2020年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 9页

第3章　圆的基本性质 ‎3.6　圆内接四边形 知识点1　圆内接四边形的性质——圆内接四边形 ‎ 的对角互补 ‎1．2016·丽水如图3－6－1，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝________°.‎ ‎2．已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠A∶∠C＝1∶2，则∠A＝________°.‎ 图3－6－1‎ ‎　　图3－6－2‎ ‎3．如图3－6－2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC＝115°，那么∠AOC＝________°.‎ ‎4．如图3－6－3，AB是半圆O的直径，C，D是上两点，∠ADC＝120°，则∠BAC＝________°.‎ 图3－6－3‎ ‎　　图3－6－4‎ ‎5．如图3－6－4，点A，B，C，D都在⊙O上，∠B＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O 9‎ 的直径是________．‎ ‎6．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，求∠D的度数．‎ ‎7．如图3－6－5，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB＝CD.‎ 图3－6－5‎ 知识点2　圆内接四边形的性质的推论——圆内接四 ‎ 边形的外角等于其内对角 ‎8．2017·嵊州市模拟如图3－6－6，点A，B，C，D在圆O上，点E在AD的延长线上，若∠ABC＝60°，则∠CDE的度数为(　　)‎ A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．70°‎ 9‎ 图3－6－6‎ ‎　　图3－6－7‎ ‎9．如图3－6－7，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.‎ ‎10．如图3－6－8所示，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.‎ 求证：△ADE是等腰三角形．‎ 图3－6－8‎ ‎11．如图3－6－9，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为(　　)‎ A．80° B．100° C．110° D．130°‎ 9‎ 图3－6－9‎ ‎　　　图3－6－10‎ ‎12．如图3－6－10，在平面直角坐标系中，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是上一点，且在第三象限内．若∠BMO＝120°，则⊙C的半径为(　　)‎ A．6 B．‎5 C．3 D．3‎ ‎13．如图3－6－11，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝________．‎ 图3－6－11‎ ‎14．如图3－6－12，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四边形ABCD的面积．‎ 图3－6－12‎ 9‎ ‎15．(1)已知：如图3－6－13①，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至点E，则∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＝∠A.‎ ‎(2)依已知条件和(1)中的结论：‎ 如图②，若点C在⊙O外，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A＋∠BCD与180°的大小关系；‎ 如图③，若点C在⊙O内，且A，C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A＋∠BCD与180°的大小关系．‎ 图3－6－13‎ ‎(3)如图3－6－14，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连结OC，P是半径OC上任意一点，连结DP，BP，则∠BPD的度数可能为________(写出一个即可)．‎ 图3－6－14‎ 9‎ 详解详析 ‎1．70‎ ‎2．60　[解析] ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠C＝1∶2，∴∠A＝60°.‎ ‎3．130　[解析] ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC＝115°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－115°＝65°，‎ ‎∴∠AOC＝2∠ADC＝2×65°＝130°.‎ ‎4．30‎ ‎5. ‎6．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.‎ ‎∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶6，‎ 设∠A＝2α，∠B＝3α，∠C＝6α，则2α＋6α＝180°，‎ ‎∴α＝22.5°，∴∠B＝3α＝67.5°，‎ ‎∴∠D＝180°－∠B＝112.5°.‎ ‎7．证明：∵AD∥BC，‎ ‎∴∠A＋∠B＝180°.‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠A＋∠C＝180°，‎ ‎∴∠B＝∠C，∴＝，‎ ‎∴－＝－，即＝，‎ ‎∴AB＝CD.‎ ‎8．C　[解析] ∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，‎ ‎∴∠ABC＋∠ADC＝180°.‎ 9‎ ‎∵∠CDE＋∠ADC＝180°，∠ABC＝60°，‎ ‎∴∠CDE＝∠ABC＝60°.‎ 故选C.‎ ‎9．60　[解析] ∵∠BOD＝120°，∴∠BAD＝60°.又∠BAD＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠BAD＝60°.‎ ‎10．证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.‎ ‎∵四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠A＋∠DCB＝180°.‎ ‎∵∠BCE＋∠DCB＝180°，‎ ‎∴∠A＝∠BCE，则∠A＝∠E，‎ ‎∴AD＝DE，‎ ‎∴△ADE是等腰三角形．‎ ‎11．D　[解析] 如图，连结OC.‎ ‎∵OB＝OC，‎ ‎∴∠OCB＝∠OBC＝40°，‎ ‎∴∠BOC＝100°.‎ ‎∵∠1＋∠BOC＝360°，‎ ‎∴∠1＝260°.‎ ‎∵∠A＝∠1，∴∠A＝130°.故选D.‎ ‎12．D　[解析] ∵四边形ABMO内接于⊙C，‎ ‎∴∠BMO＋∠BAO＝180°.∵∠BMO＝120°，‎ ‎∴∠BAO＝60°.又∵AO⊥BO，A(0，3)，‎ 9‎ ‎∴AB＝2AO＝6，∴⊙C的半径为3.故选D.‎ ‎13．4 　[解析] 连结OD，OB，过点O作OF⊥BD，垂足为F，∴DF＝BF，∠DOF＝∠BOF.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠C＝180°.∵∠C ＝2∠A，∴∠A＝60°，∴∠BOD＝120°，∴∠BOF＝60°.∵OB＝4，∴BF＝2 ，∴BD＝2BF＝4 .‎ ‎14．解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.‎ ‎∵∠ADF＋∠ABC＝180°(圆内接四边形的对角互补)，∠ABE＋∠ABC＝180°，‎ ‎∴∠ADF＝∠ABE.‎ 在△AEB与△AFD中，‎ ‎∵ ‎∴△AEB≌△AFD，‎ ‎∴四边形ABCD的面积＝四边形AECF的面积，AE＝AF.‎ 又∵∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，‎ ‎∴Rt△AEC≌Rt△AFC.‎ ‎∵∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，∴∠CAF＝30°.‎ ‎∵AC＝1，∴CF＝，AF＝，‎ ‎∴四边形ABCD的面积＝2S△ACF＝2×CF×AF＝.‎ ‎15．解：(2)如图①，连结DE.‎ ‎∵∠A＋∠BED＝180°，∠BED＞∠BCD，‎ ‎∴∠A＋∠BCD＜180°.‎ 9‎ 如图②，延长DC交⊙O于点E，连结BE.‎ ‎∵∠A＋∠E＝180°，∠BCD＞∠E，‎ ‎∴∠A＋∠BCD＞180°.‎ ‎(3)答案不唯一，如80°‎ 9‎