2019年山东省泰安市宁阳县九年级第二次模拟数学试题（解析版） 28页

2019年山东省泰安市宁阳县九年级第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1.计算﹣﹣|﹣3|的结果是（　　）A.﹣1B.﹣5C.1D.5【答案】B【解析】【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】原式故选B．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.代数式中x的取值范围在数轴上表示为（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．【详解】由题意，得：3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤3且x≠1，在数轴上表示如图：．故选A．点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题的关键．3.从棱长为2a的正方体零件的一角，挖去一个棱长为a的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（   ） A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】解：俯视图是从上面往下看到的图形，从上面往下看到的是大正方形的左下角有一个小正方形，故选B．【点睛】本题考查几何体的三视图．4.已知，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（　　）A.30°B.35°C.40°D.45°【答案】B【解析】【分析】依据AB∥CD，可得∠EHD=∠EGB=25°，再根据∠PHD=60°，即可得到结论．【详解】∵AB∥CD，∴∠EHD=∠EGB=25°．又∵∠PHD=60°，∴∠PHG=60°﹣25°=35°．故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．5.某微生物的直径为0.000005035m，用科学记数法表示该数为（　　）A.5.035×10﹣6B.50.35×10﹣5C.5.035×106D.5.035×10﹣5 【答案】A【解析】试题分析：0.000005035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，故选A．考点：科学记数法—表示较小的数．6.某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：因为设甲车间每天能加工x个，所以乙车间每天能加工1.3x个，由题意可得等量关系：甲乙两车间生产2300件所用的时间+乙车间生产2300件所用的时间=33天，根据等量关系可列出方程：．故选B．7.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（）A.2条B.3条C.4条D.5条【答案】D【解析】试题分析：如图所示，根据点到直线的距离就是这个点到这条直线垂线段的长度，可知线段AB是点B到AC的距离，线段CA是点C到AB的距离，线段AD是点A到BC的距离，线段BD是点B到AD的距离，线段CD是点C到AD的距离，所以图中能表示点到直线距离的线段共有5条．故答案选D.考点：点到直线的距离．8.如图，已知中直径，半径，点是半圆的三等分点，点是半径上的动点，使的值最小时，（） A.1B.C.2D.3【答案】C【解析】【分析】接PA．因为OC⊥直径AB，所以CO垂直平分AB．根据“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”得PB+PD=PA+PD，根据“两点之间线段最短”可知，连接BD，与CO相交于P，则AD的长度即为PB+PD的最小值．然后利用解直角三角形的知识求出PO的值即可．【详解】连接PA，与CO相交于P，连接BD．∵OC⊥AB，∴CO垂直平分AB，∴PA=PB，∴PB+PD=PA+PD，∴根据“两点之间线段最短”可知，AD的长度即为PB+PD的最小值．∵AB为直径，∴∠D=90°，∵点是半圆的三等分点，∴的度数为60°，∴∠A=30°，∴，∴； 故答案为：C．【点睛】此题将轴对称最短路程问题与圆和解直角三角形的问题相结合，即考查了对“两点之间线段最短”的认识，又考查了对圆和直角三角形相关知识的理解，是一道好题9.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是:A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由方程有两个不相等的实数根,可得，解得，即异号，当时，一次函数的图象过一三四象限，当时，一次函数的图象过一二四象限，故答案选B.10.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（　　）个．A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0 ），可知二次函数的对称轴为x==1，即-=1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，x=1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD=BD，顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．【详解】解：①∵二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）．∴二次函数的对称轴为x==1，即-=1，∴2a+b=0．故①正确；②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）．∴a-b+c=0，9a+3b+c=0．又∵b=-2a．∴3b=-6a，a-（-2a）+c=0．∴3b=-6a，2c=-6a．∴2c=3b．故②错误；③∵抛物线开口向上，对称轴是x=1．∴x=1时，二次函数有最小值．∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．即a+b＜am2+bm．故③正确；④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形．∴AD2+BD2=42．解得，AD2=8．设点D坐标为（1，y）．则[1-（-1）]2+y2=AD2．解得y=±2．∵点D在x轴下方．∴点D为（1，-2）．∵二次函数的顶点D为（1，-2），过点A（-1，0）．设二次函数解析式为y=a（x-1）2-2． ∴0=a（-1-1）2-2．解得a=．故④正确；⑤由图象可得，AC≠BC．故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．故⑤错误．故①③④正确，②⑤错误．故选C．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．11.如图，正方形中，为的中点，的垂直平分线分别交，及的延长线于点，，，连接，，，连接并延长交于点．则下列结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数有（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】①作辅助线，构建三角形全等，证明△ADE≌△GKF，则FG=AE，可得FG=2AO；②证明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，则∠DOE≠∠HEA，OD与HE不平行；③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，证明△ADE∽△HOA，得，所以，根据AR∥CD，得，则；④证明△HAE∽△ODE，可得，等量代换可得OE2=AH•DE；⑤分别计算HC、OG、BH的长，可得结论．【详解】：①如图，过G作GK⊥AD于K， ∴∠GKF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，∴∠ADE=∠GKF，∵AE⊥FH，∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，∵∠OAF+∠AED=90°，∴∠AFO=∠AED，∴△ADE≌△GKF，∴FG=AE，∵FH是AE的中垂线，∴AE=2AO，∴FG=2AO，故①正确；②∵FH是AE的中垂线，∴AH=EH，∴∠HAE=∠HEA，∵AB∥CD，∴∠HAE=∠AED，Rt△ADE中，∵O是AE的中点，∴，∴∠ODE=∠AED，∴∠HEA=∠AED=∠ODE，当∠DOE=∠HEA时，OD∥HE， 但AE＞AD，即AE＞CD，∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，∴OD与HE不平行，故②不正确；③设正方形ABCD的边长为2x，则AD=AB=2x，DE=EC=x，∴，，易得△ADE∽△HOA，∴，∴，∴，Rt△AHO中，由勾股定理得：，∴BH=AH-AB=，∴，延长CM、BA交于R，∵RA∥CE，∴∠ARO=∠ECO，∵AO=EO，∠ROA=∠COE，∴△ARO≌△ECO，∴AR=CE，∵AR∥CD，∴，∴，∴，故③正确；④由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE， ∴△HAE∽△ODE，∴，∵AE=2OE，OD=OE，∴OE•2OE=AH•DE，∴2OE2=AH•DE，故④正确；⑤由③知：，∵，，∵，∴，∵，∴，∴，∴OG+BH≠HC，故⑤不正确；本题正确的有；①③④，3个，故答案：B．【点睛】本题是相似三角形的判定与性质以及勾股定理、线段垂直平分线的性质、正方形的性质的综合应用，正确作辅助线是关键，解答时证明三角形相似是难点12.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（﹣1，0）为圆心，1为半径的圆上一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　） A.5B.10C.15D.20【答案】A【解析】【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题【详解】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．连接BC．∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5．∵S△ABC=AB•CH=AC•OB，∴AB•CH=AC•OB，∴5CH=(4+1)×3，解得：CH=3，∴EH=3﹣1=2．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值5×2=5．故选A．【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13.在实数范围内分解因式_______．【答案】【解析】 【分析】先提公因式4m，再根据平方差公式分解即可得出答案．【详解】；故答案为：.【点睛】本题考查了分解因式（提公因式法和用平方差公式分解因式法），熟悉分解因式的一般步骤是基本，对公式的掌握是关键．14.如图，半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为___________________．【答案】cm2．【解析】【详解】解：过点C作CD⊥OB，CE⊥OA，∵OB=OA，∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OA直径，∴∠ACO=90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∵CE⊥OA，∴OE=AE，OC=AC，在Rt△OCE与Rt△ACE中， ∵，∴Rt△OCE≌Rt△ACE（HL），∵S扇形OEC=S扇形AEC，∴与弦OC围成的弓形的面积等于与弦AC所围成的弓形面积，同理可得，与弦OC围成的弓形的面积等于与弦BC所围成的弓形面积，∴S阴影=S△AOB=×1×1=cm2．故答案为：cm2．【点睛】本题考查扇形面积的计算；等腰直角三角形的判定与性质．15.已知关于x的分式方程有一个正数解，则k的取值范围为________.【答案】k<6且k≠3【解析】分析：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．详解：，方程两边都乘以（x-3），得x=2（x-3）+k，解得x=6-k≠3，关于x的方程程有一个正数解，∴x=6-k＞0，k＜6，且k≠3，∴k的取值范围是k＜6且k≠3．故答案为k＜6且k≠3．点睛：本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．16.圆锥的底面周长为，母线长为2，点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为______． 【答案】1．【解析】解：如图，连接AA′，∵底面周长为，∴弧长==，∴n=60°即∠AOA′=60°，∴∠A=60°，∵OA=OA′，∴△AOA′是等边三角形，∴AA′=2，∵PP′是△OAA′的中位线，∴PP′=AA′=1，故答案为1．17.在边长为2的正方形中，对角线与相交于点，是上一动点，过作，分别交正方形的两条边于点，．设，的面积为，则与函数关系式为____．【答案】【解析】【分析】分析，EF与x的关系，他们的关系分两种情况，①当P在OB上时，当P在OD上时，分别求出解析式．【详解】：∵四边形ABCD是正方形，∴，①当P在OB上时，即，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF：AC=BP：OB，∴EF=2BP=2x，∴；②当POD上时，即， ∵EF∥AC，∴△DEF∽△DAC，∴EF：AC=DP：OD，即，∴，∴故答案为：.【点睛】此题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题．分情况讨论是解题的关键.18.如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是________．【答案】－3【解析】【详解】解：∵双曲线y=关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴OA=OB．连接OC，如图所示．∵△ABC是等边三角形，OA=OB， ∴OC⊥AB．∠BAC=60°．∴tan∠OAC=．∴OC=OA．过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF．∴△AEO∽△OFC．∴．∵OC=OA，∴OF=AE，FC=EO．设点A坐标为（a，b），∵点A在第一象限，∴AE=a，OE=b．∴OF=AE=a，FC=EO=b．∵点A在双曲线y=上，∴ab=1．∴FC•OF=b•a=3ab=3设点C坐标为（x，y），∵点C在第四象限，∴FC=x，OF=-y．∴FC•OF=x•（-y）=-xy=3．∴xy=-6．∵点C在双曲线y=上，∴k=xy=-3．故答案为：-3【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）.19.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用二次根式性质、负整数指数幂及绝对值性质计算出x的值，最后代入计算可得．【详解】原式（x﹣1）．∵x=22﹣（1）=21，∴原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．20.草莓是种老少皆宜的食品，深受市民欢迎．今年3月份，甲，乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的草莓．甲超市销售方案是：将草莓按大小分类包装销售，其中大草莓400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小草莓以高于进价的10%销售．乙超市销售方案是：不将草莓按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种草莓售价的平均数定价．若两超市将草莓全部售完，其中甲超市获利2100元（其他成本不计）．（1）草莓进价为每千克多少元？（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算．【答案】（1）草莓进价为每千克5元；（2）甲超市销售方式更合算．【解析】【分析】（1）先设草莓进价为每千克x元，根据两超市将草莓全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，求出x 的值，再进行检验即可求出答案；（2）根据（1）求出每个超市草莓总量，再根据大、小草莓售价分别为10元和5.5元，求出乙超市获利，再与甲超市获利2100元相比较即可．【详解】（1）设草莓进价为每千克元.由题意，得，解得.经检验是原方程的根.答：草莓进阶为每千克5元.（2）由（1）知：每个超市草莓总量：（千克），大、小草莓售价分别为10元和5.5元.乙超市获利：（元）.甲超市获利，甲超市销售方式更合算.【点睛】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元列出方程，解方程时要注意检验．21.2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案与高校招生政策都将有重大变化．某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为A，B，C，D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅图不完整的统计图．请你根据图中提供的信息完成下列问题：（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；（2）求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数；（3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人？【答案】（1）图见解析；（2）126°；（3）525． 【解析】【分析】（1）利用被调查学生的人数=了解程度达到B等的学生数÷所占比例，即可得出被调查学生的人数，由了解程度达到C等占到的比例可求出了解程度达到C等的学生数，再利用了解程度达到A等的学生数=被调查学生的人数-了解程度达到B等的学生数-了解程度达到C等的学生数-了解程度达到D等的学生数可求出了解程度达到A等的学生数，依此数据即可将条形统计图补充完整；（2）根据A等对应的扇形圆心角的度数=了解程度达到A等的学生数÷被调查学生的人数×360°，即可求出结论；（3）利用该校现有学生数×了解程度达到A等的学生所占比例，即可得出结论．【详解】（1）48÷40%=120（人），120×15%=18（人），120-48-18-12=42（人）．将条形统计图补充完整，如图所示．（2）42÷120×100%×360°=126°．答：扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角为126°．（3）1500×=525（人）．答：该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有525人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，观察条形统计图及扇形统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．22.小明在课外研究中，设计如下题目：直线过点，，直线与曲线交于点．（1）求直线和曲线的关系式．（图1） （2）小明发现曲线关于直线对称，他把曲线与直线的交点叫做曲线的顶点．（图2）①直接写出点的坐标；②若点从点出发向上运动，运动到时停止，求此时的面积．【答案】（1），；（2）①，②．【解析】【分析】（1）把，代入，列出关于k和b的二元一次方程组，求出k和b的值，即可求出直线的解析式，把点代入直线解析式，求出n=1，把代入，即可求出曲线的解析式.(2)列方程组，方程组的解，即为P点的坐标，由曲线关于直线对称，，可得点C和点D关于对称，解点D的坐标，通过做辅助线，分别过点D、点P、点C向x轴作垂线，分别交x轴于点M、点N、点F，得到，求得的面积.【详解】（1）将点，的坐标代入，得：，解得∴直线解析式为：，∵直线过点 ∴把C点坐标代入得，n=1，∴C点坐标为，将C点坐标代入，解得m=4，∴曲线的关系式为：.(2)①∵点P是曲线与直线的交点，∴得到方程组，解得，或，∵x>0,∴P点的坐标为②分别过点D、点P、点C向x轴作垂线，分别交x轴于点M、点N、点F.∵曲线关于直线对称，∴当时，点C和点D关于对称，∴点D得坐标为（1,4），∴，∴.【点睛】本题主要考查的是反比例函数和一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式和轴对称点的坐标求法，由曲线关于直线对称，时，得到点C和点D关于 对称，求得点D得坐标是解题的关键．23.已知中，，，、分别是、的中点，将绕点按顺时针方向旋转一个角度得到，连接、，如图1（1）求证，（2）如图2，当时，设与，，交于点，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明，然后再利用SAS证明，再利用全等三角形的性质即可得到答案；（2）连接，先证明是等边三角形。然后再证为直角三角形，再证，最后依据相似三角形的性质即可得出答案.【详解】解：（1）证明∵，，分别是，的中点，∴由旋转的性质可知：∴，∴，∴（2）连接∵，∴是等边三角形∴∴，∴， ∵，∴，∴又∵，∴∴，∵在中，，∴【点睛】本题是一道综合题，考查了全等的判定与性质和相似三角形的判定与性质，能够充分调动所学知识是解题的关键.24.如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接，，设的面积为，求的最大值；（3）如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】1）；（2）S最大值为4；（3）存在，点D的横坐标为2或【解析】【分析】 （1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入求得m的值即可；（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设，则，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点E，EA=EC=EB=，过D作Y轴的垂线，垂足为R，交AC的延线于G，设，则DR=x，，最后，分为∠DCM=2∠BAC和∠MDC=2∠BAC两种情况列方程求解即可．【详解】：（1）把x=0代入得y=-2，∴C（0，-2）．把y=0代得x=4，∴B（4，0），设抛物线的解析式为，将C（0，-2）代入得：2m=-2，解得：m=-1，∴A（-1，0）．∴抛物线的解析式，即；（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．设，则，，∴，∴当x=2时，S有最大值，最大值为4．（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G． ∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），∴，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形．取AB的中点E，连接CE，则CE=BE，∴∠OEC=2∠ABC．∴，当∠MCD=2∠ABC时，则tan∠CDR=tan∠ABC=，设，则DR=x，，∴，解得：x=0（舍去）或x=2．∴点D的横坐标为2．当∠CDM=2∠ABC时，设MD=3k，CM=4k，CD=5k．∵tan∠MGD=，∴GM=6k，，∴GC=MG-CM=2k，∴，∴， ∴，整理得：，解得：x=0（舍去）或x=．∴点D的横坐标为，综上所述，当点D横坐标为2或.【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25.如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．（1）若∠ABC=60°，BP=AQ．①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；（2）若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．【答案】（1）①DE=AQ，DE∥AQ；②E∥AQ，DE=AQ，理由见解析；（2）AQ=2BP•sinα．【解析】【分析】（1）①先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出∠CBP=∠CAQ，即可判断出△BPC≌△AQC，再判断出△PCQ是等边三角形，进而得出CE=QE，即可得出结论；②同①的方法即可得出结论；（2）先判断出，∠PAQ=90°﹣∠ACQ，∠BAP=90°﹣∠ACQ，进而得出∠BCP=∠ACQ ，即可判断出进而判断出△BPC∽△AQC，最后用锐角三角函数即可得出结论．【详解】解：（1）①DE=AQ，DE∥AQ，理由：如图1，连接PC，PQ，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AB=BC，BD⊥AC，∴AD=CD，∠ABD=∠CBD=∠BAC，∵∠CAF=∠ABC，∴∠CBP=∠CAQ，在△BPC和△AQC中，，∴△BPC≌△AQC（SAS），∴PC=QC，∠BPC=∠ACQ，∴∠PCQ=∠PCA+∠AQC=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°，∴△PCQ是等边三角形，∵PE⊥CQ，∴CE=QE，∵AD=CD，∴DE=AQ，DE∥AQ；②DE∥AQ，DE=AQ，理由：如图2，连接PQ，PC，同①的方法得出DE∥AQ，DE=AQ；（2）AQ=2BP•sinα，理由：连接PQ，PC，要使DE=AQ，DE∥AQ，∵AD=CD，∴CE=QE， ∵PE⊥CQ，∴PQ=PC，易知，PA=PC，∴PA=PE=PC∴以点P为圆心，PA为半径的圆必过A，Q，C，∴∠APQ=2∠ACQ，∵PA=PQ，∴∠PAQ=∠PQA=（180°﹣∠APQ）=90°﹣∠ACQ，∵∠CAF=∠ABD，∠ABD+∠BAD=90°，∴∠BAQ=90°，∴∠BAP=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠ACQ，易知，∠BCP=∠BAP，∴∠BCP=∠ACQ，∵∠CBP=∠CAQ，∴△BPC∽△AQC，∴，在Rt△BCD中，sinα=，∴=2×=2sinα，∴AQ=2BP•sinα．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出∠BCP=∠ACQ是解本题的关键．