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- 2022-04-02 发布
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导入新课讲授新课当堂练习课堂小结28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数第2课时余弦函数和正切函数
学习目标1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.(重点)2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难点)
导入新课问题引入ABC如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定.此时,其他边之间的比是否也确定了呢?
讲授新课余弦一合作探究如图所示,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D,∠C=∠F=90°,则成立吗?为什么?ABCDEF
我们来试着证明前面的问题:∵∠A=∠D=α,∠C=∠F=90°,∴∠B=∠E,从而sinB=sinE,因此ABCDEF
在有一个锐角相等的所有直角三角形中,这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关.如下图所示,在直角三角形中,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即归纳:ABC斜边邻边∠A的邻边斜边cosA=
从上述探究和证明过程看出,对于任意锐角α,有cosα=sin(90°-α)从而有sinα=cos(90°-α)
练一练1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cosA=.
2.求cos30°,cos60°,cos45°的值.解:cos30°=sin(90°-30°)=sin60°=;cos60°=sin(90°-60°)=sin30°=cos45°=sin(90°-45°)=sin45°=
正切二合作探究如图所示,△ABC和△DEF都是直角三角形,其中∠A=∠D,∠C=∠F=90°,则成立吗?为什么?ABCDEF
∴Rt△ABC∽Rt△DEF.即BC·DF=AC·EF,∠A=∠D,∠C=∠F=90°,∵∴∴ABCDEF
由此可得,在有一个锐角相等的所有直角三角形中,这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关.如下图,在直角三角形中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即归纳:∠A的对边∠A的邻边tanA=ABC邻边对边∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.
如果两个角互余,那么这两个角的正切值有什么关系?想一想:
1.如图,平面直角坐标系中,若点P坐标为(3,4),则tan∠POQ=____.练一练
2.如图,△ABC中一边BC与以AC为直径的⊙O相切与点C,若BC=4,AB=5,则tanA=___.
锐角三角函数三例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值.ABC106解:由勾股定理得因此典例精析
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,AB=13.sinA=______,cosA=______,tanA=____,sinB=______,cosB=______,tanB=____.练一练
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3.sinA=_______,cosA=_______,tanA=_____,sinB=_______,cosB=_______,tanB=_____.在直角三角形中,如果已知两条边的长度,即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值
ABC6例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=,求cosA、tanB的值.解:∵又∴在直角三角形中,如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值,即可求出其它的所有锐角三角函数值
ABC8解:∵如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA=,求sinA,cosB的值.练一练∴∴∴
1.如图,在Rt△ABC中,斜边AB的长为m,∠A=35°,则直角边BC的长是()A.B.C.D.A当堂练习ABC
2.随着锐角α的增大,cosα的值()A.增大B.减小C.不变D.不确定B当0°<α<90°时,cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
3.已知∠A,∠B为锐角,(1)若∠A=∠B,则cosAcosB;(2)若tanA=tanB,则∠A∠B.(3)若tanA·tanB=1,则∠A与∠B的关系为:.==4.tan30°=,tan60°=.∠A+∠B=90°
5.sin70°,cos70°,tan70°的大小关系是()A.tan70°<cos70°<sin70°B.cos70°<tan70°<sin70°C.sin70°<cos70°<tan70°D.cos70°<sin70°<tan70°解析:根据锐角三角函数的概念,知sin70°<1,cos70°<1,tan70°>1.又∵cos70°=sin20°,正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°>cos70°=sin20°.故选D.D
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,求sinA、tanA的值.解:ABC设AC=15k,则AB=17k.∴∴
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.若AD=6,CD=8.求tanB的值.解:∵∠ACB=∠ADC=90°,∴∠B+∠A=90°,∠ACD+∠A=90°,∴∠B=∠ACD,∴tan∠B=tan∠ACD=
8.如图,在△ABC中,AB=AC=4,BC=6.求cosB及tanB的值.解:过点A作AD⊥BC于D.∵AB=AC,∴BD=CD=3,在Rt△ABD中∴tanB=ABC∴D提示:求锐角的三角函数值的问题,当图形中没有直角三角形时,可以用恰当的方法构造直角三角形.
课堂小结余弦函数和正切函数在直角三角形中,锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦∠A的大小确定的情况下,cosA,tanA为定值,与三角形的大小无关在直角三角形中,锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切余弦正切性质
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