2021年中考数学专题复习 专题38 反比例函数问题（学生版） 11页

专题 38 反比例函数 1．反比例函数：形如 y＝ x k (k 为常数，k≠0)的函数称为反比例函数。其他形式 xy=k、 1 kxy 。 2．图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对 称轴：直线 y=x 和 y=-x。对称中心是：原点。它的图像与 x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无 限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3．性质:(1)当 k＞0 时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小； (2)当 k＜0 时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而增大。 4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 5．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数 x ky  中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标， 即可求出 k 的值，从而确定其解析式。 【例题 1】(2020•德州)函数 y 和 y＝﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( ) A． B． C． D． 【对点练习】(2019 广西贺州)已知 0ab  ，一次函数 y ax b  与反比例函数 ay x  在同一直角坐标系中的图 象可能 ( ) 【例题 2】(2020•天津)若点 A(x1，﹣5)，B(x2，2)，C(x3，5)都在反比例函数 y 的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是( ) A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x3＜x1 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x1＜x2 【对点练习】(2020 湖北黄石模拟)已知反比例函数 by x  ( b 为常数)，当 x 0 时， y 随 x 的增大 而增大，则一次函数 y x b  的图像不经过第几象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【例题 3】(2020 贵州黔西南)如图，在菱形 ABOC 中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y＝ k x (k≠0)的图象上，则反比例函数的解析式为( ) A. y＝ 3 3 x  B. y＝ 3 x  C. y＝ 3 x  D. y＝ 3 x 【对点练习】(2020 湖北荆门模拟)如图，点 A 是反比例函数 2y= x (x＞0)的图象上任意一点，AB∥x 轴交反比 例函数 3y= x  的图象于点 B，以 AB 为边作▱ABCD，其中 C、D 在 x 轴上，则 S□ABCD 为( ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【例题 4】(2020•重庆)如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点与坐标原点重合，点 E 是 x 轴上一点，连接 AE．若 AD 平分∠OAE，反比例函数 y (k＞0，x＞0)的图象经过 AE 上的两点 A，F， 且 AF＝EF，△ABE 的面积为 18，则 k 的值为______。 【对点练习】(2019 湖南郴州)如图，点 A，C 分别是正比例函数 y＝x 的图象与反比例函数 y 的图象的交 点，过 A 点作 AD⊥x 轴于点 D，过 C 点作 CB⊥x 轴于点 B，则四边形 ABCD 的面积为 ． 【例题 5】(2020•甘孜州)如图，一次函数 y x+1 的图象与反比例函数 y 的图象相交于 A(2，m)和 B 两 点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点 B 的坐标． 【对点练习】(2019 吉林省)已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时，y=6, （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x=4 时，求 y 的值 一、选择题 1．(2020•武汉)若点 A(a﹣1，y1)，B(a+1，y2)在反比例函数 y (k＜0)的图象上，且 y1＞y2，则 a 的取值范 围是( ) A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1 或 a＞1 2．(2020•河南)若点 A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数 y 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关 系是( ) A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 3．(2020•苏州)如图，平行四边形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，点 D(3，2)在对角线 OB 上，反比例 函数 y (k＞0，x＞0)的图象经过 C、D 两点．已知平行四边形 OABC 的面积是 ，则点 B 的坐标为( ) A．(4， ) B．( ，3) C．(5， ) D．( ， ) 4.(2020•长沙)2019 年 10 月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花 开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司 承担了运送总量为 106m3 土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 v(单位：m3/天)与完成运送任务 所需时间 t(单位：天)之间的函数关系式是( ) A．v B．v＝106t C．v t2 D．v＝106t2 5. (2019 贵州省毕节市)若点 A(﹣4，y1)、B(﹣2，y2)、C(2，y3)都在反比例函数 y＝﹣ 1 x 的图象上，则 y1、y2、 y3 的大小关系是( ) A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 6.(2019 安徽)已知点 A(1，﹣3)关于 x 轴的对称点 A'在反比例函数 y＝ 的图象上，则实数 k 的值为( ) A．3 B． C．﹣3 D．﹣ 7.(2019 山东枣庄)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A.B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴 上，∠ABC＝90°，CA⊥x 轴，点 C 在函数 y＝ (x＞0)的图象上，若 AB＝1，则 k 的值为( ) A．1 B． C． D．2 8.(2019 四川泸州)如图，一次函数 y1＝ax+b 和反比例函数 y2 的图象相交于 A，B 两点，则使 y1＞y2 成立 的 x 取值范围是( ) A．﹣2＜x＜0 或 0＜x＜4 B．x＜﹣2 或 0＜x＜4 C．x＜﹣2 或 x＞4 D．﹣2＜x＜0 或 x＞4 二、填空题 9．(2020•安顺)如图，点 A 是反比例函数 y 图象上任意一点，过点 A 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足为 B， C，则四边形 OBAC 的面积为 ． 10．(2020•泰州)如图，点 P 在反比例函数 y 的图象上，且横坐标为 1，过点 P 作两条坐标轴的平行线， 与反比例函数 y (k＜0)的图象相交于点 A、B，则直线 AB 与 x 轴所夹锐角的正切值为 ． 11．(2020•哈尔滨)已知反比例函数 y 的图象经过点(﹣3，4)，则 k 的值为 ． 12.(2019 北京市)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A  a b，  0 0a b ， 在双曲线 1ky x  上．点 A 关于 x 轴的 对称点 B 在双曲线 2ky x  上，则 1 2k k 的值为_______. 13.(2019 贵州省毕节市) 如图，在平面直角坐标中，一次函数 y＝﹣4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点．正方形 ABCD 的顶点 C、D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y＝ k x (k≠0)的图象上．若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是 ． 14.(2019 湖北孝感)如图，双曲线 y (x＞0)经过矩形 OABC 的顶点 B，双曲线 y (x＞0)交 AB，BC 于点 E、 F，且与矩形的对角线 OB 交于点 D，连接 EF．若 OD：OB＝2：3，则△BEF 的面积为 ． 三、解答题 15. (2020 湖北宜昌模拟)蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流 I(A)是电阻 R(Ω)的反比例函数，其图象 如图所示． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)当 R=10Ω时，电流能是 4A 吗？为什么？ 16. (2020 湖北咸宁模拟)如图，一次函数 1y kx b  的图象与反比例函数 2 my (x 0)x   的图象交于 A(1，6)， B( a ，2)两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出 1y ≥ 2y 时 x 的取值范围． 17．(2020•襄阳)如图，反比例函数 y1 (x＞0)和一次函数 y2＝kx+b 的图象都经过点 A(1，4)和点 B(n，2)． (1)m＝ ，n＝ ； (2)求一次函数的解析式，并直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围； (3)若点 P 是反比例函数 y1 (x＞0)的图象上一点，过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，则△POM 的面积为 ． 18．(2020•连云港)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y (x＞0)的图象经过点 A(4， )，点 B 在 y 轴的负半轴上，AB 交 x 轴于点 C，C 为线段 AB 的中点． (1)m＝ ，点 C 的坐标为 ； (2)若点 D 为线段 AB 上的一个动点，过点 D 作 DE∥y 轴，交反比例函数图象于点 E，求△ODE 面积的最大 值． 19．(2020•济宁)在△ABC 中，BC 边的长为 x，BC 边上的高为 y，△ABC 的面积为 2． (1)y 关于 x 的函数关系式是 ，x 的取值范围是 ； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象； (3)将直线 y＝﹣x+3 向上平移 a(a＞0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时 a 的值． 20.(2019 年广西柳州市)如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A(1，0)，与 y 轴交于点 B(0，2)，将线段 AB 绕点 A 顺 时针旋转 90°得到线段 AC，反比例函数 y＝ (k≠0，x＞0)的图象经过点 C． (1)求直线 AB 和反比例函数 y＝ (k≠0，x＞0)的解析式； (2)已知点 P 是反比例函数 y＝ (k≠0，x＞0)图象上的一个动点，求点 P 到直线 AB 距离最短时的坐标．