中考数学复习冲刺专项训练精讲：三角形的基础知识教学课件（初三数学章节复习课件） 14页

第四章三角形三角形的基础知识中考数学复习冲刺专项训练精讲 1.三角形的边、角关系：(1)三角形任意两边的和__________第三边，三角形任意两边的差__________第三边；(2)三角形三个内角的和等于________°.直角三角形的两个锐角__________．(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的__________．一、考点知识2.等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角__________(简写成“__________”)．(2)等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高__________，简称__________．(3)是轴对称图形，有__________条对称轴(腰与底边不等的等腰三角形)．大于小于180互余和相等等边对等角互相重合三线合一一 3．等腰三角形的判定：有_____边相等的三角形是等腰三角形．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也__________(简写成“__________”)．4．等边三角形的性质：(1)等边三角形的三条边都________．三个内角都______，并且每一个内角都等于__________°.(2)是轴对称图形，有__________条对称轴．(3)等边三角形的中线、角平分线、高各有__________条．5．等边三角形的判定：三边都__________的三角形是等边三角形．三个角都__________的三角形是等边三角形；有一个角是60°的__________是等边三角形．两相等等角对等边相等相等相等相等相等相等相等等腰三角形 【例1】如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝AC，CD平分∠ACB.求∠ADC的度数．【考点1】等边对等角，三角形的内角与外角二、例题与变式解：∵在△ABC中，∠A=70°，AB=AC，∴∠B=∠ACB==55°.又∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠ACD=27.5°.∵∠ADC为△BCD的外角，∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5° 【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC,BD＝BC，若∠A＝40°，求∠ABD的度数．解：∵在△ABC中，∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠C==70°.又∵BD=BC，∴∠BDC=∠C=70°.∵∠BDC为△BAD的外角,∴∠ABD=∠BDC－∠A=30°. 【考点2】等边三角形的性质【例2】如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，过顶点B作直线BF∥DE，边BC与BF所夹锐角∠CBF＝20°，求∠α的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠A=60°.∴∠DBF=60°+20°=80°.∵BF∥DE，∴∠ADE=∠DBF=80°.在△ADE中，∠AED=180°－80°－60°=40°，∴∠α=∠AED=40°. 【变式2】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°.∴∠F=90°－∠EDC=30°.（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4. 【考点3】等腰三角形三线合一【例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D为BC边的中点，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF.求AE＋AF的值．解：连接AD，∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC.∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°.∴∠BAD＝45°，∠CAD＝45°.∴AD＝BD＝CD.∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，又由AD⊥BC,得∠BDE＋∠ADE＝90°.∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE和△ADF中，∠B＝∠DAF＝45°，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF.∴BE＝AF.∴AE＋AF＝AE＋BE＝AB＝4. 【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M是AB上一点．求证：AM2＋BM2＝2CM2.解：过C作CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°.∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.∴AD＝BD，BD＝CD.即AD＝BD＝CD.∵CD⊥AB，∴DM2+CD2=CM2.∴在Rt△CMD中，AM2+BM2=(AD-DM)2+(BD+DM)2=2(DM2+CD2)=2CM2. A组1.用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果底边是4cm时，那么腰是________cm；(2)如果腰是8cm时，那么底边是________cm；(3)如果一边的长为7cm时，那么另外两边的长分别是__________________________．三、过关训练3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(　　)A．2个B．3个C．4个D．5个2．有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则能组成三角形的个数最多有(　　)A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个DC7cm，4cm或5.5cm，5.5cm27 4．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点．求∠BDC的度数．解：∵D点是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠CBD=∠ABC,∠BCD=∠ACB.∵∠ABC+∠ACB=180°－40°=140°，∴∠DBC+∠DCB=70°.∴∠BDC=180°－70°=110°.5．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°.求∠A的度数．解：∵∠ACE=60°，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∴∠ACD=2∠ACE=120°.∵∠ACD=∠A+∠B，∠B=35°，∴∠A=∠ACD－∠B=85°. B组6．如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，求∠AED的度数．解：延长DE交AB于点F，∵AB∥CD∴∠C+∠B=180°∵∠C＝120°，∴∠B=60°．∵BC∥DE，∴∠AFD=∠B=60°.∴∠AED=∠A+∠AFD=80°.7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC内，OB＝OC.求证：AO⊥BC.解：延长AO交BC于点D，∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，∴△ABO≌△ACO.∴∠BAO＝∠CAO，即∠BAD＝∠CAD.∴AD⊥BC，即AO⊥BC. 8．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点．过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝4，CF＝3，求EF的长．解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2.∵MN∥BC，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴OE=OC.同理可得OF=OC.∴OE=OF.（2）CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠1=∠2，∠4=∠5.∴∠2+∠4=90°.∴∠ECF=∠2+∠4=90°.在Rt△ECF中，由勾股定理,得EF=. C组9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其右侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B.(1)求点B的坐标；(2)求证：当点P在x轴上运动(P不与O重合)时，∠ABQ为定值．解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C，∵A（0，2），△AOB为等边三角形，∴AB=OB=OA=2，∠BAO=60°.∴BC=，OC=AC=1，即B（，1）.（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，∵∠PAQ=∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB，在△APO和△AQB中，AP＝AQ,∠PAO＝∠QAB,AO＝AB，∴△APO≌△AQB（SAS）.∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立.∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°.