初三数学（上）一元二次方程 8页

1 一元二次方程 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握一元二次方程的概念； 2.掌握一元二次方程的解法（公式法、因式分解法）. 1. 一元二次方程的定义及一般形式： （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式 2（二次）的方程， 叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式：_________。其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是 2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法： 形如 2( ) ( 0)x a b b   的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得 x a b  或者 x a b   ， x a b   。 注意：若 b<0，方程无解 （2）配方法: 用配方法解一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    的一般步骤 ①二次项系数化为 1：方程两边都除以二次项系数； ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 2( ) ( 0)x m n n   的形式； ④用直接开平方法解变形后的方程。 注意：当 0n  时，方程无解 （3）公式法： 一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a    根的判别式：_________________ 2 0  方程有两个不相等的实根: 2 4 2 b b acx a    （ 2 4 0b ac  ） ( )f x 的图像与 x 轴 有两个交点 0  方程_____________实根  ( )f x 的图像与 x 轴有一个交点 0  方程无实根  ( )f x 的图像与 x 轴没有交点 （4）因式分解法 通过因式分解，把方程变形为 ( - )( - ) 0a x m x n  ，则有 =x m 或 x n 。 步骤： ①将方程的右边化为 0； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③另每一个因式分别为 0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。 注： （1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字 相乘法是最方便、快捷的方法。 ①提公因式法：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式 ②公式法：平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b） 完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2. （2）此法可拓展应用于求解高次方程。 参考答案： 1.（2） 2 0( 0)ax bx c a    2.(3) 2 4b ac   , 有两个相等的 1.一元二次方程的定义 【例 1】下列方程中是一元二次方程的序号是 ． 42 x① 52 2  yx② ③ 0133 2  xx 05 2 x④ 523 2  xx⑤ 41 2  xx ⑥ 【解析】根据一元二次方程的定义判定即可，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数式 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 【答案】①③④⑤ 练习 1. 已知，关于 x 的方程 12)5( 2  axxa 是一元二次方程，则 a 【答案】≠-5 练习 2. 当 k 时，方程 05)3()4( 22  xkxk 不是关于 x 的一元二次方程． 【答案】±2 3 2. 一元二次方程根的情况 【例 2】(2014 辽宁锦州市一中期末)若关于 x 的方程 052  kxx 有实数根，则 k 的取值范 围是 ． 【解析】根据一元二次方程的△的正负，来判断方程的根的情况，有实数根是△≥0，代入 a， b，c 计算即可。 【答案】k≤ 4 25 练习 3. 已知：当 m 时，方程 0)2()12( 22  mxmx 有实数根． 【答案】≥0.75 练习 4. （2014 山西晋中一模）关于 x 的方程 0)4(2)1( 222  kkxxk 的根的情况是 ___________． 【答案】没有实数解 【例 3】不解方程，判别方程的根的情况： 04x3x2 2  【解析】要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式 ac4b 2  的值的符号就可以了．注 意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定 a、b、c 的符号． 【答案】解：∵a＝2，b＝3，c＝－4， ∴ 041)4(243ac4b 22  ． ∴方程有两个不相等的实数根． 练习 5. y249y16 2  【答案】 ∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴ 09164)24(ac4b 22  ． ∴方程有两个相等的实数解． 练习 6.（2014 山东聊城一模） 0x7)1x(5 2  【答案】将方程化为一般形式 0x75x5 2  ， 05x7x5 2  ． ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ 554)7(ac4b 22  ＝49－100 ＝－51<0． ∴方程无实数解． 3.一元二次方程的解法 【例 4】解方程 2)3x( 2  ． 【解析】如果把 x＋3 看作一个字母 y，就变成解方程 2y 2  了．注意：对可用直接开平方法 4 来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若 ax 2  ，则 ax  ；若 b)ax( 2  ，则 abx  ． 【答案】解： 2)3x( 2  ， 23x  ， 23x23x  ，或 ， ∴ 23x23x 21  ， ． 练习 7. 解方程 025x 2  ． 【解析】解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好． 【答案】解： 025x 2  ， 25x 2  ， 25x  ，x＝±5． ∴ 5x5x 21  ， ． 练习 8. 解方程 081)2x(4 2  ． 【解析】解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好． 【答案】解： 081)2x(4 2  整理， 81)2x(4 2  ， 4 81)2x( 2  ， 2 92x  ， ∴ 2 5x2 13x 21  ， ． 【例 5】用配方法解方程 x73x2 2  ． 【解析】解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．注 意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为 1，方程左边只有二次项，一次 项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一 个二项式的完全平方． 【答案】解： x73x2 2  ， 02 3x2 7x 2  ， 02 3 4 7 4 7x2 7x 22          ， 16 25 4 7x 2       ， 5 ∴ 4 5 4 7x  ． ∴ 2 1x3x 21  ， ． 练习 9．x2＋8x－2＝0 【答案】 1 23 2 4, 3 2 4x x     练习 10. 2x2-x=6 【答案】 1 2 3 , 22x x   【例 6】解方程 02x3x 2  ． 【解析】此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．注意：用公式法 解方程时，要正确地确定方程各项的系数 a、b、c 的值，先计算“△”的值，若△<0， 则方程无解，就不必解了． 【答案】解法一： 02x3x 2  ， (x－2)(x－1)＝0， x－2＝0，x－1＝0， ∴ 2x1x 21  ， ． 解法二： ∵a＝1，b＝－3，c＝2， ∴ 01214)3(ac4b 22  ， ∴ 2 13x  ． ∴ 1x2x 21  ， ． 练习 11．(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2) 【答案】原方程可变形为（x-2）（3x-1-4x-1）=0，即（x-2）（-x-2）=0. x-2=0 或-x-2=0. ∴x1= 2， x2= -2 . 练习 12．4x2-20x+25=7 【答案】原方程可变形为 2x2-10x+9=0，∵a=2,b=-10，c=9，b2-4ac=（-10）2-4×2×9=28＞0， ∴x= 22 2810   = 4 7210  ∴x1= 2 75  ，x2= 2 75  . 【例 7】（2014 山东济南实验中学月考）解关于 x 的方程 0n)nm2x3(mx 22  ． 【解析】先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于 x 的方程， 即 x 为未知数，m，n 为已知数．在确定 0ac4b 2  的情况下，利用公式法求解． 【答案】解：把原方程左边展开，整理，得 0)nmnm2(mx3x 222  ． ∵a＝1，b＝－3m， 22 nmnm2c  ， ∴ )nmnm2(14)m3(ac4b 2222  6 22 n4mn4m  0)n2m( 2  ． ∴ 2 )n2m(m3x 2 2 )n2m(m3  ． ∴ nmxnm2x 21  ， ． 练习 13.x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 【答案】 2 4 2 p p qx    1.下列方程中,常数项为零的是( ) 【答案】D A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12 C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2 2.下列方程:①x2=0,② 2 1 x -2=0,③2 2x +3x=(1+2x)(2+x),④3 2x - x =0,⑤ 32x x -8x+ 1=0 中,一元二次 方程的个数是( ) 【答案】A A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.把方程（x- 5 ）(x+ 5 ）+(2x-1)2=0 化为一元二次方程的一般形式是( ) 【答案】A A.5x2-4x-4=0 B.x2-5=0 C.5x2-2x+1=0 D.5x2-4x+6=0 4.方程 x2=6x 的根是( ) 【答案】B A.x1=0,x2=-6 B.x1=0,x2=6 C.x=6 D.x=0 5.方 2x2-3x+1=0 经为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) 【答案】C A. 23 162x     B. 23 12 4 16x     C. 23 1 4 16x     D.以上都不对 6.若两个连续整数的积是 56,则它们的和是( ) 【答案】D A.11 B.15 C.-15 D.±15 7.不解方程判断下列方程中无实数根的是( ) 【答案】B A.-x2=2x-1 B.4x2+4x+ 5 4 =0 C. 22 3 0x x   D.(x+2)(x-3)==-5 8.方程 2( 1) 532 2 x x   化为一元二次方程的一般形式是________,它的一次项系数是______. 【答案】x2+4x-4=0,4 9.关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 有实数解的条件是__________.【答案】 2 4 0b c  10.用______法解方程 3(x-2)2=2x-4 比较简便. 【答案】因式分解法 11.如果 2x2+1 与 4x2-2x-5 互为相反数,则 x 的值为________.【答案】1 或 2 3 12.（2014 云南大理中考）如果关于 x 的一元二次方程 2x(kx-4)-x2+6=0 没有实数根,那么 k 的最小整 数值是__________. 7 【答案】2 13.如果关于 x 的方程 4mx2-mx+1=0 有两个相等实数根,那么它的根是_______.【答案】 1 8 14.若一元二次方程(k-1)x2-4x-5=0 有两个不相等实数根, 则 k 的取值范围是_______. 【答案】 1 15k  且k 15.用适当的方法解下列一元二次方程.(每小题 5 分,共 15 分) (1)5x(x-3)=6-2x; (2)3y2+1= 2 3y ; (3)(x-a)2=1-2a+a2(a 是常数) 【答案】（1）3， 2 5  ；（2） 3 3 ；（3）1，2a-1 16.已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的一个解是 2,另一个解是正数, 而且也是方程(x+4)2-52=3x 的解,你能求出 m 和 n 的值吗? 【答案】m=-6,n=8 17.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+ 1 2 k2-2=0.求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. 【答案】Δ=2k2+8>0, ∴不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) 【答案】B A.(a-3)x2=8 (a≠3) B.ax2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D. 2 33 2 057x x   2 下列方程中,常数项为零的是( ) 【答案】D A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12 C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+2 3.一元二次方程 2x2-3x+1=0 化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) 【答案】C A. 23 162x     B. 23 12 4 16x     C. 23 1 4 16x     D.以上都不对 4.关于 x 的一元二次方程  2 21 1 0a x x a     的一个根是 0，则 a 值为（ ）【答案】B A.1 B.-1 C.1 或-1 D. 1 2 5.已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周长 为( ) 【答案】D A.11 B.17 C.17 或 19 D.19 8 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 22 8 7 0x x   的两个根，则这个直角三角形 的斜边长是（ ）【答案】B A. 3 B.3 C.6 D.9 7.使分式 2 5 6 1 x x x    的值等于零的 x 是( ) 【答案】A A.6 B.-1 或 6 C.-1 D.-6 8.若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根,则 k 的取值范围是( ) 【答案】B A.k>- 7 4 B.k≥- 7 4 且 k≠0 C.k≥- 7 4 D.k> 7 4 且 k≠0 8.用______法解方程 3(x-2)2=2x-4 比较简便. 【答案】提公因式 9.如果 2x2+1 与 4x2-2x-5 互为相反数,则 x 的值为________.【答案】- 2 3 或 1 10. 22 ____)(_____3  xxx 【答案】 9 4 ， 3 2 11.若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1,则 a、b、c 的关系是______.【答案】b=a+c 12.已知方程 3ax2-bx-1=0 和 ax2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则 a= ______, b=______.【答案】1 ，-2 13.一元二次方程 x2-3x-1=0 与 x2-x+3=0 的所有实数根的和等于____.【答案】3 14.已知 3- 2 是方程 x2+mx+7=0 的一个根,则 m=________,另一根为_______.【答案】-6 ，3+ 2 15. 2 2(3 ) 5x x   16. 2 2 3 3 0x x   【答案】解：9-6x+x2+x2=5 解：(x+ 3 )2=0 x2-3x+2=0 x+ 3 =0 (x-1)(x-2)=0 x1=x2= - 3 x1=1 x2=2