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- 2021-11-06 发布
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1
.1
菱形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第
1
课时 菱形的性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系
.
2.探索并证明菱形的性质定理.(重点)
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.(难点)
导入新课
情景引入
欣赏下面图片,图片中框出的图形是你熟悉的吗?
欣赏视频,前面的图片中出现的图形是平行四边形,和视频中菱形一致,那么什么是菱形呢?这节课让我们一起来学习吧
.
讲授新课
菱形的性质
一
思考
如果从边的角度
,
将平行四边形特殊化
,
内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等
,
这个特殊的平行四边形叫什么呢
?
平行四边形
菱形
邻边相等
定义:
有一组邻边相等的平行四边形
.
菱形是特殊的平行四边形
.
平行四边形不一定是菱形
.
归纳总结
活动
1
如何利用折纸、剪切的方法,既快又准确地剪出一个菱形的纸片?观看下面视频:
活动
2
在自己剪出的菱形上画出两条折痕
,
折叠手中 的图形
(
如图),并回答以下问题
:
问题
1
菱形是轴对称图形吗
?
如果是
,
指出
它的对称轴
.
是,两条对角线所在直线都是它的对称轴
.
问题
2
根据上面折叠过程,猜想
菱形的四边在数量上
有什么关系
?
菱形的两对角线有什么关系
?
猜想
1
菱形的四条边都相等
.
猜想
2
菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对
角线平分一组对角
.
已知:如图,在平行四边形
ABCD
中
,
AB
=
AD
,对角线
AC
与
B
D
相交
于点
O
.
求证
:(1
)
AB
=
BC
=
CD
=
AD
;
(
2
)
AC
⊥
BD
;
∠
DAC=
∠
BAC
,
∠
DCA=
∠
BCA
,
∠
ADB=
∠
CDB
,
∠
ABD=
∠
CBD
.
证明:(1)∵四边形
ABCD
是平行四边形,
∴
AB
=
CD
,
AD
=
BC
(平行四边形的对边相等).
又∵
AB
=
AD
,
∴
AB
=
BC
=
CD
=
AD
.
A
B
C
O
D
证一证
(
2
)∵
AB
=
AD,
∴
△
ABD
是等腰三角形
.
又∵四边形
ABCD
是平行四边形
,
∴
OB
=
OD
(平行四边形的对角线互相平分)
.
在等腰三角形
ABD
中
,
∵
OB
=
OD
,
∴
AO
⊥
BD
,
AO
平分
∠
B
A
D
,
即
AC
⊥
BD
,
∠
DAC=
∠
BAC
.
同理可证
∠
DCA=
∠
BCA
,
∠
ADB=
∠
CDB
,
∠
ABD=
∠
CBD
.
A
B
C
O
D
菱形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质
.
对称性:是轴对称图形.
边:
四条边都相等
.
对角线:
互相垂直
,且每
条对角线平分一组对角
.
角:对角相等.
边:对边平行且相等
.
对角线:相互平分
.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
例
1
如图,在菱形
ABCD
中,对角线
AC
、
BD
相交于点
O
,
BD
=
12cm
,
AC
=
6cm
,求菱形的周长.
解:
∵
四边形
ABCD
是菱形,
∴
AC
⊥
BD
,
AO
=
AC
,
BO
=
BD
.
∵
AC
=
6cm
,
BD
=
12cm
,
∴
AO
=
3cm
,
BO
=
6cm.
在
Rt△
ABO
中,由勾股定理得
∴
菱形的周长=
4
AB
=
4×3
=
12 (cm)
.
典例精析
例
2
如图,在菱形
ABCD
中,
CE
⊥
AB
于点
E
,
CF
⊥
AD
于点
F
,求证:
AE
=
AF
.
证明:连接
AC
.
∵
四边形
ABCD
是菱形,
∴
AC
平分
∠
BAD
,
即
∠
BAC
=
∠
DAC
.
∵
CE
⊥
AB
,
CF
⊥
AD
,
∴∠
AEC
=
∠
AFC
=
90°.
又
∵
AC
=
AC
,
∴△
ACE
≌
△
ACF
.
∴
AE
=
AF
.
菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴,每条对角线平分一组对角.
归纳
例
3
如
图,
E
为菱形
ABCD
边
BC
上一点,且
AB
=
AE
,
AE
交
BD
于
O
,且
∠
DAE
=2∠
BAE
,求证:
OA
=
EB
.
A
B
C
D
O
E
证明:
∵
四边形
ABCD
为菱形,
∴
AD∥BC
,
AD
=
BA
,
∠
ABC
=
∠
ADC
=
2∠
ADB
,
∴∠
DAE
=
∠
AEB
,
∵
AB
=
AE
,∴∠
ABC
=
∠
AEB
,
∴∠
ABC
=∠
DAE
,
∵∠
DAE
=
2∠
BAE
,
∴∠
BAE
=
∠
ADB
.
又
∵
AD
=
BA
,
∴△
AOD
≌
△
BEA
,
∴
AO
=
BE
.
1.
如图,在菱形
ABCD
中,已知
∠
A
=
60°
,
AB
=
5
,则
△
ABD
的周长是
(
)
A.10 B.12 C.15 D.20
C
练一练
2.
如图,菱形
ABCD
的周长为48cm,对角线
AC
、
BD
相交于
O
点,
E
是
AD
的中点,连接
OE
,则线段
OE
的长为
_______.
第
1
题图
第
2
题图
6
cm
1.
菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.
对角相等
B.
对边相等
C.
对角线互相垂直
D.
对角线相等
C
2.
如图,在菱形
ABCD
中,
AC
=8,
BD
=6,则△
ABD
的周长等于 ( )
A
.
18 B
.
16 C
.
15 D
.
14
当堂练习
B
3.
根据下图
填一填:
(1)已知菱形
ABCD
的周长是12cm,那么它的边长
是 ______.
(
2)
在
菱形
ABCD
中,
∠
ABC
=120
°,则
∠
BAC
=
_______.
(3)菱形
ABCD
的两条对角线长分别为6cm和8cm,
则菱形的边长是_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
(4)
菱形的一个内角为
120°,
平分这个内角的对角
线长为
11
cm
,菱形的周长为
______.
44
cm
A
B
C
O
D
4.
如图,四边形
ABCD
是菱形,
F
是
AB
上一点,
DF
交
AC
于
E
. 求证:∠
AFD
=
∠
CBE
.
证明:∵四边形
ABCD
是菱形,
∴
CB
=
CD
,
CA
平分∠
BCD
.
∴∠
BCE
=
∠
DCE
.
又
CE
=
CE
,
∴△
BCE
≌
△
DCE
(
SAS
).
∴∠
CBE
=
∠
CDE
.
∵在菱形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,
∴∠
AFD
=
∠
EDC
.
∴∠
AFD
=
∠
CBE
.
A
D
C
B
F
E
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
周长
=
边长的四倍
角
对角线
1.
两组对边平行且相等;
2.
四条边相等
两组对角分别相等,邻角互补邻角互补
1.
两条对角线互相垂直平分
;
2.
每一条对角线平分一组对角
1.1
菱形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第
2
课时 菱形的判定
学习目标
1
.
经历菱形判定定理的探究过程,掌握菱形的判
定定理.
(重点)
2.
会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算
.
(难点)
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
复习引入
导入新课
问题
菱形的定义是什么?性质有哪些?
根据菱形的定义
,
可得菱形的第一个判定的方法:
AB
=
AD
,
∵
四边形
ABCD
是平行四边形,
∴
四边形
ABCD
是菱形
.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
.
A
B
C
D
思考
还有其他的判定方法吗?
讲授新课
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
一
前面我们用一长一短两根细木条
,
在它们的中点处固定一个小钉
,
做成一个可以转动的十字
,
四周围上一根橡皮筋
,
做成一个平行四边形
.
那么转动木条
,
这个平行四边形什么时候变成菱形
?
对此你有什么猜想?
猜想:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
.
你能证明这一猜想吗?
A
B
C
O
D
已知:如图,四边形
ABCD
是平行四边形
,
对角线
AC
与
BD
相交于点
O
,
AC
⊥
BD
.
求证:
□
ABCD
是菱形
.
证明:
∵四边形
ABCD
是平行四边形
.
∴
OA
=
OC
.
又
∵
AC
⊥
BD
,
∴
BD
是线段
AC
的垂直平分线
.
∴
BA
=
BC
.
∴四边形
ABCD
是菱形(菱形的定义)
.
证一证
对角线互相垂直的平行四边形
是菱形
AC
⊥
BD
几何语言描述:
∵
在
□ABCD
中,
AC
⊥
BD
,
∴
□
ABCD
是菱形
.
A
B
C
D
菱形
ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理:
归纳总结
例
1
如图,
ABCD
的两条对角线
AC
、
BD
相交于点
O
,
AB
=5
,
AO
=4
,
BO
=3.
求证:
四边形
ABCD
是菱形
.
A
B
C
D
O
又
∵
四边形
ABCD
是平行四边形,
∵
OA
=4,
OB
=3,
AB
=5
,
证明:
即
AC
⊥
BD
,
∴
AB
2
=
OA
2
+
OB
2
,
∴
△
AOB
是直角三角形,
典例精析
∴
四边形
ABCD
是菱形
.
例
2
如图
,
□
ABCD
的对角线
AC
的垂直平分线与边
AD
、
BC
分别交于点
E
、
F
,
求证:四边形
AFCE
是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明
: ∵
四边形
ABCD
是平行四边形
,
∴
AE∥FC
,
∴
∠
1=∠2
.
∵
EF
垂直
平分
AC
,
∴
AO
=
OC
.
又
∠
AOE
=
∠
COF
,
∴△
AOE
≌
△
COF
,
∴
EO
=
FO
.
∴四边形
AFCE
是平行四边形
.
又∵
EF
⊥
AC
∴ 四边形
AFCE
是菱形
.
练一练
在四边形
ABCD
中,对角线
AC
,
BD
互相平分,若添加一个条件使得四边形
ABCD
是菱形,则这个条件可以是 ( )
A.∠
ABC
=90°
B.
AC
⊥
BD
C.
AB
=
CD
D.
AB
∥
CD
B
四条边相等的四边形是菱形
二
小刚:
分别以
A
、
C
为圆心
,
以大于
AC
的长为半径作弧
,
两条 弧分别相交于点
B
,
D
,
依次连接
A
、
B
、
C
、
D
四点
.
已知线段
AC
,
你能用尺规作图的方法作一个菱形
ABCD
,
使
AC
为菱形的一条对角线吗?
C
A
B
D
想一想:
根据小刚的作法你有什么猜想?你能验证小刚的作法对吗?
猜想:
四条边相等的四边形
是
菱形
.
证明:
∵
AB
=
BC
=
CD
=
AD
;
∴
AB
=
CD
,
BC=AD
.
∴
四边形
ABCD
是平行四边形
.
又
∵
AB
=
BC
,
∴
四边形
ABCD
是菱形
.
A
B
C
D
已知:如图,四边形
ABCD
中
,
AB
=
BC=CD=AD.
求证:四边形
ABCD
是菱形
.
证一证
四条边都相等
的四边形是菱形
AB
=
BC=CD=AD
几何语言描述:
∵
在四边形
ABCD
中,
AB
=
BC=CD=AD
,
∴
四边形
ABCD
是菱形
.
A
B
C
D
菱形
ABCD
菱形的判定定理:
归纳总结
四
边形
ABCD
A
B
C
D
下
列命题中正确的是 ( )
A.
一组邻边相等的四边形是菱形
B.
三条边相等的四边形是菱形
C.
四条边相等的四边形是菱形
D.
四个角相等的四边形是菱形
C
练一练
证明: ∵ ∠
1=
∠
2,
又∵
AE
=
AC
,
AD
=
AD
,
∴ △
ACD
≌
△
AED
(SAS).
同理△
ACF
≌
△
AEF
(SAS) .
∴
CD
=
ED
,
CF
=
EF
.
又∵
EF
=
ED
,∴
CD
=
ED
=
CF
=
EF
,
∴
四边形
ABCD
是菱形
.
2
例
3
如图
,在△
ABC
中
,
AD
是角平分线
,
点
E
、
F
分别在
AB
、
AD
上
,
且
AE
=
AC
,
EF
=
ED
.
求证:四边形
CDEF
是菱形
.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
例
4
如图,在
△
ABC
中,
∠
B
=
90°
,
AB
=
6cm
,
BC
=
8cm.
将
△
ABC
沿射线
BC
方向平移
10cm
,得到
△
DEF
,
A
,
B
,
C
的对应点分别是
D
,
E
,
F
,连接
AD
.
求证:四边形
ACFD
是菱形.
证明:由平移变换的性质得
CF
=
AD
=
10cm
,
DF
=
AC
.
∵∠
B
=
90°
,
AB
=
6cm
,
BC
=
8cm
,
∴
AC
=
DF
=
AD
=
CF
=
10cm
,
∴
四边形
ACFD
是菱形.
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时,运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便.
归纳
当堂练习
1.
判断下列说法是否正确
(1)
对角线互相垂直的四边形是菱形;
(2)
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;
(3)
对角线互相垂直,且有一组邻边相等的
四边形是菱形;
(4)
两条邻边相等,且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形.
√
╳
╳
╳
2.
一边长为
5cm
平行四边形的两条对角
线的长分别为
24cm
和
26cm
,那么平行四边形的面积是
.
312cm
2
3.如图,将△
ABC
沿
BC
方向平移得到△
DCE
,连接
AD
,下列条件能够判定四边形
ACED
为菱形的是(
)
A.
AB
=
BC
B.
AC
=
BC
C.∠
B
=60° D.∠
ACB
=60°
B
解析:∵将△
ABC
沿
BC
方向平移得到△
DCE
,
∴
A
C
∥D
E
,
A
C
=
D
E
,
∴四边形
AB
E
D
为平行四边形
.
当
AC
=
BC
时,
平行四边形
ACED
是菱形.
故选B.
证明:
∵
MN
是
AC
的垂直平分线,
∴
AE
=
CE
,
AD
=
CD
,
OA
=
OC
,
∠
AOD
=∠
EOC
=90°.
∵
CE∥AB
,
∴∠
DAO
=∠
ECO
,
∴△
ADO
≌
△
CEO
(
ASA
).
∴
AD
=
CE
,
OD
=
OE
,
∵
OD
=
OE
,
OA
=
OC
,
∴
四边形
ADCE
是平行四边形
又
∵∠
AOD
=90°
,
∴
四边形
ADCE
是菱形.
4.
如图,
△
ABC
中,
AC
的垂直平分线
MN
交
AB
于点
D
,交
AC
于点
O
,
CE∥AB
交
MN
于点
E
,连接
AE
、
CD
.
求证:四边形
ADCE
是菱形
.
B
C
A
D
O
E
M
(1)证明:由尺规作∠
BAF
的平分线的过程可得
AB
=
AF
,∠
BAE
=∠
FAE
,
∵四边形
ABCD
是平行四边形,
∴
AD
∥
BC
,∴∠
FAE
=∠
AEB
,
∴∠
BAE
=∠
AEB
,∴
AB
=
BE
,
∴
BE
=
FA
,∴四边形
ABEF
为平行四边形,
∵
AB
=
AF
,
∴四边形
ABEF
为菱形;
5.
如图
,
在平行四边形
ABCD
中,用直尺和圆规作∠
BAD
的
平分线交
BC
于点
E
,连接
EF
.
(1)求证:四边形
ABEF
为菱形;
(2)
AE
,
BF
相交于点
O
,若
BF
=6,
AB
=5,求
AE
的长.
(2)
AE
,
BF
相交于点
O
,若
BF
=6,
AB
=5,求
AE
的长.
解:∵四边形
ABEF
为菱形,
∴
AE
⊥
BF
,
BO
=
FB
=3,
AE
=2
AO
,
在Rt△
AOB
中,由勾股定理得
AO
=4,
∴
AE
=2
AO
=8.
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
.
四边相等的四边形是菱形
.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
1
.1
菱形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第
3
课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合
1.
能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一
些相关问题
,
并掌握菱形面积的求法
.(
重点、难点
)
2.
经历菱形性质定理及判定定理的应用过程
,
体会
数形结合、转化等思想方法
.
学习目标
1
.平行四边形的对边
,对角
,对角线
.
2
.菱形具有
的一切性质.
3
.菱形是
图形也是
图形.
4
.菱形的四条边都
.
5
.菱形的两条对角线互相
.
平行且相等
相等
互相平分
平行四边形
轴对称
中心对称
相等
垂直且平分
复习引入
导入新课
6.
平行四边形的面积
=_________.
A
B
C
D
F
底
×
高
7.
菱形是特殊的平行四边形,如图菱形
ABCD
的面积
=_________.
BC
·
DF
思考:
你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗?
A
B
C
O
D
菱形的面积
一
问题
1
菱形是特殊的平行四边形
,
那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形
ABCD
的面积吗
?
A
B
C
D
思考
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直
,
那么能否利用对角线来计算菱形
ABCD
的面积呢
?
能
.
过点
A
作
AE
⊥
BC
于点
E
,
则
S
菱形
ABCD
=
底×高
=
BC
·
AE
.
E
讲授新课
问题
2
如图,四边形
ABCD
是菱形,对角线
AC
,
BD
交于点
O
,
试用对角线表示出菱形
ABCD
的面积
.
A
B
C
D
O
解:
∵
四边形
ABCD
是菱形,
∴
AC
⊥
BD
,
∴
S
菱形
ABCD
=
S
△
ABC
+
S
△
ADC
=
AC
·
BO
+
AC
·
DO
=
AC
(
BO
+
DO
)
=
AC
·
BD
.
你有什么发现?
菱形的面积
=
底
×
高
=
对角线乘积的一半
例
1
:
如图
,
四边形
ABCD
是边长为
13cm
的菱形
,
其中对
角线
BD
长
10cm.
求
:(1)
对角线
AC
的长度
;
(2)
菱形
ABCD
的面积
.
解
:(1)
∵
四边形
ABCD
是菱形
,
∴∠
AED
=90
°
,
(2)
菱形
ABCD
的面积
∴
AC
=2
AE
=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
菱形的面积计算有如下方法:(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积;(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍);(3)两条对角线长度乘积的一半.
归纳
例
2
如图,菱形花坛
ABCD
的边长为
20m
,
∠
ABC
=
60
°,沿着菱形的对角线修建了两条小路
AC
和
BD
,求两条小路的长和花坛的面积(结果分别精确到
0.01m
和
0.1m
2
)
.
A
B
C
D
O
解:
∵
花坛
ABCD
是菱形,
【变式题】
如图,在菱形
ABCD
中,∠
ABC
与∠
BAD
的度数比为1:2,周长是8cm.求:
(1)两条对角线的长度;
(2)菱形的面积.
解:(1)∵四边形
ABCD
是菱形,
∴
AB
=
BC
,
AC
⊥
BD
,
AD
∥
BC
,
∴∠
ABC
+∠
BAD
=180°
.
∵∠
ABC
与∠
BAD
的度数比为1:2,
∴∠
ABC
= ×180°
=
60°,
∴∠
ABO
= ×∠
ABC
=
30°,△
ABC
是等边三角形
.
∵菱形
ABCD
的周长是8cm.
∴
AB
=2cm,
∴
OA
=
AB
=1cm,
AC
=
AB
=2cm,
∴
BD
=2
OB
= cm;
(2)
S
菱形
ABCD
=
AC
•
BD
= ×2× = (cm
2
).
菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形,当菱形中有一个角是
60
°时,菱形被分为以
60
°为顶角的两个等边三角形
.
归纳
练一练
如图,已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm,则这个菱形的高
DE
为( )
A
.
2.4cm B
.
4.8cm C
.
5cm D
.
9.6cm
B
菱形的判定与性质的综合问题
二
如图两张
不等宽
的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分是什么图形?
做一做
平行四边形
如图两张
等宽
的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分
ABCD
是什么图形?为什么?
菱形
A
C
D
B
分析:
易知四边形
ABCD
是
平行四边形
,只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可
.
由题意可知
BC
边上的高和
CD
边上的高相等,
然后通过证△
ABE
≌
△
ADF
,即得
AB
=
AD
.
E
F
例
3
如图,在△
ABC
中,
D
、
E
分别是
AB
、
AC
的中点,
BE
=2
DE
,延长
DE
到点
F
,使得
EF
=
BE
,连接
CF
.
(1)求证:四边形
BCFE
是菱形;
(1)证明:∵
D
、
E
分别是
AB
、
AC
的中点,
∴
DE
∥
BC
且2
DE
=
BC
.
又∵
BE
=2
DE
,
EF
=
BE
,
∴
EF
=
BC
,
EF
∥
BC
,
∴四边形
BCFE
是平行四边形.
又∵
EF
=
BE
,
∴四边形
BCFE
是菱形;
(2)解:∵∠
BCF
=120°,
∴∠
EBC
=60°,
∴△
EBC
是等边三角形,
∴菱形的边长为4,高为 ,
∴菱形的面积为 .
(2)若
CE
=4,∠
BCF
=120°,求菱形
BCFE
的面积.
判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选择方法.如果可以证明四条边相等,可直接证出菱形;如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,可以先尝试证出这个四边形是平行四边形.
归纳
练一练
如图,在平行四边形
ABCD
中,
AC
平分∠
DAB
,
AB
=2,求平行四边形
ABCD
的周长
.
解:∵四边形
ABCD
为平行四边形,
∴AD∥BC
,
AB∥CD
,
∴∠
DAC
=∠
ACB
,∠
BAC
=∠
ACD
,
∵
AC
平分∠
DAB
,
∴∠
DAC
=∠
BAC
,
∴∠
DAC
=∠
ACD
,
∴
AD
=
DC
,
∴四边形
ABCD
为菱形,
∴四边形
ABCD
的周长=4×2=8.
1.
已知菱形的周长是
24cm
,那么它的边长是
______.
2.
如图,菱形
ABCD
中∠
BAC
=
120
°,
则∠
BAC
=
_______.
6cm
60
°
3.
如图,菱形的两条对角线长分别为
10cm
和
24cm
,
则菱形的边长是( )
C
A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm
A
B
C
D
O
当堂练习
4.
如图,在菱形
ABCD
中,点
O
为对角线
AC
与
BD
的交点,且在
△
AOB
中,
OA
=
5
,
OB
=
12.
求菱形
ABCD
两对边的距离
h
.
解:在
Rt△
AOB
中,
OA
=
5
,
OB
=
12
,
∴
S
△
AOB
=
OA
·
OB
=
×5×12
=
30
,
∴
S
菱形
ABCD
=
4
S
△
AOB
=
4×30
=
120.
∵
又
∵
菱形两组对边的距离相等,
∴
S
菱形
ABCD
=
AB
·
h
=
13
h
,
∴13
h
=
120
,得
h
=
.
5.
如图,在菱形
ABCD
中,对角线
AC
与
BD
相交于点
O
,
∠
BAD
=60°
,
BD =
6
,
求菱形的边长
AB
和对角线
AC
的长
.
解:∵四边形
ABCD
是菱形,
∴
AC
⊥
BD
(菱形的对角线互相垂直)
OB
=
OD
=
BD =
×6=3
(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形
ABC
中,
∵∠
BAD
=60°,
∴△
ABD
是等边三角形.
∴
AB
=
BD
= 6.
A
B
C
O
D
在
Rt
Δ
AOB
中,由勾股定理,得
OA
2
+
OB
2
=
AB
2
,
∴
OA
=
= =
∴
AC
=2
OA
=
(菱形的对角线相互平分)
.
A
B
C
O
D
课堂小结
菱形的性质与判定的综合性问题
菱形的面积
综合运用
面积
=
底×高
=
两条对角线乘积的一半
1.2
矩形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第
1
课时 矩形的性质
学习目标
1.
理解矩形的概念,知道矩形与平行四边形的区别
与
联系
.
(重点)
2.
会证明矩形的性质,会用矩形的性质解决简单的问
题
.
(
重点、
难点)
3.
掌握直角三角形斜边中线的性质,并会简单的运用
.
(重点)
观察下面图形
,
长方形
在
生活中无处不在
.
导入新课
情景引入
思考
长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系?
你还能举出其他的例子吗?
讲授新课
矩形的性质
一
活动
1
:
利用一个活动的平行四边形教具演示
,
使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察
.
矩形
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
.
定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
.
也叫做长方形
.
归纳总结
平行四边形不一定是矩形
.
思考
因为矩形是平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质,由于它有一个角为直角,它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢?
可以从边,角,对角线等方面来考虑
.
活动
2
:
准备素材:直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等
.
(
1
)请同学们以小组为单位
,
测量身边的矩形(如书本
,
课桌
,
铅笔盒等)的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数
,
并记录测量结果
.
A
B
C
D
O
AB
AD
AC
BD
∠
BAD
∠
ADC
∠
AOD
∠
AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
(实物)
(形象图)
(
2
)
根据测量的结果,你有什么猜想?
猜想
1
矩形的四个角都是直角
.
猜想
2
矩形的对角线相等
.
你能证明吗?
证明:∵四边形
ABCD
是矩形
,
∴
∠
B
=
∠
D
,
∠
C
=∠
A
,
AB∥DC
.
∴
∠
B
+
∠
C
=180°.
又∵
∠
B
= 90°
,
∴
∠
C
= 90°.
∴∠
B
=∠
C
=∠
D
=∠
A
=90°.
如图
,
四边形
ABCD
是矩形
,
∠
B
=90°.
求证
:
∠
B
=
∠
C
=
∠
D
=
∠
A
=90°
.
A
B
C
D
证一证
证明:
∵
四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AB
=
DC
,∠
ABC
=∠
DCB
=90°
,
在△
ABC
和△
DCB
中
,
∵
AB
=
DC
,
∠
ABC
=∠
DCB
,
BC
=
CB
,
∴△
ABC
≌
△
DCB
.
∴
AC
=
DB
.
A
B
C
D
O
如图
,
四边形
ABCD
是矩形
,
∠
ABC
=90°,
对角线
AC
与
DB
相较于点
O
.
求证
:
AC
=
DB
.
矩形除了具有平行四边形所有性质,还具有的性质有:
矩形的四个角都是直角
.
矩形的对角线相等
.
归纳总结
几何语言描述:
在矩形
ABCD
中,
对角线
AC
与
DB
相交于点
O
.
∠
ABC
=∠
BCD
=∠
CDA
=∠
DAB
=90°
,
AC
=
DB
.
A
B
C
D
O
例
1
如图
,
在矩形
ABCD
中
,
两条对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,
∠
AOB
=60°
,
AB
=4
,
求矩形对角线的长
.
解:∵四边形
ABCD
是矩形
.
∴
AC
=
BD
,
OA
=
OC
=
AC
,
OB
=
OD
=
BD
,
∴
OA
=
OB
.
又
∵
∠
AOB
=60°
,
∴
△
OAB
是等边三角形,
∴
OA
=
AB
=4
,
∴
AC
=
BD
=2
OA
=8.
A
B
C
D
O
典例精析
矩形的对角线相等且互相平分
例
2
如图
,
在矩形
ABCD
中
,
E
是
BC
上一点
,
AE
=
AD
,
DF
⊥
AE
,
垂足为
F
.
求证:
DF
=
DC
.
A
B
C
D
E
F
证明:连接
DE
.
∵
AD
=
AE
,∴∠
AED
=∠
ADE
.
∵
四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AD∥BC
,∠
C
=90°.
∴∠
ADE
=∠
DEC
,
∴∠
DEC
=∠
AED
.
又∵
DF
⊥
AE
, ∴∠
DFE
=∠
C
=90°.
又∵
DE
=
DE
,
∴△
DFE
≌
△
DCE
,
∴
DF
=
DC
.
例
3
如图,将矩形
ABCD
沿着直线
BD
折叠,使点
C
落在
C
′
处,
BC
′
交
AD
于点
E
,
AD
=
8
,
AB
=
4
,求
△
BED
的面积.
解:
∵
四边形
ABCD
是矩形,
∴
AD
∥
BC
,
∠
A
=
90°
,
∴∠2
=
∠3.
又由折叠知
∠1
=
∠2
,
∴∠1
=
∠3
,
∴
BE
=
DE
.
设
BE
=
DE
=
x
,则
AE
=
8
-
x
.
∵
在
Rt△
ABE
中,
AB
2
+
AE
2
=
BE
2
,
∴4
2
+
(8
-
x
)
2
=
x
2
,
解得
x
=
5
,即
DE
=
5.
∴
S
△
BED
=
DE
·
AB
=
×5×4
=
10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
思考
请同学们拿出准备好的矩形纸片
,
折一折
,
观察并思考
.
矩形是不是轴对称图形
?
如果是,那么对称轴有几条
?
矩形的性质:
对称性:
.
对称轴:
.
轴对称图形
2
条
练一练
1.
如图,在矩形
ABCD
中,对角线
AC
,
BD
交于点
O
,
下列说法错误的是 ( )
A.
AB
∥
DC
B.
AC
=
BD
C.
AC
⊥
BD
D.
OA
=
OB
A
B
C
D
O
C
2.
如图,
EF
过矩形
ABCD
对角线的交点
O
,且分别交
AB
、
CD
于
E
、
F
,那么阴影部分的面积是矩形
ABCD
面积的
_________.
3.
如图,在矩形
ABCD
中,
AE
⊥
BD
于
E
,
∠
DAE
:
∠
BAE
=
3
:
1
,求
∠
BAE
和
∠
EAO
的度数.
解:
∵
四边形
ABCD
是矩形,
∴∠
DAB
=
90°
,
AO
=
AC
,
BO
=
BD
,
AC
=
BD
,
∴∠
BAE
+
∠
DAE
=
90°
,
AO
=
BO
.
又
∵∠
DAE
:
∠
BAE
=
3
:
1
,
∴∠
BAE
=
22.5°
,
∠
DAE
=
67.5°.
∵
AE
⊥
BD
,
∴∠
ABE
=
90°
-
∠
BAE
=
90°
-
22.5°
=
67.5°
,
∴∠
OAB
=
∠
ABE
=
67.5°
∴∠
EAO
=
67.5°
-
22.5°
=
45°.
直角三角形斜边上的中线的性质
二
A
B
C
D
O
活动:
如图,一张矩形纸片,画出两条对角线,沿着对角线
AC
剪去一半
.
B
C
O
A
问题
Rt
△
ABC
中,
BO
是一条怎样的线段?
它的长度与斜边
AC
有什么关系?
猜想:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
.
试给出数学证明
.
O
C
B
A
D
证明
:
延长
BO
至
D
,
使
OD
=
BO
,
连接
AD
、
DC
.
∵
AO
=
OC
,
BO
=
OD
,
∴
四边形
ABCD
是平行四边形
.
∵∠
ABC
=90°
,
∴
平行四边形
ABCD
是矩形,
∴
AC
=
BD
,
如图,在
Rt△
ABC
中,
∠
ABC
=90°
,
BO
是
AC
上的中线
.
求证
:
BO
=
AC
?
∴
BO
=
BD
=
AC
.
1.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
.
性质
证一证
例
4
如图,在
△
ABC
中,
AD
是高,
E
、
F
分别是
AB
、
AC
的中点.
(1)
若
AB
=
10
,
AC
=
8
,求四边形
AEDF
的周长;
解:
∵
AD
是
△
ABC
的高,
E
、
F
分别是
AB
、
AC
的中点,
∴
DE
=
AE
=
AB
=
×10
=
5
,
DF
=
AF
=
AC
=
×8
=
4
,
∴
四边形
AEDF
的周长=
AE
+
DE
+
DF
+
AF
=
5
+
5
+
4
+
4
=
18
;
(2)
求证:
EF
垂直平分
AD
.
证明:
∵
DE
=
AE
,
DF
=
AF
,
∴
E
、
F
在线段
AD
的垂直平分线上,
∴
EF
垂直平分
AD
.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时,可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解.
归纳
例
5
如图,已知
BD
,
CE
是
△
ABC
不同边上的高,点
G
,
F
分别是
BC
,
DE
的中点,试说明
GF
⊥
DE
.
解:连接
EG
,
DG
.
∵
BD
,
CE
是
△
ABC
的高,
∴∠
BDC
=
∠
BEC
=
90°.
∵
点
G
是
BC
的中点,
∴
EG
=
BC
,
DG
=
BC
.
∴
EG
=
DG
.
又
∵
点
F
是
DE
的中点,
∴
GF
⊥
DE
.
在直角三角形中,遇到斜边中点常作斜边中线,进而可将问题转化为等腰三角形的问题,然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题.
归纳
归纳总结
直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型
如图,在△
ABC
中
,∠
ABC
= 90°,
BD
是斜边
AC
上的中线
.
(1)
若
BD
=3cm,
则
AC
=_____cm;
(2)
若∠
C
= 30° ,
AB
= 5cm,
则
AC
=_____cm,
BD
=
_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
练一练
当堂练习
1.
矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
( )
A.
对角线相等
B.
对边相等
C.
对角相等
D.
对角线互相平分
2.
若直角三角形的两条直角边分别
5
和
12,
则斜边上的中线长为
( )
A.13 B.6 C.6.5 D.
不能确定
3.
若矩形的一条对角线与一边的夹角为
40°,
则两条对角线相交的锐角是
( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
A
C
C
4.
如图,在矩形
ABCD
中,对角线
AC
、
BD
相交于点
O
,点
E
、
F
分别是
AO
、
AD
的中点,若
AB
=6cm,
BC
=8cm,则
EF
=
______
cm.
2.5
5.
如图,△
ABC
中,
E
在
AC
上,且
BE
⊥
AC
.
D
为
AB
中点,若
DE
=5,
AE
=8,则
BE
的长为
______
.
6
第
4
题图
第
5
题图
6.
如图
,
四边形
ABCD
是矩形
,
对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,
BE∥AC
交
DC
的延长线于点
E
.
(
1
)求证:
BD
=
BE
,
(
2
)若
∠
DBC
=30° ,
BO
=4 ,
求四边形
ABED
的面积
.
A
B
C
D
O
E
(1)
证明:∵四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AC
=
BD
,
AB∥CD
.
又∵
BE∥AC
,
∴
四边形
ABEC
是平行四边形
,
∴
AC
=
BE
,
∴
BD
=
BE
.
(2)
解:
∵
在矩形
ABCD
中
,
BO
=4
,
∴
BD
= 2
BO
=2×4=8.
∵∠
DBC
=30°
,
∴
CD
=
BD
= ×8=4
,
∴
AB
=
CD
=4
,
DE
=
CD
+
CE
=
CD
+
AB
=8.
在
Rt△
BCD
中
,
BC
=
∴四边形
ABED
的面积
= ×(4+8)× = .
A
B
C
D
O
E
7.
如图,在矩形
ABCD
中,
AB
=6,
AD
=8,
P
是
AD
上的动点,
PE
⊥
AC
,
PF
⊥
BD
于
F
,求
PE
+
PF
的值
.
解:连接
OP
.
∵四边形
ABCD
是矩形,
∴∠
DAB
=90°,
OA
=
OD
=
OC
=
OB
,
∴
S
△
AOD
=
S
△
DOC
=
S
△
AOB
=
S
△
BOC
=
S
矩形
ABCD
= ×6×8=12
.
在Rt△
BAD
中,由勾股定理得
BD
=10,
∴
AO
=
OD
=5,
∵
S
△
APO
+
S
△
DPO
=
S
△
AOD
,
∴
AO
·
PE
+
DO
·
PF
=12,即5
PE
+5
PF
=24,
∴
PE
+
PF
=
.
能力提升:
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角,
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
1.2
矩形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第
2
课时 矩形的判定
学习目标
1.
经历矩形判定定理的猜想与证明过程,
理解并掌握
矩形的判定定理.(重点)
2
.
能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题
.(
难点
)
复习引入
导入新课
问题
1
矩形的定义是什么?
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
.
问题
2
矩形有哪些性质?
矩形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
思考
工人师傅在做门窗或矩形零件时
,如何确保
图形是
矩形呢?现在师傅带了两种工具
(卷尺和量角器),他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题,这是为什么呢?
这节课我们一起探讨矩形的判定吧
.
讲授新课
对角线相等的平行四边形是矩形
一
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法,那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法
.
问题
1
除了定义以外,判定矩形的方法还有没有呢?
矩形是特殊的平行四边形
.
类似地,那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立
.
问题
2
上节课我们已经知道
“
矩形的对角线相等
”
,反过来,
小明猜想对角线相等的四边形是矩形,你觉得对吗?
我猜想:对角线相等的平行四边形是矩形
.
不对,等腰梯形的对角线也相等
.
不对,矩形是特殊的平行四边形,所以它的对角线不仅相等且平分
.
思考
你能证明这一猜想吗?
已知:如图
,
在
□
ABCD
中
,
AC
,
DB
是它的两条对角线
,
AC
=
DB
.
求证:
□
ABCD
是矩形
.
证明:∵
AB
=
DC
,
BC
=
CB
,
AC
=
DB
,
∴ △
ABC
≌
△
DCB
,
∴∠
ABC
= ∠
DCB
.
∵
AB
∥
CD
,
∴∠
ABC
+ ∠
DCB
= 180°
,
∴ ∠
ABC
= 90°
,
∴
□
ABCD
是矩形(矩形的定义)
.
A
B
C
D
证一证
矩形的判定定理:
对角线相等的平行四边形是矩形
.
归纳总结
几何语言描述:
在平行四边形
ABCD
中,
∵
AC
=
BD
,
∴
平行
四边形
ABCD
是矩形
.
A
B
C
D
思考
数学来源于生活,事实上工人师傅为了检验
两组对边相等
的四边形窗框是否成矩形,一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度,如果
对角线长相等
,则窗框一定是矩形,你现在知道为什么了吗?
对角线相等的平行四边形是矩形
.
例
1
如图,在
ABCD
中,对角线
AC
,
BD
相交于点
O
,且
OA
=
OD
,∠
OAD
=50°
.求∠
OAB
的度数.
A
B
C
D
O
解:
∵
四边形
ABCD
是平行四边形,
∴
OA
=
OC
=
AC
,
OB
=
OD
=
BD
.
又
∵
OA
=
OD
,
∴
AC
=
BD
,
∴
四边形
ABCD
是矩形,
∴
∠
BAD=
90
°
.
又
∵
∠
OAD
=50°
,
∴
∠
OAB
=40°.
典例精析
例
2
如图
,
矩形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点
O
,
E
、
F
、
G
、
H
分别是
AO
、
BO
、
CO
、
DO
上的一点
,
且
AE
=
BF
=
CG
=
DH
.
求证
:
四边形
EFGH
是矩形
.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明:
∵
四边形
ABCD
是矩形,
∴
AC
=
BD
(矩形的对角线相等
)
,
AO
=
BO
=
CO
=
DO
(矩形的对角线互相平分),
∵
AE
=
BF
=
CG
=
DH
,
∴
OE
=
OF
=
OG
=
OH
,
∴
四边形
EFGH
是平行四边形,
∵
EO
+
OG
=
FO
+
OH
,
即
EG
=
FH
,
∴
四边形
EFGH
是矩形
.
练一练
1.
如图,在▱
ABCD
中,
AC
和
BD
相交于点
O
,则下面条件能判定▱
ABCD
是矩形的是 ( )
A.
AC
=
BD
B.
AC
=
BC
C.
AD
=
BC
D.
AB
=
AD
A
2.
如图
ABCD
中
, ∠1= ∠2
中
.
此时四边形
ABCD
是矩形吗?为什么?
A
B
C
D
O
1
2
解:四边形
ABCD
是矩形
.
理由如下:
∵
四边形
ABCD
是平行四边形
∴
AO
=
CO
,
DO
=
BO
.
又
∵ ∠1= ∠2
,
∴
AO
=
BO
,
∴
AC
=
BD
,
∴
四边形
ABCD
是矩形
.
有三个角是直角的四边形是矩形
二
问题
1
上节课我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角,它的逆命题是什么?成立吗?
逆命题:四个角是直角的四边形是矩形
.
成立
问题
2
至少有几个角是直角的四边形是矩形
?
A
B
D
C
(
有一个角是直角
)
A
B
D
C
(
有二个角是直角
)
A
B
D
C
(
有三个角是直角
)
猜测:有三个角是直角的四边形是矩形
.
已知:如图
,
在四边形
ABCD
中
,∠
A
=∠
B
=∠
C
=90
°
.
求证:四边形
ABCD
是矩形
.
证明
:∵ ∠
A
=∠
B
=∠
C
=90
°
,
∴∠
A
+∠
B
=180
°
,
∠
B
+∠
C
=180
°
,
∴
AD∥BC
,
AB∥CD
.
∴
四边形
ABCD
是平行四边形,
∴
四边形
ABCD
是矩形
.
A
B
C
D
证一证
矩形的判定定理:
有三个角是直角的四边形是矩形
.
归纳总结
几何语言描述:
在四边形
ABCD
中,
∵
∠
A
=∠
B
=∠
C
=90
°
,
∴
四边形
ABCD
是矩形
.
A
B
C
D
思考
一个木匠要制作矩形的踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次,就能得到矩形踏板.为什么?
有三个角是直角的四边形是矩形
.
例
3
如图,
□
ABCD
的四个内角的平分线分别相交于
E
、
F
、
G
、
H
,求证:四边形
EFGH
为矩形.
证明:在
□
ABCD
中,
AD∥BC
,
∴∠
DAB
+∠
ABC
=180
°
.
∵
AE
与
BG
分别为∠
DAB
、
∠
ABC
的平分线
,
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形
EFGH
是矩形.
同理可证
∠
AED
=
∠
EHG
=90°,
∴∠
AFB
=90°
,
∴∠
GFE
=90°.
∴ ∠
BAE
+ ∠
ABF
=
∠
DAB
+
∠
ABC
=90
°
.
例
4
如图,在
△
ABC
中,
AB
=
AC
,
AD
⊥
BC
,垂足为
D
,
AN
是
△
ABC
外角
∠
CAM
的平分线,
CE
⊥
AN
,垂足为
E
,求证:四边形
ADCE
为矩形.
证明:在
△
ABC
中,
AB
=
AC
,
AD
⊥
BC
,
∴∠
BAD
=
∠
DAC
,即
∠
DAC
=
∠
BAC
.
又
∵
AN
是
△
ABC
外角
∠
CAM
的平分线,
∴∠
MAE
=
∠
CAE
=
∠
CAM
,
∴∠
DAE
=
∠
DAC
+
∠
CAE
=
(∠
BAC
+
∠
CAM
)
=
90°.
又
∵
AD
⊥
BC
,
CE
⊥
AN
,
∴∠
ADC
=
∠
CEA
=
90°,
∴
四边形
ADCE
为矩形.
练一练
在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上,一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案,其中正确的是 ( )
A.测量对角线是否相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量其中三个角是否都为直角
D
当堂练习
1.
下列各句判定矩形的说法是否正确?
(
1
)对角线相等的四边形是矩形;
(
2
)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
(
3
)有一个角是直角的四边形是矩形;
(
5
)有三个角是直角的四边形是矩形;
(
6
)四个角都相等的四边形是矩形;
(
7
)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;
(
4
)有三个角都相等的四边形是矩形
;
×
×
×
×
√
√
√
√
(
8
)一组对角互补的平行四边形是矩形;
2.
如图
,
直线
EF∥MN
,
PQ
交
EF
、
MN
于
A
、
C
两点
,
AB
、
CB
、
CD
、
AD
分别是
∠
EAC
、
∠
MCA
、
∠
ACN
、
∠
CAF
的平分线
,
则四边形
ABCD
是
( )
A.
梯
形
B.
平行四边形
C.
矩形
D.
不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
3.
如图,在四边形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,∠
BAD
=90°,
AB
=5,
BC
=12,
AC
=13.求证:四边形
ABCD
是矩形.
证明:四边形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,∠
BAD
=90°,
∴∠
ADC
=90°
.
又∵△
ABC
中,
AB
=5,
BC
=12,
AC
=13,
满足13
2
=5
2
+12
2
,即
∴△
ABC
是直角三角形,且∠
B
=90°,
∴四边形
ABCD
是矩形.
A
B
C
D
4.
如图,平行四边形
ABCD
中,对角线
AC
、
BD
相交于点
O
,延长
OA
到
N
,使
ON
=
OB
,再延长
OC
至
M
,使
CM
=
AN
.
求证:四边形
NDMB
为矩形.
证明:
∵
四边形
ABCD
为平行四边形,
∴
AO
=
OC
,
OD
=
OB
.
∵
AN
=
CM
,
ON
=
OB
,
∴
ON
=
OM
=
OD
=
OB
,
∴
四边形
NDMB
为平行四边形,
MN
=
BD
,
∴
平行四边形
NDMB
为矩形.
5.
如图,
△
ABC
中,
AB
=
AC
,
AD
是
BC
边上的高,
AE
是
△
BAC
的外角平分线,
DE
∥
AB
交
AE
于点
E
,求证:四边形
ADCE
是矩形.
证明:
∵
AB
=
AC
,
AD
⊥
BC
,
∴∠
B
=
∠
ACB
,
BD
=
DC
.
∵
AE
是
∠
BAC
的外角平分线,
∴∠
FAE
=
∠
EAC
.
∵∠
B
+
∠
ACB
=
∠
FAE
+
∠
EAC
,
∴∠
B
=
∠
ACB
=
∠
FAE
=
∠
EAC
,
∴
AE
∥
CD
.
又
∵
DE
∥
AB
,
∴
四边形
AEDB
是平行四边形,
∴
AE
平行且相等
BD
.
又
∵
BD
=
DC
,
∴
AE
平行且等于
DC
,
故四边形
ADCE
是平行四边形
.
又
∵∠
ADC
=
90°
,
∴
平行四边形
ADCE
是矩形.
6.
如图,在梯形
ABCD
中,
AD
∥
BC
,
∠
B
=
90°
,
AD
=
24cm
,
BC
=
26cm
,动点
P
从点
A
出发沿
AD
方向向点
D
以
1cm/s
的速度运动,动点
Q
从点
C
开始沿着
CB
方向向点
B
以
3cm/s
的速度运动.点
P
、
Q
分别从点
A
和点
C
同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.
(1)经过多长时间,四边形
PQCD
是平行四边形?
解:设经过
x
s
,四边形
PQCD
为平行四边形,
即
PD
=
CQ
,
所以
24
-
x
=
3
x
,
解得
x
=
6.
即经过
6s
,四边形
PQCD
是平行四边形;
能力提升:
(2)经过多长时间,四边形
PQBA
是矩形?
解:设经过
y
s
,四边形
PQBA
为矩形,
即
AP
=
BQ
,
∴
y
=
26
-
3
y
,
解得
y
=
6.5
,
即经过
6.5s
,四边形
PQBA
是矩形.
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形
.
对角线相等的平行四边形是矩形
.
有三个角是直角的四边形是矩形
.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理
1.2
矩形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第
3
课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合
1
.回顾矩形的性质及判定方法.
2
.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用
.
(
难点
)
学习目标
问题
1:
矩形有哪些性质?
A
B
C
D
O
①
是轴对称图形
;
②四个角都是直角
;
③
对角线相等且平分
.
导入新课
①
定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
②
有一组邻边相等的矩形
③
有一个角是直角的菱形
问题
2:
矩形有判定方法有哪些?
A
B
C
D
O
E
例
1
:
如图,矩形
ABCD
的对角线相交于点
O
,
DE∥AC
,
CE ∥BD
.
求证:四边形
OCED
是菱形
.
证明:
∵
DE∥AC
,
CE∥BD
,
∴
四边形
OCED
是平行四边形
.
∵
四边形
ABCD
是矩形,
∴
OC
=
OD
,
∴
四边形
OCED
是菱形.
矩形的性质与判定综合运用
讲授新课
H
G
F
E
D
C
B
A
证明:连接
AC
、
BD
.
∵
四边形
ABCD
是矩形,
∴
AC
=
BD
.
∵点
E
、
F
、
G
、
H
为各边中点,
∴
EF
=
FG
=
GH
=
HE
,
∴
四边形
EFGH
是菱形
.
例
2
如图,顺次连接矩形
ABCD
各边中点,得到四边形
EFGH
,求证:四边形
EFGH
是菱形
.
C
A
B
D
E
F
G
H
【变式题】
如图,顺次连接对角线相等的四边形
ABCD
各边中点,得到四边形
E
F
G
H
是什么四边形?
解:四边形
EFGH
是菱形
.
又∵
AC
=
BD
,
∵点
E
、
F
、
G
、
H
为各边中点,
∴
EF
=
FG
=
GH
=
HE
,
∴
四边形
EFGH
是菱形
.
顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,得到四边形是菱形
.
归纳
理由如下:连接
AC
、
BD
A
B
C
D
E
F
G
H
拓展
1
如图,顺次连接平行四边形
ABCD
各边中点,得到四边形
EFGH
是什么四边形?
解:连接
AC
、
BD
.
∵点
E
、
F
、
G
、
H
为各边中点,
∴
四边形
EFGH
是平行四边形
.
拓展
2
如图,若四边形
ABCD
是菱形,顺次连接
菱形
ABCD
各边中点,得到四边形
EFGH
是什么四边形?
四边形
EFGH
是矩
形
.
同学们自己去解答吧
例
3
:
如图,在矩形
ABCD
中,
AD
=6,对角线AC与BD相交于点
O
,
AE
⊥
BD
,垂足为
E
,
ED
=3
BE
,求
AE
的长
.
分析:
由在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,BE:ED=1:3,易证得△OAB是等边三角形,继而求得∠BAE的度数,由△OAB是等边三角形,求出∠ADE的度数,又由AD=6,即可求得AE的长
.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OD,OA=OC,AC=BD,
∴OA=OB,
∵BE:ED=1:3,
∴BE:OB=1:2,
∵AE⊥BD,
∴AB=OA,∴OA=AB=OB,
即△OAB是等边三角形,
∴∠ABD=60°,∴∠ADE=90°-∠ABD=30°,
∴
AE
=
AD=
3.
例
4
:
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
(2)连接DE,交AC于点F,请判断
四边形ABDE的形状,并证明;
(3)线段DF与AB有怎样的关系?请直接写出你的结论
.
证明:∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,
∴∠ADC=90°,
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,
∴∠MAN=∠CAN,
∴∠DAE=90°,
∵CE⊥AN,
∴∠AEC=90°,
∴四边形ADCE为矩形;
(1)求证:四边形ADCE为矩形;
解:四边形ABDE是平行四边形,理由如下:
由(1)知,四边形ADCE为矩形,
则AE=CD,AC=DE.
又∵AB=AC,BD=CD,
∴AB=DE,AE=BD,
∴四边形ABDE是平行四边形;
(2)连接DE,交AC于点F,请判断四边形ABDE的形状,并证明;
解:DF∥AB,DF= AB.理由如下:
∵四边形ADCE为矩形,
∴AF=CF,
∵BD=CD,
∴DF是△ABC的中位线,
∴DF∥AB,DF= AB
(
3
)
线段DF与AB有怎样的关系?请直接写出你的结论
.
【点评】
此题
考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用
.
例
5
:
如图所示,在
△
ABC
中,
D
为
BC
边上的一点,
E
是
AD
的中点,过
A
点作
BC
的平行线交
CE
的延长线于点
F
,且
AF
=
BD
.
连接
BF
.
(1)
BD
与
DC
有什么数量关系?请说明理由;
(2)
当
△
ABC
满足什么条件时,四边形
AFBD
是矩形?并说明理由.
解:
(1)
BD
=
CD
.
理由如下:
∵
AF
∥
BC
,
∴∠
AFE
=
∠
DCE
.
∵
E
是
AD
的中点,
∴
AE
=
DE
.
在
△
AEF
和
△
DEC
中,
∴△
AEF
≌
△
DEC
(AAS)
,
∴
AF
=
DC
.
∵
AF
=
BD
,
∴
BD
=
DC
;
(2)
当
△
ABC
满足
AB
=
AC
时,四边形
AFBD
是矩形.理由如下:
∵
AF
∥
BD
,
AF
=
BD
,
∴
四边形
AFBD
是平行四边形.
∴
AB
=
AC
,
BD
=
DC
,
∴∠
ADB
=
90°.
∴
四边形
AFBD
是矩形.
【方法总结】
本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法,明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.
当堂练习
1.
如图,四边形
ABCD
和四边形
AEFC
是两个矩形,点
B
在
EF
边上,若矩形
ABCD
和矩形
AEFC
的面积分别是
S
1
,
S
2
,则
S
1
,
S
2
的大小关系是
(
)
A
.
S
1
>
S
2
B
.
S
1
=
S
2
C
.
S
1
<
S
2
D
.
3
S
1
=
2
S
2
B
2
.如图,在
△
ABC
中,点
D
,
E
,
F
分别是
AB
,
AC
,
BC
的中点,
AH
⊥
BC
于点
H
,连接
EH
,若
DF
=
10 cm
,则
EH
等于
(
)
A
.
8 cm
B
.
10 cm
C
.
16 cm
D
.
24 cm
B
3.
如图,矩形
ABCD
的对角线相交于点
O
,
AE
平分
∠
BAD
交
BC
于点
E
,若
∠
CAE
=
15°
,则
∠
BOE
=
____
度.
75
4
.如图,在矩形
ABCD
中,
AB
=
2
,
BC
=
4
,点
A
,
B
分别在
y
轴,
x
轴的正半轴上,点
C
在第一象限,如果
∠
OAB
=
30°
,那么点
C
的坐标为
.
5.
如图,
O
是菱形
ABCD
对角线
AC
与
BD
的交点,
CD
=
5cm
,
OD
=
3cm
;过点
C
作
CE
∥
DB
,过点
B
作
BE
∥
AC
,
CE
与
BE
相交于点
E
.
(1)
求
OC
的长;
(2)
求四边形
OBEC
的面积.
解:
(1)∵
四边形
ABCD
是菱形,
∴
AC
⊥
BD
.
在
Rt△
OCD
中,由勾股定理得
OC
=
4cm
;
(2)∵
CE
∥
DB
,
BE
∥
AC
,
∴
四边形
OBEC
为平行四边形
.
又
∵
AC
⊥
BD
,即
∠
COB
=
90°
,
∴
平行四边形
OBEC
为矩形
.
∵
OB
=
OD
=
3cm
,
∴
S
矩形
OBEC
=
OB
·
OC
=
4×3
=
12(cm
2
)
.
6.
如图,点
D
是
△
ABC
的边
AB
上一点,
CN
∥
AB
,
DN
交
AC
于点
M
,
MA
=
MC
.
(1)
求证:
CD
=
AN
;
(2)
若
∠
AMD
=
2∠
MCD
,
求证:四边形
ADCN
是矩形.
证明:
(1)
证
△AMD
≌
△CMN
得
AD
=
CN
,
又
∵AD∥CN
,
∴
四边形
ADCN
是平行四边形,
∴CD
=
AN.
(2)
若
∠
AMD
=
2∠
MCD
,
求证:四边形
ADCN
是矩形.
证明:
∵∠AMD
=
2∠MCD
,
∠AMD
=
∠MCD
+
∠MDC
,
∴∠MCD
=
∠MDC
,
∴MD
=
MC
,
由
(1)
知四边形
ADCN
是平行四边形,
∴MD
=
MN
=
MA
=
MC
,
∴AC
=
DN
,
∴
▱
ADCN
是矩形
.
与全等三角形的结合
矩形的性质与判定
课堂小结
与平面直角坐标系的结合
折叠问题
1.3
正方形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第
1
课时 正方形的性质
学习目标
1.理解正方形的概念
.
2.
探索并证明正方形的性质,并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别
.(
重点、难点
)
3
.会应用正方形
的性质解决相关
证明及计算
问题
.
(难点)
导入新课
观察下面图形
,
正
方形是我们熟悉的几何图形,
在
生活中无处不在
.
情景引入
你还能举出其他的例子吗?
讲授新课
矩 形
〃
〃
问题
1
:
矩形怎样变化后就成了正方形呢
?
你有什么
发现?
问题引入
正方形的性质
正方形
问题
2
菱形怎样变化后就成了正方形呢
?
你有什么
发现?
正方形
邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形
.
归纳总结
已知:如图
,
四边形
ABCD
是正方形
.
求证:正方形
ABCD
四边相等
,
四个角都是直角
.
A
B
C
D
证明:∵四边形
ABCD
是正方形
.
∴∠
A
=90°
,
AB
=
AC
(正方形的定义)
.
又∵正方形是平行四边形
.
∴
正方形是矩形(矩形的定义)
,
正方形是菱形
(
菱形的定义
).
∴∠
A
=∠
B
=∠
C
=∠
D
= 90°
,
AB= BC
=
CD
=
AD
.
证一证
已知:如图
,
四边形
ABCD
是正方形
.
对角线
AC
、
BD
相交于点
O
.
求证
:
AO
=
BO
=
CO
=
DO
,
AC
⊥
BD
.
A
B
C
D
O
证明:∵正方形
ABCD
是矩形
,
∴
AO
=
BO
=
CO
=
DO
.
∵
正方形
ABCD
是菱形
.
∴
AC
⊥
BD
.
思考
请同学们拿出准备好的正方形纸片
,
折一折
,
观察并思考
.
正方
形是不是轴对称图形
?
如果是,那么对称轴有几条
?
对称性:
.
对称轴:
.
轴对称图形
4
条
A
B
C
D
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形
,
也是特殊的矩形
,
也是特殊的菱形
.
所以矩形、菱形有的性质
,
正方形都有
.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:
性质:
1.
正方形的四个角都是直角
,
四条边相等
.
2.
正方形的对角线相等且互相垂直平分
.
归纳总结
例
1
求证
:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形
.
A
D
C
B
O
已知
:
如图
,
四边形
ABCD
是正方形
,
对角线
AC
、
BD
相
交于点
O
.
求证
: △
ABO
、
△
BCO
、
△
CDO
、
△
DAO
是全等的
等腰直角三角形
.
证明
:
∵
四边形
ABCD
是正方形
,
∴
AC
=
BD
,
AC
⊥
BD
,
AO
=
BO
=
CO
=
DO
.
∴ △
ABO
、
△
BCO
、
△
CDO
、
△
DAO
都
是等腰直角三角形
,
并且
△
ABO
≌
△
BCO
≌
△
CDO
≌
△
DAO
.
典例精析
例
2
:
如图在正方形
ABCD
中
,
E
为
CD
上一点,
F
为
BC
边延长线上一点
,
且
CE
=
CF
.
BE
与
DF
之间有怎样的关系?请说明理由
.
解:
BE
=
DF
,
且
BE
⊥
DF
.理由如下:
(1)∵四边形
ABCD
是正方形.
∴
BC
=
DC
,
∠
BCE
=90° .
(正方形的四条边都相等
,
四个角都是直角)
∴∠
DCF
=180°
-
∠
BCE
=180°
-
90°=90°.
A
B
D
C
F
E
∴∠
BCE
=∠
DCF
.
又∵
CE
=
CF
.
∴△
BCE
≌
△
DCF
.
∴
BE
=
DF
.
A
B
D
F
E
(2)
延长
BE
交
DE
于点
M
,
∵
△
BCE
≌
△
DCF
,
∴∠
CBE
=
∠
CDF
.
∵∠
DCF
=90°
,
∴∠
CDF
+
∠
F
=90°.
∴∠
CBE
+
∠
F
=90°
,
∴∠
BMF
=90°.
∴
BE
⊥
DF
.
C
M
例
3
如图,在正方形
ABCD
中,
Δ
BEC
是等边三角形,
求证: ∠
EAD
=∠
EDA
=
15°
.
证明:∵
Δ
BEC
是等边三角形,
∴
BE
=
CE
=
BC
,∠
EBC
=∠
ECB
=60
°,
∵ 四边形
ABCD
是正方形,
∴
AB
=
BC
=
CD
,∠
ABC
=∠
DCB
=90
°,
∴
AB
=
BE
=
CE
=
CD
,
∠
ABE
=
∠
DCE
=30
°,
∴△
ABE
,△
DCE
是等腰三角形,
∴∠
BAE
=
∠
BEA
=
∠
CDE
=
∠
CED
=75
°,
∴∠
EAD
=
∠
EDA
=90
°
-75
°
=15
°
.
【变式题
1
】
四边形
ABCD
是正方形,以正方形
ABCD
的一边作等边
△
ADE
,求
∠
BEC
的大小.
解:当等边
△
ADE
在正方形
ABCD
外部时,如图
①
,
AB
=
AE
,
∠
BAE
=
90°
+
60°
=
150°.
∴∠
AEB
=
15°.
同理可得
∠
DEC
=
15°.
∴∠
BEC
=
60°
-
15°
-
15°
=
30°
;
当等边
△
ADE
在正方形
ABCD
内部时,如图
②
,
AB
=
AE
,
∠
BAE
=
90°
-
60°
=
30°
,
∴∠
AEB
=
75°.
同理可得
∠
DEC
=
75°.
∴∠
BEC
=
360°
-
75°
-
75°
-
60°
=
150°.
综上所述,
∠
BEC
的大小为
30°
或
150°.
易错提醒:因为等边△
ADE
与正方形
ABCD
有一条公共边,所以边相等.本题分两种情况:等边△
ADE
在正方形的外部或在正方形的内部.
【变式题
2
】
如图,在正方形
ABCD
内有一点
P
满足
AP
=
AB
,
PB
=
PC
,连接
AC
、
PD
.
(1)求证:△
APB
≌
△
DPC
;
解:∵四边形
ABCD
是正方形,
∴∠
ABC
=∠
DCB
=90°.
∵
PB
=
PC
,
∴∠
PBC
=∠
PCB
.
∴∠
ABC
-∠
PBC
=∠
DCB
-∠
PCB
,
即∠
ABP
=∠
DCP
.
又∵
AB
=
DC
,
PB
=
PC
,
∴△
APB
≌
△
DPC
.
证明:∵四边形
ABCD
是正方形,
∴∠
BAC
=∠
DAC
=45°.
∵△
APB
≌
△
DPC
,
∴
AP
=
DP
.
又∵
AP
=
AB
=
AD
,
∴
DP
=
AP
=
AD
.
∴△
APD
是等边三角形.
∴∠
DAP
=60°.
∴∠
PAC
=∠
DAP
-∠
DAC
=15°.
∴∠
BAP
=∠
BAC
-∠
PAC
=30°.
∴∠
BAP
=2∠
PAC
.
(2)
求证:
∠
BAP
=2∠
PAC
.
例
4
如图,在正方形
ABCD
中,
P
为
BD
上一点,
PE⊥BC
于
E
,
PF
⊥
DC
于
F
.
试说明:
AP
=
EF
.
A
B
C
D
P
E
F
解
:
连接
PC
,
AC
.
又
∵
PE
⊥
BC
,
PF
⊥
DC
,
∵
四边形
ABCD
是正方形
,
∴∠
FCE
=90°,
AC
垂直平分
BD
,
∴
四边形
PECF
是矩形
,
∴
PC
=
EF
.
∴
AP
=
PC
.
∴
AP
=
EF
.
在正方形的条件下证明两条线段相等:通常连接对角线构造垂直平分的模型,利用垂直平分线性质,角平分线性质,等腰三角形等来说明
.
归纳
1.
正方形具有而矩形不一定具有的性质是
( )
A.
四个角相等
B.
对角线互相垂直平分
C.
对角互补
D.
对角线相等
2.
正方形具有而菱形不一定具有的性质( )
A.
四条边相等
B.
对角线互相垂直平分
C.
对角线平分一组对角
D.
对角线相等
B
D
练一练
2.
如图,四边形
ABCD
是正方形,对角线
AC
与
BD
相交于点
O
,
AO
=
2
,求正方形的周长与面积.
解:
∵
四边形
ABCD
是正方形,
∴
AC
⊥
BD
,
OA
=
OD
=
2.
在
Rt△
AOD
中,由勾股定理,得
∴
正方形的周长为
4
AD
= ,
面积为
AD
2
=
8.
2.
一个正方形的对角线长为2cm,则它的面积是
( )
A
.
2cm
2
B
.
4cm
2
C
.
6cm
2
D
.
8cm
2
A
1.
平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( )
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直且相等
A
当堂练习
3
.在正方形
ABC
中
,
∠
ADB
=
,
∠
DAC
=
,
∠
BOC
=
.
4.
在正方形
ABCD
中,
E
是对角线
AC
上一点,且
AE=AB
,则∠
EBC
的度数是
.
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第
3
题图
第
4
题图
45°
5.
如图,正方形
ABCD
的边长为
1cm
,
AC
为对角线,
AE
平分
∠
BAC
,
EF
⊥
AC
,求
BE
的长.
解:
∵
四边形
ABCD
为正方形,
∴∠
B
=
90°
,
∠
ACB
=
45°
,
AB
=
BC
=
1cm.
∵
EF
⊥
AC
,
∴∠
EFA
=
∠
EFC
=
90°.
又
∵∠
ECF
=
45°
,
∴△
EFC
是等腰直角三角形,
∴
EF
=
FC
.
∵∠
BAE
=
∠
FAE
,
∠
B
=
∠
EFA
=
90°
,
AE
=
AE
,
∴△
ABE
≌
△
AFE
,
∴
AB
=
AF
=
1cm
,
BE
=
EF
.
∴
FC
=
BE
.
在
Rt△
ABC
中,
∴
FC
=
AC
-
AF
=
(
-
1)cm
,
∴
BE
=
(
-
1)cm
.
课堂小结
1.
四个角都是直角
2.
四条边都相等
3.
对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
.
1.3
正方形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第
2
课时 正方形的判定
学习目标
1
.
探索并证明正方形的判定,并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别;
(
重点、难点
)
2
.
会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算
.
(
难点
)
问题
1
什么是正方形?正方形有哪些性质?
A
B
C
D
正方形:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形
.
正方形性质:
①
四个角都是直角
;
②四条边都相等
;
③
对角线相等且互相垂直平分
.
O
导入新课
复习引入
问题
2
你是
如何判断是矩形、菱形?
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
思考
怎样判定一个四边形是正方形呢?
讲授新课
正方形的判定
活动
1
准备一张矩形的纸片,按照下图折叠
,
然后展开,折叠部分得到一个正方形,可量一量验证验证
.
正方形
猜想
满足怎样条件的矩形是正方形?
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
已知:如图
,
在矩形
ABCD
中
,
AC
,
DB
是它的两条对角线
,
AC
⊥
DB
.
求证:四边形
ABCD
是正方形
.
证明:∵四边形
ABCD
是矩形
,
∴
AO
=
CO
=
BO
=
DO
,
∠
ADC
=90
°
.
∵
AC
⊥
DB
,
∴
AD
=
AB
=
BC
=
CD
,
∴四边形
ABCD
是正方形
.
证一证
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形
.
活动
2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角,观察这时菱形框架的形状
.
量量看是不是正方形
.
正方形
菱形
猜想
满足怎样条件的菱形是正方形?
正方形
一个角是直角
对角线相等
已知:如图
,
在菱形
ABCD
中
,
AC
,
DB
是它的两条对角线
,
AC
=
DB
.
求证:四边形
ABCD
是正方形
.
证明:∵
四边形
ABCD
是菱形
,
∴
AB
=
BC
=
CD
=
AD
,
AC
⊥
DB
.
∵
AC
=
DB
,
∴
AO
=
BO
=
CO
=
DO
,
∴△
AOD
,
△
AOB
,
△
COD
,
△
BOC
是等腰直角三角形,
∴∠
DAB
=∠
ABC
=∠
BCD
=∠
A
D
C
=90
°
,
∴四边形
ABCD
是正方形
.
证一证
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形
.
正方形判定的几条途径:
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件
(
二选一
)
菱形条件
(
二选一
)
一个直角,
一组邻边相等,
总结归纳
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
在四边形
ABCD
中,
O
是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是( )
A
.
AC
=
BD
,
AB∥CD
,
AB
=
CD
B
.
AD∥BC
,∠
A
=∠
C
C
.
AO
=
BO
=
CO
=
DO
,
AC
⊥
BD
D
.
AO
=
CO
,
BO
=
DO
,
AB
=
BC
练一练
C
A
B
C
D
O
例
1
在正方形
ABCD
中,点
E
、
F
、
M
、
N
分别在各边上,且
AE
=
BF
=
CM
=
DN
.四边形
EFMN
是正方形吗
?
为什么
?
证明:∵四边形
ABCD
是正方形,
∴
AB
=
BC
=
CD
=
DA
,
∠
A
=∠
B
=∠
C
=∠
D
=90
°
.
∵
AE
=
BF
=
CM
=
DN
,
∴
AN
=
BE
=
CF
=
DM
.
分析:由已知可证
△
AEN
≌
△
BFE
≌
△
CMF
≌
△
DNM
,得四边形
EFMN
是菱形,再证有一个角是直角即可
.
典例精析
在△
AEN
、△
BFE
、△
CMF
、△
DNM
中,
AE
=
BF
=
CM
=
DN
,
∠
A
=∠
B
=∠
C
=∠
D
,
AN
=
BE
=
CF
=
DM
,
∴△
AEN
≌
△
BFE
≌
△
CMF
≌
△
DNM
,
∴
EN
=
FE
=
MF
=
NM
,
∠
ANE
=∠
BEF
,
∴
四边形
EFMN
是菱形
,
∠
NEF
=180°
-
(∠
AEN
+∠
BEF
)
=180°
-
(∠
AEN
+∠
ANE
)
=180°
-
90°=90°.
∴
四边形
EFMN
是正方形
.
例
2
:
如图
,
在矩形
ABCD
中
,
BE
平分
∠
ABC
,
CE
平分
∠
DCB
,
BF
∥
CE
,
CF
∥
BE
.
求证:四边形
BECF
是正方形
.
F
A
B
E
C
D
解析:
先由两组平行线得出四边形
BECF
平行四边形;再由一个直角,得出是矩形;最后由一组邻边相等可得正方形;
45°
45°
F
A
B
E
C
D
证明
:
∵
BF
∥
CE
,
CF
∥
BE
,
∴四边形
BECF
是平行四边形
.
∵四边形
ABCD
是矩形
,
∴ ∠
ABC
= 90°
,
∠
DCB
= 90°
,
∵
BE
平分∠
ABC
,
CE
平分∠
DCB
,
∴∠
EBC
= 45°
,
∠
ECB
= 45°
,
∴ ∠
EBC
=
∠
ECB
.
∴
EB
=
EC
,
∴
□
BECF
是菱形
.
在
△
EBC
中
∵ ∠
EBC
= 45
°
,
∠
ECB
= 45°
,
∴∠
BEC
= 90°
,
∴菱形
BECF
是正方形
.
证明:
∵
DE
⊥
AC
,
DF
⊥
AB
,
∴∠
DEC
= ∠
DFC
=90°
.
又∵ ∠
C
=90 °
,
∴
四边形
ADFC
是矩形
.
过点
D
作
DG
⊥
AB
,垂足为
G
.
∵
AD
是∠
CAB
的平分线
DE
⊥
AC
,
DG
⊥
AB
,
∴
DE
=
DG
.
同理得
DG
=
DF
,
∴
ED
=
DF
,
∴四边形
ADFC
是正方形
.
例
3
如图,在直角三角形中,∠
C
=90°
,∠
A
、∠
B
的平分线交于点
D
.
DE
⊥
AC
,
DF
⊥
AB
.
求证
:
四边形
CEDF
为正方形
.
A
B
C
D
E
F
G
例
4
如图,
EG
,
FH
过正方形
ABCD
的对角线的交点
O
,
且
EG
⊥
FH
.
求证:四边形
EFGH
是正方形
.
证明:∵四边形
ABCD
为正方形
,
∴
OB
=
OC
,
∠
ABO=
∠
BCO
=45°
,
∠
BOC
=90°=∠
COH
+∠
BOH
.
∵
EG
⊥
FH
,
∴∠
BOE
+∠
BOH
=90°
,
∴∠
COH=
∠
BOE
,
∴
△
CHO
≌
△
BEO
,
∴
OE
=
OH
.
同理可证:
OE
=
OF
=
OG
,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
∴
OE=OF=OG=OH
.
又∵
EG
⊥
FH
,
∴四边形
EFGH
为菱形
.
∵
EO
+
GO
=
FO
+
HO
,
即
EG
=
HF
,
∴四边形
EFGH
为正方形
.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
例
5
如图,正方形
ABCD
,动点
E
在
AC
上,
AF
⊥
AC
,垂足为
A
,
AF
=
AE
.
(1)求证:
BF
=
DE
;
(2)当点
E
运动到
AC
中点时
(
其他条件都保持不变
)
,
问四边形
AFBE
是什么特殊四边形?说明理由.
(1)证明:∵正方形
ABCD
,
∴
AB
=
AD
,∠
BAD
=90°,
∵
AF
⊥
AC
,∴∠
EAF
=90°,
∴∠
BAF
=∠
EAD
,
在△
ADE
和△
ABF
中,
AD
=
AB
,∠
DAE
=∠
BAF
,
AE
=
AF
,
∴△
ADE
≌
△
ABF
(SAS),∴
BF
=
DE
;
(2)解:当点E运动到
AC
的中点时四边形
AFBE
是正方形,
理由:∵点
E
运动到
AC
的中点,
AB
=
BC
,
∴
BE
⊥
AC
,
BE
=
AE
=
AC
,
∵
AF
=
AE
,
∴
BE
=
AF
=
AE
.
又∵
BE
⊥
AC
,∠
FAE
=∠
BEC
=90°,
∴
BE
∥
AF
,
∵
BE
=
AF
,
∴得平行四边形
AFBE
,
∵∠
FAE
=90°,
AF
=
AE
,
∴四边形
AFBE
是正方形.
思考
前面学菱形时我们探究了
顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
.
顺次连接矩形各边中点能得到菱形,那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形?
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
当堂练习
1.
下列命题正确的是( )
A.
四个角都相等的四边形是正方形
B.
四条边都相等的四边形是正方形
C.
对角线相等的平行四边形是正方形
D.
对角线互相垂直的矩形是正方形
D
2.
如图,已知四边形
ABCD
是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A.当
AB
=
BC
时,四边形
ABCD
是菱形
B.当
AC
⊥
BD
时,四边形
ABCD
是菱形
C.当∠
ABC
=90°时,四边形
ABCD
是矩形
D.当
AC
=
BD
时,四边形
ABCD
是正方形
D
3.
如图,四边形
ABCD
中,∠
ABC
=∠
BCD
=∠
CDA
=90°,请添加一个条件
____________________
,可得出该四边形是正方形.
AB
=
BC
(
答案不唯一
)
A
B
C
D
O
4.
已知四边形
ABCD
是平行四边形,再从①
AB
=
BC
,②∠
ABC
=90°,③
AC
=
BD
,④
AC
⊥
BD
四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形
ABCD
是正方形,其中错误的是
_________________
(只填写序号).
②③或①④
5.
如图,在四边形
ABCD
中
,
AB
=
BC
,
对角线
BD
平分
ABC
,
P
是
BD
上一点
,
过点
P
作
PM
AD
,
PN
CD
,
垂足分别为
M
、
N
.
(1)
求证:
ADB
=
CDB
;
(2)
若
ADC
=90
,
求证:四边形
MPND
是正方形
.
C
A
B
D
P
M
N
证明:(
1
)∵
AB = BC
,
BD
平分∠
ABC
.
∴∠1=∠2.
∴△
ABD
≌
△
CBD
(SAS).
∴∠
ADB=
∠
CDB
.
1
2
C
A
B
D
P
M
N
(
2
)∵∠
ADC
=90°;
又∵
PM
⊥
AD
,
PN
⊥
CD
;
∴∠
PMD
=∠
PND
=90°.
∴四边形
NPMD
是矩形
.
∵∠
ADB
=∠
CDB
;
∴∠
ADB
=∠
CDB
=45°.
∴∠
MPD
=∠
NPD
=45°.
∴
DM
=
PM,DN
=
PN
.
∴
四边形
NPMD
是正方形
.
6.
如图,△
ABC
中,
D
是
BC
上任意一点,
DE
∥
AC
,
DF
∥
AB
.
①试说明四边形
AEDF
的形状,并说明理由.
②连接
AD
,当
AD
满足什么条件时,四边形
AEDF
为菱形,为什么?
解:①∵
DE
∥
AC
,
DF
∥
AB
,
∴四边形
AEDF
为平行四边形
.
②∵四边形
AEDF
为菱形,
∴
AD
平分∠
BAC
,
则
AD
平分∠
BAC
时,四边形
AEDF
为菱形
.
③在②的条件下,当△
ABC
满足什么条件时,四边形
AEDF
为正方形,不说明理由.
解:由四边形
AEDF
为正方形
∴∠
BAC
=90°,
∴△
ABC
是以
BC
为斜边的直角三角形即可.
课堂小结
5
种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
小结与复习
第一章 特殊平行四边形
项目
四边形
对边
角
对角线
平行且相等
平行
且四边相等
平行
且四边相等
四个角
都是直角
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
互相平分且相等
互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角
互相垂直且平分,每一条对角线平分一组对角
一、菱形、
矩形、
正方形的性质
要点梳理
四边形
条件
①
定义:有一外角是直角的平行四边形
②
三个角是直角的四边形
③
对角线相等的平行四边形
①
定义:一组邻边相等的平行四边形
②
四条边都相等的四边形
③
对角线互相垂直的平行四边形
①
定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
②
有一组邻边相等的矩形
③
有一个角是直角的菱形
二、菱形、
矩形、
正方形的判定方法
例
1
:
如图,在菱形
ABCD
中,对角线
AC
与
BD
相交于点
O
,
∠
BAD
=60°
,
BD =
6
,
求菱形的边长
AB
和对角线
AC
的长
.
解:∵四边形
ABCD
是菱形,
∴
AC
⊥
BD
(菱形的对角线互相垂直)
OB
=
OD
=
BD =
×6=3
(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形
ABC
中,
∵∠
BAD
=60°,
∴△
ABD
是等边三角形.
∴
AB
=
BD
= 6.
A
B
C
O
D
考点一 菱形的性质和判定
考点讲练
证明:在
△
AOB
中
.
∵
AB
=
,
OA
=2,
OB
=1
.
∴
AB
2
=
AO
2
+
OB
2
.
∴
△
AOB
是直角三角形
,
∠
AOB
是直角
.
∴
AC
⊥
BD
.
∴
□
ABCD
是菱形
(
对角线垂直的平行四边形是菱形
)
.
1.
已知:如右图
,
在
□
ABCD
中
,
对角线
AC
与
BD
相交于点
O
,
AB
=
,
OA
=2,
OB
=1.
求证:
□
ABCD
是菱形
.
A
B
C
O
D
针对训练
2.
如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,猜想重叠部分的四边形
ABCD
是什么形状?说说你的理由
.
A
B
C
D
E
F
解:四边形
ABCD
是菱形
.
过点
C
作
AB
边的垂线交点
E
,
作
AD
边上的垂线交点
F
.
S
四边形
ABCD
=
AD
·
CF
=
AB
·
CE
.
由题意可知
CE
=
CF
且 四边形
ABCD
是平行四边形
.
∴
AD
=
AB
.
∴
四边形
ABCD
是菱形
.
例
2
:
如图
,
在矩形
ABCD
中
,
两条对角线相交于点
O
,
∠
AOD
=
120°
,
AB
=
2.5
,
求矩形对角线的长
.
解:∵四边形
ABCD
是矩形
.
∴
AC
=
BD
(
矩形的对角线相等
)
.
OA
=
OC
=
AC
,
OB
=
OD
=
BD
,
(
矩形对角线相互平分
)
∴
OA
=
OD
.
A
B
C
D
O
考点二 矩形的性质和判定
A
B
C
D
O
∵
∠
AOD
=120°
,
∴
∠
ODA
=
∠
OAD
= (180°
-
120°)=30°.
又∵
∠
DAB
=90°
,
(矩形的四个角都是直角)
∴
BD
=
2
AB
=
2
×
2.5 = 5.
例
3
如图,在矩形
ABCD
中,对角线
AC
与
BD
相交于点
O
,过点
A
作
AE∥BD
,过点D作
ED∥AC
,两线相交于点
E
.
求证:四边形
AODE
是菱形;
证明:∵
AE∥BD
,
ED∥AC
,
∴四边形
AODE
是平行四边形.
∵四边形
ABCD
是矩形,
∴
AC
=
BD
,
OA
=
OC
=
AC
,
OB
=
OD
=
BD
,
∴
OA
=
OC
=
OD
,
∴四边形
AODE
是菱形.
【变式题】
如图,
O
是菱形
ABCD
对角线的交点,作
B
E∥AC
,
CE∥BD
,
B
E
、
CE
交于点
E
,四边形
CEBO
是矩形吗?说出你的理由
.
D
A
B
C
E
O
解:四边形
CEBO
是矩形
.
理由如下:已知四边形
ABCD
是菱形
.
∴
AC
⊥
BD
.
∴∠
BOC
=90°.
∵
B
E∥AC
,
CE
∥
BD
,
∴
四边形
CEBO
是平行四边形
.
∴四边形
CEBO
是矩形
.
3.
如图
,
在
□
ABCD
中
,
对角线
AC
与
BD
相交于点
O
,
△
ABO
是等边三角形
,
AB
=4
,
求
□
ABCD
的面积
.
解:∵四边形
ABCD
是平行四边形
,
∴
OA
=
OC
,
OB
=
OD
.
又∵
△
ABO
是等边三角形
,
∴
OA
=
OB
=
AB
= 4
,
∠
BAC
=60°.
∴
AC
=
BD
= 2
OA
= 2×4 = 8.
A
B
C
D
O
针对训练
∴
□ABCD
是矩形
(
对角线相等的平行四边形是矩形
)
.
∴∠
ABC
=90°
(矩形的四个角都是直角)
.
在
Rt
△
ABC
中
,
由勾股定理
,
得
AB
2
+
BC
2
=
AC
2
,
∴
BC
= .
∴
S
□ABCD
=
AB
·
BC
=
4× =
A
B
C
D
O
4.
如图,
O
是菱形
ABCD
对角线的交点,作
B
E
∥
AC
,
CE
∥
BD
,
B
E
、
CE
交于点
E
,四边形
CEBO
是矩形吗?说出你的理由
.
D
A
B
C
E
O
解:四边形
CEBO
是矩形
.
理由如下:已知四边形
ABCD
是菱形
.
∴
AC
⊥
BD
.
∴∠
BOC
=90°.
∵
DE∥AC
,
CE
∥
BD
,
∴
四边形
CEBO
是平行四边形
.
∴四边形
CEBO
是矩形
(有一个角是直角
的平行四边形是矩形
)
.
例
4
如图,已知在四边形
ABFC
中,
∠
ACB
=
90°
,
BC
的垂直平分线
EF
交
BC
于点
D
,交
AB
于点
E
,且
CF
=
AE
;
(1)
试判断四边形
BECF
是什么四边形?并说明理由;
(2)
当
∠
A
的大小满足什么条件时,四边形
BECF
是正方形?请回答并证明你的结论.
解:
(1)
四边形
BECF
是菱形.
理由如下:
∵
EF
垂直平分
BC
,
∴
BF
=
FC
,
BE
=
EC
,
∴∠3
=
∠1.
∵∠
ACB
=
90°
,
∴∠3
+
∠4
=
90°
,
∠1
+
∠2
=
90°,∴∠2
=
∠4
,
考点三 正方形的性质和判定
∴
EC
=
AE
,
∴
BE
=
AE
.
∵
CF
=
AE
,
∴
BE
=
EC
=
CF
=
BF
,
∴
四边形
BECF
是菱形;
(2)
当
∠
A
=
45°
时,菱形
BECF
是正方形.
证明如下:
∵∠
A
=
45°
,
∠
ACB
=
90°
,
∴∠
CBA
=
45°
,
∴∠
EBF
=
2∠
CBA
=
90°
,
∴
菱形
BECF
是正方形.
方法总结
正方形的判定方法:①先判定四边形是矩形,再判定这个矩形有一组邻边相等;②先判定四边形是菱形,再判定这个矩形有一个角为直角;③还可以先判定四边形是平行四边形,再用①或②进行判定.
例
5
如图,
△
ABC
中,点
O
是
AC
上的一动点,过点
O
作直线
MN
∥
BC
,设
MN
交
∠
BCA
的平分线于点
E
,交
∠
BCA
的外角
∠
ACG
的平分线于点
F
,连接
AE
、
AF
.
(1)
求证:
∠
ECF
=
90°
;
(2)当点
O
运动到何处时,四边形
AECF
是矩形?请
说明理由;
(1)
证明:
∵
CE
平分
∠
BCO
,
CF
平分
∠
GCO
,
∴∠
OCE
=
∠
BCE
,
∠
OCF
=
∠
GCF
,
∴∠
ECF
=
×180°
=
90°.
(2)
解:当点
O
运动到
AC
的中点时,四边形
AECF
是矩形.理由如下:
∵
MN
∥
BC
,
∴∠
OEC
=
∠
BCE
,
∠
OFC
=
∠
GCF
.
又
∵
CE
平分
∠
BCO
,
CF
平分
∠
GCO
,
∴∠
OCE
=
∠
BCE
,
∠
OCF
=
∠
GCF
,
∴∠
OCE
=
∠
OEC
,
∠
OCF
=
∠
OFC
,
∴
EO
=
CO
,
FO
=
CO
,
∴
OE
=
OF
.
又
∵
当点
O
运动到
AC
的中点时,
AO
=
CO
,
∴
四边形
AECF
是平行四边形
.
∵∠
ECF
=
90°
,
∴
四边形
AECF
是矩形
.
解:当点
O
运动到
AC
的中点时,
且满足
∠
ACB
为直角时,四边形
AECF
是正方形.
∵
由
(2)
知当点
O
运动到
AC
的中点时,四边形
AECF
是矩形,
已知
MN
∥
BC
,
当
∠
ACB
=
90°
,
则
∠
AOF
=
∠
COE
=
∠
COF
=
∠
AOE
=
90°
,
即
AC
⊥
EF
,
∴
四边形
AECF
是正方形.
(3)在(2)的条件下,△
ABC
应该满足
什么
条件时,
四边形
AECF
为正方形.
针对训练
5.
如图,两个含有30°角的完全相同的三角板
ABC
和
DEF
沿直线
FC
滑动,下列说法错误的是( )
A.四边形
ACDF
是平行四边形
B.当点
E
为
BC
中点时,四边形
ACDF
是矩形
C.当点
B
与点
E
重合时,四边形
ACDF
是菱形
D.四边形
ACDF
不可能是正方形
B
6.
如图,在菱形
ABCD
中,对角线
AC
=6,
BD
=10,则菱形
ABCD
的面积为
______
.
30
A
B
C
O
D
7.
如图,四边形
ABCD
是边长为
2
的正方形,点
G
是
BC
延长线上一点,连接
AG
,点
E
、
F
分别在
AG
上,连接
BE
、
DF
,∠
1
=∠
2
,∠
3
=∠
4.
(1)
证明:△
ABE
≌
△
DAF
;
(2)
若∠
AGB
=
30°
,求
EF
的长.
(1)证明:∵四边形
ABCD
是正方形,
∴
AB
=
AD
.
在△
ABE
和△
DAF
中,
∴△
ABE
≌
△
DAF
.
(2) 解:∵四边形
ABCD
是正方形,
∴∠1+∠4=90°
.
∵∠3=∠4,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠
AFD
=90°.
在正方形
ABCD
中,
AD
∥
BC
,
∴∠1=∠
AGB
=30°.
在Rt△
ADF
中,∠
AFD
=90°,
AD
=2,
∴
AF
= ,
DF
=1.
由(1)得△
ABE
≌
△
DAF
,
∴
AE
=
DF
=1,
∴
EF
=
AF
-
AE
= -1.
两组对边平行
一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
一个角是直角
一个角是直角且一组邻边相等
课堂小结
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