2013年广东省湛江市中考数学试题（含答案） 9页

湛江市2013年初中毕业生学业考试 数学试卷 说明：1．本试卷满分150分，考试时间90分钟．‎ ‎2．本试卷共4页，共3大题．‎ ‎3．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”，然后按要求写在答题卡相应的位置上．‎ ‎4．请考生保持答题卡的整洁，考试结束，将试卷和答题卡一并交回．‎ 注意：在答题卡上作图必须用黑色字迹的钢笔或签字笔.‎ 一、 选择题：本大题12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 下列各数中，最小的数是（ ）‎ ‎ 1 ‎ 解析：主要考查学生对有理数相关概念的理解，由正数负数可知，其中的负数最小，选 ‎2. 国家提倡“低碳减排”，湛江某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为度，若将数据用科学记数法表示为（ ）‎ ‎ ‎ 解析：本题要求学生掌握科学记数法的表示方法，即数用科学记数法表示为：‎ ‎，选 ‎3. 气候宜人的省级度假旅游胜地吴川吉兆，测得一至五月份的平均气温分别为17、17、20、22、24（单位：），这组数据的中位数是（ ）‎ ‎ ‎ 解析：考点是中位数，即在一组按从小到大或从大到小的顺序排列的数据中，若这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数是这组数据的中位数；若这组数据的个数是偶数，则处于中间位置的两个数的平均是这组数据的中位数；本组数据共5个，且已经按小到大的顺序排列，那么第3个数据就是中位数，选 ‎4、如下左图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）‎ 解析：如果学生对正视图（从前往后看）、左视图（从左向右看）、俯视图（从上往下看）这些概念比较清楚，很容易选 ‎5、已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）‎ ‎ 四边形 五边形 六边形 七边形 解析：本题主要考查边形的内角和公式：，由，得 ‎，选，本题也用到方程的解题思想。‎ ‎6、在平面直角坐标系中，点在第（ ）象限．‎ ‎ 一 二 三 四 解析：在平面直角坐标系中，点的横纵坐标共同决定点所在的象限，点 分别在第一、二、三、四象限，选 ‎7、下列运算正确的是（ ）‎ ‎ ‎ 解析：本题考查到的公式：1、幂指数运算：‎ ‎2、完全平方和公式：，选 ‎8、函数中，自变量的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ 解析：函数中含二次根式的部分，要求其被开方数是非负数，即，选 ‎9、计算的结果是（ ）‎ ‎ ‎ 解析：考查的知识点是分式的简单运算：同分母相减，分母不变，分子相减；同时注意过程中适当灵活的“变形”， ，选 ‎10、由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次下降售价下调到每斤是5元，下列所列方程中正确的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ 　 ‎ 解析：考查一元二次方程的实际应用，由原来每斤12元，第一次下降 售价为：，再下降售价为：，‎ ‎，选 ‎11、如图，是⊙的直径，， 则（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解析：考查圆心角与圆周角的关系及邻补角的和为，‎ ‎，选 ‎12、四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率为（ ）‎ ‎ ‎ 解析：主要考查轴对称图形的判断和概率知识，以上四个图形中是轴对称图形的有等腰梯形和圆两个，所以概率应该是二分之一，选，考生容易错误认为平行四边形也是轴对称图形，错选了 一、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎13、分解因式： ．‎ 解析：考查分解因式的公式法，用平方差公式：，‎ ‎14、抛物线的最小值是 ．‎ 解析：主要考查学生对一些常见的数学结论的掌握，即，的最小值为1‎ ‎15、若反比例函数的图象经过点，则 ．‎ 解析：考查学生对反比例函数概念及解析式的理解和掌握，‎ 将点代入，得 ‎ ‎16、如图，所有正三角形的一边平行于轴，一顶点在轴 上．从内到外，它们的边长依次为，顶点依次用 表示，其中与轴、底边与、‎ 与、均相距一个单位，则顶点的坐标是 ，‎ 的坐标是 ．‎ 解析：考查正三角形的相关知识及找规律的能力。由图知，的纵坐标为：‎ ‎，，而的横坐标为：，由题意知，的纵坐标为，，容易发现、、、、、这些点在第四象限，横纵坐标互为相反数， 、、、、、的下标2、5、7、、92、有规律：，是第31个正三角形（从里往外）的右端点，‎ 三、解答题：本大题共10小题，其中17~18每小题6分，19~22每小题8分，23~25每小题10分，26题12分，共86分．‎ ‎17、计算：．. ‎ 解：原式 ‎①‎ ‎②‎ ‎①‎ ‎18、解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来．‎ 解：由①，得 ‎ 由②，得 ‎ 不等式①、②的解集在数轴上表示为：‎ 不等式组的解集为：‎ ‎19、如图，点在一条直线上，，‎ 求证：．‎ 证明：‎ ‎,‎ ‎△≌△‎ ‎20、把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅均，再从中各随机抽取一张．‎ ‎（１）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率．‎ ‎（２）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．‎ 解：（１）从6张卡片分两组，从中各随机抽取一张，各种情况画树状图如下：‎ 两张卡片的数字之和：‎ 从树状图可见，取出的两张卡片数字之和共9种情况，其中数字之和为奇数只有4种，所以取出的两张卡片数字之和为奇数的概率为：‎ ‎（２）由（１）的树状图可知，取出的两张卡片数字之和为偶数有5种情况，从而乙胜的概率为：，而甲胜的概率是，所以两者概率不相等，故这个游戏不公平。‎ ‎21、如图，我国渔政船在钓鱼岛海域处测得钓鱼岛在渔政船的北 偏西的方向上，随后渔政船以80海里小时的速度向北偏东 ‎ 的方向航行，半小时后到达处，此时又测得钓鱼岛在渔政船 的北偏西的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛的距离．‎ ‎（结果保留小数点后一位，）‎ 解：延长至，则，‎ ‎，‎ 在△中，，，‎ 答：此时渔政船距钓鱼岛的距离约为：海里 ‎22、2013年3月28日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：‎ ‎（１）这次抽取了　200　名学生的竞赛成绩进行统计，其中：　70　，　0.12　；‎ ‎（２）补全频数分布直方图；‎ ‎（３）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？‎ 解：（１），，‎ ‎（２）由（１）知，70，图略.‎ ‎（３） 答：该校安全意识不强的学生约有420人 ‎23、如图，已知是⊙O的直径，为⊙O外一点，且， .‎ ‎．‎ ‎（１）求证：为⊙O 的切线；‎ ‎（２）若，求的长．‎ 解：（１） 是⊙O的直径，‎ ‎，又 ‎△∽△， ，为⊙O 的切线。‎ ‎（２），由（１）知，△∽△，‎ ‎，在△中，，‎ 的长为8。‎ ‎24、阅读下面的材料，先完成阅读填空，再将要求答题：‎ ‎，则 ； ① ‎ ‎，则 ； ② ‎ ‎，则 ． ③‎ ‎……‎ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有 1 ．④‎ ‎（１）如图，在锐角三角形中，利用三角函数的定义及勾股定理 对证明你的猜想；‎ ‎（２）已知：为锐角且，求．‎ ‎（１）证明：过点作于，在△中，，‎ 由勾股定理得，，‎ ‎（２）解：为锐角，，‎ ‎25、周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发 ‎1小时后到达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前 往湖光岩．小明离家１小时50分钟，妈妈驾车沿相同 路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程与小明离 家时间的函数图象．‎ ‎（１）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；‎ ‎（２）若妈妈在出发后分钟时，刚好在湖光岩门口追上 小明，求妈妈驾车的速度及所在直线的函数解析式．‎ 解：（１）由图象知，小明1小时骑车20，所以小明骑车的速度为：‎ ‎ 图象中线段表明小明游玩的时间段，所以小明在南亚所游玩的时间为： ‎ ‎ （２）由题意和图象得，小明从南亚所出发到湖光岩门口所用的时间为：‎ ‎ ，所以从南亚所出发到湖光岩门口的路程为： ‎ 于是从家到湖光岩门口的路程为：，故妈妈驾车的速度为：‎ ‎ 设所在直线的函数解析式为：‎ 由题意知，点 解得， ‎ 所在直线的函数解析式为：‎ ‎26、如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交 ‎ 轴与点，交轴与两点（点在点的左侧），‎ 已知点坐标为．‎ ‎（１）求此抛物线的解析式；‎ ‎（２）过点作线段的垂线交抛物线与点，如果以 点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的 对称轴与⊙的位置关系，并给出证明．‎ ‎（３）在抛物线上是否存在一点，使是以为 直角边的直角三角形．若存在，求点的坐标；‎ 若不存在，请说明理由．‎ 解：（１）由题意可设此抛物线的解析式为：‎ 此抛物线过点 ，‎ 此抛物线的解析式为：，即 ‎（２）此时抛物线的对称轴与⊙相离。证明：‎ 令，即，得或，‎ 设直线的解析式为：，则，‎ 直线与直线垂直，直线可表示为：，‎ ‎，，直线为：‎ 点到直线的距离为：‎ 点为圆心的圆与直线相切，⊙的半径为：‎ 又点到抛物线对称轴的距离为： 而，。所以此时抛物线的对称轴与⊙相离。‎ ‎（３）假设存在满足条件的点，，‎ ‎，‎ ① 当时，在中，由勾股定理，得 ‎ ‎，整理，得 点在抛物线上，，‎ ‎，解得或，或 ‎ 点为或（舍去）‎ ② 当时，在中，由勾股定理，得 ‎ ‎，整理，得 点在抛物线上，，‎ ‎，解得或，或 ‎ 点为或（舍去）‎ 综上，满足条件的点的坐标为或 以上的答案供大家参考，各题可能有不同的解法，希望大家再探究。‎