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- 2021-11-06 发布
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2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题(每小题3分,共计30分)
1. -8的倒数是( )
A.-18 B.-8 C.8 D.18
2. 下列运算一定正确的是( )
A.a2+a2=a4 B.a2⋅a4=a8 C.(a2)4=a8 D.(a+b)2=a2+b2
3. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.扇形 B.正方形
C.等腰直角三角形 D.正五边形
4. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是( )
A. B. C. D.
5. 如图,AB为⊙O的切线,点A为切点,OB交⊙O于点C,点D在⊙O上,连接AD、CD,OA,若∠ADC=35∘,则∠ABO的度数为( )
A.25∘ B.20∘ C.30∘ D.35∘
6. 将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的拋物线为( )
A.y=(x+3)2+5 B.y=(x-3)2+5 C.y=(x+5)2+3 D.y=(x-5)2+3
7. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90∘,∠B=50∘,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为( )
A.10∘ B.20∘ C.30∘ D.40∘
8. 方程2x+5=1x-2的解为( )
A.x=-1 B.x=5 C.x=7 D.x=9
9. 一个不透明的袋子中装有9个小球,其中6个红球、3个绿球,这些小球除颜色外无其他差别,从袋子中随机摸出一个小球.则摸出的小球是红球的概率是( )
A.23 B.12 C.13 D.19
10. 如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点E在AC边上,过点E作EF // BC,交AD于点F,过点E作EG // AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是( )
A.AEEC=EFCD B.EFCD=EGAB C.AFFD=BGGC D.CGBC=AFAD
二、填空题(每小题3分,共计30分)
11. 将数4790000用科学记数法表示为________.
12. 在函数y=xx-7中,自变量x的取值范围是________.
10 / 10
13. 已知反比例函数y=kx的图象经过点(-3, 4),则k的值为________.
14. 计算24+616的结果是________.
15. 把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是________.
16. 抛物线y=3(x-1)2+8的顶点坐标为________.
17. 不等式组x3≤-1,3x+5<2 的解集是________.
18. 一个扇形的面积是13πcm2,半径是6cm,则此扇形的圆心角是________度.
19. 在△ABC中,∠ABC=60∘,AD为BC边上的高,AD=63,CD=1,则BC的长为________.
20. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线段AE的长为________.
三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共计60分)
21. 先化简,再求代数式(1-2x+1)÷x2-12x+2的值,其中x=4cos30∘-1.
22. 如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画出以AB为边的正方形ABEF,点E和点F均在小正方形的顶点上;
(2)在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG,点G在小正方形的顶点上,且△CDG的周长为10+10.连接EG,请直接写出线段EG的长.
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23. 为了丰富同学们的课余生活,冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动,围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中,你最喜欢哪一类?(必选且只选一类)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图,其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的30%.请你根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生?
(2)请通过计算补全条形统计图;
(3)若冬威中学共有800名学生,请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名.
24. 已知:在△ABC中,AB=AC,点D、点E在边BC上,BD=CE,连接AD、AE.
(1)如图1,求证:AD=AE;
(2)如图2,当∠DAE=∠C=45∘时,过点B作BF // AC交AD的延长线于点F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45∘.
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25. 昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪,若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元;若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元.
(1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元;
(2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个,总费用不超过960元,那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪?
26. 已知:⊙O是△ABC的外接圆,AD为⊙O的直径,AD⊥BC,垂足为E,连接BO,延长BO交AC于点F.
(1)如图1,求证:∠BFC=3∠CAD;
(2)如图2,过点D作DG // BF交⊙O于点G,点H为DG的中点,连接OH,求证:BE=OH;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接CG,若DG=DE,△AOF的面积为925,求线段CG的长.
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27. 已知:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,直线AB与x轴的正半轴交于点A,与y轴的负半轴交于点B,OA=OB,过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C,直线OC的解析式为y=34x,过点C作CM⊥y轴,垂足为M,OM=9.
(1)如图1,求直线AB的解析式;
(2)如图2,点N在线段MC上,连接ON,点P在线段ON上,过点P作PD⊥x轴,垂足为D,交OC于点E,若NC=OM,求PEOD的值;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F为线段AB上一点,连接OF,过点F作OF的垂线交线段AC于点Q,连接BQ,过点F作x轴的平行线交BQ于点G,连接PF交x轴于点H,连接EH,若∠DHE=∠DPH,GQ-FG=2AF,求点P的坐标.
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参考答案与试题解析
2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题(每小题3分,共计30分)
1.A
2.C
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.D
9.A
10.C
二、填空题(每小题3分,共计30分)
11.4.79×106
12.x≠7
13.-12
14.36
15.n(m+3)2
16.(1, 8)
17.x≤-3
18.130
19.5或7
20.22
三、解答题(其中21~22题各7分,23~24题各8分,25~27题各10分,共计60分)
21.原式=x-1x+1⋅2(x+1)(x-1)(x+1)
=2x+1,
∵ x=4cos30∘-1=4×32-1=23-1,
∴ 原式=223-1+1=33.
22.如图,正方形ABEF即为所求.
如图,△CDG即为所求.
23.在这次调查中,一共抽取了50名学生;
冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名
24.证明:∵ AB=AC,
∵ ∠B=∠C,
在△ABD和△ACE中,
AB=AC∠B=∠CBD=CE ,
∴ △ABD≅△ACE(SAS),
10 / 10
∴ AD=AE;
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE=∠AED,
∵ BF // AC,
∴ ∠FDB=∠C=45∘,
∵ ∠ABC=∠C=∠DAE=45∘,∠BDF=∠ADE,
∴ ∠F=∠BDF,∠BEA=∠BAE,∠CDA=∠CAD,
∴ 满足条件的等腰三角形有:△ABE,△ACD,△DAE,△DBF.
25.每个大地球仪52元,每个小地球仪28元;
最多可以购买5个大地球仪
26.∵ AD为⊙O的直径,AD⊥BC,
∴ BE=EC,
∴ AB=AC,
又∵ AD⊥BC,
∴ ∠BAD=∠CAD,
∵ OA=OB,
∴ ∠BAD=∠ABO,
∴ ∠BAD=∠ABO=∠CAD,
∵ ∠BFC=∠BAC+∠ABO,
∴ ∠BFC=∠BAD+∠EAD+∠ABO=3∠CAD;
如图2,连接AG,
∵ AD是直径,
∴ ∠AGD=90∘,
∵ 点H是DG中点,
∴ DH=HG,
又∵ AO=DO,
∴ OH // AG,AG=2OH,
∴ ∠AGD=∠OHD=90∘,
∵ DG // BF,
∴ ∠BOE=∠ODH,
又∵ ∠OEB=∠OHD=90∘,BO=DO,
∴ △BOE≅△ODH(AAS),
∴ BE=OH;
如图3,过点F作FN⊥AD,交AD于N,
设DG=DE=2x,
∴ DH=HG=x,
∵ △BOE≅△ODH,
∴ OE=DH=x,
∴ OD=3x=OA=OB,
∴ BE=OB2-OE2=9x2-x2=22x,
∵ ∠BAE=∠CAE,
∴ tan∠BAE=tan∠CAE=BEAE=NFAN,
10 / 10
∴ 22x4x=NFAN,
∴ AN=2NF,
∵ ∠BOE=∠NOF,
∴ tan∠BOE=tan∠NOF=BEOE=NFON,
∴ 22xx=NFON,
∴ ON=24NF,
∴ AO=AN+ON=524NF,
∵ △AOF的面积为925,
∴ 12×AO×NF=12×524NF2=925,
∴ NF=625,
∴ AO=524NF=3=3x,
∴ x=1,
∴ BE=22=OH,AE=4,DG=DE=2,
∴ AC=AE2+CE2=16+8=26,
如图3,连接AG,过点A作AM⊥CG,交GC的延长线于M,
由(1)可知:AG=2OH=42,
∵ 四边形ADGC是圆内接四边形,
∴ ∠ACM=∠ADG,
又∵ ∠AMC=∠AGD=90∘,
∴ △ACM∽△ADG,
∴ ADAC=AGAM=DGCM,
∴ 626=42AM=2CM,
∴ CM=263,AM=833,
∴ GM=AG2-AM2=32-643=463,
∴ CG=GM-CM=263.
27.∵ CM⊥y轴,OM=9,
∴ y=9时,9=34x,解得x=12,
∴ C(12, 9),
∵ AC⊥x轴,
∴ A(12, 0),
∵ OA=OB,
∴ B(0, -12),
设直线AB的解析式为y=kx+b,则有b=-1212k+b=0 ,
解得k=1b=-12 ,
∴ 直线AB的解析式为y=x-12.
如图2中,
10 / 10
∵ ∠CMO=∠MOA=∠OAC=90∘,
∴ 四边形OACM是矩形,
∴ AO=CM=12,
∵ NC=OM=9,
∴ MN=CM-NC=12-9=3,
∴ N(3, 9),
∴ 直线ON的解析式为y=3x,设点E的横坐标为4a,则D(4a, 0),
∴ OD=4a,
把x=4a,代入y=34x中,得到y=3a,
∴ E(4a, 3a),
∴ DE=3a,
把x=4a代入,y=3x中,得到y=12a,
∴ P(4a, 12a),
∴ PD=12a,
∴ PE=PD-DE=12a-3a=9a,
∴ PEOD=94.
如图3中,设直线FG交CA的延长线于R,交y轴于S,过点F作FT⊥OA于T.
∵ GF // x轴,
∴ ∠OSR=∠MOA=90∘,∠CAO=∠R=90∘,∠BOA=∠BSG=90∘,∠OAB=∠AFR,
∴ ∠OFR=∠R=∠AOS=∠BSG=90∘,
∴ 四边形OSRA是矩形,
∴ OS=AR,
AR=OA=12,
∵ OA=OB,
∴ ∠OBA=∠OAB=45∘,
∴ ∠FAR=90∘-45∘=45∘,
∴ ∠FAR=∠AFR,
∴ FR=AR=OS,
∵ OF⊥FQ,
∴ ∠OSR=∠R=∠OFQ=90∘,
∴ ∠OFS+∠QFR=90∘,
∵ ∠QFR+∠FQR=90∘,
∴ ∠OFS=∠FQR,
10 / 10
∴ △OFS≅△FQR(AAS),
∴ SF=QR,
∵ ∠SFB=∠AFR=45∘,
∴ ∠SBF=∠SFB=45∘,
∴ SF=SB=QR,
∵ ∠SGB=∠QGR,∠BSG=∠R,
∴ △BSG≅△QRG(AAS),
∴ SG=GR=6,
设FR=m,则AR=m,AF=2m,QR=SF=12-m,
∵ GQ-FG=2AF,
∴ GQ=2×2m+6-m=m+6,
∵ GQ2=GR2+QR2,
∴ (m+6)2=62+(12-m)2,
解得m=4,
∴ FS=8,AR=4,
∵ ∠OAB=∠FAR,FT⊥OA,FR⊥AR,
∴ FT=FR=AR=4,∠OTF=90∘,
∴ 四边形OSFT是矩形,
∴ OT=SF=8,
∵ ∠DHE=∠DPH,
∴ tan∠DHE=tan∠DPH,
∴ DEDH=DHPD,
由(2)可知DE=3a,PD=12a,
∴ 3aDH=DH12a,
∴ DH=6a,
∴ tan∠PHD=PDDH=12a6a=2,
∵ ∠PHD=∠FHT,
∴ tan∠FHT=TFHT=2,
∴ HT=2,
∵ OT=OD+DH+HT,
∴ 4a+6a+2=8,
∴ a=35,
∴ OD=125,PD=12×35=365,
∴ P(125, 365).
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