2020九年级数学上册 第1章二次函数的应用 5页

‎1．4　二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积最值问题 知识点一　求二次函数的最大值或最小值 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＝________时，函数有最值，最值为________．‎ ‎1．[2016·嘉兴一模] 二次函数y＝x2－3x＋的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．－ D．2‎ ‎2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(0≤x≤3)的图象如图1－4－1所示．关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是(　　)‎ 图1－4－1‎ A．有最小值0，有最大值3‎ 5‎ B．有最小值－1，有最大值0‎ C．有最小值－1，有最大值3‎ D．有最小值－1，无最大值 知识点二　运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值的一般步骤：一是选定变量，建立函数关系求函数表达式；二是确定自变量的取值范围；三是求最值．‎ ‎3．用长度为‎12 cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是________ cm2.‎ 类型一　运用二次函数求实际问题中的最值 例1 [教材例1针对练] 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图1－4－2所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边的长为x米．‎ ‎(1)若苗圃的面积为72平方米，求x的值．‎ ‎(2)若平行于墙的一边长不小于‎8米，这个苗圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．‎ ‎(3)当这个苗圃的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．‎ 图1－4－2‎ ‎【归纳总结】利用二次函数求最值 ‎(1)利用二次函数解决实际问题的步骤：‎ 5‎ ‎①理解问题；‎ ‎②分析问题中的变量与常量以及它们之间的关系；‎ ‎③用二次函数表示出变量之间的关系；‎ ‎④确定最大值或最小值；‎ ‎⑤检验解的合理性．‎ ‎(2)当－不在自变量的取值范围内时，要结合函数的增减性及自变量的取值范围来确定最值．‎ 类型二　运用二次函数求几何问题中的最值 例2 [教材补充例题] 如图1－4－3，在△ABC中，BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，E是AC上一个动点(点E不与点A，C重合)，ED∥BC，求△CED面积的最大值．‎ 图1－4－3‎ 5‎ 二次函数y＝(x－2)2－1有最值吗？当x<0时，函数还有最值吗？当－3≤x≤3时，函数是否存在最值？‎ 详解详析 ‎【学知识】‎ 知识点一　－　 ‎1．[答案] C ‎2．[解析] C　由图可知，当0≤x≤3时，该二次函数在x＝1时有最小值－1，在x＝3时有最大值3.‎ ‎3．[答案] 9‎ ‎[解析] 设矩形的一边长为x cm(0＜x＜6)，则与其相邻的一边长为(6－x)cm，‎ 则面积S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，所以当x＝3时，S有最大值，最大值为9 cm2.‎ ‎【筑方法】‎ 例1　解：(1)根据题意，得(30－2x)x＝72，解得x1＝3，x2＝12.∵30－2x≤18，∴x≥6，‎ ‎∴x＝3不合题意，舍去，故x＝12.‎ ‎(2)设苗圃的面积为y平方米，‎ 则y＝x(30－2x)＝－2x2＋30x.‎ ‎∵a＝－2＜0，∴苗圃的面积y有最大值．‎ ‎∵y＝－2x2＋30x＝－2＋，‎ 当x＝时，30－2x＝15＞8，‎ ‎∴当x＝时，y最大＝112.5.‎ ‎∵6≤x≤11，∴当x＝11时，y最小＝88.‎ 5‎ 故这个苗圃的面积有最大值和最小值，最大值为112.5平方米，最小值为88平方米．‎ ‎(3)由题意，得－2x2＋30x≥100，‎ 解得5≤x≤10.‎ 又∵30－2x≤18，∴x≥6.故6≤x≤10.‎ 例2　[解析] 根据已知条件可证△ADE为等腰三角形，设AE＝DE＝x，则CE＝4－x，过点D作DF⊥AC于点F，由于可求得∠DEC＝60°，故DF＝x，从而可得S△CED＝x(4－x)，进而求△CED面积的最大值．‎ 解：过点D作DF⊥AC于点F.‎ ‎∵BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，ED∥BC，‎ ‎∴∠ADE＝∠B＝∠A＝30°，∠DEC＝180°－∠ACB＝60°，‎ ‎∴AE＝DE，∠EDF＝30°.‎ 设AE＝DE＝x，则EF＝x，DF＝＝x，‎ ‎∴S△CED＝×x(4－x)＝－x2＋x＝－(x－2)2＋(0