥BC,则ΔADE∽ΔABC. 三、课堂小结： 1.相似三角形的概念、表示. 2.相似三角形与全等三角形的区别和联系. 3.相似三角形定义的应用. 4.由平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.