2019年浙江省衢州市中考数学试卷含答案 21页

浙江省衢州市2019年中考数学试卷（解析版）‎ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1.在 ，0，1，-9四个数中，负数是（    ） ‎ A.                                           B. 0                                          C. 1                                          D. -9‎ ‎【答案】 D ‎ ‎【考点】正数和负数的认识及应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵-9＜0＜ ＜1， ‎ ‎∴负数是-9.‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】负数：任何正数前加上负号都等于负数；负数比零、正数小， 在数轴线上，负数都在0的左侧.‎ ‎2.浙江省陆域面积为101800平方千米，其中数据101800用科学记数法表示为（   ） ‎ A. 0.1018×105                          B. 1.018×105                     C. 0.1018×105                     D. 1.018×106‎ ‎【答案】 B ‎ ‎【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵101800=1.018×105. ‎ 故答案为：B.‎ ‎【分析】科学记数法：将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，由此即可得出答案.‎ ‎3.如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（   ） ‎ ‎ ‎ ‎                                                                  ‎ A B C D ‎【答案】 A ‎ ‎【考点】简单组合体的三视图 ‎ ‎【解析】【解答】解：从物体正面观察可得， ‎ 左边第一列有2个小正方体，第二列有1个小正方体.‎ 故答案为：A.‎ ‎【分析】主视图：从物体正面观察所得到的图形，由此观察即可得出答案.‎ ‎4.下列计算正确的是（    ） ‎ A. a6+a6=a12                       B. a6×a2=a8                       C. a6÷a2=a3                       D. （a6）2=a8‎ ‎【答案】 B ‎ ‎【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方 ‎ ‎【解析】【解答】解：A.∵a6+a6=2a6 ， 故错误，A不符合题意； ‎ B.∵a6×a2=a6+2=a8 ， 故正确，B符合题意；‎ C.∵a6÷a2=a6-2=a4 ， 故错误，C不符合题意；‎ D.∵（a6）2=a2×6=a12 ， 故错误，D不符合题意；‎ 故答案为：B.‎ ‎【分析】A.根据合并同类项法则计算即可判断错误；B.根据同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，依此计算即可判断正确；C.根据同底数幂的除法：底数不变，指数相减，依此计算即可判断错误；D.根据幂的乘方：底数不变，指数相乘，依此计算即可判断错误.‎ ‎5.在一个箱子里放有1个自球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是（    ） ‎ A. 1                                         B.                                          C.                                          D. ‎ ‎【答案】 C ‎ ‎【考点】等可能事件的概率 ‎ ‎【解析】【解答】解：依题可得， ‎ 箱子中一共有球：1+2=3（个），‎ ‎∴从箱子中任意摸出一个球，是白球的概率P= .‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】结合题意求得箱子中球的总个数，再根据概率公式即可求得答案.‎ ‎6.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（    ） ‎ A. (1，3)                           B. （1，-3)                           C. （-1，3）                           D. （-1，-3）‎ ‎【答案】 A ‎ ‎【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3， ‎ ‎∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.‎ 故答案为：A.‎ ‎【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.‎ ‎7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（    ） ‎ ‎ ‎ A. 60°                                       B. 65°                                       C. 75°                                       D. 80°‎ ‎【答案】 D ‎ ‎【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE， ‎ ‎∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，‎ 设∠O=∠ODC=x，‎ ‎∴∠DCE=∠DEC=2x，‎ ‎∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，‎ ‎∵∠BDE=75°，‎ ‎∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，‎ 即x+180°-4x+75°=180°，‎ 解得：x=25°，‎ ‎∠CDE=180°-4x=80°.‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.‎ ‎8.一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（    ） ‎ ‎ ‎ A. 6dm                                    B. 5dm                                    C. 4dm                                    D. 3dm ‎【答案】 B ‎ ‎【考点】垂径定理的应用 ‎ ‎【解析】解：连结OD，OA，如图，设半径为r， ‎ ‎∵AB=8，CD⊥AB，‎ ‎∴AD=4,点O、D、C三点共线,‎ ‎∵CD=2，‎ ‎∴OD=r-2，‎ 在Rt△ADO中，‎ ‎∵AO2=AD2+OD2 ， ,‎ 即r2=42+（r-2）2 ， ‎ 解得：r=5，‎ 故答案为：B.‎ ‎【分析】连结OD，OA，设半径为r，根据垂径定理得AD=4,OD=r-2，在Rt△ADO中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.‎ ‎9.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为（    ） ‎ ‎ ‎ A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 2‎ ‎【答案】 C ‎ ‎【考点】等边三角形的性质 ‎ ‎【解析】解：如图，作BG⊥AC， ‎ 依题可得：△ABC是边长为2的等边三角形，‎ 在Rt△BGA中，‎ ‎∵AB=2，AG=1,‎ ‎∴BG= ，‎ 即原来的纸宽为 .‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】结合题意标上字母，作BG⊥AC，根据题意可得：△ABC是边长为2的等边三角形，在Rt△BGA中，根据勾股定理即可求得答案.‎ ‎10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（   ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A      B      C     D ‎【答案】 C ‎ ‎【考点】动点问题的函数图象 ‎ ‎【解析】【解答】解：①当点P在AE上时， ‎ ‎∵正方形边长为4，E为AB中点，‎ ‎∴AE=2，‎ ‎∵P点经过的路径长为x，‎ ‎∴PE=x，‎ ‎∴y=S△CPE= ·PE·BC= ×x×4=2x，‎ ‎②当点P在AD上时，‎ ‎∵正方形边长为4，E为AB中点，‎ ‎∴AE=2，‎ ‎∵P点经过的路径长为x，‎ ‎∴AP=x-2，DP=6-x，‎ ‎∴y=S△CPE=S正方形ABCD-S△BEC-S△APE-S△PDC ， ‎ ‎=4×4- ×2×4- ×2×（x-2）- ×4×（6-x），‎ ‎=16-4-x+2-12+2x，‎ ‎=x+2，‎ ‎③当点P在DC上时，‎ ‎∵正方形边长为4，E为AB中点，‎ ‎∴AE=2，‎ ‎∵P点经过的路径长为x，‎ ‎∴PD=x-6，PC=10-x，‎ ‎∴y=S△CPE= ·PC·BC= ×（10-x）×4=-2x+20，‎ 综上所述：y与x的函数表达式为：‎ y= .‎ 故答案为：C.‎ ‎【分析】结合题意分情况讨论：①当点P在AE上时，②当点P在AD上时，③当点P在DC上时，根据三角形面积公式即可得出每段的y与x的函数表达式.‎ 二、填空题（本题共有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11.计算： =________。 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】分式的加减法 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵原式= . ‎ 故答案为： .‎ ‎【分析】根据分式加减法法则：同分母相加，分母不变，分子相加减，依此计算即可得出答案.‎ ‎12.数据2，7，5，7，9的众数是________ 。 ‎ ‎【答案】 7 ‎ ‎【考点】众数 ‎ ‎【解析】【解答】解：将这组数据从小到大排列为：2，5，7，7，9， ‎ ‎∴这组数据的众数为：7.‎ 故答案为：7.‎ ‎【分析】众数：一组数据中出现次数最多的数，由此即可得出答案.‎ ‎13.已知实数m，n满足 ，则代数式m2-n2的值为________ 。 ‎ ‎【答案】 3 ‎ ‎【考点】代数式求值 ‎ ‎【解析】【解答】解：∵m-n=1，m+n=3， ‎ ‎∴m2-n2=（m+n）（m-n）=3×1=3.‎ 故答案为：3.‎ ‎【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案.‎ ‎14.如图，人字梯AB，AC的长都为2米。当a=50°时，人字梯顶端高地面的高度AD是________米（结果精确到0.1m。参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 1.5 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用 ‎ ‎【解析】【解答】解：在Rt△ADC中， ‎ ‎∵AC=2，∠ACD=50°,‎ ‎∴sin50°= ，‎ ‎∴AD=AC×sin50°=2×0.77≈1.5.‎ 故答案为：1.5.‎ ‎【分析】在Rt△ADC中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.‎ ‎15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F。若y= （k≠0）图象经过点C，且S△BEF=1，则k的值为________ 。 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 24 ‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征 ‎ ‎【解析】解：作FG⊥BE，作FH⊥CD，如图，设A（-2a，0），D（0，4b）， ‎ 依题可得：△ADO≌△EDO，‎ ‎∴OA=OE，‎ ‎∴E（2a，0），‎ ‎∵B为OE中点，‎ ‎∴B（a，0）,‎ ‎∴BE=a,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AE∥CD,AB=CD=3a，C（3a，4b），‎ ‎∴△BEF∽△CDF,‎ ‎∴ ,‎ 又∵D（0，4b），‎ ‎∴OD=4b,‎ ‎∴FG=b,‎ 又∵S△BEF= ·BE·FG=1，‎ ‎∴即 ab=1,‎ ‎∴ab=2,‎ ‎∵C（3a，4b）在反比例函数y= 上，‎ ‎∴k=3a×4b=12ab=12×2=24.‎ 故答案为：24.‎ ‎【分析】作FG⊥BE，作FH⊥CD，设A（-2a，0），D（0，4b），由翻折的性质得：△ADO≌△EDO，根据全等三角形性质得OA=OE，结合题意可得E（2a，0），B（a，0）,由平行四边形性质得AE∥CD,AB=CD=3a，C（3a，4b），根据相似三角形判定和性质得 ,从而得FG=b,由三角形面积公式得 ab=1,即ab=2,将点C坐标代入反比例函数解析式即可求得k值.‎ ‎16.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。 ‎ ‎ ‎ ‎（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则 的值为________ . ‎ ‎（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1 ， 摆放第三个“7”字图形得顶点F2 ， 依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点Fn-1 ， …，则顶点F2019的坐标为________ . ‎ ‎【答案】 （1） （2）（ , ） ‎ ‎【考点】探索图形规律 ‎ ‎【解析】（1）依题可得，CD=1，CB=2， ‎ ‎∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°，‎ ‎∴∠BDC=∠OBA，‎ 又∵∠DCB=∠BOA=90°，‎ ‎∴△DCB∽△BOA，‎ ‎∴ ；‎ ‎（ 2 ）根据题意标好字母，如图，‎ 依题可得：‎ CD=1,CB=2，BA=1，‎ ‎∴BD= ，‎ 由（1）知 ，‎ ‎∴OB= ，OA= ，‎ 易得：‎ ‎△OAB∽△GFA∽△HCB，‎ ‎∴BH= ，CH= ，AG= ，FG= ，‎ ‎∴OH= + = ，OG= + = ，‎ ‎∴C（ ， ），F（ ， ），‎ ‎∴由点C到点F横坐标增加了 ，纵坐标增加了 ，‎ ‎……‎ ‎∴Fn的坐标为：（ + n， + n），‎ ‎∴F2019的坐标为：（ + ×2019， + ×2019）=（ ，405 ），‎ 故答案为： ，（ ，405 ）.‎ ‎【分析】（1）根据题意可得CD=1，CB=2，由同角的余角相等得∠BDC=∠OBA，根据相似三角形判定得△DCB∽△BOA，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得CD=1,CB=2，BA=1，在Rt△DCB中，由勾股定理求得 BD= ，由（1）知 ，从而可得OB= ，OA= ，结合题意易得：△OAB∽△GFA∽△HCB，根据相似三角形性质可得BH= ，CH= ，AG= ，FG= ，从而可得 C（ ， ），F（ ， ），观察这两点坐标知由点C到点F横坐标增加了 ，纵坐标增加了 ，依此可得出规律：Fn的坐标为：（ + n， + n），将n=2019代入即可求得答案.‎ 三、解答题（本题共有8小题，第17~19小题每小题6分，第20-21小题每小题8分，第22~23小题每小题10分，第24小题12分，共66分。请务必写出解答过程）‎ ‎17.计算：|-3|+（π-3）0- +tan45° ‎ ‎【答案】 解：原式=3+1-2+1 =3‎ ‎【考点】算术平方根，实数的运算，0指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值，实数的绝对值 ‎ ‎【解析】【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.‎ ‎18.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ‎ ‎∴AB=AD，∠B=∠D，‎ ‎∵BE=DF ‎∴△ABE≌△ADF．‎ ‎∴AE=CF ‎【考点】菱形的性质 ‎ ‎【解析】【分析】由菱形性质得AB=AD，∠B=∠D，根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF，由全等三角形性质即可得证.‎ ‎19.如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上， ‎ ‎ ‎ ‎（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点， ‎ ‎（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点. ‎ ‎【答案】 （1）解：如图， ‎ ‎ ‎ 线段CD就是所求作的图形．‎ ‎ （2）解：如图， ‎ ‎ ‎ ‎ ABEC就是所求作的图形 ‎【考点】作图—复杂作图 ‎ ‎【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥CB，且点D是格点即可.（2）作一个△BEC与△BAC全等即可得出图形.‎ ‎20.某校为积极响应“南孔圣地，衢州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动。其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程。为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图。 ‎ ‎ ‎ ‎（1）请问被随机抽取的学生共有多少名?并补全条形统计图。 ‎ ‎（2）在扇形统计图中，求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数。 ‎ ‎（3）若该校共有学生1200人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？ ‎ ‎【答案】 （1）解：学生共有40人 ‎ 条形统计图如图所示．‎ ‎ （2）解：选“礼行”课程的学生所对应的扇形圆心角的度数为 ×360°=36° （3）解：参与“礼源”课程的学生约有1200× =240（人） ‎ ‎【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据统计表和扇形统计图中的数据，由总数=频数÷频率，频数=总数×频率即可得答案.（2）由条形统计图中可得“礼行”学生人数，由 ×360°，计算即可求得答案.（3）由条形统计图知“礼源”的学生人数，根据 ×全校总人数，计算即可求得答案.‎ ‎21.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E. ‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线. ‎ ‎（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。 ‎ ‎【答案】 （1）证明：如图，连结OD． ‎ ‎ ‎ ‎∵OC=OD，AB=AC，‎ ‎∴∠1=∠C，∠C=∠B，‎ ‎∴∠1=∠B,‎ ‎∴DE⊥AB，‎ ‎∴∠2+∠B=90°，‎ ‎∴∠2+∠1=90°，‎ ‎∴∠ODE=90°，‎ ‎∴DE为⊙O的切线． （2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径． ‎ ‎∴∠ADC=90°．‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C=30°，BD=CD，‎ ‎∴∠AOD=60°．‎ ‎∵DE= ，‎ ‎∴BD=CD=2 ，‎ ‎∴OC=2，…6分 ‎∴AD= π×2= π ‎【考点】圆周角定理，切线的判定，弧长的计算 ‎ ‎【解析】【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B，由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°，等量代换得∠2+∠1=90°，由平角定义得∠DOE=90°，从而可得证.（2）连结AD，由圆周角定理得∠ADC=90°，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中，由直角三角形性质得BD=CD=2 ，在Rt△ADC中，由直角三角形性质得OA=OC=2，再由弧长公式计算即可求得答案.‎ ‎22.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间，经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表： ‎ x（元）‎ ‎…‎ ‎190‎ ‎200‎ ‎210‎ ‎220‎ ‎…‎ y(间)‎ ‎…‎ ‎65‎ ‎60‎ ‎55‎ ‎50‎ ‎…‎ ‎ ‎ ‎（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象。 ‎ ‎（2）求y关于x的函数表达式、并写出自变量x的取值范围. ‎ ‎（3）设客房的日营业额为w（元）。若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时。客房的日营业额最大?最大为多少元？ ‎ ‎【答案】 （1）解：如图所示： ‎ ‎ （2）解：设y=kx+b(k≠0)， ‎ 把（200，60)和（220，50)代入，‎ 得 ，解得 ‎ ‎∴y= x+160（170≤x≤240） （3）解：w=x·y=x·（ x+160)= x2+160x． ‎ ‎∴对称轴为直线x= =160，‎ ‎ ∵a= <0，‎ ‎∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小．‎ 故当x=170时，w有最大值，最大值为12750元 ‎【考点】二次函数与一次函数的综合应用 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据表中数据再平面直角坐标系中先描点、连线即可画出图像.（2）设y与x的函数表达式为y=kx+b，再从表中选两个点（200，60），（220，50）代入函数解析式，得到一个关于k、b的二元一次方程组，解之即可得出答案，由题意即可求得自变量取值范围.（3）设日营业额为w，由w=xy==- x2+160x，再由二次函数图像性质即可求得答案.‎ ‎23.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B(c，d)，若点T（x，y)满足x= ，y= ，那么称点T是点A，B的融合点。 ‎ 例如：A（-1，8），B（4，-2），当点T（x，y）满是x= =1,y= =2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点，‎ ‎ ‎ ‎（1）已知点A（-1，5），B(7，7)，C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点。 ‎ ‎（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y)是点D，E的融合点。 ‎ ‎①试确定y与x的关系式。‎ ‎②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标。‎ ‎【答案】 （1）解： =2， =4 ‎ ‎∴点C（2，4）是点A，B的融合点 ‎ （2）解：①由融合点定义知x= ，得t=3x-3． ‎ 又∵y= ，得t= ‎ ‎∴3x-3= ，化简得y=2x-1．‎ ‎②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：‎ ‎（i）当∠THD=90°时，如图1所示，‎ ‎ ‎ 设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）．‎ 由点T是点E，D的融合点，‎ 可得m= 或2m-1= ，‎ 解得m= ,∴点E1( ,6)．‎ ‎（ii）当∠TDH=90°时，如图2所示，‎ ‎ ‎ 则点T为（3，5）．‎ 由点T是点E，D的融合点，‎ 可得点E2（6，15）．‎ ‎（iii）当∠HTD=90°时，该情况不存在．‎ 综上所述，符合题意的点为E1（ ，6），E2(6，15）‎ ‎【考点】定义新运算 ‎ ‎【解析】【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案. （2）①由题中融合点的定义可得y=2x-1，. ‎ ‎②结合题意分三种情况讨论：（ⅰ）∠THD=90°时，画出图形，由融合点的定义求得点E坐标；（ⅱ）∠TDH=90°时，画出图形，由融合点的定义求得点E坐标；（ⅲ）∠HTD=90°时，由题意知此种情况不存在.‎ ‎24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G。 ‎ ‎ ‎ ‎（1）求CD的长。 ‎ ‎（2）若点M是线段AD的中点，求 的值。 ‎ ‎（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°? ‎ ‎【答案】 （1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°， ‎ ‎∴∠DAC= ∠BAC=30°．‎ 在Rt△ADC中，DC=AC·tan30°=2 （2）解：易得，BC=6 ，BD=4 ． ‎ 由DE∥AC，得∠EDA=∠DAC,∠DFM=∠AGM．‎ ‎∵AM=DM，‎ ‎∴△DFM≌△AGM，‎ ‎∴AG=DF．‎ 由DE∥AC，得△BFE∽△BGA，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ （3）解：∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q， ‎ ‎∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形。‎ ‎ ①    当⊙Q与DE相切时，如图1，‎ ‎ ‎ 过Q点作QH⊥AC，‎ 并延长HQ与DE交于点P，连结QC，QG 设⊙Q的半径QP=r则QH= r，r+ r=2 ，‎ 解得r= ．‎ ‎∴CG= × =4，AG=2．‎ 易知△DFM∽△AGM，可得 ，则 ‎ ‎∴DM= ．‎ ‎ ②    当⊙Q经过点E时，如图2，‎ ‎ ‎ 过C点作CK⊥AB，垂足为K．‎ 设⊙Q的半径QC=QE=r，则QK=3 -r．‎ 在Rt△EQK中，12+（ -r）2=r2 ， 解得r= ，‎ ‎∴CG= × = ‎ 易知△DFM∽△AGM，可得DM= ‎ ‎ ③    当⊙Q经过点D时，如图3，‎ ‎ ‎ 此时点M与点G重合，‎ 且恰好在点A处，可得DM=4 ．‎ 综上所述，当DM= 或