（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题2 26页

第2章直线与圆的位置关系2.1直线与圆的位置关系（第2课时）一、单选题1．如图，AB为⊙O的切线，A为切点，BO的延长线交⊙O于点C，∠OAC=35°，则∠B的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．35°【答案】B【分析】根据圆的有关性质及切线定理可以得解．【详解】解：∵OC=OA，∴∠C=∠OAC=35°，∴∠AOB=∠C+∠OAC=70°，∵AB为⊙O的切线，∴△OAB为直角三角形，∴∠B=90°-∠AOB=20°，故选B．【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握同圆半径相等及圆的切线定理是解题关键．2．如图，在等边中，点O在边上，过点B且分别与边相交于点D、E，F是上的点，判断下列说法错误的是（） A．若，则是的切线B．若是的切线，则C．若，则是的切线D．若，则是的切线【答案】D【分析】A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB=OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE=∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO=OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH=AO≠OB，于是得到C选项正确；由于C正确，D自然就错误了．【详解】解：A、如图，连接OE，则OB=OE，∵∠B=60°∴∠BOE=60°， ∵∠BAC=60°，∴∠BOE=∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、如图，∵BE=EC，∴CE=BE，∵AB=BC，BO=BE，∴AO=CE=OB，∴OH=AO=OB，∴AC是⊙O的切线，∴C选项正确．D、∵∠B=60°，OB=OE，∴BE=OB，∵BE=CE，∴BC=AB=2BO，∴AO=OB，如图，过O作OH⊥AC于H， ∵∠BAC=60°，∴OH=AO≠OB，∴D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，AB是☉O的直径，点C在AB的延长线上，CD切☉O于点D，若∠A=25°，则∠C的度数是（）A．40ºB．50ºC．55ºD．65º【答案】A【分析】连接OD，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出∠DOB的度数，再由CD为圆的切线，利用切线的性质得到CD与OD垂直，进而求出所求角的度数．【详解】连接OD，如图所示：∵∠A=25°，∴∠DOB=50°，∵CD为⊙O的切线， ∴OD⊥CD，∴∠C=90°-50°=40°．故选：A．【点睛】考查了切线的性质和及圆周角定理，解题关键是熟练掌握切线的性质．4．（2018眉山）如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（）．A．B．C．D．【答案】A【详解】解：∵PA切于点A，∴，∵,∴，∴．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，连接CO，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E，若DE∥AC，∠BAC＝40°，则∠OCD的度数为（）A．65°B．30°C．25°D．20°【答案】C 【分析】连接OD，如图，先利用平行线的性质得∠E=∠BAC=40°，再根据切线的性质得OD⊥DE，则可计算出∠DOE=50°，接着根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=80°．然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCD的度数．【详解】连接OD，如图，∵DE∥AC，∴∠E=∠BAC=40°，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∴∠DOE=90°-40°=50°，∵∠BOC=2∠A=80°．∴∠COD=80°+50°=130°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=（180°-130°）=25°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．6．如图，A为⊙O外一点，AB与⊙O相切于B点，点P是⊙O上的一个动点，若OB＝5，AB＝12，则AP的最小值为（） A．5B．8C．13D．18【答案】B【分析】连结OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，直接利用切线的性质得出∠OBA=90°，进而利用直角三角形的性质得出OA的长，则AP可求出．【详解】解：连接OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∵OB＝5，AB＝12，∴＝13，∴OP＝5，则AP＝13﹣5＝8，故选：B．【点睛】本题考查切线的性质以及勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 7．如图，在中，，点在上，以点为圆心，为半径作，点恰好在上，是的切线，则的度数是（）A．35°B．30°C．25°D．20°【答案】C【分析】连接OB，根据切线的性质和三角形内角和定理可求得的度数，再利用三角形外角的性质即可求得答案．【详解】连接OB，∵是的切线，∴DB⊥BC，∴，∵，∴，∵DA=DB，∴， 故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，过切点作半径是解题的关键．8．下列说法中，正确的是（）A．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C．90°的圆周角所对的弦是直径D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．【答案】C【分析】根据切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系判断即可．【详解】A、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故不符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故不符合题意；C、90°的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意；D、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．用到的知识点有切线的判定定理，垂径定理，圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题9．如图，是⊙的直径，，点、在⊙上，、的延长线交于点，且， ，有以下结论：①；②劣弧的长为；③点为的中点；④平分，以上结论一定正确的是______．【答案】①②③【分析】①根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠CBE＝∠ADE，根据等边对等角得出∠CBE＝∠E，等量代换即可得到∠ADE＝∠E；②根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠A＝∠BCE＝70，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠AOB＝40，再根据弧长公式计算得出劣弧的长；③根据圆周角定理得出∠ACD＝90，即AC⊥DE，根据等角对等边得出AD＝AE，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠DAC＝∠EAC，再根据圆周角定理得到点C为的中点；④由DB⊥AE，而∠A≠∠E，得出BD不平分∠ADE．【详解】①∵ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠ADE，∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠E，∴∠ADE＝∠E，故①正确；②∵∠A＝∠BCE＝70，∴∠AOB＝40， ∴劣弧的长＝，故②正确；③∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90，即AC⊥DE，∵∠ADE＝∠E，∴AD＝AE，∴∠DAC＝∠EAC，∴点C为的中点，故③正确；④∵DB⊥AE，而∠A≠∠E，∴BD不平分∠ADE，故④错误．所以正确结论是①②③．故答案为①②③．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧长的计算，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．10．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，若PA＝3，∠APO＝45°，则⊙O的半径是_____．【答案】3．【分析】连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，问题得解． 【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵∠APO＝45°，∴OA＝PA＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．11．如图，与相切于点，的延长线交于点，连接，若，，则劣弧的长为___（结果保留）．【答案】；【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°，求出∠OBC，根据三角形内角和定理求出∠BOC=120°，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA=90°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=30°，∵OB=OC，∴∠C=∠OBC=30°，∴∠BOC=120°，∴弧BC的长=，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长的计算公式是解题的关键．12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝Rt∠，点D是BC边上一点，以BD为直径的半圆与边AC相切于点E．若AB＝3，BC＝4，则BD＝_____．【答案】3【分析】根据勾股定理求得AC＝5，证得AB是切线，根据切线长定理得出AE＝AB＝3，即可求得EC＝2，然后根据切割线定理即可求得CD，进而求得BD． 【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵BD为直径，BD⊥AB，∴AB是圆的切线，∴AE＝AB＝3，∴CE＝2，∵CE2＝CD•BC，即22＝CD•4，∴CD＝1，∴BD＝3，故答案为3．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，切割线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．13．如图，在圆中过作于，连接并延长，交过点的圆的切线于点．若，，，则__________．【答案】18【分析】连接OB，根据垂径定理及勾股定理求出半径等于5，再根据切线的性质到△BDO为直角三角形，即可求出OD，故可得到AD的长. 【详解】连接OB，∵∴BC=AB=4,∴AO=BO=∵BD是切线，∴∠DBO=90°，∴△BDO为直角三角形，∴OD=∴AD=AO+DO=5+13=18故答案为：18.【点睛】此题主要考查圆内线段的求解，解题的关键是熟知切线的性质、垂径定理及勾股定理的应用.14．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线的距离为6cm，则直线与⊙O的位置关系是_____．【答案】相离．【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当dr时，直线和圆相离，因为6>5，所以直线与圆相离.【详解】 根据圆心到直线的距离是6大于圆的半径5，则直线和圆相离．故答案为：相离．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的半径与圆心到直线的距离的大小关系决定了其位置关系，熟练掌握其判断方法是解题的关键.三、解答题15．如图，在⊙O中，AB为直径，PC为⊙O的切线，切点为C，且∠A＝30°，求∠P的度数．【答案】∠P＝30°【分析】连接OC，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案.【详解】如图，连接OC由圆周角定理得∵PC为⊙O的切线 故的度数为.【点睛】本题是一道基础题，考查了圆周角定理、圆的切线的性质，熟记定理与性质是解题关键.16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD外角∠DAF的平分线.(1)求证：AM是⊙O的切线.(2)若C是优弧ABD的中点，AD＝4，射线CO与AM交于N点，求ON的长.【答案】(1)证明见解析；(2)ON＝.【分析】(1)根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝∠FAD，于是得到结论；(2)证明△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝4，根据直角三角形的性质即可得到结论.【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠BAD＝∠CAD，∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，∴∠DAM＝∠FAD，∴∠BAM＝(∠CAD+∠FAD)＝90°，∴AB⊥AM，∴AM是⊙O的切线；(2)解：∵AC＝AD，C是优弧ABD的中点，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴CD＝AD＝4，由（1）知AB垂直平分CD，则AB平分∴CE＝DE＝2，在中，设，则根据勾股定理得，即 解得∴OC＝OA＝，∵∠ANO＝∠OCE＝30°，∴ON＝2OA＝.【点睛】本题是圆与三角形的综合题，涉及的知识点主要有切线的判定、垂径定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形30度角的性质，灵活利用圆与三角形的相关性质是解题的关键.17．如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【分析】（1）连接AD，由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得结论；（2）连接OD，由中位线的性质可得OD∥AC，由平行的性质与切线的判定可证； （3）易知是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及度数，利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.【详解】（1）连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．又∵DC=BD，AD是BC的垂直平分线∴AB=AC．（2）连接OD．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∵O为AB中点，D为BC中点，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED=90°． ∴DE是⊙O的切线．（3）由（1）得是等边三角形在中，根据勾股定理得【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.18．如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接.（1）求证：平分；（2）若，，求的长.【答案】（1）详见解析；（2） 【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长．【详解】（1）证明：∵是的切线，∴，又∵，∴，∴，∴，即平分；（2）解：∵为的直径，∴，∵，∴是等边三角形，.∴，∴∵，且，∴. ∴【点睛】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径作⊙O、交AB于点D，E为AC的中点，连接DE(1)求证：DE为⊙O的切线；(2)已知BC＝4．填空．①当DE＝　　时，四边形DOCE为正方形；②当DE＝　　时，△BOD为等边三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)①2；②2．【解析】【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB＝90°，根据直角三角形性质得出DE＝CE＝AE，求出∠ACD+∠DCO＝∠EDC+∠CDO，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE＝2；②若△BOD为等边三角形，则∠DOE＝60°，则Rt△ODE中，则DE＝2．【详解】 (1)如图，连接CD，OE，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，在△COE与△DOE中，OD＝CC，OE＝OE，DE＝CE，∴△COE≌△DOE，∴∠OCE＝∠ODE＝90°，DE为⊙O的切线；(2)①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE，∵BC＝4，∴DE＝2．②若△BOD为等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠BOD＝120°，∴∠DOE＝60°，∴Rt△ODE中，DE＝OD．故答案为2，2．【点睛】 本题为圆的综合题，涉及到直角三角形中线定理、正方形的性质，等边三角形的性质以及切线的判定和性质，熟练掌握圆的相关性质以及等边三角形、正方形的性质是解题的关键．20．已知AC切⊙O于A，CB顺次交⊙O于D、B点，AC＝8，BD＝12，连接AD、AB．（1）证明：△CAD∽△CBA；（2）求线段DC的长．【答案】（1）见解析；（2）CD＝4．【解析】【分析】（1）要证△CAD∽△CBA，已知∠C是公共角，只需证明另一对角相等即可，根据弦切角定理即可得到∠CAD=∠B；（2）根据相似三角形的对应边成比例可求得CD的长．【详解】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠CAD＝∠B．又∵∠ACD＝∠BCA，∴△CAD∽△CBA．（2）解：由△CAD∽△CBA得＝，∴，∴CD2+12CD﹣64＝0， 解得CD＝4或CD＝﹣12＜0（舍去），∴CD＝4．故答案为（1）见解析；（2）CD＝4．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，同时考查学生的计算能力，比较基础．