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- 2021-11-06 发布
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人教版九年级下册数学课本知识点归纳
第二十六章 二次函数
一、二次函数
1、一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数。是自变量。其中,a是二次项系数;b一次项系数;c是常数项。
2、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①;②;③;④;⑤。
3、二次函数的图象:是常数,,的图像是抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点。顶点是抛物线的最高点或最低点。
4、求抛物线顶点(最大或最小值)和对称轴的方法
(1)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线。
(2)公式:,∴顶点是,对称轴是直线。
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5、二次函数的图象的特点:
(1)抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴;
(2)抛物线的顶点是(h,k),对称轴是x=h;
(3)抛物线的顶点是(),对称轴是;
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当时抛物线开口向下顶点为其最高点。|a|越大,开口越小。|a|越小,开口越大。
(4)几种特殊的二次函数的图像特征如下表:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
开口向上
当时
开口向下
(轴)
(0,0)
(轴)
(0, )(上下平移)
(,0) (左右平移)
(,)
()
二、二次函数与二元一次方程的关系
二次函数 ,y=0时;
二元一次方程;
二次函数 ,y=0时,
求二元一次方程的两个根
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自变量的取值是图像与轴的交点;
二次函数 ,y=0时,图像与轴有一个交点时;
二元一次方程有两个相等的实数根
二次函数 ,y=0时,图像与轴有两个交点时;
二元一次方程有两个不相等的实数根
二次函数 ,y=0时,图像与轴没有交点时;
二元一次方程没有实数根
第二十七章 相似
一、图形的相似
1.图形的相似:如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。(相似的符号:∽)
性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。
2.判定:如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似。
3.相似比:相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时,相似的两个图形全等。
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二、相似三角形
1.性质:平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似。
2.判定.①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似。②如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。③如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
(①三边对应成比例②两个三角形的两个角对应相等;③两边对应成比例,且夹角相等;④相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。)
3.相似三角形应用
视点:眼睛的位置;仰角:视线与水平线的夹角;盲区:看不到的区域。
4.相似三角形的周长与面积:①相似三角形周长的比等于相似比。②相似多边形周长的比等于相似比。③相似三角形面积的比等于相似比的平方。④相似多边形面积的比等于相似比的平方。
三、位似
1.位似图形:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比。
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2.性质:在平面直角体系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。
注意
1、位似是一种具有位置关系的相似,所以两个图形是位似图形,必定是相似图形,而相似图形不一定是位似图形;
2、两个位似图形的位似中心只有一个;
3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧,也可能位于位似中心的一侧;
4、位似比就是相似比.利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似;
5.位似图形的对应点和位似中心在同一直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点,不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
6.根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
第二十八章 锐角三角函数
一、锐角三角函数
1.正弦:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边a与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=∠A的对边/斜边=a/c;
2.余弦:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边b与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=∠A的邻边/斜边=b/c;
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3.正切:在Rt△ABC中,锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b。
①tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”;②tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比;③tanA不表示“tan”乘以“A”;④tanA的值越大,梯子越陡,∠A越大;∠A越大,梯子越陡,tanA的值越大。
4、余切:定义:在Rt△ABC中,锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作cotA,即cotA=∠A的邻边/∠A的对边=b/a;
5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。(通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为:一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数)用等式表达:
若∠A 为锐角,则①sinA = cos(90°−∠A)等等。
6、记住特殊角的三角函数值表0°,30°,45°,60°,90°。
7、当角度在0°~90°间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。
同角的三角函数间的关系:tanα·cotα=1,tanα=sinα/cosα,
cotα=cosα/sinα,sin2α+cos2α=1
二、解直角三角形
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1.解直角三角形: 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程。
2.在解直角三角形的过程中用到的关系:(在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,)
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;(勾股定理)
(2)两锐角的关系:∠A+∠B=90°;
(3)边与角之间的关系:
sinA =a/c;(a= c sinA)
cosA =b/c;(b= c cosA)
tanA=a/b。
sinA= cosB cosA =sinB sinA= cos(90°-A)
sin2α+cos2α=1
第二十九章 投影与视图
一、投影
1.投影:一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影,照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面。
2.平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影。(光源特别远)
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3.中心投影:由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影
4.正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。
5. 当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同。当物体的某个面顶斜于投影面时,这个面的正投影变小。当物体的某个面垂直于投影面时,这个面的正投影成为一条直线。
二、三视图
1.三视图:是观测者从三个不同位置(正面、水平面、侧面)观察同一个空间几何体而画出的图形。三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助,基本能完整的表达物体的结构。
2.主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图。
3.俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图。
4.左视图:在侧面内得到的由左向右观察物体的视图。
5.三个视图的位置关系:①主视图在上、俯视图在下、左视图在右;
②主视、俯视表示物体的长,主视、左视表示物体的高,左视、俯视表示物体的宽。③主视、俯视 长对正 ,主视、左视
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高平齐,左视、俯视 宽相等 。
6.画法:看得见的部分的轮廓线画成实线,因被其它部分遮档而看不见的部分的轮廓线画成虚线。
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