2013年泰州市中考数学试卷及答案(解析版) 17页

江苏省泰州市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）‎ ‎1．（3分）（2013•泰州）﹣4的绝对值是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ C．‎ ‎﹣4‎ D．‎ ‎±4‎ 考点：‎ 绝对值．‎ 分析：‎ 根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．‎ 解答：‎ 解：﹣4的绝对值是4，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•泰州）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ C．‎ ‎2=‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．‎ 分析：‎ 根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、4﹣3=，原式计算错误，故本选项错误；‎ B、与不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；‎ C、2=，计算正确，故本选项正确；‎ D、3+2≠5，原式计算错误，故本选项错误；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了二次根式的加减，解答本题的关键掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x2﹣3x+1=0‎ B．‎ x2+1=0‎ C．‎ x2﹣2x+1=0‎ D．‎ x2+2x+3=0‎ 考点：‎ 根的判别式．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 计算出各项中方程根的判别式的值，找出大于0的选项即可．‎ 解答：‎ 解：A、这里a=1，b=﹣3，c=1，‎ ‎∵△=b2﹣4ac=5＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根，‎ 本选项符合题意；‎ B、这里a=1，b=0，c=1，‎ ‎∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，‎ ‎∴方程没有实数根，‎ 本选项不合题意；‎ C、这里a=1，b=﹣2，c=1，‎ ‎∵△=b2﹣4ac=0，‎ ‎∴方程有两个相等的实数根，‎ 本选项不合题意；‎ D、这里a=1，b=2，c=3，‎ ‎∵△=b2﹣4ac=﹣5＜0，‎ ‎∴方程没有实数根，‎ 本选项不合题意；‎ 故选A 点评：‎ 此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•泰州）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．‎ 分析：‎ 根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．‎ 解答：‎ 解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；‎ B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；‎ C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；‎ D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•泰州）由一个圆柱体与一个长方体组成的几何体如图所示，这个几何体的左视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．‎ 分析：‎ 找到从左面看所得到的图形即可．‎ 解答：‎ 解：从左面可看到一个长方形和上面的中间有一个小长方形．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•泰州）事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ P（C）＜P（A）=P（B）‎ B．‎ P（C）＜P（A）＜P（B）‎ C．‎ P（C）＜P（B）＜P（A）‎ D．‎ P（A）＜P（B）＜P（C）‎ 考点：‎ 概率的意义；随机事件．‎ 分析：‎ 根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出P（A）、P（B）、P（C），然后排序即可得解．‎ 解答：‎ 解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0＜P（A）＜1；‎ 事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，P（B）=1；‎ 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化是不可能事件，P（C）=0，‎ 所以，P（C）＜P（A）＜P（B）．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了概率的意义，必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1．不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率＞0并且＜1．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。）‎ ‎7．（3分）（2013•泰州）9的平方根是　±3　．‎ 考点：‎ 平方根．‎ 分析：‎ 直接利用平方根的定义计算即可．‎ 解答：‎ 解：∵±3的平方是9，‎ ‎∴9的平方根是±3．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•泰州）计算：3a•2a2=　6a3　．‎ 考点：‎ 单项式乘单项式．‎ 分析：‎ 根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．‎ 解答：‎ 解：3a•2a2=3×2a•a2=6a3．‎ 故答案为：6a3．‎ 点评：‎ 本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•泰州）2013年第一季度，泰州市共完成工业投资22300000000元，22300000000这个数可用科学记数法表示为　2.23×1010　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：22 300 000 000=2.23×1010．‎ 故答案为：2.23×1010．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•泰州）命题“相等的角是对顶角”是　假　命题（填“真”或“假”）．‎ 考点：‎ 命题与定理．‎ 分析：‎ 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．‎ 解答：‎ 解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，‎ 从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．‎ 故答案为：假．‎ 点评：‎ 此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•泰州）若m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2的值是　1　．‎ 考点：‎ 完全平方公式．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 所求式子利用完全平方公式变形，将已知等式变形后代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：∵m=2n+1，即m﹣2n=1，‎ ‎∴原式=（m﹣2n）2=1．‎ 故答案为：1‎ 点评：‎ 此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•泰州）某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班同学年龄的中位数是　15　岁．‎ 考点：‎ 中位数．‎ 分析：‎ 根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵该班有40名同学，‎ ‎∴这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数，‎ ‎∵15岁的有21人，‎ ‎∴这个班同学年龄的中位数是15岁；‎ 故答案为：15．‎ 点评：‎ 此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•泰州）对角线互相　垂直　的平行四边形是菱形．‎ 考点：‎ 菱形的判定．‎ 分析：‎ 菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，③四条边都相等的四边形是菱形，根据以上内容填上即可．‎ 解答：‎ 解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，‎ 故答案为：垂直．‎ 点评：‎ 本题考查了对菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，③四条边都相等的四边形是菱形．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为　6　cm．‎ 考点：‎ 线段垂直平分线的性质．‎ 专题：‎ 数形结合．‎ 分析：‎ 根据中垂线的性质，可得DC=DB，继而可确定△ABD的周长．‎ 解答：‎ 解：∵l垂直平分BC，‎ ‎∴DB=DC，‎ ‎∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm．‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为　（，﹣4）　．‎ 考点：‎ 位似变换；坐标与图形性质．‎ 分析：‎ 根据位似图形的性质画出图形，利用对应边之间的关系得出B′点坐标即可．‎ 解答：‎ 解：过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，‎ ‎∵点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），‎ ‎∴==，AE=1，EO=2，BE=3，‎ ‎∴==，‎ ‎∴=，‎ 解得：AF=，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∴FO=2﹣=，‎ ‎∵=，‎ 解得：B′F=4，‎ 则点B′的坐标为：（，﹣4）．‎ 故答案为：（，﹣4）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，根据已知得出对应边之间的关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•泰州）如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是　d＞5cm或2cm≤d＜3cm　．‎ 考点：‎ 圆与圆的位置关系．‎ 分析：‎ 根据两圆内切和外切时，求出两圆圆心距，进而得出d的取值范围．‎ 解答：‎ 解：连接OP，‎ ‎∵⊙O的半径为4cm，1cm为半径的⊙P，⊙P与⊙O没有公共点，‎ ‎∴d＞5cm时，两圆外离，‎ 当两圆内切时，过点O作OD⊥AB于点D，‎ O′P=4﹣1=3cm，OD==2（cm），‎ ‎∴以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点时，2cm≤d＜3cm，‎ 故答案为：d＞5cm或2cm≤d＜3cm．‎ 点评：‎ 此题主要考查了圆与圆的位置关系，根据图形进行分类讨论得出是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）（2013•泰州）（1）计算：（）﹣1+|3tan30°﹣1|﹣（π﹣3）0；‎ ‎（2）先化简，再求值：，其中x=﹣3．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据负指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂的定义解答即可；‎ ‎（2）将括号内的部分通分，再将除法转化为乘法，然后代入求值．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=+|3×﹣1|﹣1‎ ‎=2+|﹣1|﹣1‎ ‎=1+﹣1‎ ‎=；‎ ‎（2）原式=÷（）‎ ‎=÷‎ ‎=•‎ ‎=．‎ 当x=﹣3时，‎ 原式===．‎ 点评：‎ ‎（1）本题考查了实数的运算，涉及负指数幂、特殊角的三角函数值、0指数幂的定义，是一道简单的杂烩题；‎ ‎（2）本题考查了分式的化简求值，熟悉通分、约分和分式的加减是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2013•泰州）解方程：．‎ 考点：‎ 解分式方程．‎ 分析：‎ 观察可得最简公分母是2（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：‎ 解：原方程即：﹣=，‎ 方程两边同时乘以x（x﹣2）得：2（x+1）（x﹣2）﹣x（x+2）=x2﹣2，‎ 化简得：﹣4x=2，‎ 解得：x=﹣，‎ 把x=﹣代入x（x﹣2）=≠0，‎ 故方程的解是：x=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2013•泰州）保障房建设是民心工程，某市从2008年开始加快保障房建设进程，现统计了该市2008年到2012年5月新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图．‎ ‎（1）小丽看了统计图后说：“该市2011年新建保障房的套数比2010年少了．”你认为小丽说法正确吗？请说明理由；‎ ‎（2）求补全条形统计图；‎ ‎（3）求这5年平均每年新建保障房的套数．‎ 考点：‎ 折线统计图；条形统计图；算术平均数．‎ 分析：‎ ‎（1）根据2011年新建保障房的增长率比2010年的增长率减少，并不是建设住房减少，即可得出答案；‎ ‎（2）根据住房建设增长率求出2008年和2011年建设住房的套数，即可得出答案；‎ ‎（3）根据（2）中所求求出平均数即可．‎ 解答：‎ 解：（1）该市2011年新建保障房的增长率比2010年的增长率减少了，‎ 但是保障房的总数在增加，故小丽的说法错误；‎ ‎（2）2011年保障房的套数为：750×（1+20%）=900（套），‎ ‎2008年保障房的套数为：x（1+20%）=600，则x=500，‎ 如图所示：‎ ‎（3）这5年平均每年新建保障房的套数为：（500+600+750+900+1170）÷5=784（套），‎ 答：这5年平均每年新建保障房的套数为784套．‎ 点评：‎ 此题主要考查了条形图与折线图的综合应用，正确由两图得出正确信息是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•泰州）从甲、乙、丙、丁4名选手中随机抽取两名选手参加乒乓球比赛，请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求甲、乙两名选手恰好被抽到的概率．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．‎ 分析：‎ 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙两名选手恰好被抽到的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，甲、乙两名选手恰好被抽到的有2种情况，‎ ‎∴甲、乙两名选手恰好被抽到的概率为：=．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2013•泰州）某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．‎ 考点：‎ 一元一次方程的应用．‎ 分析：‎ 设甲队整治了x天，则乙队整治了（20﹣x）天，由两队一共整治了360m为等量关系建立方程求出其解即可．‎ 解答：‎ 解：设甲队整治了x天，则乙队整治了（20﹣x）天，由题意，得 ‎24x+16（20﹣x）=360，‎ 解得：x=5，‎ ‎∴乙队整治了20﹣5=15天，‎ ‎∴甲队整治的河道长为：24×5=120m；‎ 乙队整治的河道长为：16×15=240m．‎ 答：甲、乙两个工程队分别整治了120m，240m．‎ 点评：‎ 本题是一道工程问题，考查了列一元一次方程解实际问题的运用，设间接未知数解应用题的运用，解答时设间接未知数是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2013•泰州）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 根据楼高和山高可求出EF，继而得出AF，在Rt△AFC中表示出CF，在Rt△ABD中表示出BD，根据CF=BD可建立方程，解出即可．‎ 解答：‎ 解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．‎ 设塔高AE=x，‎ 由题意得，EF=BE﹣CD=56﹣27=29m，AF=AE+EF=（x+29），‎ 在Rt△AFC中，∠ACF=36°52′，AF=（x+29），‎ 则CF===x+，‎ 在Rt△ABD中，∠ADB=45°，AB=x+56，‎ 则BD=AB=x+56，‎ ‎∵CF=BD，‎ ‎∴x+56=x+，‎ 解得：x=52，‎ 答：该铁塔的高AE为52米．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意利用方程思想求解，难度一般．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•泰州）如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．‎ ‎（1）求证：DP是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．‎ 考点：‎ 切线的判定；扇形面积的计算．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可；‎ ‎（2）求出OP、DP长，分别求出△DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OD，‎ ‎∵∠ACD=60°，‎ ‎∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，‎ ‎∴∠DOP=180°﹣120°=60°，‎ ‎∵∠APD=30°，‎ ‎∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，‎ ‎∴OD⊥DP，‎ ‎∵OD为半径，‎ ‎∴DP是⊙O切线；‎ ‎（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，‎ ‎∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm，‎ ‎∴图中阴影部分的面积S=S△ODP﹣S扇形DOB=×3×3﹣=（﹣π）cm2‎ 点评：‎ 本题考查了扇形面积，三角形面积，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2013•泰州） 如图，在平面直角坐标系中直线y=x﹣2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．‎ ‎（1）求反比例函数的关系式；‎ ‎（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．‎ 考点：‎ 反比例函数与一次函数的交点问题．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）设反比例解析式为y=，将B坐标代入直线y=x﹣2中求出m的值，确定出B坐标，将B坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；‎ ‎（2）过C作CD垂直于y轴，过B作BE垂直于y轴，设y=x﹣2平移后解析式为y=x+b，C坐标为（a，a+b），三角形ABC面积=梯形BEDC面积+三角形ABE面积﹣三角形ACD面积，由已知三角形ABC面积列出关系式，将C坐标代入反比例解析式中列出关系式，两关系式联立求出b的值，即可确定出平移后直线的解析式．‎ 解答：‎ 解：（1）将B坐标代入直线y=x﹣2中得：m﹣2=2，‎ 解得：m=4，‎ 则B（4，2），即BE=4，OE=2，‎ 设反比例解析式为y=，‎ 将B（4，2）代入反比例解析式得：k=8，‎ 则反比例解析式为y=；‎ ‎（2）设平移后直线解析式为y=x+b，C（a，a+b），‎ 对于直线y=x﹣2，令x=0求出y=﹣2，得到OA=2，‎ 过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，‎ 将C坐标代入反比例解析式得：a（a+b）=8，‎ ‎∵S△ABC=S梯形BCDE+S△ABE﹣S△ACD=18，‎ ‎∴×（a+4）×（a+b﹣2）+×（2+2）×4﹣×a×（a+b+2）=18，‎ 解得：b=7，‎ 则平移后直线解析式为y=x+7．‎ 点评：‎ 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，三角形、梯形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．‎ ‎（1）求证：△ADP∽△ABQ；‎ ‎（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；‎ ‎（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．‎ 考点：‎ 相似形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似；‎ ‎（2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值；‎ ‎（3）如解答图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°，‎ ‎∴∠QAB=∠PAD，‎ 又∵∠ABQ=∠ADP=90°，‎ ‎∴△ADP∽△ABQ．‎ ‎（2）解：∵△ADP∽△ABQ，‎ ‎∴，即，解得QB=2x．‎ ‎∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x．‎ 如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，‎ ‎∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，∴点N为QC中点，MN为中位线，‎ ‎∴MN=PC=（20﹣x）=10﹣x，‎ BN=QC﹣BC=（BC+QB）﹣BC=（10+2x）﹣10=x﹣5．‎ 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10﹣x）2+（x﹣5）2=x2﹣20x+125，‎ ‎∴y=x2﹣20x+125（0≤x≤20）．‎ ‎∵y=x2﹣20x+125=（x﹣4）2+45，‎ ‎∴当x=4即DP=4时，y取得最小值为45，BM的最小值为=．‎ ‎（3）解：设PQ与AB交于点E．‎ 如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN．‎ ‎∵△ADP∽△ABQ，‎ ‎∴，即，解得QB=a．‎ ‎∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP，‎ ‎∴，即，解得BE=．‎ ‎∵MN为中位线，∴MN=PC=（a﹣8）．‎ ‎∵BE＞MN，∴＞（a﹣8），解得a＞12.5．‎ ‎∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：a＞12.5．‎ 点评：‎ 本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等式等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．解题关键是：第（2）问中，由BM2=y，容易联想到直角三角形与勾股定理；由最值容易联想到二次函数；第（3）问中需要明确“点M落在矩形ABCD外部”所要满足的条件．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）（2013•泰州）已知：关于x的二次函数y=﹣x2+ax（a＞0），点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．‎ ‎（1）y1=y2，请说明a必为奇数；‎ ‎（2）设a=11，求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值；‎ ‎（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y1=y2得到用n表示a的式子，即可得到答案；‎ ‎（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解；‎ ‎（3）本问为存在型问题．如解答图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称．于是得到n+1=，从而可以求出n=﹣1．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点A（n，y1）、B（n+1，y2）、C（n+2，y3）都在二次函数y=﹣x2+ax（a＞0）的图象上，‎ ‎∴y1=﹣n2+an，y2=﹣（n+1）2+a（n+1）‎ ‎∵y1=y2，‎ ‎∴﹣n2+an=﹣（n+1）2+a（n+1）‎ 整理得：a=2n+1‎ ‎∴a必为奇数；‎ ‎（2）当a=11时，∵y1≤y2≤y3‎ ‎∴﹣n2+11n≤﹣（n+1）2+11（n+1）≤﹣（n+2）2+11（n+2）‎ 化简得：0≤10﹣2n≤18﹣4n，‎ 解得：n≤4，‎ ‎∵n为正整数，‎ ‎∴n=1、2、3、4．‎ ‎（3）假设存在，则AB=AC，如右图所示．‎ 过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E．‎ ‎∵xA=n，xB=n+1，xC=n+2，‎ ‎∴AD=CE=1．‎ 在Rt△ABD与Rt△CBE中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）．‎ ‎∴∠BAD=∠CBE，即BN为顶角的平分线．‎ 由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称，‎ ‎∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，‎ ‎∴n+1=，‎ ‎∴n=﹣1．‎ ‎∴存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，n=﹣1．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的综合知识，涉及二次函数的图象与性质、等腰三角形、全等三角形、因式分解、解不等式等知识点，有一定的难度，是一道好题．‎