北师大版九年级数学上册【全册】 教学课件 1309页

1 .1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 菱形的性质 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系 . 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点） 导入新课 情景引入 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形，和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让我们一起来学习吧 . 讲授新课 菱形的性质 一 思考 如果从边的角度 , 将平行四边形特殊化 , 内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等 , 这个特殊的平行四边形叫什么呢 ? 平行四边形 菱形 邻边相等 定义： 有一组邻边相等的平行四边形 . 菱形是特殊的平行四边形 . 平行四边形不一定是菱形 . 归纳总结 活动 1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频： 活动 2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕 , 折叠手中 的图形 ( 如图），并回答以下问题 : 问题 1 菱形是轴对称图形吗 ? 如果是 , 指出 它的对称轴 . 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴 . 问题 2 根据上面折叠过程，猜想 菱形的四边在数量上 有什么关系 ? 菱形的两对角线有什么关系 ? 猜想 1 菱形的四条边都相等 . 猜想 2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角 . 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中 ， AB = AD ，对角线 AC 与 B D 相交 于点 O . 求证 :(1 ) AB = BC = CD = AD ； ( 2 ) AC ⊥ BD ； ∠ DAC= ∠ BAC ， ∠ DCA= ∠ BCA ， ∠ ADB= ∠ CDB ， ∠ ABD= ∠ CBD . 证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD ， AD = BC （平行四边形的对边相等）. 又∵ AB = AD , ∴ AB = BC = CD = AD . A B C O D 证一证 （ 2 ）∵ AB = AD, ∴ △ ABD 是等腰三角形 . 又∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OB = OD （平行四边形的对角线互相平分） . 在等腰三角形 ABD 中 , ∵ OB = OD ， ∴ AO ⊥ BD ， AO 平分 ∠ B A D ， 即 AC ⊥ BD ， ∠ DAC= ∠ BAC . 同理可证 ∠ DCA= ∠ BCA ， ∠ ADB= ∠ CDB ， ∠ ABD= ∠ CBD . A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质 . 对称性：是轴对称图形. 边： 四条边都相等 . 对角线： 互相垂直 ，且每 条对角线平分一组对角 . 角：对角相等. 边：对边平行且相等 . 对角线：相互平分 . 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 归纳总结 例 1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， BD ＝ 12cm ， AC ＝ 6cm ，求菱形的周长． 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD ， AO ＝ AC ， BO ＝ BD . ∵ AC ＝ 6cm ， BD ＝ 12cm ， ∴ AO ＝ 3cm ， BO ＝ 6cm. 在 Rt△ ABO 中，由勾股定理得 ∴ 菱形的周长＝ 4 AB ＝ 4×3 ＝ 12 (cm) ． 典例精析 例 2 如图，在菱形 ABCD 中， CE ⊥ AB 于点 E ， CF ⊥ AD 于点 F ，求证： AE ＝ AF . 证明：连接 AC . ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC 平分 ∠ BAD ， 即 ∠ BAC ＝ ∠ DAC . ∵ CE ⊥ AB ， CF ⊥ AD ， ∴∠ AEC ＝ ∠ AFC ＝ 90°. 又 ∵ AC ＝ AC ， ∴△ ACE ≌ △ ACF . ∴ AE ＝ AF . 菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 归纳 例 3 如 图， E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE ， AE 交 BD 于 O ，且 ∠ DAE =2∠ BAE ，求证： OA = EB . A B C D O E 证明： ∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴ AD∥BC ， AD = BA ， ∠ ABC ＝ ∠ ADC ＝ 2∠ ADB ， ∴∠ DAE ＝ ∠ AEB ， ∵ AB = AE ,∴∠ ABC ＝ ∠ AEB ， ∴∠ ABC =∠ DAE ，   ∵∠ DAE ＝ 2∠ BAE ， ∴∠ BAE ＝ ∠ ADB .  又 ∵ AD ＝ BA ， ∴△ AOD ≌ △ BEA ， ∴ AO ＝ BE . 1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知 ∠ A ＝ 60° ， AB ＝ 5 ，则 △ ABD 的周长是 ( 　　 ) A.10 B.12 C.15 D.20 C 练一练 2. 如图，菱形 ABCD 的周长为48cm，对角线 AC 、 BD 相交于 O 点， E 是 AD 的中点，连接 OE ，则线段 OE 的长为 _______. 第 1 题图 第 2 题图 6 cm 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 C 2. 如图，在菱形 ABCD 中， AC =8， BD =6，则△ ABD 的周长等于 （　　） A . 18 B . 16 C . 15 D . 14 当堂练习 B 3. 根据下图 填一填： （1）已知菱形 ABCD 的周长是12cm，那么它的边长 是 ______. （ 2） 在 菱形 ABCD 中， ∠ ABC ＝120 °，则 ∠ BAC ＝ _______. （3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为6cm和8cm， 则菱形的边长是_______. 3cm 30° A B C O D 5cm (4) 菱形的一个内角为 120°, 平分这个内角的对角 线长为 11 cm ，菱形的周长为 ______. 44 cm A B C O D 4. 如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E ． 求证：∠ AFD = ∠ CBE ． 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ CB = CD ， CA 平分∠ BCD ． ∴∠ BCE = ∠ DCE ． 又 CE = CE ， ∴△ BCE ≌ △ DCE （ SAS ）． ∴∠ CBE = ∠ CDE ． ∵在菱形 ABCD 中， AB ∥ CD ， ∴∠ AFD = ∠ EDC . ∴∠ AFD = ∠ CBE ． A D C B F E 课堂小结 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 周长 = 边长的四倍 角 对角线 1. 两组对边平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分 ； 2. 每一条对角线平分一组对角 1.1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 菱形的判定 学习目标 　 1 . 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判 定定理． （重点） 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算 . （难点） 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 复习引入 导入新课 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 根据菱形的定义 , 可得菱形的第一个判定的方法： AB = AD ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 讲授新课 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 一 前面我们用一长一短两根细木条 , 在它们的中点处固定一个小钉 , 做成一个可以转动的十字 , 四周围上一根橡皮筋 , 做成一个平行四边形 . 那么转动木条 , 这个平行四边形什么时候变成菱形 ? 对此你有什么猜想？ 猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 你能证明这一猜想吗？ A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AC ⊥ BD . 求证： □ ABCD 是菱形 . 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ OA = OC . 又 ∵ AC ⊥ BD , ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线 . ∴ BA = BC . ∴四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义） . 证一证 对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 AC ⊥ BD 几何语言描述： ∵ 在 □ABCD 中， AC ⊥ BD , ∴ □ ABCD 是菱形 . A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 例 1 如图， ABCD 的两条对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AB =5 ， AO =4 ， BO =3. 求证： 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D O 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ OA =4, OB =3, AB =5 ， 证明： 即 AC ⊥ BD ， ∴ AB 2 = OA 2 + OB 2 ， ∴ △ AOB 是直角三角形， 典例精析 ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 例 2 如图 , □ ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、 BC 分别交于点 E 、 F , 求证：四边形 AFCE 是菱形． A B C D E F O 1 2 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AE∥FC ， ∴ ∠ 1=∠2 . ∵ EF 垂直 平分 AC ， ∴ AO = OC . 又 ∠ AOE = ∠ COF ， ∴△ AOE ≌ △ COF ， ∴ EO = FO . ∴四边形 AFCE 是平行四边形 . 又∵ EF ⊥ AC ∴ 四边形 AFCE 是菱形 . 练一练 在四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ ABC =90° B． AC ⊥ BD C． AB = CD D． AB ∥ CD B 四条边相等的四边形是菱形 二 小刚： 分别以 A 、 C 为圆心 , 以大于 AC 的长为半径作弧 , 两条 弧分别相交于点 B , D , 依次连接 A 、 B 、 C 、 D 四点 . 已知线段 AC , 你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD , 使 AC 为菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想： 根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想： 四条边相等的四边形 是 菱形 . 证明： ∵ AB = BC = CD = AD ; ∴ AB = CD , BC=AD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . 又 ∵ AB = BC , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D 已知：如图，四边形 ABCD 中 , AB = BC=CD=AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形 . 证一证 四条边都相等 的四边形是菱形 AB = BC=CD=AD 几何语言描述： ∵ 在四边形 ABCD 中， AB = BC=CD=AD ， ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . A B C D 菱形 ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 四 边形 ABCD A B C D 下 列命题中正确的是 （ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 三条边相等的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 四个角相等的四边形是菱形 C 练一练 证明： ∵ ∠ 1= ∠ 2, 又∵ AE = AC , AD = AD , ∴ △ ACD ≌ △ AED (SAS). 同理△ ACF ≌ △ AEF (SAS) . ∴ CD = ED , CF = EF . 又∵ EF = ED ,∴ CD = ED = CF = EF , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 2 例 3 如图 ,在△ ABC 中 , AD 是角平分线 , 点 E 、 F 分别在 AB 、 AD 上 , 且 AE = AC , EF = ED . 求证：四边形 CDEF 是菱形 . A C B E D F 1 典例精析 例 4 如图，在 △ ABC 中， ∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 6cm ， BC ＝ 8cm. 将 △ ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm ，得到 △ DEF ， A ， B ， C 的对应点分别是 D ， E ， F ，连接 AD . 求证：四边形 ACFD 是菱形． 证明：由平移变换的性质得 CF ＝ AD ＝ 10cm ， DF ＝ AC . ∵∠ B ＝ 90° ， AB ＝ 6cm ， BC ＝ 8cm ， ∴ AC ＝ DF ＝ AD ＝ CF ＝ 10cm ， ∴ 四边形 ACFD 是菱形． 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便． 归纳 当堂练习 1. 判断下列说法是否正确 (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形； (2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的 四边形是菱形； (4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组 对角的四边形是菱形． √ ╳ ╳ ╳ 2. 一边长为 5cm 平行四边形的两条对角 线的长分别为 24cm 和 26cm ，那么平行四边形的面积是 . 312cm 2 3.如图，将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DCE ，连接 AD ，下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　 ） A． AB = BC B． AC = BC C．∠ B =60° D．∠ ACB =60° B 解析：∵将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DCE ， ∴ A C ∥D E ， A C = D E ， ∴四边形 AB E D 为平行四边形 . 当 AC = BC 时， 平行四边形 ACED 是菱形． 故选B． 证明： ∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE ， AD = CD ， OA = OC ， ∠ AOD =∠ EOC =90°. ∵ CE∥AB ， ∴∠ DAO =∠ ECO ， ∴△ ADO ≌ △ CEO （ ASA ）． ∴ AD = CE ， OD = OE ， ∵ OD = OE ， OA = OC ， ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形 又 ∵∠ AOD =90° ， ∴ 四边形 ADCE 是菱形． 4. 如图， △ ABC 中， AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 O ， CE∥AB 交 MN 于点 E ，连接 AE 、 CD . 求证：四边形 ADCE 是菱形 . B C A D O E M （1）证明：由尺规作∠ BAF 的平分线的过程可得 AB = AF ，∠ BAE =∠ FAE ， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ，∴∠ FAE =∠ AEB ， ∴∠ BAE =∠ AEB ，∴ AB = BE ， ∴ BE = FA ，∴四边形 ABEF 为平行四边形， ∵ AB = AF ， ∴四边形 ABEF 为菱形； 5. 如图 , 在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠ BAD 的 平分线交 BC 于点 E ，连接 EF ． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2） AE ， BF 相交于点 O ，若 BF =6， AB =5，求 AE 的长． （2） AE ， BF 相交于点 O ，若 BF =6， AB =5，求 AE 的长． 解：∵四边形 ABEF 为菱形， ∴ AE ⊥ BF ， BO = FB =3， AE =2 AO ， 在Rt△ AOB 中，由勾股定理得 AO =4， ∴ AE =2 AO =8． 课堂小结 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 . 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 四边相等的四边形是菱形 . 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 1 .1 菱形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 3 课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合 1. 能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题 , 并掌握菱形面积的求法 .( 重点、难点 ) 2. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程 , 体会 数形结合、转化等思想方法 . 学习目标 1 ．平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 ． 2 ．菱形具有 的一切性质． 3 ．菱形是 图形也是 图形． 4 ．菱形的四条边都 ． 5 ．菱形的两条对角线互相 ． 平行且相等 相等 互相平分 平行四边形 轴对称 中心对称 相等 垂直且平分 复习引入 导入新课 6. 平行四边形的面积 =_________. A B C D F 底 × 高 7. 菱形是特殊的平行四边形，如图菱形 ABCD 的面积 =_________. BC · DF 思考： 你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？ A B C O D 菱形的面积 一 问题 1 菱形是特殊的平行四边形 , 那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形 ABCD 的面积吗 ? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直 , 那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢 ? 能 . 过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E , 则 S 菱形 ABCD = 底×高 = BC · AE . E 讲授新课 问题 2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 交于点 O , 试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积 . A B C D O 解： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD , ∴ S 菱形 ABCD = S △ ABC + S △ ADC = AC · BO + AC · DO = AC ( BO + DO ) = AC · BD . 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底 × 高 = 对角线乘积的一半 例 1 ： 如图 , 四边形 ABCD 是边长为 13cm 的菱形 , 其中对 角线 BD 长 10cm. 求 :(1) 对角线 AC 的长度 ; (2) 菱形 ABCD 的面积 . 解 :(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴∠ AED =90 ° , (2) 菱形 ABCD 的面积 ∴ AC =2 AE =2×12=24(cm). D B C A E 菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半． 归纳 例 2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m ， ∠ ABC ＝ 60 °，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD ，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01m 和 0.1m 2 ） . A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 解： ∵ 花坛 ABCD 是菱形， 【变式题】 如图，在菱形 ABCD 中，∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为1：2，周长是8cm．求： （1）两条对角线的长度； （2）菱形的面积． 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC ， AC ⊥ BD ， AD ∥ BC ， ∴∠ ABC +∠ BAD =180° . ∵∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为1：2， ∴∠ ABC = ×180° = 60°， ∴∠ ABO = ×∠ ABC = 30°，△ ABC 是等边三角形 . ∵菱形 ABCD 的周长是8cm． ∴ AB =2cm， ∴ OA = AB =1cm， AC = AB =2cm， ∴ BD =2 OB = cm； （2） S 菱形 ABCD = AC • BD = ×2× = （cm 2 ）． 菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是 60 °时，菱形被分为以 60 °为顶角的两个等边三角形 . 归纳 练一练 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高 DE 为（　　） A . 2.4cm B . 4.8cm C . 5cm D . 9.6cm B 菱形的判定与性质的综合问题 二 如图两张 不等宽 的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？ 做一做 平行四边形 如图两张 等宽 的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是什么图形？为什么？ 菱形 A C D B 分析： 易知四边形 ABCD 是 平行四边形 ，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可 . 由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等， 然后通过证△ ABE ≌ △ ADF ，即得 AB = AD . E F 例 3 如图，在△ ABC 中， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点， BE ＝2 DE ，延长 DE 到点 F ，使得 EF ＝ BE ，连接 CF . (1)求证：四边形 BCFE 是菱形； (1)证明：∵ D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点， ∴ DE ∥ BC 且2 DE ＝ BC . 又∵ BE ＝2 DE ， EF ＝ BE ， ∴ EF ＝ BC ， EF ∥ BC ， ∴四边形 BCFE 是平行四边形． 又∵ EF ＝ BE ， ∴四边形 BCFE 是菱形； (2)解：∵∠ BCF ＝120°， ∴∠ EBC ＝60°， ∴△ EBC 是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 ， ∴菱形的面积为 . (2)若 CE ＝4，∠ BCF ＝120°，求菱形 BCFE 的面积． 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 归纳 练一练 如图，在平行四边形 ABCD 中， AC 平分∠ DAB ， AB =2，求平行四边形 ABCD 的周长 . 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC ， AB∥CD ， ∴∠ DAC =∠ ACB ，∠ BAC =∠ ACD ， ∵ AC 平分∠ DAB ， ∴∠ DAC =∠ BAC ， ∴∠ DAC =∠ ACD ， ∴ AD = DC ， ∴四边形 ABCD 为菱形， ∴四边形 ABCD 的周长=4×2=8． 1. 已知菱形的周长是 24cm ，那么它的边长是 ______. 2. 如图，菱形 ABCD 中∠ BAC ＝ 120 °， 则∠ BAC ＝ _______. 6cm 60 ° 3. 如图，菱形的两条对角线长分别为 10cm 和 24cm ， 则菱形的边长是（ ） C A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm A B C D O 当堂练习 4. 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在 △ AOB 中， OA ＝ 5 ， OB ＝ 12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h . 解：在 Rt△ AOB 中， OA ＝ 5 ， OB ＝ 12 ， ∴ S △ AOB ＝ OA · OB ＝ ×5×12 ＝ 30 ， ∴ S 菱形 ABCD ＝ 4 S △ AOB ＝ 4×30 ＝ 120. ∵ 又 ∵ 菱形两组对边的距离相等， ∴ S 菱形 ABCD ＝ AB · h ＝ 13 h ， ∴13 h ＝ 120 ，得 h ＝ . 5. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∠ BAD =60° ， BD = 6 ， 求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长 . 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直) OB = OD = BD = ×6=3 (菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABC 中， ∵∠ BAD =60°， ∴△ ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. A B C O D 在 Rt Δ AOB 中，由勾股定理，得 OA 2 + OB 2 = AB 2 ， ∴ OA = = = ∴ AC =2 OA = （菱形的对角线相互平分） . A B C O D 课堂小结 菱形的性质与判定的综合性问题 菱形的面积 综合运用 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 矩形的性质 学习目标 1. 理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别 与 联系 . （重点） 2. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题 . （ 重点、 难点） 3. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用 . （重点） 观察下面图形 , 长方形 在 生活中无处不在 . 导入新课 情景引入 思考 长方形跟我们前面学习的平行四边形有什么关系？ 你还能举出其他的例子吗？ 讲授新课 矩形的性质 一 活动 1 ： 利用一个活动的平行四边形教具演示 , 使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察 . 矩形 平行四边形 矩形 有一个角 是直角 矩形是特殊的平行四边形 . 定义： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 也叫做长方形 . 归纳总结 平行四边形不一定是矩形 . 思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 可以从边，角，对角线等方面来考虑 . 活动 2 ： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等 . （ 1 ）请同学们以小组为单位 , 测量身边的矩形（如书本 , 课桌 , 铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数 , 并记录测量结果 . A B C D O AB AD AC BD ∠ BAD ∠ ADC ∠ AOD ∠ AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） （ 2 ） 根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想 1 矩形的四个角都是直角 . 猜想 2 矩形的对角线相等 . 你能证明吗？ 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ B = ∠ D , ∠ C =∠ A , AB∥DC . ∴ ∠ B + ∠ C =180°. 又∵ ∠ B = 90° , ∴ ∠ C = 90°. ∴∠ B =∠ C =∠ D =∠ A =90°. 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , ∠ B =90°. 求证 ： ∠ B = ∠ C = ∠ D = ∠ A =90° . A B C D 证一证 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AB = DC ,∠ ABC =∠ DCB =90° , 在△ ABC 和△ DCB 中 , ∵ AB = DC , ∠ ABC =∠ DCB , BC = CB , ∴△ ABC ≌ △ DCB . ∴ AC = DB . A B C D O 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , ∠ ABC =90°, 对角线 AC 与 DB 相较于点 O . 求证 ： AC = DB . 矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有： 矩形的四个角都是直角 . 矩形的对角线相等 . 归纳总结 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中， 对角线 AC 与 DB 相交于点 O . ∠ ABC =∠ BCD =∠ CDA =∠ DAB =90° ， AC = DB . A B C D O 例 1 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线 AC , BD 相交于点 O , ∠ AOB =60° , AB =4 , 求矩形对角线的长 . 解：∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ， OA = OC = AC , OB = OD = BD , ∴ OA = OB . 又 ∵ ∠ AOB =60° , ∴ △ OAB 是等边三角形， ∴ OA = AB =4 ， ∴ AC = BD =2 OA =8. A B C D O 典例精析 矩形的对角线相等且互相平分 例 2 如图 , 在矩形 ABCD 中 , E 是 BC 上一点 , AE = AD , DF ⊥ AE , 垂足为 F . 求证： DF = DC . A B C D E F 证明：连接 DE . ∵ AD = AE ,∴∠ AED =∠ ADE . ∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AD∥BC ,∠ C =90°. ∴∠ ADE =∠ DEC , ∴∠ DEC =∠ AED . 又∵ DF ⊥ AE , ∴∠ DFE =∠ C =90°. 又∵ DE = DE , ∴△ DFE ≌ △ DCE , ∴ DF = DC . 例 3 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C ′ 处， BC ′ 交 AD 于点 E ， AD ＝ 8 ， AB ＝ 4 ，求 △ BED 的面积． 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ， ∠ A ＝ 90° ， ∴∠2 ＝ ∠3. 又由折叠知 ∠1 ＝ ∠2 ， ∴∠1 ＝ ∠3 ， ∴ BE ＝ DE . 设 BE ＝ DE ＝ x ，则 AE ＝ 8 － x . ∵ 在 Rt△ ABE 中， AB 2 ＋ AE 2 ＝ BE 2 ， ∴4 2 ＋ (8 － x ) 2 ＝ x 2 ， 解得 x ＝ 5 ，即 DE ＝ 5. ∴ S △ BED ＝ DE · AB ＝ ×5×4 ＝ 10. 矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查 思考 请同学们拿出准备好的矩形纸片 , 折一折 , 观察并思考 .   矩形是不是轴对称图形 ? 如果是,那么对称轴有几条 ? 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2 条 练一练 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ， 下列说法错误的是 （　　） A． AB ∥ DC B． AC = BD C． AC ⊥ BD D． OA = OB A B C D O C 2. 如图， EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O ，且分别交 AB 、 CD 于 E 、 F ，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的 _________. 　　　　　　　　　　　　　 3. 如图，在矩形 ABCD 中， AE ⊥ BD 于 E ， ∠ DAE ： ∠ BAE ＝ 3 ： 1 ，求 ∠ BAE 和 ∠ EAO 的度数． 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ DAB ＝ 90° ， AO ＝ AC ， BO ＝ BD ， AC ＝ BD ， ∴∠ BAE ＋ ∠ DAE ＝ 90° ， AO ＝ BO . 又 ∵∠ DAE ： ∠ BAE ＝ 3 ： 1 ， ∴∠ BAE ＝ 22.5° ， ∠ DAE ＝ 67.5°. ∵ AE ⊥ BD ， ∴∠ ABE ＝ 90° － ∠ BAE ＝ 90° － 22.5° ＝ 67.5° ， ∴∠ OAB ＝ ∠ ABE ＝ 67.5° ∴∠ EAO ＝ 67.5° － 22.5° ＝ 45°. 直角三角形斜边上的中线的性质 二 A 　 B 　 C 　 D 　 O 　 活动： 如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线 AC 剪去一半 . B C O A 问题 Rt △ ABC 中， BO 是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边 AC 有什么关系？ 猜想： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 试给出数学证明 . O C B A D 证明 : 延长 BO 至 D , 使 OD = BO , 连接 AD 、 DC . ∵ AO = OC , BO = OD ， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∵∠ ABC =90° , ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD ， 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ ABC =90° ， BO 是 AC 上的中线 . 求证 : BO = AC ? ∴ BO = BD = AC . 1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 性质 证一证 例 4 如图，在 △ ABC 中， AD 是高， E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点． (1) 若 AB ＝ 10 ， AC ＝ 8 ，求四边形 AEDF 的周长； 解： ∵ AD 是 △ ABC 的高， E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点， ∴ DE ＝ AE ＝ AB ＝ ×10 ＝ 5 ， DF ＝ AF ＝ AC ＝ ×8 ＝ 4 ， ∴ 四边形 AEDF 的周长＝ AE ＋ DE ＋ DF ＋ AF ＝ 5 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 4 ＝ 18 ； (2) 求证： EF 垂直平分 AD . 证明： ∵ DE ＝ AE ， DF ＝ AF ， ∴ E 、 F 在线段 AD 的垂直平分线上， ∴ EF 垂直平分 AD . 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解． 归纳 例 5 如图，已知 BD ， CE 是 △ ABC 不同边上的高，点 G ， F 分别是 BC ， DE 的中点，试说明 GF ⊥ DE . 解：连接 EG ， DG . ∵ BD ， CE 是 △ ABC 的高， ∴∠ BDC ＝ ∠ BEC ＝ 90°. ∵ 点 G 是 BC 的中点， ∴ EG ＝ BC ， DG ＝ BC . ∴ EG ＝ DG . 又 ∵ 点 F 是 DE 的中点， ∴ GF ⊥ DE . 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 归纳 归纳总结 直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型 如图，在△ ABC 中 ,∠ ABC = 90°, BD 是斜边 AC 上的中线 . (1) 若 BD =3cm, 则 AC =_____cm; (2) 若∠ C = 30° , AB = 5cm, 则 AC =_____cm, BD = _____cm. A B C D 6 10 5 练一练 当堂练习 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12, 则斜边上的中线长为 ( ) A.13 B.6 C.6.5 D. 不能确定 3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°, 则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° A C C 4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，点 E 、 F 分别是 AO 、 AD 的中点，若 AB =6cm， BC =8cm，则 EF = ______ cm． 2.5 5. 如图，△ ABC 中， E 在 AC 上，且 BE ⊥ AC ． D 为 AB 中点，若 DE =5， AE =8，则 BE 的长为 ______ ． 6 第 4 题图 第 5 题图 6. 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , 对角线 AC , BD 相交于点 O , BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E . （ 1 ）求证： BD = BE , （ 2 ）若 ∠ DBC =30° , BO =4 , 求四边形 ABED 的面积 . A B C D O E (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AC = BD , AB∥CD . 又∵ BE∥AC , ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形 , ∴ AC = BE , ∴ BD = BE . (2) 解： ∵ 在矩形 ABCD 中 , BO =4 , ∴ BD = 2 BO =2×4=8. ∵∠ DBC =30° , ∴ CD = BD = ×8=4 , ∴ AB = CD =4 , DE = CD + CE = CD + AB =8. 在 Rt△ BCD 中 , BC = ∴四边形 ABED 的面积 = ×(4+8)× = . A B C D O E 7. 如图，在矩形 ABCD 中， AB =6， AD =8， P 是 AD 上的动点， PE ⊥ AC ， PF ⊥ BD 于 F ，求 PE + PF 的值 . 解：连接 OP . ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ DAB =90°， OA = OD = OC = OB ， ∴ S △ AOD = S △ DOC = S △ AOB = S △ BOC = S 矩形 ABCD = ×6×8=12 . 在Rt△ BAD 中，由勾股定理得 BD =10， ∴ AO = OD =5， ∵ S △ APO + S △ DPO = S △ AOD ， ∴ AO · PE + DO · PF =12，即5 PE +5 PF =24， ∴ PE + PF = . 能力提升： 课堂小结 矩形的相关概念及性质 具有平行四边行的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 矩形的判定 学习目标 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程， 理解并掌握 矩形的判定定理．（重点） 2 . 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题 .( 难点 ) 复习引入 导入新课 问题 1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 问题 2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时 ，如何确保 图形是 矩形呢？现在师傅带了两种工具 （卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧 . 讲授新课 对角线相等的平行四边形是矩形 一 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法 . 问题 1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？ 矩形是特殊的平行四边形 . 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立 . 问题 2 上节课我们已经知道 “ 矩形的对角线相等 ” ，反过来， 小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？ 我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 . 不对，等腰梯形的对角线也相等 . 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分 . 思考 你能证明这一猜想吗？ 已知：如图 , 在 □ ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC = DB . 求证： □ ABCD 是矩形 . 证明：∵ AB = DC , BC = CB , AC = DB , ∴ △ ABC ≌ △ DCB , ∴∠ ABC = ∠ DCB . ∵ AB ∥ CD , ∴∠ ABC + ∠ DCB = 180° , ∴ ∠ ABC = 90° , ∴ □ ABCD 是矩形（矩形的定义） . A B C D 证一证 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形 . 归纳总结 几何语言描述： 在平行四边形 ABCD 中， ∵ AC = BD ， ∴ 平行 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验 两组对边相等 的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果 对角线长相等 ，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形 . 　 例 1 如图，在 　 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，且 OA = OD ，∠ OAD =50° ．求∠ OAB 的度数． 　 A 　 B 　 C 　 D 　 O 解： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC = AC ， OB = OD = BD . 又 ∵ OA = OD ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ BAD= 90 ° . 又 ∵ ∠ OAD =50° ， ∴ ∠ OAB =40°. 典例精析 例 2 如图 , 矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AO 、 BO 、 CO 、 DO 上的一点 , 且 AE = BF = CG = DH . 求证 : 四边形 EFGH 是矩形 . B C D E F G H O A 证明： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD （矩形的对角线相等 ) ， AO = BO = CO = DO （矩形的对角线互相平分）， ∵ AE = BF = CG = DH ， ∴ OE = OF = OG = OH ， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形， ∵ EO + OG = FO + OH ， 即 EG = FH ， ∴ 四边形 EFGH 是矩形 . 练一练 1. 如图，在▱ ABCD 中， AC 和 BD 相交于点 O ，则下面条件能判定▱ ABCD 是矩形的是 （　　） A． AC = BD B． AC = BC C． AD = BC D． AB = AD A 2. 如图 ABCD 中 , ∠1= ∠2 中 . 此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？ A B C D O 1 2 解：四边形 ABCD 是矩形 . 理由如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∴ AO = CO , DO = BO . 又 ∵ ∠1= ∠2 ， ∴ AO = BO ， ∴ AC = BD ， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形 二 问题 1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形 . 成立 问题 2 至少有几个角是直角的四边形是矩形 ？ A B D C ( 有一个角是直角 ) A B D C ( 有二个角是直角 ) A B D C ( 有三个角是直角 ) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形 . 已知：如图 , 在四边形 ABCD 中 ,∠ A =∠ B =∠ C =90 ° . 求证：四边形 ABCD 是矩形 . 证明 :∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴∠ A +∠ B =180 ° , ∠ B +∠ C =180 ° ， ∴ AD∥BC , AB∥CD . ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 证一证 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形 . 归纳总结 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中， ∵ ∠ A =∠ B =∠ C =90 ° , ∴ 四边形 ABCD 是矩形 . A B C D 思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 有三个角是直角的四边形是矩形 . 例 3 如图， □   ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E 、 F 、 G 、 H ，求证：四边形 EFGH 为矩形． 证明：在 □   ABCD 中， AD∥BC , ∴∠ DAB +∠ ABC =180 ° . ∵ AE 与 BG 分别为∠ DAB 、 ∠ ABC 的平分线 , A B D C H E F G ∴四边形 EFGH 是矩形． 同理可证 ∠ AED = ∠ EHG =90°, ∴∠ AFB =90° ， ∴∠ GFE =90°. ∴ ∠ BAE + ∠ ABF = ∠ DAB + ∠ ABC =90 ° . 例 4 如图，在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，垂足为 D ， AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线， CE ⊥ AN ，垂足为 E ，求证：四边形 ADCE 为矩形． 证明：在 △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ BAD ＝ ∠ DAC ，即 ∠ DAC ＝ ∠ BAC . 又 ∵ AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线， ∴∠ MAE ＝ ∠ CAE ＝ ∠ CAM , ∴∠ DAE ＝ ∠ DAC ＋ ∠ CAE ＝ (∠ BAC ＋ ∠ CAM ) ＝ 90°. 又 ∵ AD ⊥ BC ， CE ⊥ AN ， ∴∠ ADC ＝ ∠ CEA ＝ 90°, ∴ 四边形 ADCE 为矩形． 练一练 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 当堂练习 1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （ 1 ）对角线相等的四边形是矩形； （ 2 ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ 3 ）有一个角是直角的四边形是矩形； （ 5 ）有三个角是直角的四边形是矩形； （ 6 ）四个角都相等的四边形是矩形； （ 7 ）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ 4 ）有三个角都相等的四边形是矩形 ; × × × × √ √ √ √ （ 8 ）一组对角互补的平行四边形是矩形； 2. 如图 , 直线 EF∥MN , PQ 交 EF 、 MN 于 A 、 C 两点 , AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别是 ∠ EAC 、 ∠ MCA 、 ∠ ACN 、 ∠ CAF 的平分线 , 则四边形 ABCD 是 （ ） A. 梯 形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定 D E F M N Q P A B C C 3. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BAD =90°， AB =5， BC =12， AC =13．求证：四边形 ABCD 是矩形． 证明：四边形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∠ BAD =90°， ∴∠ ADC =90° . 又∵△ ABC 中， AB =5， BC =12， AC =13， 满足13 2 =5 2 +12 2 ，即 ∴△ ABC 是直角三角形，且∠ B =90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． A B C D 4. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，延长 OA 到 N ，使 ON ＝ OB ，再延长 OC 至 M ，使 CM ＝ AN . 求证：四边形 NDMB 为矩形． 证明： ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AO ＝ OC ， OD ＝ OB . ∵ AN ＝ CM ， ON ＝ OB ， ∴ ON ＝ OM ＝ OD ＝ OB ， ∴ 四边形 NDMB 为平行四边形， MN ＝ BD ， ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形． 5. 如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的高， AE 是 △ BAC 的外角平分线， DE ∥ AB 交 AE 于点 E ，求证：四边形 ADCE 是矩形． 证明： ∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ， BD ＝ DC . ∵ AE 是 ∠ BAC 的外角平分线， ∴∠ FAE ＝ ∠ EAC . ∵∠ B ＋ ∠ ACB ＝ ∠ FAE ＋ ∠ EAC ， ∴∠ B ＝ ∠ ACB ＝ ∠ FAE ＝ ∠ EAC ， ∴ AE ∥ CD . 又 ∵ DE ∥ AB ， ∴ 四边形 AEDB 是平行四边形， ∴ AE 平行且相等 BD . 又 ∵ BD ＝ DC ， ∴ AE 平行且等于 DC ， 故四边形 ADCE 是平行四边形 . 又 ∵∠ ADC ＝ 90° ， ∴ 平行四边形 ADCE 是矩形． 6. 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∠ B ＝ 90° ， AD ＝ 24cm ， BC ＝ 26cm ，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3cm/s 的速度运动．点 P 、 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？ 解：设经过 x s ，四边形 PQCD 为平行四边形， 即 PD ＝ CQ ， 所以 24 － x ＝ 3 x ， 解得 x ＝ 6. 即经过 6s ，四边形 PQCD 是平行四边形； 能力提升： (2)经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？ 解：设经过 y s ，四边形 PQBA 为矩形， 即 AP ＝ BQ ， ∴ y ＝ 26 － 3 y ， 解得 y ＝ 6.5 ， 即经过 6.5s ，四边形 PQBA 是矩形． 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形 . 对角线相等的平行四边形是矩形 . 有三个角是直角的四边形是矩形 . 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 3 课时 矩形的性质、判定与其他知识的综合 1 ．回顾矩形的性质及判定方法． 2 ．矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用 . ( 难点 ) 学习目标 问题 1: 矩形有哪些性质？ A B C D O ① 是轴对称图形 ; ②四个角都是直角 ; ③ 对角线相等且平分 . 导入新课 ① 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ② 有一组邻边相等的矩形 ③ 有一个角是直角的菱形 问题 2: 矩形有判定方法有哪些？ A B C D O E 例 1 ： 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， DE∥AC , CE ∥BD . 求证：四边形 OCED 是菱形 . 证明： ∵ DE∥AC ， CE∥BD ， ∴ 四边形 OCED 是平行四边形 . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ OC = OD ， ∴ 四边形 OCED 是菱形． 矩形的性质与判定综合运用 讲授新课 H G F E D C B A 证明：连接 AC 、 BD . ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD . ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = HE ， ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 例 2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH ，求证：四边形 EFGH 是菱形 . C A B D E F G H 【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 E F G H 是什么四边形？ 解：四边形 EFGH 是菱形 . 又∵ AC = BD , ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点， ∴ EF = FG = GH = HE ， ∴ 四边形 EFGH 是菱形 . 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形 . 归纳 理由如下：连接 AC 、 BD A B C D E F G H 拓展 1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：连接 AC 、 BD . ∵点 E 、 F 、 G 、 H 为各边中点， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . 拓展 2 如图，若四边形 ABCD 是菱形，顺次连接 菱形 ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？ 四边形 EFGH 是矩 形 . 同学们自己去解答吧 例 3 ： 如图，在矩形 ABCD 中， AD =6，对角线AC与BD相交于点 O ， AE ⊥ BD ，垂足为 E ， ED =3 BE ，求 AE 的长 . 分析： 由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，BE：ED=1：3，易证得△OAB是等边三角形，继而求得∠BAE的度数，由△OAB是等边三角形，求出∠ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长 . 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，OA=OC，AC=BD， ∴OA=OB， ∵BE：ED=1：3， ∴BE：OB=1：2， ∵AE⊥BD， ∴AB=OA，∴OA=AB=OB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°， ∴ AE = AD= 3. 例 4 ： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断 四边形ABDE的形状，并证明； （3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论 . 证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD， ∴∠ADC=90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN=∠CAN， ∴∠DAE=90°， ∵CE⊥AN， ∴∠AEC=90°， ∴四边形ADCE为矩形； （1）求证：四边形ADCE为矩形； 解：四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由（1）知，四边形ADCE为矩形， 则AE=CD，AC=DE． 又∵AB=AC，BD=CD， ∴AB=DE，AE=BD， ∴四边形ABDE是平行四边形； （2）连接DE，交AC于点F，请判断四边形ABDE的形状，并证明； 解：DF∥AB，DF= AB．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF= AB ( 3 ) 线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论 . 【点评】 此题 考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用 . 例 5 ： 如图所示，在 △ ABC 中， D 为 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ，且 AF ＝ BD . 连接 BF . (1) BD 与 DC 有什么数量关系？请说明理由； (2) 当 △ ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由． 解： (1) BD ＝ CD . 理由如下： ∵ AF ∥ BC ， ∴∠ AFE ＝ ∠ DCE . ∵ E 是 AD 的中点， ∴ AE ＝ DE . 在 △ AEF 和 △ DEC 中， ∴△ AEF ≌ △ DEC (AAS) ， ∴ AF ＝ DC . ∵ AF ＝ BD ， ∴ BD ＝ DC ； (2) 当 △ ABC 满足 AB ＝ AC 时，四边形 AFBD 是矩形．理由如下： ∵ AF ∥ BD ， AF ＝ BD ， ∴ 四边形 AFBD 是平行四边形． ∴ AB ＝ AC ， BD ＝ DC ， ∴∠ ADB ＝ 90°. ∴ 四边形 AFBD 是矩形． 【方法总结】 本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 当堂练习 1. 如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形，点 B 在 EF 边上，若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别是 S 1 ， S 2 ，则 S 1 ， S 2 的大小关系是 ( 　 　 ) A ． S 1 > S 2 　　　　　　　 B ． S 1 ＝ S 2 C ． S 1 < S 2 D ． 3 S 1 ＝ 2 S 2 B 2 ．如图，在 △ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， AC ， BC 的中点， AH ⊥ BC 于点 H ，连接 EH ，若 DF ＝ 10 cm ，则 EH 等于 ( 　　 ) A ． 8 cm 　　 B ． 10 cm 　　 C ． 16 cm 　　 D ． 24 cm B 3. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， AE 平分 ∠ BAD 交 BC 于点 E ，若 ∠ CAE ＝ 15° ，则 ∠ BOE ＝ ____ 度． 75 4 ．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， BC ＝ 4 ，点 A ， B 分别在 y 轴， x 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，如果 ∠ OAB ＝ 30° ，那么点 C 的坐标为 ． 5. 如图， O 是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点， CD ＝ 5cm ， OD ＝ 3cm ；过点 C 作 CE ∥ DB ，过点 B 作 BE ∥ AC ， CE 与 BE 相交于点 E . (1) 求 OC 的长； (2) 求四边形 OBEC 的面积． 解： (1)∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD . 在 Rt△ OCD 中，由勾股定理得 OC ＝ 4cm ； (2)∵ CE ∥ DB ， BE ∥ AC ， ∴ 四边形 OBEC 为平行四边形 . 又 ∵ AC ⊥ BD ，即 ∠ COB ＝ 90° ， ∴ 平行四边形 OBEC 为矩形 . ∵ OB ＝ OD ＝ 3cm ， ∴ S 矩形 OBEC ＝ OB · OC ＝ 4×3 ＝ 12(cm 2 ) ． 6. 如图，点 D 是 △ ABC 的边 AB 上一点， CN ∥ AB ， DN 交 AC 于点 M ， MA ＝ MC . (1) 求证： CD ＝ AN ； (2) 若 ∠ AMD ＝ 2∠ MCD ， 求证：四边形 ADCN 是矩形． 　 证明： (1) 证 △AMD ≌ △CMN 得 AD ＝ CN ， 又 ∵AD∥CN ， ∴ 四边形 ADCN 是平行四边形， ∴CD ＝ AN. 　 (2) 若 ∠ AMD ＝ 2∠ MCD ， 求证：四边形 ADCN 是矩形． 　 证明： ∵∠AMD ＝ 2∠MCD ， ∠AMD ＝ ∠MCD ＋ ∠MDC ， ∴∠MCD ＝ ∠MDC ， ∴MD ＝ MC ， 由 (1) 知四边形 ADCN 是平行四边形， ∴MD ＝ MN ＝ MA ＝ MC ， ∴AC ＝ DN ， ∴ ▱ ADCN 是矩形 . 　 与全等三角形的结合 矩形的性质与判定 课堂小结 与平面直角坐标系的结合 折叠问题 1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 正方形的性质 学习目标 1.理解正方形的概念 . 2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别 .( 重点、难点 ) 3 .会应用正方形 的性质解决相关 证明及计算 问题 . （难点） 导入新课 观察下面图形 , 正 方形是我们熟悉的几何图形， 在 生活中无处不在 . 情景引入 你还能举出其他的例子吗？ 讲授新课 矩 形 〃 〃 问题 1 ： 矩形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么 发现？ 问题引入 正方形的性质 正方形 问题 2 菱形怎样变化后就成了正方形呢 ? 你有什么 发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形 . 归纳总结 已知：如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 求证：正方形 ABCD 四边相等 , 四个角都是直角 . A B C D 证明：∵四边形 ABCD 是正方形 . ∴∠ A =90° , AB = AC （正方形的定义） . 又∵正方形是平行四边形 . ∴ 正方形是矩形（矩形的定义） , 正方形是菱形 ( 菱形的定义 ). ∴∠ A =∠ B =∠ C =∠ D = 90° , AB= BC = CD = AD . 证一证 已知：如图 , 四边形 ABCD 是正方形 . 对角线 AC 、 BD 相交于点 O . 求证 ： AO = BO = CO = DO , AC ⊥ BD . A B C D O 证明：∵正方形 ABCD 是矩形 , ∴ AO = BO = CO = DO . ∵ 正方形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片 , 折一折 , 观察并思考 .   正方 形是不是轴对称图形 ? 如果是,那么对称轴有几条 ? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4 条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形 , 也是特殊的矩形 , 也是特殊的菱形 . 所以矩形、菱形有的性质 , 正方形都有 . 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质： 1. 正方形的四个角都是直角 , 四条边相等 . 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 . 归纳总结 例 1 求证 : 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 . A D C B O 已知 : 如图 , 四边形 ABCD 是正方形 , 对角线 AC 、 BD 相 交于点 O . 求证 : △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 是全等的 等腰直角三角形 . 证明 : ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴ AC = BD , AC ⊥ BD , AO = BO = CO = DO . ∴ △ ABO 、 △ BCO 、 △ CDO 、 △ DAO 都 是等腰直角三角形 , 并且 △ ABO ≌ △ BCO ≌ △ CDO ≌ △ DAO . 典例精析 例 2 ： 如图在正方形 ABCD 中 , E 为 CD 上一点， F 为 BC 边延长线上一点 , 且 CE = CF . BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由 . 解： BE = DF , 且 BE ⊥ DF .理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC , ∠ BCE =90° . （正方形的四条边都相等 , 四个角都是直角） ∴∠ DCF =180° - ∠ BCE =180° - 90°=90°. A B D C F E ∴∠ BCE =∠ DCF . 又∵ CE = CF . ∴△ BCE ≌ △ DCF . ∴ BE = DF . A B D F E (2) 延长 BE 交 DE 于点 M , ∵ △ BCE ≌ △ DCF , ∴∠ CBE = ∠ CDF . ∵∠ DCF =90° , ∴∠ CDF + ∠ F =90°. ∴∠ CBE + ∠ F =90° , ∴∠ BMF =90°. ∴ BE ⊥ DF . C M 例 3 如图，在正方形 ABCD 中， Δ BEC 是等边三角形， 求证： ∠ EAD ＝∠ EDA ＝ 15° . 证明：∵ Δ BEC 是等边三角形， ∴ BE = CE = BC ,∠ EBC =∠ ECB =60 °， ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD ,∠ ABC =∠ DCB =90 °， ∴ AB = BE = CE = CD , ∠ ABE = ∠ DCE =30 °， ∴△ ABE ，△ DCE 是等腰三角形， ∴∠ BAE = ∠ BEA = ∠ CDE = ∠ CED =75 °， ∴∠ EAD = ∠ EDA =90 ° -75 ° =15 ° . 【变式题 1 】 四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边作等边 △ ADE ，求 ∠ BEC 的大小． 解：当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 外部时，如图 ① ， AB ＝ AE ， ∠ BAE ＝ 90° ＋ 60° ＝ 150°. ∴∠ AEB ＝ 15°. 同理可得 ∠ DEC ＝ 15°. ∴∠ BEC ＝ 60° － 15° － 15° ＝ 30° ； 当等边 △ ADE 在正方形 ABCD 内部时，如图 ② ， AB ＝ AE ， ∠ BAE ＝ 90° － 60° ＝ 30° ， ∴∠ AEB ＝ 75°. 同理可得 ∠ DEC ＝ 75°. ∴∠ BEC ＝ 360° － 75° － 75° － 60° ＝ 150°. 综上所述， ∠ BEC 的大小为 30° 或 150°. 易错提醒：因为等边△ ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ ADE 在正方形的外部或在正方形的内部． 【变式题 2 】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB ， PB = PC ，连接 AC 、 PD ． （1）求证：△ APB ≌ △ DPC ； 解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ ABC =∠ DCB =90°． ∵ PB = PC ， ∴∠ PBC =∠ PCB ． ∴∠ ABC -∠ PBC =∠ DCB -∠ PCB ， 即∠ ABP =∠ DCP ． 又∵ AB = DC ， PB = PC ， ∴△ APB ≌ △ DPC ． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ BAC =∠ DAC =45°． ∵△ APB ≌ △ DPC ， ∴ AP = DP ． 又∵ AP = AB = AD ， ∴ DP = AP = AD ． ∴△ APD 是等边三角形． ∴∠ DAP =60°． ∴∠ PAC =∠ DAP -∠ DAC =15°． ∴∠ BAP =∠ BAC -∠ PAC =30°． ∴∠ BAP =2∠ PAC ． （2） 求证： ∠ BAP =2∠ PAC ． 例 4 如图，在正方形 ABCD 中， P 为 BD 上一点， PE⊥BC 于 E ， PF ⊥ DC 于 F . 试说明： AP = EF . A B C D P E F 解 : 连接 PC ， AC . 又 ∵ PE ⊥ BC ， PF ⊥ DC , ∵ 四边形 ABCD 是正方形 , ∴∠ FCE =90°, AC 垂直平分 BD , ∴ 四边形 PECF 是矩形 , ∴ PC = EF . ∴ AP = PC . ∴ AP = EF . 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明 . 归纳 1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角互补 D. 对角线相等 2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分 C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等 B D 练一练 2. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， AO ＝ 2 ，求正方形的周长与面积． 解： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥ BD ， OA ＝ OD ＝ 2. 在 Rt△ AOD 中，由勾股定理，得 ∴ 正方形的周长为 4 AD ＝ ， 面积为 AD 2 ＝ 8. 2. 一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （　　） A . 2cm 2 B . 4cm 2 C . 6cm 2 D . 8cm 2 A 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 当堂练习 3 ．在正方形 ABC 中 , ∠ ADB = , ∠ DAC = , ∠ BOC = . 4. 在正方形 ABCD 中， E 是对角线 AC 上一点，且 AE=AB ，则∠ EBC 的度数是 . A D B C O A D B C O E 45° 90° 22.5° 第 3 题图 第 4 题图 45° 5. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm ， AC 为对角线， AE 平分 ∠ BAC ， EF ⊥ AC ，求 BE 的长． 解： ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ B ＝ 90° ， ∠ ACB ＝ 45° ， AB ＝ BC ＝ 1cm. ∵ EF ⊥ AC ， ∴∠ EFA ＝ ∠ EFC ＝ 90°. 又 ∵∠ ECF ＝ 45° ， ∴△ EFC 是等腰直角三角形， ∴ EF ＝ FC . ∵∠ BAE ＝ ∠ FAE ， ∠ B ＝ ∠ EFA ＝ 90° ， AE ＝ AE ， ∴△ ABE ≌ △ AFE ， ∴ AB ＝ AF ＝ 1cm ， BE ＝ EF . ∴ FC ＝ BE . 在 Rt△ ABC 中， ∴ FC ＝ AC － AF ＝ ( － 1)cm ， ∴ BE ＝ ( － 1)cm ． 课堂小结 1. 四个角都是直角 2. 四条边都相等 3. 对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 . 1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 2 课时 正方形的判定 学习目标 1 ． 探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别； ( 重点、难点 ) 2 ． 会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . ( 难点 ) 问题 1 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 . 正方形性质： ① 四个角都是直角 ; ②四条边都相等 ; ③ 对角线相等且互相垂直平分 . O 导入新课 复习引入 问题 2 你是 如何判断是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 讲授新课 正方形的判定 活动 1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠 , 然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证 . 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 已知：如图 , 在矩形 ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC ⊥ DB . 求证：四边形 ABCD 是正方形 . 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AO = CO = BO = DO ， ∠ ADC =90 ° . ∵ AC ⊥ DB , ∴ AD = AB = BC = CD , ∴四边形 ABCD 是正方形 . 证一证 A B C D O 对角线互相垂直的矩形是正方形 . 活动 2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状 . 量量看是不是正方形 . 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 已知：如图 , 在菱形 ABCD 中 , AC , DB 是它的两条对角线 , AC = DB . 求证：四边形 ABCD 是正方形 . 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形 , ∴ AB = BC = CD = AD , AC ⊥ DB . ∵ AC = DB , ∴ AO = BO = CO = DO , ∴△ AOD , △ AOB , △ COD , △ BOC 是等腰直角三角形， ∴∠ DAB =∠ ABC =∠ BCD =∠ A D C =90 ° , ∴四边形 ABCD 是正方形 . 证一证 A B C D O 对角线相等的菱形是正方形 . 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 ( 二选一 ) 菱形条件 ( 二选一 ) 一个直角， 一组邻边相等， 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 在四边形 ABCD 中， O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A ． AC = BD ， AB∥CD ， AB = CD B ． AD∥BC ，∠ A =∠ C C ． AO = BO = CO = DO ， AC ⊥ BD D ． AO = CO ， BO = DO ， AB = BC 练一练 C A B C D O 例 1 在正方形 ABCD 中，点 E 、 F 、 M 、 N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN ．四边形 EFMN 是正方形吗 ? 为什么 ? 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC = CD = DA ， ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D =90 ° . ∵ AE = BF = CM = DN ， ∴ AN = BE = CF = DM . 分析：由已知可证 △ AEN ≌ △ BFE ≌ △ CMF ≌ △ DNM ，得四边形 EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可 . 典例精析 在△ AEN 、△ BFE 、△ CMF 、△ DNM 中， AE = BF = CM = DN , ∠ A =∠ B =∠ C =∠ D , AN = BE = CF = DM , ∴△ AEN ≌ △ BFE ≌ △ CMF ≌ △ DNM , ∴ EN = FE = MF = NM ， ∠ ANE =∠ BEF , ∴ 四边形 EFMN 是菱形 ， ∠ NEF =180° － （∠ AEN +∠ BEF ） =180° － （∠ AEN +∠ ANE ） =180° － 90°=90°. ∴ 四边形 EFMN 是正方形 . 例 2 ： 如图 , 在矩形 ABCD 中 , BE 平分 ∠ ABC , CE 平分 ∠ DCB , BF ∥ CE , CF ∥ BE . 求证：四边形 BECF 是正方形 . F A B E C D 解析： 先由两组平行线得出四边形 BECF 平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形； 45° 45° F A B E C D 证明 : ∵ BF ∥ CE , CF ∥ BE ， ∴四边形 BECF 是平行四边形 . ∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ ABC = 90° , ∠ DCB = 90° , ∵ BE 平分∠ ABC , CE 平分∠ DCB , ∴∠ EBC = 45° , ∠ ECB = 45° , ∴ ∠ EBC = ∠ ECB . ∴ EB = EC , ∴ □ BECF 是菱形 . 在 △ EBC 中 ∵ ∠ EBC = 45 ° , ∠ ECB = 45° , ∴∠ BEC = 90° , ∴菱形 BECF 是正方形 . 证明： ∵ DE ⊥ AC ， DF ⊥ AB ， ∴∠ DEC = ∠ DFC =90° . 又∵ ∠ C =90 ° ， ∴ 四边形 ADFC 是矩形 . 过点 D 作 DG ⊥ AB ，垂足为 G . ∵ AD 是∠ CAB 的平分线 DE ⊥ AC ， DG ⊥ AB ， ∴ DE = DG . 同理得 DG = DF ， ∴ ED = DF ， ∴四边形 ADFC 是正方形 . 例 3 如图，在直角三角形中，∠ C =90° ，∠ A 、∠ B 的平分线交于点 D . DE ⊥ AC ， DF ⊥ AB . 求证 : 四边形 CEDF 为正方形 . A B C D E F G 例 4 如图， EG , FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O , 且 EG ⊥ FH . 求证：四边形 EFGH 是正方形 . 证明：∵四边形 ABCD 为正方形 , ∴ OB = OC , ∠ ABO= ∠ BCO =45° , ∠ BOC =90°=∠ COH +∠ BOH . ∵ EG ⊥ FH , ∴∠ BOE +∠ BOH =90° , ∴∠ COH= ∠ BOE , ∴ △ CHO ≌ △ BEO , ∴ OE = OH . 同理可证： OE = OF = OG , B A C D O E H G F ∴ OE=OF=OG=OH . 又∵ EG ⊥ FH , ∴四边形 EFGH 为菱形 . ∵ EO + GO = FO + HO , 即 EG = HF , ∴四边形 EFGH 为正方形 . B A C B O E H G F 例 5 如图，正方形 ABCD ，动点 E 在 AC 上， AF ⊥ AC ，垂足为 A ， AF = AE ． （1）求证： BF = DE ； （2）当点 E 运动到 AC 中点时 ( 其他条件都保持不变 ) ， 问四边形 AFBE 是什么特殊四边形？说明理由． （1）证明：∵正方形 ABCD ， ∴ AB = AD ，∠ BAD =90°， ∵ AF ⊥ AC ，∴∠ EAF =90°， ∴∠ BAF =∠ EAD ， 在△ ADE 和△ ABF 中， AD ＝ AB ，∠ DAE ＝∠ BAF ， AE ＝ AF , ∴△ ADE ≌ △ ABF （SAS），∴ BF = DE ； （2）解：当点E运动到 AC 的中点时四边形 AFBE 是正方形， 理由：∵点 E 运动到 AC 的中点， AB = BC ， ∴ BE ⊥ AC ， BE = AE = AC ， ∵ AF = AE ， ∴ BE = AF = AE . 又∵ BE ⊥ AC ，∠ FAE =∠ BEC =90°， ∴ BE ∥ AF ， ∵ BE = AF ， ∴得平行四边形 AFBE ， ∵∠ FAE =90°， AF = AE ， ∴四边形 AFBE 是正方形． 思考 前面学菱形时我们探究了 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 . 顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ A B C D A B C D A B C D 矩形 正方形 任意四边形 平行四边形 菱形 正方形 E F G H E F G H E F G H 当堂练习 1. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D 2. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC ⊥ BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当∠ ABC =90°时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC = BD 时，四边形 ABCD 是正方形 D 3. 如图，四边形 ABCD 中，∠ ABC =∠ BCD =∠ CDA =90°，请添加一个条件 ____________________ ，可得出该四边形是正方形． AB = BC ( 答案不唯一 ) A B C D O 4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从① AB = BC ，②∠ ABC =90°，③ AC = BD ，④ AC ⊥ BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是 _________________ （只填写序号）． ②③或①④ 5. 如图，在四边形 ABCD 中 , AB = BC , 对角线 BD 平分  ABC , P 是 BD 上一点 , 过点 P 作 PM  AD , PN  CD , 垂足分别为 M 、 N . (1) 求证：  ADB =  CDB ; (2) 若  ADC =90  , 求证：四边形 MPND 是正方形 . C A B D P M N 证明：（ 1 ）∵ AB = BC , BD 平分∠ ABC . ∴∠1=∠2. ∴△ ABD ≌ △ CBD (SAS). ∴∠ ADB= ∠ CDB . 1 2 C A B D P M N （ 2 ）∵∠ ADC =90°; 又∵ PM ⊥ AD , PN ⊥ CD ; ∴∠ PMD =∠ PND =90°. ∴四边形 NPMD 是矩形 . ∵∠ ADB =∠ CDB ; ∴∠ ADB =∠ CDB =45°. ∴∠ MPD =∠ NPD =45°. ∴ DM = PM,DN = PN . ∴ 四边形 NPMD 是正方形 . 6. 如图，△ ABC 中， D 是 BC 上任意一点， DE ∥ AC ， DF ∥ AB ． ①试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由． ②连接 AD ，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 为菱形，为什么？ 解：①∵ DE ∥ AC ， DF ∥ AB ， ∴四边形 AEDF 为平行四边形 . ②∵四边形 AEDF 为菱形， ∴ AD 平分∠ BAC ， 则 AD 平分∠ BAC 时，四边形 AEDF 为菱形 . ③在②的条件下，当△ ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形，不说明理由． 解：由四边形 AEDF 为正方形 ∴∠ BAC =90°， ∴△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形即可． 课堂小结 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 小结与复习 第一章 特殊平行四边形 项目 四边形 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 一、菱形、 矩形、 正方形的性质 要点梳理 四边形 条件 ① 定义：有一外角是直角的平行四边形 ② 三个角是直角的四边形 ③ 对角线相等的平行四边形 ① 定义：一组邻边相等的平行四边形 ② 四条边都相等的四边形 ③ 对角线互相垂直的平行四边形 ① 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ② 有一组邻边相等的矩形 ③ 有一个角是直角的菱形 二、菱形、 矩形、 正方形的判定方法 例 1 ： 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∠ BAD =60° ， BD = 6 ， 求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长 . 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直) OB = OD = BD = ×6=3 (菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABC 中， ∵∠ BAD =60°， ∴△ ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. A B C O D 考点一 菱形的性质和判定 考点讲练 证明：在 △ AOB 中 . ∵ AB = , OA =2, OB =1 . ∴ AB 2 = AO 2 + OB 2 . ∴ △ AOB 是直角三角形 , ∠ AOB 是直角 . ∴ AC ⊥ BD . ∴ □ ABCD 是菱形 ( 对角线垂直的平行四边形是菱形 ) . 1. 已知：如右图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , AB = , OA =2, OB =1. 求证： □ ABCD 是菱形 . A B C O D 针对训练 2. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由 . A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形 . 过点 C 作 AB 边的垂线交点 E , 作 AD 边上的垂线交点 F . S 四边形 ABCD = AD · CF = AB · CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ AD = AB . ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 例 2 ： 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线相交于点 O , ∠ AOD = 120° , AB = 2.5 , 求矩形对角线的长 . 解：∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ( 矩形的对角线相等 ) . OA = OC = AC , OB = OD = BD , ( 矩形对角线相互平分 ) ∴ OA = OD . A B C D O 考点二 矩形的性质和判定 A B C D O ∵ ∠ AOD =120° , ∴ ∠ ODA = ∠ OAD = (180° - 120°)=30°. 又∵ ∠ DAB =90° , （矩形的四个角都是直角） ∴ BD = 2 AB = 2 × 2.5 = 5. 例 3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，过点 A 作 AE∥BD ，过点D作 ED∥AC ，两线相交于点 E ． 求证：四边形 AODE 是菱形； 证明：∵ AE∥BD ， ED∥AC ， ∴四边形 AODE 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD ， OA = OC = AC ， OB = OD = BD ， ∴ OA = OC = OD ， ∴四边形 AODE 是菱形. 【变式题】 如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 B E∥AC ， CE∥BD ， B E 、 CE 交于点 E ，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEBO 是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ B E∥AC , CE ∥ BD ， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形 . ∴四边形 CEBO 是矩形 . 3. 如图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , △ ABO 是等边三角形 , AB =4 , 求 □ ABCD 的面积 . 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OA = OC , OB = OD . 又∵ △ ABO 是等边三角形 , ∴ OA = OB = AB = 4 , ∠ BAC =60°. ∴ AC = BD = 2 OA = 2×4 = 8. A B C D O 针对训练 ∴ □ABCD 是矩形 （ 对角线相等的平行四边形是矩形 ） . ∴∠ ABC =90° （矩形的四个角都是直角） . 在 Rt △ ABC 中 , 由勾股定理 , 得 AB 2 + BC 2 = AC 2 , ∴ BC = . ∴ S □ABCD = AB · BC = 4× = A B C D O 4. 如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 B E ∥ AC ， CE ∥ BD ， B E 、 CE 交于点 E ，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEBO 是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ DE∥AC , CE ∥ BD ， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形 . ∴四边形 CEBO 是矩形 （有一个角是直角 的平行四边形是矩形 ） . 例 4 如图，已知在四边形 ABFC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D ，交 AB 于点 E ，且 CF ＝ AE ； (1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由； (2) 当 ∠ A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论． 解： (1) 四边形 BECF 是菱形． 理由如下： ∵ EF 垂直平分 BC ， ∴ BF ＝ FC ， BE ＝ EC ， ∴∠3 ＝ ∠1. ∵∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠3 ＋ ∠4 ＝ 90° ， ∠1 ＋ ∠2 ＝ 90°,∴∠2 ＝ ∠4 ， 考点三 正方形的性质和判定 ∴ EC ＝ AE ， ∴ BE ＝ AE . ∵ CF ＝ AE ， ∴ BE ＝ EC ＝ CF ＝ BF ， ∴ 四边形 BECF 是菱形； (2) 当 ∠ A ＝ 45° 时，菱形 BECF 是正方形． 证明如下： ∵∠ A ＝ 45° ， ∠ ACB ＝ 90° ， ∴∠ CBA ＝ 45° ， ∴∠ EBF ＝ 2∠ CBA ＝ 90° ， ∴ 菱形 BECF 是正方形． 方法总结 正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定． 例 5 如图， △ ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN ∥ BC ，设 MN 交 ∠ BCA 的平分线于点 E ，交 ∠ BCA 的外角 ∠ ACG 的平分线于点 F ，连接 AE 、 AF . (1) 求证： ∠ ECF ＝ 90° ； (2)当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请 说明理由； (1) 证明： ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ ECF ＝ ×180° ＝ 90°. (2) 解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形．理由如下： ∵ MN ∥ BC ， ∴∠ OEC ＝ ∠ BCE ， ∠ OFC ＝ ∠ GCF . 又 ∵ CE 平分 ∠ BCO ， CF 平分 ∠ GCO ， ∴∠ OCE ＝ ∠ BCE ， ∠ OCF ＝ ∠ GCF ， ∴∠ OCE ＝ ∠ OEC ， ∠ OCF ＝ ∠ OFC ， ∴ EO ＝ CO ， FO ＝ CO ， ∴ OE ＝ OF . 又 ∵ 当点 O 运动到 AC 的中点时， AO ＝ CO ， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 . ∵∠ ECF ＝ 90° ， ∴ 四边形 AECF 是矩形 . 解：当点 O 运动到 AC 的中点时， 且满足 ∠ ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形． ∵ 由 (2) 知当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形， 已知 MN ∥ BC ， 当 ∠ ACB ＝ 90° ， 则 ∠ AOF ＝ ∠ COE ＝ ∠ COF ＝ ∠ AOE ＝ 90° ， 即 AC ⊥ EF ， ∴ 四边形 AECF 是正方形． (3)在(2)的条件下，△ ABC 应该满足 什么 条件时， 四边形 AECF 为正方形． 针对训练 5. 如图，两个含有30°角的完全相同的三角板 ABC 和 DEF 沿直线 FC 滑动，下列说法错误的是（　　） A．四边形 ACDF 是平行四边形 B．当点 E 为 BC 中点时，四边形 ACDF 是矩形 C．当点 B 与点 E 重合时，四边形 ACDF 是菱形 D．四边形 ACDF 不可能是正方形 B 6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC =6， BD =10，则菱形 ABCD 的面积为 ______ ． 30 A B C O D 7. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG ，点 E 、 F 分别在 AG 上，连接 BE 、 DF ，∠ 1 ＝∠ 2 ，∠ 3 ＝∠ 4. (1) 证明：△ ABE ≌ △ DAF ； (2) 若∠ AGB ＝ 30° ，求 EF 的长． (1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ AD . 在△ ABE 和△ DAF 中， ∴△ ABE ≌ △ DAF . (2) 解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠1＋∠4＝90° . ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠ AFD ＝90°. 在正方形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∴∠1＝∠ AGB ＝30°. 在Rt△ ADF 中，∠ AFD ＝90°， AD ＝2， ∴ AF ＝ ， DF ＝1. 由(1)得△ ABE ≌ △ DAF ， ∴ AE ＝ DF ＝1， ∴ EF ＝ AF － AE ＝ －1. 两组对边平行 一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 一个角是直角 一个角是直角且一组邻边相等 课堂小结 2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 1 课时 一元二次方程 学习目标 1. 理解一元二次方程的概念 . （难点） 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数 . 3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题 .( 重点） 导入新课 复习引入 没有未知数 1. 下列式子哪些是 方程？ 2+6=8 2 x +3 5 x +6=22 x +3 y =8 x -5 ＜ 18 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 2. 什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程 . 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及 分式方程， 其中前两种方程是 整式方程 . 3. 什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的 整式方程 叫做一元一次方程 . 想一想：什么叫一元二次方程呢？ 一元二次方程的相关概念 一 问题 1 ： 幼儿园某教室矩形地面的长为 8m , 宽为 5m , 现准备在地面正中间铺设一块面积为 18m 2 的地毯 , 四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同 , 你能求出这个宽度吗？ 解： 如果设所求的宽为 x m , 那么地毯中央长方形图案的长为 m , 宽为 　　　 m , 根据题意 , 可得方程： (8 - 2 x ) (5 - 2 x ) x x (8 – 2 x ) x x (5 – 2 x ) ( 8 - 2 x ) （ 5 - 2 x ） = 18 . 化简： 2 x 2 - 13 x + 11 = 0 . ① 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 讲授新课 问题 2 ： 观察下面等式： 10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解： 如果设五个连续整数中的第一个数为 x ，那么后面四个数依次可表示为： , , , . 　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x +1 x +2 x +3 x +4 x 2 + ( x + 1) 2 + ( x + 2) 2 = ( x + 3) 2 + ( x + 4) 2 . 化简得 ， x 2 - 8 x - 20 ＝ 0. ② 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 解： 由勾股定理可知 , 滑动前梯子底端距墙 　　　　 m. 如果设梯子底端滑动 x m , 那么滑动后梯子底端距墙 　　 m , 根据题意，可得方程： 问题 3 ： 如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上 , 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8m . 如果梯子的顶端下滑 1m , 那么梯子的底端滑动多少米？ 6 x +6 7 2 + ( x + 6) 2 = 10 2 . 化简得 ， x 2 + 12 x - 15 = 0 . ③ 10m 8m 1m xm 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ ① 2 x 2 - 13 x + 11 = 0 ； ② x 2 - 8 x - 20 ＝ 0 ； ③ x 2 + 12 x - 15 = 0. 1. 只含有一个未知数 ; 2. 未知数的最高次数是 2; 3. 整式方程． 观察与思考 方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程 . 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点 : 只含有 一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax 2 + bx + c =0( a , b , c 为常数 , a ≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程 . ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数 , a ≠0) ax 2 称为二次项 , a 称为二次项系数 . bx 称为一次项 , b 称为一次项系数 . c 称为常数项 . 知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 想一想 为什么一般形式中 ax 2 + bx + c =0 要限制 a ≠0 ， b 、 c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx ＋ c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0 时 ， ax 2 ＋ c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0 时 ， ax 2 ＋ b x = 0 当 a ≠ 0 ， b = c =0 时 ， ax 2 = 0 总结：只要满足 a ≠ 0 ， b ， c 可以为 任意实数 . 典例精析 例 1 下列选项中，关于 x 的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x 2 -3 x +2=0 少了限制条件 a ≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断 . 判断下列方程是否为一元二次方程？ (2) x 3 + x 2 =36 (3) x +3 y =36 (5) x +1=0         (1) x 2 + x =36 例 2: a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax 2 － x =2 x 2 (2) ( a － 1) x | a | +1 － 2 x － 7=0. 解： (1) 将方程式转化为一般形式，得 ( a -2) x 2 - x =0 , 所以当 a -2≠0 ，即 a ≠2 时，原方程是一元二次方程； (2) 由 ∣ a ∣ +1 =2 ，且 a -1 ≠0 知，当 a =-1 时，原方程是一元二次方程 . 方法点拨： 用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2 ，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0 的字母的值． 变式： 方程 ( 2 a - 4 ) x 2 － 2 bx + a =0, （ 1 ）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （ 2 ）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解（ 1 ）当 2 a － 4≠ 0 ，即 a ≠2 时是一元二次方程 （ 2 ）当 a =2 且 b ≠0 时是一元一次方程 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax = b ( a ≠0 ） ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0 ） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是 1 未知数最高次数是 2 例 3 ： 将 方程 3 x ( x -1)=5( x +2) 化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数 . 解： 去括号，得 3 x 2 -3 x =5 x +10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3 x 2 -8 x -10=0. 其中二次项是 3 x 2 , 系数是 3 ；一次项是 -8 x , 系数是 -8 ；常数项是 -10. 系数和项均包含前面的符号 . 注意 视频：一元二次方程一般式 当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ √ × √ × × √ 3 x +2=5 x -2 x 2 =0 ( x +3)(2 x -4)= x 2 3 y 2 =(3 y +1)( y -2) x 2 = x 3 + x 2 -1 3 x 2 =5 x -1 2. 填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 3. 关于 x 的方程 ( k 2 － 1) x 2 ＋ 2 ( k － 1) x ＋ 2 k ＋ 2 ＝ 0 , 当 k 　　　 时，是一元二次方程． 当 k 　　　 时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－ 1 4. ( 1 ) 如图，已知一矩形的长为 2 00cm , 宽 1 50cm. 现 在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三 . 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中π取 3 ） . 解：设由于圆的半径为 x cm ， 则它的面积为 3 x 2 cm 2 . 整理，得 根据题意有， 2 00cm 1 50cm (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆 . 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 . 解：该市 两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x 整理，得 根据题意有， 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 . 一般形式 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) 其中 ( a ≠0) 是一元二次方程的必要条件； 2.1 认识一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 一元二次方程的解及其估算 1. 理解方程的解的概念 . 2. 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义 .( 重点 ) 3. 会估算一元二次方程的解 . （难点） 学习目标 问 1 ： 一元二次方程有哪些特点 ？ ① 只含有一个未知数 ; ② 未知数的最高次项系数是 2; ③ 整式方程 导入新课 问 2 ： 一元二次方程的一般形式是什么？ ax 2 + bx + c = 0 ( a , b , c 为常数 , a ≠0) 复习引入 一元二次方程的根 一 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的 解 （又叫做 根 ） . 练一练： 下面哪些数是方程 x 2 – x – 6 = 0 的解 ? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根 . 讲授新课 例 1 ：已知 a 是方程 x 2 + 2 x － 2 = 0 的一个实数根 , 求 2 a 2 + 4 a + 2018 的值 . 解：由题意得 方法点拨： 求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 2 .已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +ax+a =0的一个根是3，求 a 的值. 解：由题意把 x =3代入方程 x 2 +ax+a =0，得 3 2 +3 a + a =0 9+4 a =0 4 a = - 9 1. 已知方程 5x²+mx-6=0 的一个根为 4 ，则ｍ的值为 _______ ． 练一练 一元二次方程解的估算 二 问题 1 ： 在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度 x 满足方程 (8 - 2 x )(5 - 2 x )= 18 ， 你能求出这个宽度吗？ (1) x 可能小于 0 吗 ? 说说你的理由． (2) x 可能大于 4 吗 ? 可能大于 2.5 吗 ? 说说你的理由 . （ 3 ）完成下表： x 0 0.5 1 1.5 2 (8 - 2 x )(5 - 2 x ) （ 4 ）你知道地毯花边的宽 x ( m ) 是多少吗 ? 还有其他求解方法吗 ? 与同伴进行交流． 4 10 18 28 40 问题 2 ： 在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x 2 +12 x - 15 = 0. 10m 8m 1m x m 你能猜出滑动距离 x 的大致范围吗？ (1) 小明认为底端也滑动了 1 m , 他的 说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是 2 m 吗？ 可能是 3 m 吗？ 为什么？ 下面是小亮的求解过程： x 0 0.5 1 1.5 2 … x 2 +12 x - 15 - 15 - 8.75 - 2 5.25 13 … 可知 x 取值的大致范围是 : 1< x <1.5 . 进一步计算： 所以 1.1 ＜ x ＜ 1.2 , 因此 x 整数部分是 1 , 十分位部分是 1 ． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x 2 +12 x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76 用“ 两边 夹”思想解一元二次方程的步骤： ①在未知数 x 的取值范围内排除一部分取值 ; ②根据题意所列的具体情况再次进行排除 ; ③ 对 列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选 ; ④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据 . 规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想 归纳总结 例 2 ：一名跳水运动员进行 10m 跳台跳水训练 , 在正常情况下 , 运动员必需在距水面 5m 以前完成规定的翻腾动作 , 并且调整好入水姿势 , 否则就容易出现失误 . 假设运动员起跳后的运动时间 t (s) 和运动员距水面的高度 h (m) 满足关系 : h ＝ 10+2.5 t － 5 t 2 . 那么他最多有多长时间完成规定动作？ 5 ＝ 10+2.5 t － 5 t 2 . 2 t 2 － t － 2 ＝ 0. 即 解：根据题意得 完成下表 ( 在 00 ) 的方程 . （重点） 2. 理解配方法的基本思路 . （难点） 3. 会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程 . （重点） 学习目标 1. 如果 x 2 = a , 则 x 叫做 a 的 . 导入新课 复习引入 平方根 2 . 如果 x 2 = a ( a ≥0) , 则 x = . 3 . 如果 x 2 =64 , 则 x = . ±8 4 . 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数 . 讲授新课 直接开平方法 一 问题： 一桶油漆可刷的面积为 1500dm 2 ，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解： 设正方体的棱长为 x dm ，则一个正方体的表面积为 6 x 2 dm 2 ，可 列出方程 10×6 x 2 =1500 ， 由此可得 x 2 =25 开平方得 即 x 1 =5 ， x 2 = － 5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为 5 dm ． x =±5 ， 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流 . (1) x 2 =4 (2) x 2 =0 (3) x 2 +1=0 解 : 根据平方根的意义，得 x 1 =2, x 2 =-2. 解 : 根据平方根的意义，得 x 1 = x 2 =0. 解 : 根据平方根的意义，得 x 2 =-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解 . (2) 当 p =0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 = 0 ； (3) 当 p <0 时 , 因为任何实数 x ，都有 x 2 ≥0 ，所以方程 (I) 无实数根 . 探究归纳 一般的，对于可化为方程 x 2 = p , (I) ( 1 ) 当 p >0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不等 的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫 直接开平方法 . 归纳 例 1 利用直接开平方法解下列方程 : (1) x 2 =6 ； (2) x 2 － 900=0. 解： （ 1 ） x 2 =6 ， 直接开平方，得 （ 2 ） 移项，得 x 2 =900. 直接开平方，得 x = ± 30 ， ∴ x 1 =30, x 2 = － 30. 典例精析 在解方程 (I) 时，由方程 x 2 =25 得 x =±5 . 由此想到 : （ x +3) 2 =5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程 （ x +3 ） 2 =5 探究交流 于是，方程 （ x +3 ） 2 =5 的两个根为 上面的解法中 ，由方程 ② 得到 ③ ，实质上是 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 ，这样就把方程 ② 转化为我们会解的方程了 . 解题归纳 例 2 解下列方程： ⑴ （ x ＋ 1 ） 2 = 2 ； 解 析： 第 1 小题中只要将 （ x ＋1） 看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解 . 即 x 1 =-1+ ， x 2 =-1- 解： （ 1 ） ∵ x +1 是 2 的平方根， ∴ x +1= 解析： 第 2 小题先将 － 4 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解 . 例 2 解下列方程： （ 2 ） （ x － 1 ） 2 － 4 = 0； 即 x 1 =3 ， x 2 =-1 . 解： （ 2 ） 移项，得（ x -1 ） 2 =4 . ∵ x -1 是 4 的平方根， ∴ x -1=±2 . ∴ x 1 = ， x 2 = (3) 12 （ 3 － 2 x ） 2 － 3 = 0 . 解析： 第 3 小题先将 －3 移到方程的右边，再两边都除以 12 ，再同第 1 小题一样地去解，然后两边都除以 -2 即可 . 解 ： (3) 移项，得 12 （ 3-2 x ） 2 =3， 两边都除以 12 ， 得 （ 3-2 x ） 2 =0.25 . ∵3-2 x 是 0.25 的平方根， ∴3-2 x =±0.5 . 即 3-2 x =0.5,3-2 x =-0.5 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x 2 = p 或 （ x ＋ n ） 2 = p （ p ≥0 ） 的形式，那么就可以用直接开平方法求解 . 2 . 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明 . 探讨交流 配方的方法 二 问题 1. 你还记得吗？填一填下列完全平方公式 . (1) a 2 +2 ab + b 2 =( ) 2 ； (2) a 2 -2 ab + b 2 =( ) 2 . a+b a-b 探究交流 问题 2. 填上适当的数或式 , 使下列各等式成立 . （ 1 ） x 2 +4 x + = ( x + ) 2 （ 2 ） x 2 -6 x + = ( x - ) 2 （ 3 ） x 2 +8 x + = ( x + ) 2 （ 4 ） x 2 - x + = ( x - ) 2 你发现了什么规律？ 2 2 2 3 2 3 4 2 4 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方 . 归纳总结 想一想： x 2 + px +( ) 2 =( x + ) 2 配方的方法 用配方法解 二次项系数为 1 的一元二次方程 三 合作探究 怎样解方程 : x 2 +6 x +4=0 (1) 问题 1 方程 (1) 怎样变成 （ x + n ) 2 = p 的 形式呢？ 解： x 2 +6 x +4=0 x 2 +6 x =-4 移项 x 2 +6 x +9=-4+9 两边都加上 9 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方 . 方法归纳 在方程两边都加上 一次项系数一半 的 平方 . 注意是在 二次项系数为 1 的前提下进行的 . 问题 2 为什么在方程 x 2 +6 x =-4 的两边加上 9 ？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方 x 2 +2 bx + b 2 的形式 . 方程配方的方法： 要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做 配方法 . 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为 （ x + n ) 2 = p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 例 3 ： 解方程 x 2 + 8 x - 9 = 0 解：可以把常数项移到方程的右边 , 得 x 2 + 8 x = 9 , 两边都加 4 2 （一次项系数 8 的一半的平方） , 得 x 2 + 8 x + 4 2 = 9 + 4 2 , 即 （ x +4 ） 2 = 25 . 两边开平方 , 得 x + 4 = ± 5 , 即 x + 4 =5 或 x + 4 = - 5 . 所以 x 1 = 1 , x 2 = - 9 . 试一试： 解决梯子底部滑动问题： x 2 + 12 x - 15=0 . 解：可以把常数项移到方程的右边 , 得 x 2 + 12 x = 15 , 两边都加 6 2 （一次项系数 6 的一半的平方） , 得 x 2 + 12 x + 6 2 = 15 + 6 2 , 即 （ x +6 ） 2 = 51 . 两边开平方 , 得 x + 6 = , 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x 1 = , x 2 = . 当堂练习 (C) 4( x -1) 2 =9, 解方程，得 4( x -1)= ±3, x 1 = ; x 2 = (D) (2 x +3) 2 =25, 解方程，得 2 x +3=±5, x 1 = 1; x 2 =-4 1 . 下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A) x 2 =-2, 解方程，得 x =± (B) ( x -2) 2 =4, 解方程，得 x -2=2, x =4 D (1) 方程 x 2 =0.25 的根是 . (2) 方程 2 x 2 =18 的根是 . (3) 方程 (2 x -1) 2 =9 的根是 . 3. 解下列方程： (1) x 2 -81 ＝ 0 ； (2)2 x 2 ＝ 50 ； (3)( x ＋ 1) 2 =4 . x 1 =0.5, x 2 =-0.5 x 1 ＝ 3, x 2 ＝ -3 x 1 ＝ 2, x 2 ＝－ 1 2. 填空 : 解： x 1 ＝ 9, x 2 ＝－ 9 ； 解： x 1 ＝ 5, x 2 ＝－ 5 ； 解： x 1 ＝ 1, x 2 ＝－ 3. 4. （请你当小老师） 下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗 ? 如果有错，指出具体位置并帮他改正 . ① ② ③ ④ 解： 解：不对，从开始错，应改为 解： 方程的两根为 5. 解下列方程： 解：（ 1 ）移项，得 x 2 － 8 x = － 1, 配方，得 x 2 － 8 x +4 2 = － 1+4 2 , ( x － 4) 2 =15 由此可得 即 解方程 : 挑战自我 解： 方程的两根为 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤 形如 （ x + m ） 2 = n ( n ≥0 ) 将方程转化为 （ x + m ） 2 = n ( n ≥0 ) 的形式，在用直接开平方法， 直接求根 . 1. 移项 3. 直接开平方求解 2. 配方 课堂小结 2.2 用配方法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 配方法 (2) 1. 会用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 ;. （重点） 2. 能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程 . （难点） 学习目标 导入新课 复习引入 (1) 9 x 2 =1 ； (2) ( x -2) 2 =2. 2 . 下列方程能用直接开平方法来解吗 ? 1 . 用直接开平方法解下列方程 : (1) x 2 +6 x +9 = 5 ； (2) x 2 +6 x +4=0. 把两题转化成 ( x + n ) 2 = p ( p ≥0) 的 形式，再利用开平方 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程 一 问题 1 ： 观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： ① x 2 + 6 x + 8 = 0 ; ② 3 x 2 +8 x － 3 = 0 . 问题 2 ： 用配方法来解 x 2 + 6 x + 8 = 0 . 解： 移项，得 x 2 + 6 x = - 8 , 配方，得 （ x + 3 ） 2 = 1 . 开平方 , 得 x + 3 = ± 1 . 解得 x 1 = - 2 , x 2 = - 4 . 想一想怎么来解 3 x 2 +8 x － 3 = 0 . 讲授新课 试一试： 解方程： 3 x 2 + 8 x - 3 = 0 . 解： 两边同除以 3, 得 x 2 + x - 1=0 . 配方 , 得 x 2 + x + ( ) 2 - ( ) 2 - 1 = 0 , （ x + ） 2 - =0 . 移项 , 得 x + = ± , 即 x + = 或 x + = . 所以 x 1 = , x 2 = -3 . 配方，得 由此可得 二次项系数化为 1 ，得 解：移项，得 2 x 2 － 3 x = － 1, 即 移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换一下呢 ? 例 1 解下列方程： 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为 1 ，得 为什么方程两边都加 1 2 ？ 即 思考 1 ： 用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考 2 ： 用配方法解一元二次方程的一般步骤 . 移项时需注意改变符号 . ①移项，二次项系数化为 1 ； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程 . 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ( x + n ) 2 = p . ①当 p >0 时 , 则 , 方程的两个根为 ②当 p =0 时 , 则 ( x + n ) 2 =0, x + n =0, 开平方得方程的两个根为 x 1 = x 2 =- n . ③当 p <0 时 , 则方程 ( x + n ) 2 = p 无实数根 . 规律总结 引例： 一个小球从地面上以 15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h (m) 与时间 t (s) 满足关系： h= 15 t - 5 t 2 . 小球何时能达到 10m 高？ 解： 将 h = 10 代入方程式中 . 15 t - 5 t 2 = 10 . 两边同时除以 -5, 得 t 2 - 3 t = - 2 , 配方 , 得 t 2 - 3 t + ( ) 2 = ( ) 2 - 2 , （ t - ） 2 = 配方法的应用 二 移项 , 得 （ t - ） 2 = 即 t - = , 或 t - = . 所以 t 1 = 2 , t 2 = 1 . 即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10m 高 . 例 2 . 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k 2 － 4 k ＋ 5 的值必定大于零 . 解： k 2 － 4 k ＋ 5= k 2 － 4 k ＋ 4 ＋ 1 = （ k － 2 ） 2 ＋ 1 因为（ k － 2 ） 2 ≥0 ，所以（ k － 2 ） 2 ＋ 1≥1. 所以 k 2 － 4 k ＋ 5 的值必定大于零 . 例 3 . 若 a,b,c 为△ ABC 的三边长，且 试判断 △ ABC 的形状 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ ABC 为直角三角形 . 1. 方程 2 x 2 - 3 m - x + m 2 +2=0 有一根为 x = 0 ，则 m 的值为（ ） A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 - 2 2. 应用配方法求最值 . (1) 2 x 2 - 4 x +5 的最小值； (2) -3 x 2 + 5 x +1 的最大值 . 练一练 C 解：原式 = 2( x - 1) 2 +3 当 x =1 时有最小值 3 解： 原式 = - 3( x - 2) 2 - 4 当 x =2 时有最大值 -4 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负） 对于一个关于 x 的二次多项式通过配方成 a ( x+m ) 2 ＋ n 的形式后， ( x+m ) 2 ≥0 ， n 为常数， 当 a ＞ 0 时，可知其 最小值； 当 a ＜ 0 时，可知其 最大值 . 2 .完全平方式中的配方 如：已知 x 2 － 2 mx ＋ 16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于 16 ，即 m 2 =16 ， m= ± 4 . 3 .利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是 配方成多个完全平方式得其和为 0 ，再根据非负数的和为 0 ，各项均为 0 ，从而求解 . 如： a 2 ＋ b 2 － 4 b ＋ 4=0, 则 a 2 ＋ ( b － 2) 2 =0, 即 a =0 ， b =2. 例 4 . 读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄 . ） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年 督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为 x ，十位数字为 ( x- 3) x 1 =6, x 2 =5 x 2 -11 x =-30 x 2 -11 x +5.5 2 =-30+5.5 2 ( x -5.5) 2 =0.25 x -5.5=0.5, 或 x -5.5=-0.5 x 2 =10( x -3)+ x ∴ 这个两位数为 36 或 25 ， ∴ 周瑜去世的年龄为 36 岁 . ∵ 周瑜 30 岁还攻打过东吴， 1. 解下列方程： （ 1 ） x 2 +4 x -9=2 x -11 ；（ 2 ） x ( x +4)=8 x +12 ； （ 3 ） 4 x 2 -6 x -3=0 ； （ 4 ） 3 x 2 +6 x -9=0. 解： x 2 +2 x +2=0 ， ( x +1) 2 =-1. 此方程无解； 解： x 2 -4 x -12=0 ， ( x -2) 2 =16. x 1 =6, x 2 =-2 ； 解： x 2 +2 x -3=0 ， ( x +1) 2 =4. x 1 =-3, x 2 =1. 当堂练习 2. 利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 － x 2 － x － 1 的值总是负数，并求出它的最大值 . 解： － x 2 － x － 1 = － ( x 2 + x+ )+ － 1 所以 － x 2 － x － 1 的值必定小于零 . 当 时， － x 2 － x － 1 有最大值 3. 若 ，求 ( xy ) z 的值 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 4. 如图，在一块长 35m 、 宽 26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850m 2 ， 道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为 x m , 根据题意得 （ 35- x )(26- x )=850 ， 整理得 x 2 -61 x +60=0. 解得 x 1 =60 （不合题意，舍去） , x 2 =1. 答：道路的宽为 1m. 5. 已知 a,b,c 为△ ABC 的三边长，且 试判断 △ ABC 的形状 . 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ ABC 为等边三角形 . 课堂小结 配方法 方法 步骤 一移常数项； 二配方 [ 配上 ] ； 三写成 （ x + n ) 2 = p ( p ≥0); 四直接开平方法解方程 . 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为 x 2 + px + q =0 的形式 . 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 1 课时 用公式法求解一元二次方程 学习目标 1. 经历求根公式的推导过程 . （难点） 2. 会用公式法解简单系数的一元二次方程 .( 重点） 3. 理解 并会计算 一元二次方程根的判别式 . 4. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况 . 导入新课 复习引入 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2. 如何用配方法解方程 2 x 2 +4 x +1=0? 导入新课 问题： 老师写了 4 个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？ 讲授新课 求根公式的推导 一 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax 2 + bx + c =0 能否也用配方法得出它的解呢？ 合作探究 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0). 方程两边都除以 a 解 : 移项，得 配方，得 即 问题： 接下来 能用直接开平方解吗？ 即 一元二次方程的求根公式 特别提醒 ∵ a ≠0,4 a 2 >0 ， 当 b 2 -4 ac ≥0 时， ∵ a ≠0,4 a 2 >0 ， 当 b 2 -4 ac ＜ 0 时， 而 x 取任何实数都不能使上式成立 . 因此，方程无实数根 . 由上可知，一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) 的根由方程的系数 a ， b ， c 确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0) ，当 b 2 -4 ac ≥0 时 ， 将 a ， b ， c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的 求根公式 ，利用它解一元二次方程的方法叫做 公式法 ，由求根公式可知，一元二次方程 最多 有两个实数根 . 用 公式法 解一元二次方程的 前提 是: 1. 必需是一般形式的一元二次方程: ax 2 + bx + c =0( a ≠0); 2. b 2 -4 ac ≥0. 注意 公式法解方程 二 例 1 用公式法解方 程 5 x 2 -4 x -12=0 解： ∵ a =5, b =-4, c =-12 ， b 2 -4 ac =(-4) 2 -4×5×(-12)=256>0. 典例精析 例 2 解方程： 化简为一般式： 解： 即 ： 这里的 a 、 b 、 c 的值是什么？ 例 3 解方程： （精确到 0.001 ）. 解： 用计算器求得： 例 4 解方程： 4 x 2 -3 x +2=0 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根 . 解： 要点归纳 公式法解方程的步骤 1. 变形 : 化已知方程为一般形式 ; 2. 确定系数 : 用 a , b , c 写出各项系数 ; 3. 计算 : b 2 -4 ac 的值 ; 4. 判断： 若 b 2 -4 ac ≥0 ，则利用求根公式求出 ; 若 b 2 -4 ac <0 ，则方程没有实数根 . 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b 2 -4 ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 根的判别式 ，通常用符号“ ”表示，即 = b 2 -4 ac . > 0 = 0 < 0 ≥ 0 一元二次方程根的判别式 三 按要求完成下列表格： 练一练 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 3. 判别根的情况，得出结论 . 1. 化为一般式，确定 a , b , c 的值 . 要点归纳 根的判别式使用方法 2. 计算 的值，确定 的符号 . 例 5: 已知一元二次方程 x 2 + x =1 ，下列判断正确的是 ( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x 2 + x -1=0 .∵ b 2 -4 ac =1-4×1× （ -1 ） =5 ＞ 0 ，∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B . B 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax 2 + bx + c= 0( a ≠0) . b 2 - 4 ac > 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 . b 2 - 4 ac = 0 时 , 方程有两个相等的实数根 . b 2 - 4 ac < 0 时 , 方程无实数根 . 例 6 : 若关于 x 的一元二次方程 kx 2 -2 x -1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k >-1 B. k >-1 且 k ≠0 C. k <1 D. k <1 且 k ≠0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则 b 2 -4 ac >0 ，同时要求二次项系数不为 0 ， 即 ， k ≠0. 解得 k > -1 且 k ≠0 ，故选 B . B 例 7: 不解方程，判断下列方程的根的情况． （ 1 ） 3 x 2 +4 x － 3=0 ；（ 2 ） 4 x 2 =12 x － 9; (3) 7 y =5( y 2 +1). 解：（ 1 ） 3 x 2 +4 x － 3=0 ， a =3, b =4, c = － 3 , ∴ b 2 － 4 ac =3 2 － 4×3×( － 3)=52 ＞ 0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （ 2 ）方程化为： 4 x 2 － 12 x +9=0 , ∴ b 2 － 4 ac =( － 12) 2 － 4×4×9=0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 例 7 : 不解方程，判断下列方程的根的情况． (3) 7 y =5( y 2 +1 ). 解：（ 3 ）方程化为： 5 y 2 － 7 y +5=0 , ∴ b 2 － 4 ac =( － 7) 2 － 4×5×5= － 51 ＜ 0. ∴ 方程有两个相等的实数根． 1. 解方程： x 2 +7 x – 18 = 0. 解：这里 a =1, b = 7, c = -18. ∵ b 2 - 4 ac =7 2 – 4 × 1× ( - 18 ) =121 > 0, 即 x 1 = -9, x 2 = 2 . 当堂练习 2. 解方程 （ x - 2) (1 - 3 x ) = 6 . 解：去括号 ，得 x – 2 - 3 x 2 + 6 x = 6, 化简为一般式 3 x 2 - 7 x + 8 = 0, 这里 a = 3, b = - 7 , c = 8. ∵ b 2 - 4 ac =( - 7 ) 2 – 4 × 3 × 8 = 49 – 96 = - 47 < 0, ∴ 原方程没有实数根 . 3. 解方程： 2 x 2 - x + 3 = 0 解： 这里 a = 2 , b = - , c = 3 . ∵ b 2 - 4 ac = 27 - 4×2× 3 = 3 > 0 , ∴ 即 x 1 = x 2 = 4. 关于 x 的一元二次方程 有 两个实根，则 m 的取值 范围是 . 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况 . 解： ∴ 5. 不解方程，判断下列方程的根的情况． （ 1 ） 2 x 2 +3 x -4=0 ；（ 2 ） x 2 - x + =0; (3) x 2 - x +1=0. 解：（ 1 ） 2 x 2 +3 x -4=0 ， a =2, b =3, c =-4 , ∴ b 2 -4 ac =3 2 -4×2×(-4)=41 ＞ 0. ∴ 方程有两个不相等的实数根． （ 2 ） x 2 - x + =0, a =1, b =-1, c = . ∴ b 2 -4 ac =(-1) 2 -4×1× =0. ∴ 方程有两个相等的实数根． （ 3 ） x 2 - x +1=0 ， a =1, b =-1, c =1. ∴ b 2 -4 ac =(-1) 2 -4×1×1=-3<0. ∴ 方程无实数根． (3) x 2 - x +1=0. 6. 不解方程，判别关于 x 的方程 的根的情况 . 解： 所以方程有两个实数根． 能力提升： 在等腰 △ ABC 中，三边分别为 a , b , c ，其中 a =5 ，若关于 x 的方程 x 2 +( b +2) x +6- b =0 有两个相等的实数根，求 △ ABC 的周长 . 解： 关于 x 的方程 x 2 +( b +2) x +6- b =0 有两个相等的实 数根， 所以Δ = b 2 － 4 ac =( b -2) 2 -4(6- b )= b 2 +8 b -20=0. 所以 b =-10 或 b =2. 将 b =-10 代入原方程得 x 2 -8 x +16=0 ， x 1 = x 2 =4 ； 将 b =2 代入原方程得 x 2 +4 x +4=0 ， x 1 = x 2 =-2 （ 舍去 ）； 所以 △ ABC 的三边长为 4 ， 4 ， 5 ， 其周长为 4+4+5 = 13 . 课堂小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算） . 根的判别式 b 2 -4 ac 务必将方程化为一般形式 2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 利用一元二次方程解决面积问题 学习目标 1. 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型 . （难点） 2. 能 运用 一元二次方程解决与面积有关的 实际问题 . （重点） 导入新课 问题 某小区规划在一个长 30 m 、宽 20 m 的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m 2 ，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m ，则由题意列的方程为 _____________________. C B D A (30 - 2 x )(20 - x ) =6×78 问题引入 利用一元二次方程解决面积问题 一 问题： 在一块长 16m , 宽 12m 的矩形荒地上 , 要建造上个 花园 , 并使花园所占面积为荒地面积的一半 . 16m 12m 想一想，你会怎么设计这片荒地？ 看一看： 下面几位同学的设计方法是否合理？ 讲授新课 解：设小路的宽为 x m , 根据题意得： 即 x 2 - 14 x + 24 = 0 . 解方程得 x 1 = 2 , x 2 = 12 . 将 x =12 代入方程中不符合题意舍去 . 答：小路的宽为 2m . 小明设计： 如右 图所示 . 其中花园四周小路的宽都相等 . 通过解方程 , 得到小路的宽为 2m 或 12m . 16m 12m 问题： 他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？ x x 解：设扇形半径为 x m , 根据题意得： 即 πx 2 = 96 . 解方程得 x 1 = , x 2 = ( 舍去 ) , 答：扇形半径约为 5.5m . 小亮设计： 如右图所示 . 其中花园每个角上的扇形都相同 . 问题： 你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 16m 12m 小颖设计： 如右图所示 . 其中花园是两条互相垂直的小路 , 且它的宽都相等 . 问题： 你能帮小颖计算一下图中 x 吗？ 16m 12m x m x m 解：设小路的宽为 x m , 根据题意得： 即 x 2 - 28 x + 96 = 0 . 解方程得 x 1 = 4 , x 2 = 24 , 将 x =24 代入方程中不符合题意舍去 答：小路的宽为 4m . 例 1 ： 要设计一本书的封面 , 封面长 27㎝ , 宽 21cm 正中央 是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 , 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 , 上、下边衬等宽 , 左、右边衬等宽 , 应如何 设计四周边衬的宽度 ？ ( 精确到 0.1cm ) 27cm 21cm 典例精析 分析 : 这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： . 9 7 9 7 27cm 21cm 解：设中央长方形的长和宽分别为 9 a 和 7 a 由此得到上下边衬宽度之比为： 9 7 27cm 21cm 解 : 设上下边衬的 9 x cm ，左右边衬宽为 7 x cm 依题意得 解方程得 故上下边衬的宽度为 : 故左右边衬的宽度为 : 方程的哪个根合乎实际意义 ? 为什么 ? 试一试： 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解 : 设正中央的矩形两边别为 9 x cm ， 7 x cm. 依题意得 27cm 21cm 解得 故上下边衬的宽度为 : 故左右边衬的宽度为 : 例 2 ： 如图所示，在 △ ABC 中， ∠ C= 90° ， AC= 6cm ， BC= 8cm . 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动 . 问点 P ， Q 出发几秒后可使 △ PCQ 的面积为 9 cm² ？ 根据题意得 AP= x cm ,PC = (6 -x )cm ,CQ= 2 x cm 解：若设出发 x s 后可使△ PCQ 的面积为 9cm² 整理，得 解得 x 1 = x 2 =3 答：点 P ， Q 出发 3s 后可使 △ PCQ 的面积为 9cm² . 主要集中在几何图形的 面积 问题 , 这类问题的 面积公式 是等量关系 . 如果图形不规则应 割 或 补 成规则图形 , 找出各部分面积之间的关系 , 再运用规则图形的面积公式列出方程 ; 方法点拨 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米 例 3 ： 如图， 在一块宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540㎡, 求道路的宽为多少？ 典例精析 还有其他解法吗？ 20 32 x x 解：设道路的宽为 x 米 20 -x 32- x (32- x )(20- x )=540 整理，得 x 2 -52 x +100=0 解得 x 1 =2, x 2 =50 当 x =50 时， 32- x =-18, 不合题意，舍去 . ∴ 取 x =2 答：道路的宽为 2 米 . 方法二： 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540㎡, 求 这种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32- x )(20- x )=540 可列方程为 变式一 20 32 x x x 20- x 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540m 2 , 求这种种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-2 x )(20- x )=540 可列方程为 变式二 32-2 x 20 32 x x x x 20 32 2 x 2x 32-2 x 20-2 x 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路 , 余下的部分种上草坪 , 要使草坪的面积为 540 m 2 , 求这种种方案下的道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x 米 (32-2 x )(20-2 x )=540 可列方程为 变式三 在宽为 20m, 长为 32m 的矩形地面上修筑四条道路 , 余下的部分种上草坪， 如果横、纵小路的宽度比为 3 ： 2 ， 且使小路所占面积是矩形面积的四分之一 , 求道路的宽为多少？ 变式四 小路所占面积是矩形面积的四分之一 剩余面积是矩形面积的四分之三 解 : 设横、竖小路的宽度分别为 3 x 、 2 x ， 于是可列方程 (30-4 x )(20-6 x )= —×20×30 20 ㎝ 30 ㎝ 3 x 2 x 30-4 x 20-6 x 4 3 3 x 2 x 6 x 4 x 30-4 x 20-6 x 我们利用“ 图形经过移动，它的面积大小不会改变 ”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路） . 方法点拨 视频：平移求面积动态展示 解：设 AB 长是 x m . (100-4 x ) x =400 x 2 -25 x +100=0 x 1 =5 ， x 2 =20 x =20,100-4 x =20<25 x =5,100-4 x =80>25 x =5( 舍去 ) 答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长个是 20m,20m . 例 4 ： 如图：要利用一面墙（墙长为 25 米）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长个是多少米？ D C B A 25 米 变式： 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80 平方米？ 住房墙 1m 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m ， 由题意得 x (25-2 x +1)=80 化简，得 x 2 -13 x +40=0 解得 x 1 =5 , x 2 =8 当 x =5 时， 26-2 x =16>12 ( 舍去） 当 x =8 时， 26-2 x =10<12 故所围矩形猪舍的长为 10m , 宽为 8m . 则平行于住房墙的一边长 (25-2 x +1) m. 1 . 在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm 2 ，设金色纸边的宽为 x cm ，那么 x 满足的方程是（ ） A． x 2 +130 x -1400=0 B． x 2 +65 x -350=0 C． x 2 -130 x -1400=0 D． x 2 -65 x -350=0 80cm x x x x 50cm B 当堂练习 2. 一块长方形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5cm 的小正方形，  然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm 3 ，求铁板的长和宽． 解：设铁板的宽为 x cm , 则有长为 2 x cm 5(2 x -10)( x -10)=3000 x 2 -15 x -250=0 解得 x 1 =25 x 2 =-10( 舍去） 所以 2 x =50 答：铁板的长 50cm, 宽为 25cm. 3. 如图，要设计一个宽 20cm, 长为 30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解：设横向彩条的宽度 2 x cm , 竖彩条的宽度 3 x cm (20-6 x )(30-4 x )=400 6 x 2 -65 x +50=0 课堂小结 几何图形与一元二次方程问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 . 类 型 课本封面问题 彩条 / 小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 2.4 用因式分解法求解 一元二次方程 第二章 一元二次方程 学习目标 1. 理解 用因式分解法解方程的依据 . 2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程 . （重点） 3. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程 . （难点） 导入新课 情境引入 我们知道 ab =0 ， 那么 a =0 或 b =0 ，类似的解方程 ( x +1)( x － 1)=0 时，可转化为两个一元一次方程 x +1=0 或 x -1=0 来解，你能求 ( x +3)( x － 5)=0 的解吗？ 讲授新课 因式分解法解一元二次方程 一 引例： 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度 ( 单位： m ) 为 10-4.9 x 2 . 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗 ( 精确到 0.01s )? 分析 ： 设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 ，即 10 x -4.9 x 2 =0 ① 解： 解： ∵ a= 4.9 ,b= -10 ,c= 0 . ∴ b 2 － 4 ac = ( － 10) 2 － 4×4.9×0 =100 . 公式法解方程 10 x -4.9 x 2 =0. 配方法解方程 10 x -4.9 x 2 =0. 10 x -4.9 x 2 =0. 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0 . 两个因式乘积为 0 ，说明什么？ 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10 x -4.9 x 2 =0 ① x (10-4.9 x ) =0 ② x =0 10-4.9 x =0 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做 因式分解法. 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移 ----- 方程的右边 =0 ; 二分 ----- 方程的左边因式分解 ; 三化 ----- 方程化为两个一元一次方程 ; 四解 ----- 写出方程两个解 ; 简记歌诀 ： 右化零 左分解 两因式 各求解 试一试： 下列各方程的根分别是多少？ (1) x ( x -2)=0 ； (1) x 1 =0, x 2 =2 ； (2) ( y +2)( y -3)=0 ； (2) y 1 =-2, y 2 =3 ； (3) (3 x +6)(2 x -4)=0 ； (3) x 1 =-2, x 2 =2 ； (4) x 2 = x . (4) x 1 =0, x 2 =1. 例 1 解下列方程： 解： ( 1 ) 因式分解，得 于是得 x － 2 ＝ 0 或 x ＋ 1=0, x 1 =2 ， x 2 = － 1. (2) 移项、合并同类项，得 因式分解， 得 ( 2 x ＋ 1)( 2 x － 1 )=0. 于是得 2 x ＋ 1=0 或 2 x － 1=0, ( x － 2)( x ＋ 1)=0. 典例精析 灵活选用方法解方程 二 例 2 用适当的方法解方程： ( 1 ) 3 x （ x + 5 ） = 5 （ x + 5 ） ； ( 2 ) （ 5 x + 1 ） 2 = 1 ； 分析： 该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快 . 解： 化简 ( 3 x - 5 ) ( x + 5 ) = 0 . 即 3 x - 5 = 0 或 x + 5 = 0 . 分析： 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法 . 解： 开平方 , 得 5 x + 1 = ±1 . 解得 , x 1 = 0 , x 2 = （ 3 ） x 2 - 12 x = 4 ; （ 4 ） 3 x 2 = 4 x + 1 ； 分析： 二次项的系数为 1 ，可用配方法来解题较快 . 解： 配方 , 得 x 2 - 12 x + 6 2 = 4 + 6 2 , 即 ( x - 6) 2 = 40 . 开平方 , 得 解得 x 1 = , x 2 = 分析： 二次项的系数不为 1 ，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法 . 解： 化为一般形式 3 x 2 - 4 x + 1 = 0 . ∵Δ = b 2 - 4 ac = 28 > 0 , 填一填： 各种一元二次方程的解法及适用类型 . 拓展提升 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x 2 + px + q = 0 （ p 2 - 4 q ≥0 ） ( x + m ) 2 ＝ n （ n ≥ 0 ） ax 2 + bx + c = 0( a ≠0 , b 2 - 4 ac ≥0) ( x + m ) （ x + n ）＝ 0 1. 一般地，当一元二次方程一次项系数为 0 时（ ax 2 + c =0 ），应选用 直接开平方法 ； 2. 若常数项为 0 （ ax 2 + bx =0 ）， 应选用 因式分解法； 3. 若一次项系数和常数项都不为 0 ( ax 2 + bx + c =0 ）， 先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用 因式分解法 ，不然选用 公式法 ； 4. 不过当二次项系数是 1 ，且一次项系数是偶数时，用 配方法 也较简单. 要点归纳 解法选择基本思路 ① x 2 -3 x +1=0 ； ② 3 x 2 -1=0 ； ③ -3 t 2 + t =0 ； ④ x 2 -4 x =2 ； ⑤ 2 x 2 - x =0； ⑥ 5( m +2) 2 =8； ⑦ 3 y 2 - y -1=0； ⑧ 2 x 2 +4 x -1=0； ⑨ ( x -2) 2 =2( x -2) . 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 当堂练习 1. 填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 2. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来 . 解方程 ( x -5)( x +2)=18. 解 : 原方程化为： ( x -5)( x +2)=18 . ① 由 x -5=3, 得 x =8 ; ② 由 x +2=6, 得 x =4 ; ③ 所以原方程的解为 x 1 =8 或 x 2 =4. 解 : 原方程化为： x 2 － 3 x － 28 = 0 ， ( x － 7)( x +4)=0 ， x 1 = 7 ， x 2 = － 4. 3. 解方程 x ( x +1)=2 时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，得方程的两根为 x 1 = , x 2 = . x 2 + x － 2=0 － 2 1 解 ：化为一般式为 因式分解，得 x 2 － 2 x +1 = 0. ( x － 1 )( x － 1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0 ， x 1 = x 2 =1. 解 ：因式分解，得 ( 2 x + 11 )( 2 x － 11 ) = 0. 有 2 x + 11 = 0 或 2 x － 11= 0 ， 4. 解方程： 5. 把小圆形场地的半径增加 5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为 r ， 根据题意 ( r + 5 ) 2 × π =2 r 2 π . 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 课堂小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀 ： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果 a · b =0 ，那么 a =0 或 b =0. 原理 将方程左边因式分解，右边 =0. 因式分解的方法有 ma + mb + mc = m ( a + b + c ); a 2 ±2 ab + b 2 =( a ± b ) 2 ； a 2 - b 2 =( a + b )( a - b ). *2.5 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 学习目标 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系 . （难点） 2. 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题 . （重点） 导入新课 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想： 方程的两根 x 1 和 x 2 与系数 a,b,c 还有其它关系吗？ 2. 如何用判别式 b 2 - 4 ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) b 2 - 4 ac > 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 . b 2 - 4 ac = 0 时 , 方程有两个相等的实数根 . b 2 - 4 ac < 0 时 , 方程无实数根 . 讲授新课 探索一元二次方程的根与系数的关系 一 算一算 解下列方程并完成填空： （ 1 ） x 2 +3 x -4=0; (2) x 2 -5 x +6=0; (3)2 x 2 +3 x +1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x 1 x 2 x 2 +3 x -4=0 x 2 -5 x +6=0 2x 2 +3x+1=0 -4 1 2 3 -1 x 1 + x 2 =-3 x 1 · x 2 =-4 x 1 + x 2 =5 x 1 · x 2 =6 猜一猜 （ 1 ） 若一元二次方程的两根为 x 1 , x 2 , 则有 x - x 1 =0 , 且 x - x 2 =0 , 那么方程 （ x - x 1 )( x - x 2 )=0( x 1 , x 2 为已知数）的两根是什么？将方程化为 x 2 + px + q =0 的形式，你能看出 x 1 , x 2 与 p , q 之间的关系吗？ 重要发现 如果方程 x 2 + px + q =0 的两根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = -p , x 1 · x 2 = q . ( x - x 1 )( x - x 2 )=0. x 2 -( x 1 + x 2 ) x + x 1 · x 2 =0 ， x 2 + px + q =0 ， x 1 + x 2 = - p , x 1 · x 2 = q . 猜一猜 （ 2 ）通过上表猜想， 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？ 证一证： 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根为 x 1 、 x 2 ，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b 2 -4 ac ≥0. 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用 二 例 1 ： 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 . （ 1 ） x 2 + 7 x + 6 = 0 ; 解： 这里 a = 1 , b = 7 , c = 6 . Δ = b 2 - 4 ac = 7 2 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0 . ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = -7 , x 1 x 2 = 6 . （ 2 ） 2 x 2 - 3 x - 2 = 0 . 解： 这里 a = 2 , b = - 3 , c = - 2 . Δ = b 2 - 4 ac = （ - 3 ） 2 – 4 × 2 × ( - 2) = 25 > 0 , ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = , x 1 x 2 = - 1 . 例 2 已知方程 5 x 2 + kx -6=0 的一个根是 2 ，求它的另一个根及 k 的值 . 解：设方 程 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，其中 x 1 =2 . 所以： x 1 · x 2 =2 x 2 = 即： x 2 = 由于 x 1 + x 2 = 2+ = 得： k = － 7. 答：方程的另一个根是 ， k = － 7. 变式： 已知方程 3 x 2 -18 x + m =0 的一个根是 1 ，求它的另一个根及 m 的值 . 解：设方程的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，其中 x 1 =1 . 所以： x 1 + x 2 =1+ x 2 =6 ， 即： x 2 =5 . 由于 x 1 · x 2 =1×5= 得： m =15. 答：方程的另一个根是 5 ， m =15. 例 3 不解方程，求方程 2 x 2 +3 x -1=0 的两根的平方和、倒数和 . 解：根据根与系数的关系可知： 设 x 1 , x 2 为方程 x 2 -4 x +1=0 的两个根，则 : （ 1 ） x 1 + x 2 = , (2) x 1 · x 2 = , (3) , (4) . 4 1 14 12 练一练 例 4 ： 设 x 1 ， x 2 是方程 x 2 -2( k - 1) x + k 2 =0 的 两个 实数根，且 x 1 2 + x 2 2 =4 ，求 k 的值 . 解： 由方程有两个实数根 ，得 Δ = 4 （ k - 1 ） 2 - 4 k 2 ≥ 0 即 - 8 k + 4 ≥ 0 . 由根与系数的关系得 x 1 + x 2 = 2( k - 1) , x 1 x 2 = k 2 . ∴ x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 x 2 = 4( k - 1) 2 - 2 k 2 = 2 k 2 - 8 k + 4 . 由 x 1 2 + x 2 2 = 4 ， 得 2 k 2 - 8 k + 4 = 4 , 解得 k 1 = 0 , k 2 = 4 . 经检验， k 2 = 4 不合题意，舍去 . 总结 常见的求值 : 求与方程的根有关的代数式的值时 , 一般先将所求的代数式化成含两根之和 , 两根之积的形式 , 再整体代入 . 归纳 当堂练习 1. 如果 -1 是方程 2 x 2 － x + m =0 的一个根，则另一个根是 ___ ， m =____. 2 . 已知一元二次方程 x 2 + px + q =0 的两根分别为 -2 和 1 ，则： p = , q = . 1 -2 -3 3. 已知方程 3 x 2 -19 x + m =0 的一个根是 1 ，求它的另一个根及 m 的值 . 解： 将 x = 1 代入方程中： 3 -19 + m = 0 . 解得 m = 16 , 设另一个根为 x 1 , 则： 1 × x 1 = ∴ x 1 = 4. 已知 x 1 , x 2 是方程 2 x 2 +2 kx + k -1=0 的两个根，且 （ x 1 +1)( x 2 +1)=4 ； （ 1 ） 求 k 的值； （ 2 ） 求 ( x 1 - x 2 ) 2 的值 . 解 ： (1) 根据根与系数的关系 所以 ( x 1 +1)( x 2 +1)= x 1 x 2 +( x 1 + x 2 )+1= 解得： k =-7 ； （ 2 ） 因为 k =-7 , 所以 则： 5. 设 x 1 , x 2 是方程 3 x 2 + 4 x – 3 = 0 的两个根 . 利用根系数之间的关系 , 求下列各式的值 . (1) ( x 1 + 1)( x 2 + 1) ; (2) 解 : 根据根与系数的关系得： （ 1 ） ( x 1 + 1)( x 2 + 1) = x 1 x 2 + x 1 + x 2 + 1= （ 2 ） 6. 当 k 为何值时，方程 2x 2 -kx+1=0 的两根差为 1. 解：设方程两根分别为 x 1 ,x 2 (x 1 >x 2 ) ，则 x 1 -x 2 =1 ∵ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1 拓展提升 由根与系数的关系，得 7. 已知关于 x 的一元二次方程 m x 2 -2mx+ m -2=0 （ 1 ）若方程 有实数根 , 求实数 m 的取值范围 . （ 2 ）若方程两根 x 1 , x 2 满足 ∣x 1 -x 2 ∣= 1 求 m 的值 . 解： (1) 方程有实数根 ∴m的取值范围为m＞0 (2)∵ 方程有实数根 x 1 , x 2 ∵ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1 解得m=8 . 经检验m=8是原方程的解． 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么 应 用 2.6 应用一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 1 课时 行程问题及几何问题 学习目标 1. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题 , 并能根据具体问题的实际意义 , 检验结果的合理性 . （重点、难点） 2. 理解将实际问题抽象为方程模型的过程 , 并能运用所学的知识解决问题． 导入新课 问题引入 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 80 分，第二次月考增长了 10%， 第三次月考又增长了 10%， 问他第三次数学成绩是多少？ 利用一元二次方程解决行程（动点）问题 一 例1 ： 如图,某海军基地位于 A 处,在其正南方向200 n mile 处有一目标 B , 在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标 C . 小岛 D 位于 AC 的中点,岛上有一补给码头;小岛 F 位于 BC 的中点 . 一艘军舰沿 A 出发,经 B 到 C 匀速巡航,一艘补给船同时从 D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品 送达军舰. 东 北 A B C D F 导入新课 (1)小岛 D 与小岛 F 相距多少海里? 东 北 A B C D F 解：连接 DF . ∵ AD = CD , BF = CF , ∴ DF 是△ ABC 的中位线 . ∴ DF∥AB ，且 DF= AB ， ∵ AB ⊥ BC , AB = BC =200n mile, ∴ DF ⊥ BC , DF =100n mile. 东 北 A B C D F (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到 0.1 海里)？ E 解 : 设相遇是补给船航行了 x n mile , 那么 DE = x n mile , AE + BE = 2 x n mile, EF = AB + BF - ( AB + BE ) =(300 - 2 x )n mile. 在 Rt△ DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2 = 100 2 + (300 - 2 x ) 2 . 整理得： 3 x 2 - 1200 x + 100000 = 0 , 解方程得 ( 舍去 ) 如图，在矩形 ABCD 中， AB =6cm , BC =12cm， 点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以2 cm/s 的速度移动，如果 P 、 Q 分别从 A 、 B 同时出发，那么几秒后五边形 APQCD 的面积为64 cm 2 ？ A B C D Q P 解 : 设所需时间为 t s, 根据题意 , 得 2 t (6 - t ) ÷ 2 = 6 × 12 - 64. 整理得 t 2 - 6 t + 8 = 0. 解方程 , 得 t 1 = 2 , t 2 = 4 . 答 : 在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64cm 2 . (6 - t ) 2 t 针对练习 填空： 假设某种糖的成本为每斤 2 元，售价为 3 元时，可卖 100 斤 . (1) 此时的利润 w= _____; (2) 若售价涨了 1 元，每斤利润为 _____ 元，同时少买了 10 斤，销售量为 _____ 斤，利润 w=_____ (3) 若售价涨了 2 元，每斤利润为 _____ 元，同时少买了 20 斤，销售量为 ____ 斤，利润 w=_____ 100 元 2 90 180 元 3 80 240 元 平均变化率问题与一元二次方程 二 合作探究 (4) 若售价涨了 3 元，每斤利润为 ____ 元， 同时少买了 30 斤，销售量为 ____ 斤， 利润 w=______ (5) 若售价涨了 4 元，每斤利润为 ____ 元， 同时少买了 40 斤，销售量为 ____ 斤， 利润 w=_______ (6) 若售价涨了 x 元，每斤利润为 ____ 元， 同时少买了 ____ 斤，销售量为 _______ 斤， 利润 w=__________________ 4 5 1+ x 70 60 100-10 x 10 x 280 元 300 元 (1+ x )×(100-10 x ) 元 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 试一试： 假设某种糖的成本每斤为 2 元，售价为 3 元时，可卖 100 斤 . 每涨 1 元，少卖 10 斤 . 设利润为 x 元，则总利润 w 为多少元 （ 用含有 x 的式子表示出来 ） ？ 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 0 3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 每 涨 一 元 少 卖 十 斤 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 0 3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 每 涨 一 元 少 卖 十 斤 总利润 （ 售价 - 进价 ）× 销售量 = 总利润 单件利润 × 销售量 = 填空： 1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 . 如果保持这个下降率，则现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元 . 探究归纳 7% 4324.5 下降率 = 下降前的量 - 下降后的量 下降前的量 2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x , 则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元 . 下降率 x 第一次降低前的量 5000(1- x ) 第一次降低后的量 5000 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1-x)(1-x) 5000(1- x ) 2 5000(1- x ) 5000(1- x ) 2 例 2 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为 x . 根据题意，列方程，得 5 000 ( 1 － x ) 2 = 3000 ， 解方程，得 x 1 ≈0.225 ， x 2 ≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5 ％ . 注意 下降率不可为负，且不大于 1 . 练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元 . 随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为 y . 根据题意，列方程，得 6 000 ( 1 － y ) 2 = 3 600. 解方程，得 y 1 ≈0.225 ， y 2 ≈ － 1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5 ％ . 解后反思 答：不能 . 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为 （ 5000-3000 ）÷ 2=1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为 （ 6000-3000 ）÷ 2=1200 元 ，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题 1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能 . 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等 . 因此我们发现 虽然绝对量相差很多，但其相对量 （年平均下降率） 也可能相等． 问题 2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 ? 也就说 能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢 ? 问题 3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式 . 若平均增长(或降低)百分率为 x ,增长(或降低)前的是 a ,增长(或降低) n 次后的量是 b ,则它们的数量关系可表示为 a (1± x ) n = b (其中增长取“ + ”,降低取“ － ”) . 变式1： 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x . 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为 29.3%. 变式 2: 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到 0.1% ） 解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为 x ， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 ( 不合题意，舍去 ) 答：每次升价的百分率为 9.5%. 例 3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解 ：设这个增长率为 x . 根据 题意，得 答：这个增长率为 50% . 200+ 200(1+ x ) + 200(1+ x ) 2 =950 整理方程，得 4 x 2 +12 x -7=0 ， 解这个方程得 x 1 =-3.5 （舍去）， x 2 =0.5. 注意 增长率不可为负，但可以超过 1 . 当堂练习 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨 , 三月份的总产量为 720 吨 , 平均每月增长率是 x , 列方程 ( ) A.500(1+2 x )=720 B.500(1+ x ) 2 =720 C.500(1+ x 2 )=720 D.720(1+ x ) 2 =500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元 , 预计今明两年的投资总额为 8 万元 , 若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x , 则可列方程为 . B 2 （ 1+ x )+2(1+ x ) 2 =8 3. 青山村种的水稻去年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率 . 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为 x , 根据题意，得 系数化为 1 得， 直接开平方得， 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10% . 7200 （ 1+ x ) 2 =8712 （ 1+ x ) 2 =1.21 1+ x =1.1, 1+ x =-1.1 x 1 =0.1, x 2 =-1.1, 能力提升 : 菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售 . 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售 . ( 1) 求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为 x ， 由题意，得 5(1 － x ) 2 =3.2 ， 解得 x 1 =20% ， x 2 =1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为 20%; (2) 小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元 . 试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由 . 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为： 3.2×0.9×5000=14400 ( 元 ) ； 方案二所需费用为： 3.2×5000 － 200×5=15000 ( 元 ) ， ∵ 14400 ＜ 15000 ， ∴小华选择方案一购买更优惠 . 利用一元二次方程 解决行程问题 列方程步骤： 应用类型 行程问题 平均变化率 问题 面积问题 动点问题 审 设 列 解 检 答 课堂小结 2.6 应用一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 营销问题及平均变化率问题 1. 会用一元二次方程的方法解决营销问题及其他类型问题 . （重点、难点） 2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力． 学习目标 导入新课 情境引入 每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？ 利用一元二次方程解决营销问题 一 例 1 ： 新华商场销售某种冰箱 , 每台进价为 2500 元 . 市场调研表明 : 当销售价为 2900 元时 , 平均每天能售出 8 台 ; 而当销价每降低 50 元时 , 平均每天能多售 4 台 . 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元 , 每台冰箱的定价应为多少元 ? 分析：本题的主要等量关系是： 每台的销售利润 × 平均每天销售的数量 = 5000 元 . 讲授新课 解： 设每台冰箱降价 x 元 , 根据题意 , 得 整理 , 得： x 2 - 300 x + 22500 = 0 . 解方程 , 得： x 1 = x 2 = 150 . ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750 . 答：每台冰箱的定价应为 2750 元 . 例 2 ： 百佳超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析： 设商品单价为（ 50+ x ) 元 , 则每个商品得利润 [(50+ x ) － 40] 元，因为每涨价 1 元，其销售会减少 10 ，则每个涨价 x 元，其销售量会减少 10 x 个，故销售量为 (500 － 10 x ) 个，根据每件商品的利润 × 件数 =8000 ，则 (500 － 10 x )· [(50+ x ) － 40]=8000. 解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为 (50+ x ) 元，销售量为 (500 － 10 x ) 个，则 (500 － 10 x )· [(50+ x ) － 40]=8000 ， 整理得 x 2 － 40 x +300=0 ， 解得 x 1 =10 ， x 2 =30 都符合题意 . 当 x =10 时 ,50+ x =60 ， 500 － 10 x =400 ； 当 x =30 时， 50+ x =80 ， 500 － 10 x =200. 答：要想赚 8000 元，售价为 60 元或 80 元；若售价为 60 元，则进贷量应为 400 ；若售价为 80 元，则进贷量应为 200 个 . 某花圃用花盆培育某种花苗 , 经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系 . 每盆植入 3 株时 , 平均单株盈利 3 元 ; 以同样的栽培条件 , 若每盆增加 1 株 , 平均单株盈利就减少 0.5 元 . 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应该植多少株 ? 思考 : 这个问题设什么为 x ? 有几种设法 ? 如果直接设每盆植 x 株 , 怎样表示问题中相关的量 ? 如果设每盆花苗增加的株数为 x 株呢？ 针对练习 整理，得 x 2 - 3 x + 2 = 0 . 解这个方程 , 得 x 1 =1, x 2 =2 . 经检验， x 1 =1 , x 2 = 2 都符合题意 . 答 : 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应植入 4 株或 5 株 . 解 : 设每盆花苗增加的株数为 x 株 , 则每盆花苗有 ( x +3) 株 , 平均单株盈利为 (3 - 0.5 x ) 元 . 根据题意 , 得 . ( x + 3)(3 - 0.5 x ) = 10 . 总结归纳 利润问题常见关系式 基本关系： (1) 利润＝售价－ ________ ； (3) 总利润＝ ____________× 销量 进价 单个利润 传播问题与一元二次方程 二 引例： 有一人患了流感 , 经过两轮传染后共有 121 人患了流感 , 每轮传染中平均一个人传染了几个人 ? 分析 ： 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人 . 传染源记作小明，其传染示意图如下： 合作探究 第 2 轮 ••• 小明 1 2 x 第 1 轮 第 1 轮传染后人数 x+ 1 小明 第 2 轮传染后人数 x ( x+ 1)+ x +1 注意：不要忽视小明的二次传染 x 1 = , x 2 = . 根据示意图，列表如下： 解方程 , 得 答 : 平均一个人传染了 ________ 个人 . 10 -12 ( 不合题意 , 舍去 ) 10 解 : 设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人 . (1+ x ) 2 =121 注意 : 一元二次方程的解有可能不符合题意，所以一定要进行检验 . 传染源人数 第 1 轮传染后的人数 第 2 轮传染后的人数 1 1+ x =(1+ x ) 1 1+ x + x (1+ x )=(1+ x ) 2 想一想： 如果按照这样的传染速度 , 三轮传染后有多少人患流感 ? 第 2 种做法 以第 2 轮传染后的人数 121 为传染源 , 传染一次后就是 : 121(1+ x )=121(1+10)=1331 人 . 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的 人数 第三轮传染后的 人数 (1+ x ) 1 (1+ x ) 2 分析 第 1 种做法 以 1 人为传染源 , 3 轮传染后的人数是 : (1+ x ) 3 =(1+10) 3 =1331 人 . (1+ x ) 3 传染源 新增患者人数 本轮结束患者总人数 第一轮 1 1 ∙ x = x 1+ x 第二轮 1+ x (1+ x ) x 1+ x + (1+ x ) x = 第三轮 第 n 轮 思考： 如果按这样的传染速度， n 轮后传染后有多少人患了流感？ (1+ x ) 2 (1+ x ) n (1+ x ) 3 经过 n 轮传染后共有 (1+ x ) n 人患流感 . (1+ x ) 2 (1+ x ) 2 ∙ x ( 1 +x ) 2 +(1+ x ) 2 ∙ x = 例 3 ： 某种植物的主干长出若干数目的支干 , 每个支干又长出同样数目的小分支 , 主干 , 支干和小分支的总数是 91, 每个支干长出多少小分支 ? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解 : 设每个支干长出 x 个小分支 , 则 1+ x + x 2 = 91 即 解得 , x 1 =9, x 2 = － 10( 不合题意 , 舍去 ) 答 : 每个支干长出 9 个小分支 . 交流讨论 1. 在分析 引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别？ 每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染 . 2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ （ 1 ）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （ 2 ）可利用表格梳理数量关系； （ 3 ）关注起始值、新增数量，找出变化规律 . 方法归纳 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 例 4 ： 某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制， 4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？ 解： 设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1 ＋ x ＋ x (1 ＋ x ) ＝ 100 ，即 (1 ＋ x ) 2 ＝ 100. 解得 x 1 ＝ 9 ， x 2 ＝－ 11 ( 舍去 ) ． ∴ x ＝ 9. 4 轮感染后，被感染的电脑数为 (1 ＋ x ) 4 ＝ 10 4 >7000. 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑， 4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台． 1. 电脑 勒索 病毒 的 传播非常快，如果 开始有 6 台电脑被感染，经过两轮感染后 共 有 2400 台电脑被感染 . 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 ？ 练一练 解： 设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑 . 答： 每轮感染中平均一台电脑会感染 8 台电脑； 第 三轮感染 中 ，被感染的电脑台数 不 会超过 700 台 . 解得 x 1 =19 或 x 2 =-21 ( 舍去 ) 依题意 60+60 x +60 x (1+ x ) =2400 60 (1+ x ) 2 =2400 2. 某种细胞细胞分裂时，每个细胞在每轮分裂中分成两个细胞 . （ 1 ）经过三轮分裂后细胞的个数是 . （ 2 ） n 轮分裂后，细胞的个数共是 . 8 2 n 起始值 新增细胞 本轮结束细胞总数 第一轮 第二轮 第三轮 第 n 轮 1 2 2 2 4 4 4 8 8 =2 2 =2 3 =2 1 2 n 1. 元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡 1980 张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有 x 名学生，那么所列方程为（ ） A. x 2 =1980 B. x ( x +1)=1980 C. x ( x -1)=1980 D. x ( x -1)=1980 2. 有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是 73 ，设每个枝干长出 x 个小分支，根据题意可列方程为（ ） A.1+ x + x (1+ x )=73 B.1+ x + x 2 =73 C.1+ x 2 =73 D.(1+ x ) 2 =73 当堂练习 D B 3. 早期，甲肝流行，传染性很强，曾有 2 人同时患上甲肝 . 在一天内，一人平均能传染 x 人，经过两天传染后 128 人患上甲肝，则 x 的值为（ ）？ A.10 B.9 C.8 D.7 D 4. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 n 个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有 111 个人参与了传播活动，则 n =______. 10 解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得： （ 40- x )(20+2 x )=1200 整理得， x 2 -30 x +200=0 解方程得， x 1 =10, x 2 =20 因为要尽快减少库存，所以 x =10 舍去 . 答：每件衬衫应降价 20 元 . 5. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 6. 某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了 6 场，求初三有几个班？ 解：初三有 x 个班，根据题意列方程，得 化简，得 x 2 - x -12=0 解方程，得 x 1 =4， x 2 =-3（舍去） 答：初三有 4 个班 . 传染源 本轮分裂成有益菌数目 本轮结束有益菌总数 第一轮 第二轮 第三轮 分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌 60 60 x 60(1+ x ) 60(1+ x ) 60(1+ x ) x 7. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌 . (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 解：设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌 60+60 x +60(1+ x ) x =24000 x 1 =19 ， x 2 =-21 （舍去） ∴ 每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌 . 8. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌 . (1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？ 三轮后有益菌总数为 24000 × (1+19)=480000. 9. 甲型流感病毒的传染性极强，某地因 1 人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过 两天 的传染后共有 9 人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度， 再 经过 5 天 的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 解：设每天平均一个人传染了 x 人， 解得 x 1 =-4 ( 舍去）， x 2 =2. 答：每天平均一个人传染了 2 人，这个地区一共将会有 2187 人患甲型流感 . 1+ x + x (1+ x )=9 ， 即 （ 1+ x ） 2 =9. 9(1+ x ) 5 =9(1+2) 5 =2187 ， (1+ x ) 7 = (1+2) 7 =2187. 课堂小结 列一元二次方程解应题 传播问题 数量关系： 第一轮传播后的量 = 传播前的量 × （ 1 + 传播速度） 第二轮传播后的量 = 第一轮传播后的量 × （ 1 + 传播速度） = 传播前的量 × （ 1 + 传播速度） 2 数字问题 握手问题 送照片问题 关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数 . 甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以 2. 甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以 2. 营销 其他类型 小结与复习 第二十一章 一元二次方程 一、一元二次方程的基本概念 1. 定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程． 2. 一般形式： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 要点梳理 3. 项数和系数： ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 为常数， a ≠0) 一次项： ax 2 一次项系数： a 二次项： bx 二次项系数： b 常数项： c 4. 注意事项： (1) 含有一个未知数； (2) 未知数的最高次数为 2 ； (3) 二次项系数不为 0 ； (4) 整式方程． 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x 2 + px + q = 0 （ p 2 - 4 q ≥0 ） ( x + m ) 2 ＝ n （ n ≥ 0 ） ax 2 + bx + c = 0( a ≠0 , b 2 - 4 ac ≥0) ( x + m ) （ x + n ）＝ 0 各种一元二次方程的解法及使用类型 三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （ 1 ）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （ 2 ）设元：就是设未知数 , 分直接设与间接设 , 应根据实际需要恰当选取设元法． （ 3 ）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题． （ 4 ）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （ 5 ）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点一 一元二次方程的定义 例 1 若关于 x 的方程 ( m -1) x 2 + mx -1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A. m ≠1 B. m =1 C. m ≥1 D. m ≠0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为 0 ），因此它的系数 m -1≠0, 即 m ≠1 , 故选 A. A 1. 方程 5 x 2 - x -3= x 2 -3+ x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 考点讲练 针对训练 考点二 一元二次方程的根的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知将 x =0 代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把 x =0 代入就可以得到以 m 为未知数的方程 m 2 -1=0 ，解得 m =±1 的值 . 这里应填 -1 . 这种题的解题方法我们称之为“有根必代” . 例 2 若关于 x 的一元二次方程 （ m -1) x 2 + x + m 2 -1=0 有一个根为 0, 则 m = . 【易错提示】 求出 m 值有两个 1 和 -1 , 由于原方程是一元二次方程，所以 1 不符合，应引起注意 . -1 针对训练 2. 一元二次方程 x 2 + px -2=0 的一个根为 2 ，则 p 的值为 . -1 【 易错提示 】 (1) 配方法的前提是二次项系数是 1 ； （ a - b ) 2 与 （ a + b) 2 要准确区分； （ 2 ） 求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 解析 (1) 配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； （ 2 ） 先求出方程 x 2 ﹣13 x +36=0 的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 考点三 一元二次方程的解法 例 3 (1) 用配方法解方程 x 2 -2 x -5=0 时，原方程应变为（ ） A. ( x -1) 2 =6 B.( x +2) 2 =9 C. ( x +1) 2 =6 D.( x -2) 2 =9 (2) ( 易错题） 三角形两边长分别为 3 和 6 ，第三边的长是方程 x 2 ﹣ 13 x +36=0 的根，则该三角形的周长为（　） 　 A ． 13 B ． 15 C ． 18 D ． 13 或 18 A A 3. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6 ，边 AB 的长是方程 x 2 -7 x +12=0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 16 或 12 D. 24 A 针对训练 4. 用公式法和配方法分别解方程： x 2 -4 x -1=0 （要求写出必要解题步骤） . 4. 用公式法和配方法分别解方程： x 2 -4 x -1=0 （要求写出必要解题步骤） . 考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例 4 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 -3 m =4 x 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. m <2 C. m ≥0 D. m <0 A 【易错提示】 应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮助我们正确确定 a , b , c 的值 . 解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0 , 即 4 2 -4×1× （ -3 m )=16+12 m >0, 解得 , 故选 A . Δ 5. 下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x 2 + x =0 B. 5 x 2 -4 x -1=0 C.3 x 2 -4 x +1=0 D. 4 x 2 -5 x +2=0 6. （开放题） 若关于 x 的一元二次方程 x 2 - x + m =0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可能是 　　 （写出一个即可）． D 0 针对训练 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例 5 已知一元二次方程 x 2 － 4 x － 3 ＝ 0 的两根为 m ， n ， 则 m 2 － mn ＋ n 2 ＝ ． 25 解析 根据根与系数的关系可知， m + n =4, mn =-3. m 2 － mn ＋ n 2 ＝ m 2 + n 2 - mn =( m + n ) 2 -3 mn =4 2 -3 ×(-3)=25. 故填 25. 【 重要变形 】 针对训练 7. 已知方程 2 x 2 +4 x -3=0 的两根分别为 x 1 和 x 2 , 则 x 1 2 + x 2 2 的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. A 考点六 一元二次方程的应用 例 6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件 20 元，调查发现当销售价为 24 元，平均每天能售出 32 件，而当销售价每上涨 2 元，平均每天就少售出 4 件 . (1) 若公司每天的销售价为 x 元，则每天的销售量为多少？ （ 2 ） 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？ 市场销售问题 解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设 公司每天的销售价为 x 元 . 单件利润 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 4 32 x -20 32-2( x -24) 150 其等量关系是：总利润 = 单件利润 × 销售量 . 解： （ 1 ） 32-( x -24) ×2=80-2 x ; （ 2 ） 由题意可得 ( x -20)(80-2 x )=150. 解得 x 1 =25, x 2 =35. 由题意 x ≤28, ∴ x =25, 即售价应当为 25 元 . 【 易错提示 】 销售量在正常销售的基础上进行减少 . 要注意验根 . 128 例 7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售 . 由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬菜滞销 . 小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售 . 求平均每次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是 x ，根据题意得 5 （ 1- x ) 2 =3.2 解得 x 1 =1.8 ( 舍去） , x 2 =0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是 20%. 平均变化率问题 例 8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为 30m, 宽为 20m 的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为 532m 2 , ，那么小道的宽度应为多少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为平行四边形） 解：设小道进出口的宽为 x cm （ 30-2 x )(20- x )=532 x 2 -35 x +34=0 x 1 =1 x 2 =34 （舍去） 答：小道进出口的宽度应为 1 米 . 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之间的关系，再列方程求解 . （注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等） 平移转化 方法总结 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念： ①整式方程； ②一元； ③二次 . 一般形式： ax 2 +bx+c=0 ( a ≠0) 一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 根的判别式及 根与系数的关系 根的判别式 ： Δ = b 2 - 4 ac 根与系数的关系 一元二次方程的应用 营销问题、平均变化率问题 几何问题、数字问题 课堂小结 3.1 用树状图或表格求概率 第三章 概率的进一步认识 第 1 课时 用树状图和表格求概率 1. 会用画树状图或列表的方法计算简单随机事件发生的概率 ; （重点） 2. 能用画树状图或列表的方法不重不漏地列举事件发生的所有可能情况 . （难点） 3. 会用概率的相关知识解决实际问题 . 学习目标 做一做： 小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票 . 三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影 . 游戏规则如下： 连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜 . 小明 小颖 小凡 导入新课 用树状图或表格求概率 一 问题 1 ： 你认为上面游戏公平吗？ 活动探究： （ 1 ）每人抛掷硬币 20 次，并记录每次试验的结果，根据记录填写下面的表格： 抛掷的结果 两枚正面朝上 两枚反面朝上 一枚正面朝上，一枚反面朝上 频数 频率 讲授新课 （ 2 ）由上面的数据，请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率 . 问题 2 ： 通过实验数据 , 你认为该游戏公平吗？ 从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正面朝上 . 一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率 . 所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利 . 议一议： 在上面抛掷硬币试验中， （ 1 ）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ （ 2 ）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ （ 3 ）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？ 我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果 . 开始 正 正 第一枚 硬币 树状图 反 （正，正） （正，反） 反 正 反 （反，正） （反，反） 第二枚硬币 所有可能出现的结果 表格 正 反 正 反 第一枚硬币 第二枚硬币 （正，正） （反，正） （正，反） （反，反） 总共有 4 中结果 , 每种结果出现的可能性相同 . 其中： 小明获胜的概率： 小颖获胜的概率： 小凡获胜的概率： 利树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能性相同的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率 . 方法归纳 典例精析 例 1 某班有 1 名男生、 2 名女生在校文艺演出中获演唱奖，另有 2 名男生、 2 名女生获演奏奖 . 从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选一人去领奖，求两人都是女生的概率 . 解：设两名领奖学生都是女生的事件为 A, 两种奖项各任选 1 人的结果用“树状图”来表示 . 开始 获演唱奖的 获演奏奖的 男 女 '' 女 ' 女 1 男 2 男 1 女 2 女 1 男 2 男 1 女 1 男 2 男 1 女 2 女 2 共有 12 中结果，且每种结果出现的可能性相等，其中 2 名都是女生的结果有 4 种，所以事件 A 发生的概率为 P(A)= 计算等可能情形下概念的关键是确定所有可能性相等的结果总数 n 和求出事件 A 发生的结果总数 m ,“ 树状图 ” 能帮助我们有序的思考，不重复，不遗漏地得出 n 和 m . 例 2 甲、乙、丙三人做传球的游戏 ， 开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球三次 . (1) 写出三次传球的所有可能结果 ( 即传球的方式 ); (2) 指定事件 A ： “ 传球三次后，球又回到甲的手中 ” ， 写出 A 发生的所有可能结果 ; (3) 求 P(A). 解 :(1) 第二次 第三次 结果 开始：甲 共有八种可能的结果，每种结果出现的可能性相同 ; （2）传球三次后，球又回到甲手中，事件A发生有两种可能出现结果（乙，丙，甲）（丙，乙，甲） (3) P (A) = 乙 丙 第一次 甲 甲 丙 乙 甲 甲 丙 丙 乙 乙 乙 丙 （丙， 乙 ，丙） （乙，甲，丙） （乙，丙，甲） （乙，丙，乙） （丙，甲，乙） （丙，甲，丙） （丙， 乙 ， 甲 ） （乙，甲，乙） 方法归纳 当试验包含 两步 时， 列表法 比较方便；当然，此时 也可以用树形图法 ； 当事件要经过 多个 ( 三个或三个以上 )步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率. 思考 你能够用列表法写出 3 次传球的所有可能结果吗？ 若再用列表法表示所有结果已经不方便！ 练一练 1. 经过某十字路口的汽车 , 可能直行 , 也可能向左转或向右转 . 如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率： （ 1 ）三辆车全部继续直行； （ 2 ）两车向右，一车向左； （ 3 ）至少两车向左 . 第一辆 左 右 左 右 左直右 第二辆 第三辆 直 直 左 右 直 左 右 直 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 左直右 共有 27 种行驶方向 （ 2 ） P （两车向右，一车向左） = ； （ 3 ） P （至少两车向左） = 2. 现在学校决定由甲同学代表学校参加全县的诗歌朗诵比赛，甲同学有3件上衣，分别为红色(R)、黄色(Y)、蓝色(B)，有2条裤子，分别为蓝色(B)和棕色(b)。甲同学想要穿蓝色上衣和蓝色裤子参加比赛，你知道甲同学任意拿出1件上衣和1条裤子，恰好是蓝色上衣和蓝色裤子的概率是多少吗？ 上衣： 裤子： 解 : 用“树状图”列出所有可能出现的结果 : 每种结果的出现是等可能的．“取出１件蓝色上衣和１条蓝色裤子”记为事件Ａ，那么事件Ａ发生的概率是 Ｐ（Ａ）＝ 所以，甲同学恰好穿上蓝色上衣和蓝色裤子的概率是 开始 上衣 裤子 所有可能出现的结果 典例精析 例 3 同时抛掷 2 枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是 1 ， 2 ， ···， 6. 试分别计算如下各随机事件的概率 . (1) 抛出的点数之和等于 8 ； (2) 抛出的点数之和等于 12. 分析： 首先要弄清楚一共有多少个可能结果 . 第 1 枚骰子可能掷出 1,2 ，···， 6 中的每一种情况，第 2 枚骰子也可能掷出 1,2 ，···， 6 中的每一种情况 . 可以用 “ 列表法 ” 列出所有可能的结果如下： 第 2 枚 骰子 第 1 枚骰子 结 果 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,2) (5,2) (6,2) (4,3) (5,3) (6,3) (4,4) (5,4) (6,4) (4,5) (5,5) (6,5) (4,6) (5,6) (6,6) 解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有 36 种 . 由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等 . (1) 抛出点数之和等于 8 的结果有 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3) 和 (6,2) 这 5 种，所以抛出的点数之和等于 8 的这个事件发生的概率为 (2) 抛出点数之和等于 12 的结果仅有 (6,6) 这 1 种，所以抛出的点数之和等于 12 的这个事件发生的概率为 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用 列表法 . 归纳总结 例 4 ： 一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？ 1 2 结果 第一次 第二次 解：利用表格列出所有可能的结果： 白 红 1 红 2 白 红 1 红 2 （白，白） （白，红 1 ） （白，红 2 ） （红 1 ，白） （红 1 ，红 1 ） （红 1 ，红 2 ） （红 2 ，白） （红 2 ，红 1 ） （红 2 ，红 2 ） 变式： 一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后 不再放回袋中 ，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？ 解：利用表格列出所有可能的结果： 白 红 1 红 2 白 红 1 红 2 （白，红 1 ） （白，红 2 ） （红 1 ，白） （红 1 ，红 2 ） （红 2 ，白） （红 2 ，红 1 ） 结果 第一次 第二次 当 一次试验所有可能出现的结果较多 时，用 表格 比较方便！ 真知灼见 源于实践 想一想： 什么时候用“ 列表法 ”方便，什么时候用“ 树形图 ”方便？ 当一次试验涉及 两个因素 时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用 列表法 当一次试验涉及 3 个因素或 3 个以上的因素 时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用 树形图 当堂练习 1. 小明与小红玩一次 “ 石头、剪刀、布 ” 游戏，则小明赢的概率是（ ） 2. 某次考试中，每道单项选择题一般有 4 个选项，某同学有两道题不会做，于是他以 “ 抓阄 ” 的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（ ） C D A. B. C. D. A. B. C. D. 3. 如果有两组牌，它们的牌面数字分别是 1 ， 2 ， 3, 那么从每组牌中各摸出一张牌 . （ 1 ）摸出两张牌的数字之和为 4 的概念为多少？ （ 2 ）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？ 3 2 （ 2,3 ） （ 3,3 ） （ 3,2 ） （ 3,1 ） （ 2,2 ） （ 2,1 ） （ 1,3 ） （ 1,2 ） （ 1,1 ） 1 3 2 1 第二张牌 的牌面数字 第一张牌的 　牌面数字 解： （ 1 ） P （数字之和为 4 ） = . （ 2 ） P （数字相等） = 4. 在 6 张卡片上分别写有 1 － 6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 第 一 张 第 二 张 解：由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等 . 满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字（记为事件 A ）的结果有 14 个，则 P （ A ） = = 4. 在 6 张卡片上分别写有 1 － 6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？ 5. 现有 A、B、C 三盘包子，已知 A 盘中有两个酸菜包和一个糖包， B 盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包， C 盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头 . 老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外），那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？ A B C 解：根据题意，画出树状图如下 由树状图得，所有可能出现的结果有 18 个，它们出现的可能性相等 . 选的包子全部是酸菜包有 2 个，所以 选的包子全部是酸菜包的概率是 ： A 盘 B 盘 C 盘 酸 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 糖 酸 糖 韭 酸 糖 酸 糖 酸 糖 酸 酸 酸 酸 酸 糖 酸 糖 酸 酸 糖 糖 酸 韭 酸 酸 韭 糖 酸 酸 酸 酸 酸 糖 酸 糖 酸 酸 糖 糖 酸 韭 酸 酸 韭 糖 糖 酸 酸 糖 酸 糖 糖 糖 酸 糖 糖 糖 糖 韭 酸 糖 韭 糖 列举法 关键 常用 方法 直接列举法 列表法 画树状图法 适用对象 两个试验因素或分两步进行的试验 . 基本步骤 列表； 确定 m 、 n 值 代入概率公式计算 . 在于正确列举出试验结果的各种可能性 . 确保试验中每种结果出现的可能性大小相等 . 前提条件 课堂小结 树状图 步骤 用法 是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法 . 注意 弄清试验涉及 试验因素个数 或 试验步骤分几步 ； 在摸球试验一定要弄清 “ 放回 ” 还是“ 不放回 ” . 关键要弄清楚每一步有几种结果； 在树状图下面对应写着所有可能的结果； 利用概率公式进行计算 . 3.1 用树状图或表格求概率 第三章 概率的进一步认识 第 2 课时 概率与游戏的综合运用 1. 能判断某事件的每个结果出现的可能性是否相等 ; 2. 能将不等可能随机事件转化为等可能随机事件 , 求其发生的概率 . （重点、难点） 学习目标 小颖为学校联欢会设计一个“配紫色”游戏：如下图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形 . 游戏者同时转动两个转盘，如果转盘 A 转出红色，转盘 B 转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色 . 问题： 利用画树状图或列表的方法表示游戏所以可能出现的结果 . A 盘 红 白 B 盘 绿 导入新课 蓝 黄 树状图 画树状图如图所示： 开始 白色 红色 黄色 绿色 A 盘 B 盘 蓝色 黄色 绿色 蓝色 列表法 黄色 蓝色 绿色 白色 ( 白，黄 ) （白，蓝） （白，绿） 红色 （红，黄） （红，蓝） （红，绿） B 盘 A 盘 用表格或树状图求“配紫色”概率 一 引例： 若将 A , B 盘进行以下修改 . 其他条件不变，请求出获胜概率？ A 盘 红 蓝 B 盘 蓝 红 问题 1 ： 下面是小颖和小亮的解答过程 , 两人结果都是 , 你认为谁对 ? 120° 讲授新课 小颖制作下图： 开始 蓝色 红色 蓝色 红色 A 盘 B 盘 蓝色 红色 配成紫色的情况有 ： （红 , 蓝） ， （蓝 , 红） 2 种 . 总共有 4 种结果 . 所以配成紫色的概率 P = . 小亮制作下表：小亮将 A 盘中红色区域等分成 2 份，分别记“红 1” ，“红 2” 红色 蓝色 蓝色 ( 蓝，红 ) （蓝，红） 红 1 色 （红 1 ，红） （红 1 ，蓝） 红 2 色 （红 2 ，红） （红 2 ，蓝） B 盘 A 盘 红 蓝 120° 红 1 红 2 配成紫色的情况有 ： ( 红 1, 蓝 ) ， ( 红 2, 蓝 ) ， ( 蓝 , 红 ) 3 种 . 所以配成紫色的概率 P = . 小 颖的做法不正确 . 因为右边 的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不相同 , 因而指针落在这两个区域的可能性不同 . 小 亮的做法是解决这类问题的一种常用方法 . 问题 2 ： 用 树状图和列表的方法求概率时应注意些什么 ? 用 树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同 . 1 1 2 例 1 ： 一个盒子中装有两个红球，两个白球和一个蓝球，这些球出颜色外都相同了 . 从中随机摸出一个球 , 记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到的球得颜色能配成紫色的概率 . 2 解：现将两个红球分别记作“红 1”“ 红 2” ，两个白球分别记作“白 1”“ 白 2” ，然后列表如下 . 红 1 红 2 白 1 白 2 蓝 红 1 （红 1, 红 1 ） （红 1, 红 2 ） ( 红 1, 白 1) （红 1, 白 2 ） （红 1, 蓝） 红 2 （红 2, 红 1 ） （红 2, 红 2 ） ( 红 2, 白 1) （红 2, 白 2 ） （红 2, 蓝） 白 1 （白 1, 红 1 ） （白 1, 红 2 ） ( 白 1, 白 1) （白 1, 白 2 ） （白 1, 蓝） 白 2 （白 2, 红 1 ） （白 2, 红 2 ） ( 白 2, 白 1) （白 2, 白 2 ） （白 2, 蓝） 蓝 （蓝 , 红 1 ） （蓝 , 红 2 ） ( 蓝 , 白 1) （蓝 , 白 2 ） （蓝 , 蓝） 第二次 第一次 总共有 25 种 结果 , 每种结果出现的可能性相同，而两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有 4 种即 ( 红 1 ，蓝 ) , ( 红 2 ，蓝 ) , ( 蓝，红 1 ) , ( 蓝，红 2 ) , P ( 配成紫色 )= 例 2 ： 在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字 6 ， -2 ， 7 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同 . 先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后 放回盒子 里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字 . 请你用列表或画树状图的方法求下列事件的概率 . （ 1 ）两次取出的小球上的数字相同； （ 2 ）两次取出的小球上的数字之和大于 10 . 6 -2 7 (1) 两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种，所以 P (数字相同)= (2) 两次取出的小球上的数字之和大于 10 的可能性只有 4 种，所以 P (数字之和大于10)= 解：根据题意，画出树状图如下 第一个数字 第二个数字 6 6 -2 7 -2 6 -2 7 7 6 -2 7 例 3 ： 王铮擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，王铮左右为难，最后决定通过掷硬币来确定 . 游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果两次正面朝上一次正面朝下，则王铮加入足球阵营；如果两次反面朝上，一次反面朝下，则王铮加入篮球阵营 . （ 1 ）用画树状图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果； （ 2 ）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？ 解： (1) 根据题意画出树状图，如图 . 开始 正 反 正 反 第一次 第二次 正 反 第三次 正 反 正 反 正 反 正 反 （ 2 ）这个游戏规则对两个球队公平 . 理由如下： 两次正面朝上一次正面朝下有 3 种结果 : 正正反 , 正反正 , 反正正 ; 两次反面朝上一次反面朝下有 3 种结果 : 正反反 , 反正反 , 反反正 . 所以 P ( 王铮去足球队 ) = P ( 王铮去篮球队 ) = 当堂练习 1. a 、 b 、 c 、 d 四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放 2 本，共有 种不同的放法 . 2. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不同的概率为（ ） 3. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和 n 个黄球，它们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ，则 n = . 10 C 8 A. B. C. D. 4. 如 图 , 袋中装有两个完全相同的球 , 分别标有数字“ 1” 和“ 2”. 小明设计了一个游戏 : 游戏者每次从袋中随机摸出一个球 , 并自由转动图中的转盘 ( 转盘被分成相等的三个扇形 ). 如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为 2, 那么游戏者获胜 . 求游戏者获胜的概率 . 1 2 1 2 3 总共 有 6 种结果 , 每种结果出现的可能性相同 , 而 所摸 球上的数字与转盘转出的数字之和为 2 的 结果只有 一种 :(1,1), 因此游戏者获胜的概率为 . 解 : 每次游戏时 , 所有可能出现的结果如下 : 1 2 3 1 (1 ， 1) （ 1 ， 2 ） （ 1 ， 3 ） 2 （ 2 ， 1 ） （ 2 ， 2 ） （ 2 ， 3 ） 转盘 摸球 5. 甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状、质地相同的小球若干，甲盒中装有 2 个小球，分别写有字母 A 和 B ；乙盒中装有 3 个小球，分别写有字母 C 、 D 和 E ；丙盒中装有 2 个小球，分别写有字母 H 和 I ；现要从 3 个盒中各随机取出 1 个小球． I H D E C A B （ 1 ） 取出的 3 个小球中恰好有 1 个， 2 个， 3 个写有元音字母的概率各是多少？ 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 解：由树状图得，所有可能出现的结果有 12 个，它们出现的可能性相等 . （ 1 ） 满足只有一个元音字母的结果有 5 个，则 P （一个元音） = 满足三个全部为元音字母的结果有 1 个，则 P （三个元音） = 满足只有两个元音字母的结果有 4 个，则 P （两个元音） = = （ 2 ） 取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？ 甲 乙 丙 A C D E H I H I H I B C D E H I H I H I B C H A C H A C I A D H A D I A E H A E I B C I B D H B D I B E H B E I 解：满足全是辅音字母的结果有 2 个，则 P （三个辅音） = = . 概率与游戏 的综合应用 配紫色 判断游戏公平性 课堂小结 红色 + 蓝色 = 紫色 判断游戏参与者获 胜的概率是否相同 3.2 用频率估计概率 第三章 概率的进一步认识 学习目标 1. 理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律；(重点) 2. 结合具体情境掌握如何用频率估计概率；(重点) 3. 通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系． 导入新课 情境引入 问题 1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？ 问题 2 它们的概率是多少呢？ 出现 “ 正面朝上 ” 和 “ 反面朝上 ” 两种情况 都是 问题 3 在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？ 讲授新课 用频率估计概率 一 掷硬币试验 试验探究 (1) 抛掷一枚均匀硬币 400 次，每隔 50 次记录 “ 正面朝上 ” 的次数，并算出 “ 正面朝上 ” 的频率，完成下表： 累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400 “ 正面朝上 ” 的频数 “ 正面朝上 ” 的频率 23 46 78 102 123 150 175 200 0.45 0.46 0.52 0.51 0.49 0.50 0.50 0.50 (2) 根据上表的数据，在下图中画统计图表示 “ 正面朝上 ” 的频率 . 频率 试验次数 (3) 在上图中，用红笔画出表示频率为 的直线，你发现 了什么？ 试验次数越多频率越接近 0. 5 ，即频率稳定于概率 . 频率 试验次数 (4) 下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据， 这些数据支持你发现的规律吗？ 试验者 抛掷次数 n “ 正面向上”次数 m “ 正面向上” 频率 ( ) 棣莫弗 2048 1061 0.518 布 丰 4040 2048 0.5069 费 勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 支持 归纳总结 通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率 来估计该事件发生的概率 . 数学史实 人们在长期的实践中发现 , 在随机试验中 , 由于众多微小的偶然因素的影响 , 每次测得的结果虽不尽相同 , 但大量重复试验所得结果却 能反应客观规律 . 这称为 大数法则 , 亦称 大数定律 . 频率稳定性定理 思考 抛掷硬币试验的特点： 1. 可能出现的结果数 __________; 2. 每种可能结果的可能性 __________. 相等 有限 问题 如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或 每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列 举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？ 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中顶帽着地的可能性大吗？ 　做做试验来解决这个问题 . 图钉落地的试验 试验探究 试验 累计次 数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 钉帽着地的次数 ( 频数 ) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109 钉帽着地的频率 ( %) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5 试验累计次数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 钉帽着地的次数 ( 频数 ) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224 钉帽着地的频率 (%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56 (1) 选取 20 名同学，每位学生依次使图钉从高处落下 20 次，并根据试验结果填写下表 . 56.5 (%) (2) 根据上表画出统计图表示 “ 顶帽着地 ” 的频率 . (3) 这个试验说明了什么问题 . 在图钉落地试验中， “ 顶帽着地 ” 的频率随着试验次数的增加，稳定在常数 56.5% 附近 . 一般地，在大量重复试 验中，随机事件 A 发生的频率 ( 这里 n 是实验总次数，它必须相当大， m 是在 n 次试验中随机事件 A 发生的次数）会稳定到某个常数 P. 于是，我们用 P 这个常数表示事件 A 发生的概率，即 P （ A ） = P . 归纳总结 判断正误 （ 1 ）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1 （ 2 ）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5 附近 （ 3 ）设一大批灯泡的次品率为 0.01 ，那么从中抽取 1000 只灯泡，一定有 10 只次品 . 错误 错误 正确 练一练 例 1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下： （ 1 ）填表（精确到 0.001 ）； （ 2 ）比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？ 练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500 罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401 罚中频率 0.900 0.750 0.867 0.787 0.805 0.797 0.805 0.802 解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在 0.8 左右，所以估计他这次能罚中的概率约为 0.8. 例 2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生那种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象 . 而烧制的结果是 “ 合格品 ” 是一个随机事件，这个事件的概率称为 “ 合格品率 ”. 由于烧制结果不是等可能的，我们常用 “ 合格品 ” 的频率作为 “ 合格品率 ” 的估计 . 某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号瓷砖进行质量抽检，结果如下： 抽取瓷砖数 n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数 m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 (1) 计算上表中合格品率的各频率 ( 精确到 0.001); (2) 估计这种瓷砖的合格品率 ( 精确到 0.01); (3) 若该厂本月生产该型号瓷砖 500000 块，试估计合格品数 . (1) 逐项计算，填表如下： 抽取瓷砖数 n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数 m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品率 0.950 0.960 0.957 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 0.962 (2) 观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数 n≥400 时，合格品率 稳定在 0.962 的附近， 所以我们可取 p=0.96 作为该型号瓷砖的合格品率的估计 . (3)500000 × 96%=480000( 块 ) ，可以估计该型号合格品数为 480000 块 . 频率与概率的关系 联系： 频率 概率 事件发生的频繁程度 事件发生的 可能性大小 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值 . 区别： 频率本身是 随机的 ，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同，而概率是一个 确定数 ，是客观 存在的，与每次试验无关 . 稳定性 大量重复试验 当堂练习 1. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共 1 000 尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是 31% 和 42% ，则这个水塘里有鲤鱼 尾 , 鲢鱼 尾 . 310 270 2. 抛掷硬币“正面向上”的概率是 0.5. 如果连续抛掷 100 次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各 50 次，这是为什么？ 答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性 . 或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生 . 3. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球 24 个，黑球若干 . 小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数 m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1) 请估计 : 当 n 很大时 , 摸到白球的频率将会接近 （精确到 0.1 ）； (2) 假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P （白球） = . 0.6 0.6 摸球的次数 n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球次数 m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 4. 填表： 由上表可知：柑橘损坏率是 ，完好率是 . 0.10 0.90 某水果公司以 2 元 / 千克的成本新进了 10000 千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5000 元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 分析 根据上表估计柑橘损坏的概率为 0.1 ，则柑橘完好的概率为 0.9. 解：根据估计的概率可以知道，在 10000 千克柑橘中完好柑橘的质量为 10000×0.9=9000 千克，完好柑橘的实际成本为 设每千克柑橘的销价为 x 元，则应有 （ x -2.22 ） ×9000=5000 ， 解 得 x ≈2.8. 因此，出售柑橘时每千克大约定价为 2.8 元可获利润 5000 元 . 5. 某池塘里养了鱼苗 10 万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为 95% ，一段时间准备打捞出售，第一网捞出 40 条，称得平均每条鱼重 2.5 千克，第二网捞出 25 条，称得平均每条鱼重 2.2 千克，第三网捞出 35 条，称得平均每条鱼重 2.8 千克，试估计这池塘中鱼的重量 . 解：先计算每条鱼的平均重量是： （ 2.5×40+2.2×25+2.8×35 ） ÷ （ 40+25+35 ） =2.53 （千克）； 所以这池塘中鱼的重量是 2.53×100000× 95% =240350 （千克） . 课堂小结 频率估计概率 大量重复试验 求非等可能性事件概率 列举法 不能适应 频率稳定 常数附近 统计思想 用样本 ( 频率 ) 估计总体 ( 概率 ) 一种关系 频率与概率的关系 频率稳定时可看作是概 率但概率与频率无关 小结与复习 第三章 概率的进一步认识 当一次试验要涉及两个因素 , 并且可能出现的结果数目较多时 , 为了不重不漏的列出所有可能的结果 , 通常采用 列表法 . 一个因素所包含的可能情况 另一个因素所包含的可能情况 两个因素所组合的所有可能情况 , 即 n 在所有可能情况 n 中 , 再找到满足条件的事件的个数 m, 最后代入公式计算 . 列表法中表格构造特点 : 当一次试验中涉及 3 个因素 或 更多的因素 时 , 怎么办 ? 一、列表法 要点梳理 当一次试验中涉及 2 个因素或更多的因素时 , 为了不重不漏地列出所有可能的结果 , 通常采用“ 树状图 ” . 树形图的画法 : 一个试验 第一个因数 第二个 第三个 如一个试验中涉及 2 个或 3 个因数 , 第一个因数中有 2 种可能情况 ; 第二个因数中有 3 种可能的情况 ; 第三个因数中有 2 种可能的情况 . A B 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a b a b a b n=2×3×2=12 二、树状图法 我们知道 , 任意抛一枚均匀的硬币 ,“ 正面朝上”的概率是 0.5 , 许多科学家曾做过成千上万次的实验 , 其中部分结果如下表： 抛掷次数（ n ） 2048 4040 12000 24000 30000 正面朝上次（ m ） 1061 2048 6019 12012 14984 频率（ ） 0.518 0.506 0.501 0.5005 0.4996 统一条件下，在大量重复实验中，如果事件 A 发生的频率 稳定与某个常数 P ，那么时间 A 发生的概率 P ( A ) = p . 三、 用频率估计概率 考点一 用列举法求概率 例 1 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. C 考点讲练 例 2 如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b． （1）写出k为负数的概率； （2）求一次函数 y=kx+b 的图象经过 二、三、四象限的概率 . 解：（ 1 ）P（k为负数）= . 【 解析 】 （1）因为－ 1 ，－ 2 ，3中有两个负数，故k为负数的概率为 ； （2）由于一次函数 y=kx+b 的图象经过二、三、四象限时， k ， b 均为负数， 所以在画树形图列举出 k 、 b 取值的所有情况后，从中找出所有k、b均为负数的情况，即可得出答案． （ 2 ）画树状图如右： 由树状图可知， k 、 b 的取值共有 6 种情况， 其中 k ＜ 0 且 b ＜ 0 的情况有 2 种， ∴P （一次函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限） = . 1. 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是(　　) A. B. C. D. A 针对训练 例 3 在中央电视台《星光大道》 2015 年度冠军总决赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论 . （ 1 ）写出三位评委给出 A 选手的所有可能的结果； （ 2 ）对于选手 A , 只有甲、乙两位评委给出相同结果的概率是多少？ 考点二 用树状图或表格法求概率 解：（ 1 ）画出树状图来说明三位评委给出 A 选手的所有可能结果： 通过 通过 待定 通过 待定 通过 待定 甲 乙 丙 待定 通过 待定 通过 待定 通过 待定 （ 2 ）由上图可知三位评委给出 A 选手的所有可能的结果共有 8 种 . 对于选手 A , “ 只有甲、乙两位评委给出相同结果 ” 有 2 种，即“通过 - 通过 - 待定” “待定 - 待定 - 通过”，所以对于选手 A , “ 只有甲、乙两位评委给出相同结果 ” 的概率是 . （ 2 ）对于选手 A , 只有甲、乙两位评委给出相同结果的概率是多少？ 这个游戏对小亮和小明公平吗？ 例 4 小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌 , 分别是红桃和黑桃的 1,2,3,4,5,6, 小明建议 : 我从红桃中抽取一张牌 , 你从黑桃中取一张 , 当两张牌数字之积为奇数时，你得 1 分，为偶数我得 1 分 , 先得到 10 分的获胜 ” . 如果你是小亮 , 你愿意接受这个游戏的规则吗 ? 为什么？ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 红 桃 黑桃 解：这个游戏不公平 ，理由如下： 列表： (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由表中可以看出 , 在两堆牌中分别取一张 , 它可能出现的结果有 36 个 , 它们出现的可能性相等 . 因为 P ( A ) < P ( B ), 所以如果我是小亮 , 我不愿 意接受这个游戏的规则 . 满足两张牌的数字之积为奇数 ( 记为事件 A) 的有 9 种情况 , 所以 满足两张牌的数字之积为偶数 ( 记为事件 B) 的有 27 种情况 , 所以 用画树状图或列表分析是求概率的常用方法： 1. 当事件要经过多个步骤完成是，用画树状图法求事件的概率很有效； 2. 一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法分析所有等可能的结果；当结果要求进行数的和、积等有关运算时，用列表法显得更加清晰、明确 . 方法总结 2 . 一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是(　　) A. B. C. D. A 针对训练 3. 如图 , 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆 , 分别计算它落到红色部分的概率 . 图① 图② 解：图①， 图②，设圆的半径为 a ，则 4 . 如图所示，有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b． （1）写出k为负数的概率； （2）求一次函数 y=kx+b 的图象 经过二、三、四象限的概率 . 【 解析 】 （1）因为－ 1 ，－ 2 ，3中有两个负数，故k为负数的概率为 ； （2）由于一次函数 y=kx+b 的图象经过二、三、四象限时， k ， b 均为负数，所以在画树形图列举出 k 、 b 取值的所有情况后，从中找出所有 k 、 b 均为负数的情况，即可得出答案． ． （ 2 ）画树状图如下： 由树状图可知， k 、 b 的取值共有 6 种情况，其中 k ＜ 0 且 b ＜ 0 的情况有 2 种， ∴P= 解：（ 1 ）P（k为负数）= . 开始 - 1 3 - 2 - 2 3 - 1 3 - 2 1 考点三 用频率估计概率 例 5 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ） A . 频率就是概率 B . 频率与试验次数无关 C . 概率是随机的，与频率无关 D . 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D 例 6 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在 15 ％ 和 45 ％， 则口袋中白色球的个数最有可能是（ ） A.24 个 B.18 个 C.16 个 D.6 个 C 5. 在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有３个红球且摸到红球的概率为 ，那么口袋中球的总个数为_____． 解析：设口袋中球的总个数为 x ， 则摸到红球的概率为 ， 所以 x= 15 ． 针对训练 15 考点四 用概率作决策 例 6 在一个不透明的口袋里分别标注 2 、 4 、 6 的 3 个小球（小球除数字外，其余都相同），另有 3 张背面完全一样，正面分别写有数字 6 、 7 、 8 的卡片 . 现从口袋中任意摸出一个小球，再从这 3 张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片 . （ 1 ）请你用列表或画树状图的方法，表示出所有可能出现的结果； 解： （ 1 ） 列表如下 6 7 8 2 （ 6 ， 2 ） （ 7 ， 2 ） （ 8 ， 2 ） 4 （ 6 ， 4 ） （ 7 ， 4 ） （ 8 ， 4 ） 6 （ 6 ， 6 ） （ 7 ， 6 ） （ 8 ， 6 ） 卡片 小球 共有 9 种等可能结果； （ 2 ）小红和小莉做游戏，制定了两个游戏规则： 规则 1 ：若两次摸出的数字，至少有一次是“ 6 ”，小红赢；否则，小莉赢； 规则 2 ： 若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢 . 小红想要在游戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由 . 规则 1 ： P ( 小红赢 ） = ； 规则 2 ： P ( 小红赢 ） = ∵ ， ∴小红选择规则 1. 6 .A 、 B 两个小型超市举行有奖促销活动，顾客每购满 20 元就有一次按下面规则转动转盘获奖机会，且两超市奖额等同 . 规则是： ① A 超市把转盘甲等分成 4 个扇形区域、 B 超市把转盘乙等分成 3 个扇形区域，并标上了数字（如图所示）； ②顾客第一回转动转盘要转两次，第一次与第二次分别停止 后指针所指数字之和为奇数时 就获奖（若指针停在等分线上， 那么重转一次，直到指针指向 某一份为止） . 1 1 2 2 3 3 4 甲 乙 针对训练 解：（ 1 ）列表格如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 第一回 第二回 甲转盘 共有 16 种等可能结果，其中中奖的有 8 种； ∴ P ( 甲） = （ 1 ）利用树形图或列表法分别求出 A 、 B 两超市顾客一回转盘获奖的概率； 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 第一回 第二回 乙转盘 ∴ P ( 乙） = 共有 9 种等可能结果，其中中奖的有 4 种； （ 2 ）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？说明理由 . （ 2 ） 选甲超市 . 理由如下： ∵ P ( 甲） > P ( 乙）， ∴选甲超市 . 概率的进一步认识 简单的随机事件 复杂的随机事件 具有等可能性 不具有等可能性 树状图 列表 试验法 摸拟试验 理论计算 试验估算 概率定义 课堂小结 4.1 比例线段 第四章 图形的相似 第 1 课时 线段的比和成比例线段 1. 知道线段的比的概念，会计算两条线段的比； （重点） 2 ．理解成比例线段的概念；（重点） 3 ．掌握成比例线段的判定方法．（难点） 学习目标 问题 1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？ 导入新课 情境引入 问题 2 多啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？ 下面图形有什么相同和不同的地方？ 讲授新课 图形的放大与缩小 一 观察与思考 相同点：形状相同 不同点：大小不相同 图形的放大 两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到. 图形的缩小 两个图形相似 图形的缩小 归纳： 你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？ 思考： 线段的比和成比例线段 二 如果选用同一个长度单位得两条先线段 AB , CD 的长度分别是 m , n , 那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 A B C D m n AB : CD= m : n 或 如果把 表示成比值 k , 那么 =k ，或 AB=k · CD , 两条线段的比实际上就是两个数的比 . 1. 若线段 AB ＝6 cm ， CD ＝ 4 cm ，则 . 2. 若线段 AB ＝ 8cm ， CD ＝2dm ，则 . 思考： 两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？ 有关 ？ 无关 ？ 求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一 在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同 . 注意： 虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数 . 练一练 4. 五边形 ABCDE 与五边形 A'B'C'D'E' 形状相同， AB ＝ 5cm ， A'B' ＝ 3cm ， AB ∶ A'B' ＝ . A B C D E A' B' C' D' E' 5∶3 3. 已知线段 AB ＝ 8cm ， A'B' ＝ 2cm ， AB ∶ A'B' 的比为 　　　 ， AB ∶ A'B' 的比值为 ， AB ＝ 　　 A'B' . 4∶1 4 4 练一练 你能举出生活中使用线段的比的例子吗？ 做一做： 设小方格的边长为 1 ，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的顶点都在格点上，那么 AB ， AD , EF , EH 的长度分别是多少？ A B C D G H E F 计算　　 　　　 的值，你发现了什么？ A B C D G H E F 四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a , b ,c , d 叫作 成比例线段 ，简称 比例线段 . 归纳总结 AB，EF，AD，EH 是成比例线段， AB，AD，EF，EH 也是成比例线段 . 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！ 例 1 ： 判断下列线段 a 、 b 、 c 、 d 是否是成比例线段： 　 （ 1 ） a ＝ 4 ， b ＝ 6 ， c ＝ 5 ， d ＝ 10 ； 解： （ 1 ）　∵　 ∴ 　线段 a 、 b 、 c 、 d 不是成比例线段． ， ∴ 　 ， 典例精析 （ 2 ） a ＝ 2 ， b ＝ ， c ＝ ， d ＝ ． （ 2 ）　∵　 ∴ 　 ∴ 　线段 a 、 b 、 c 、 d 是成比例线段． 注意 : 1. 若 a:b=k , 说明 a 是 b 的 k 倍 ； 2. 两条线段的比与所采用的 长度单位无关 ，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 3. 两条线段的 比值是一个没有单位的正数 ； 4. 除了 a=b 外 , a : b≠b : a , 互为倒数 . 1. 判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？ 成比例线段 不成比例线段 2. 下列各组线段中成比例线段的是　　（　　） C 练一练 解：根据题意可知 , AB=a m , AE = a m , AD =1m . 由 ，得 即 开平方 , 得 例 2 ： 一块矩形绸布的长 AB=a m , 宽 AD =1m ，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即 ，那么 a 的值应当是多少？ D A F E C B 当堂练习 1 . 一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（ ） A . 100:3 B. 1:3 C. 10:3 D. 1000:3 2 . 甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（ ） A . 5:1 B. 1:5 C. 1:500000 D. 500000:1 A C 解：根据题意可知 , , AB = 15 , AC = 10 , BD = 6. 则 AD = AB – BD =15 – 6= 9. 则 3. 已知 ， AB =15 ， AC =10 ， BD =6 ．求 AE ． A B C D E 1. 一条线段的长度是另一条线段的 5 倍，则这两条线段的比等于 . 2. 已知 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a =3 cm ， b =2 cm ， c =6 cm ，则线段 d = . 3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为 . 4cm ， 3 ， 12 5∶1 拓展练习 课堂小结 成比例线段 如果选用同一长度单位量得两条线段 AB , CD 的长 度分别是 m ， n ，那么这两条线段的比就是它们长 度的比，即 AB ： CD = m ： n ，或写成 四条线段 a ， b ， c ， d ，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的 比，即 ，那么这四条线段 a ， b ， c ， d 叫做 成比例线段，简称比例线段 . 线段的比 成比例线段 4.1 成比例线段 第四章 图形的相似 第 2 课时 比例的性质 1. 理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点） 2. 能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题 . （难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 如图的 (1) 和 (2) 都是故宫太和殿的照片 ，(2) 是由 (1) 缩小得到的. （ 1 ） （ 2 ） P Q P ′ Q ′ 在照片 (1) 中任意取四个点 P ， Q ， A ， B 在照片 (2) 找出对应的两个点 P ′ ， Q ′ ， A ′ , B ′ 量出线段 PQ ， P ′ Q ′ ， AB ， A ′ B ′ 的长度 . 计算它们的长度的比值 . A A ´ B ´ B 讲授新课 比例的基本性质 一 合作探究 问题 1 ： 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc , 那么 a , b , c , d 四个数成比例吗？ 如果四个数 a , b , c , d 成比例，即 那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd , 得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad=bc. 由此可得到比例的基本性质： 如果 ad=bc （ a , b , c , d 都不等于 0 ），那么 . 如果 ad=bc , 那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a , b , c , d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 典例精析 例 1 ： 根据下列条件，求 a : b 的值： （1） 4 a= 5 b ； （2） （2）∵ ，∴8 a= 7 b ，∴ 解 （1）∵ 4 a= 5 b ，∴ 例 2 ： 已知 ，求 的值 . 解： 解法 1 ： 由比例的基本性质， 得 2 （ a +3 b ） =7×2 b . ∴ a =4 b ，∴ = 4. 解法 2 ：由 ，得 . ∴ , ，那么 、 各等于多少？ 2 ．已知 1 ．已知：　线段 a 、 b 、 c 满足关系式 且 b ＝ 4 ，那么 ac ＝ ______ ． ， 练一练 16 问题 2 ： 已知 a , b, c, d, e, f 六个数，如果 （ b+d+f≠0 ） , 那么 成立吗？为什么？ 设 , 则 a = kb, c = kd , e= kf . 所以 等比性质 二 由此可得到比例的又一性质： 例 3 ： 在△ ABC 与△ DEF 中，已知 ，且△ ABC 的周长为 18cm, 求△ DEF 得周长 . 解：∵ ∴ ∴ 4 ( AB + BC + CA )=3( DE + EF + FD ). 即 AB + BC + CA = ( DE + EF + FD ) ， 又 △ ABC 的周长为 18cm ， 即 AB + BC + CA =18cm. ∴ △ DEF 的周长为 24cm. 例 4 ： 若 a ， b ， c 都是不等于零的数，且 ，求 k 的值 . 得 ， 则 k ＝＝ 2 ； 当 a ＋ b ＋ c ＝ 0 时，则有 a ＋ b ＝－ c . 此时 综上所述， k 的值是 2 或－ 1 . 解：当 a ＋ b ＋ c ≠0 时，由 ， 1.(1) 已知 ，那么 = ， = . (3) 如果 ，那么 . (2) 如果 那么 . 当堂练习 2. 已知四个数 a ， b ， c ， d 成比例. （1）若 a =-3， b =9， c =2 ，求 d ； （2）若 a =-3， b = ， c =2 ，求 d . 比例的性质 如果 那么 ad = bc 基本性质 等比性质 如果 ad = bc （ a , b, c, d ） 都不等于 0 ，那么 课堂小结 4.2 平行线分线段成比例 第四章 图形的相似 1. 了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论 ; （重点） 2. 会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题 . （难点） 学习目标 观察与猜想 下图是一架梯子的示意图 , 由生活常识可以知道 : AD , BE 1 , CF 互相平行，且若 AB=BC , 你能猜想出什么结果呢？ a b c DE = EF 导入新课 D F E 讲授新课 平行线分线段成比例（基本事实） 一 如图①，小方格的边长都是1，直线 a∥b∥c ，分别交直线 m ， n 于 A 1 ， A 2 ， A 3 ， B 1 ， B 2 ， B 3 . 合作探究 A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 m n a b c 图① A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 m n a b c (1) 计算 ，你有什么发现？ (2) 将 b 向下平移到如图②的位置，直线 m ， n 与直线 b 的交点分别为 A 2 ， B 2 . 你在问题 (1) 中发现的结 论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？ A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 m n a b c 图② (3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线， 用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？ 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 若 a∥b∥ c ，则 ， ， 归纳： A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 b c a 1 . 如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？ 想一想： 如图，已知 l 1 ∥l 2 ∥l 3 ，下列比例式中错误的是 ( ) A. B. C. D. D 练一练 A C E B D F l 2 l 1 l 3 如图，直线 a ∥ b ∥ c ，由 平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段， 平行线分线段成比例定理的推论 二 A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 b c m n a 观察与思考 把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例 . A 1 A 2 A 3 b c m B 1 B 2 B 3 n a 直线 n 向左平移到 B 1 与 A 1 重合的位置，说说 图 中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A 1 ( B 1 ) A 2 A 3 B 2 B 3 ( ) A 1 A 2 A 3 b c m B 1 B 2 B 3 n a 直线 n 向左平移到 B 2 与 A 2 重合的位置，说说 图 中有哪些成比例线段？ 把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？ A 2 ( B 2 ) A 1 A 3 B 1 B 3 ( ) 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. A 1 ( B 1 ) A 2 A 3 B 2 B 3 A 2 ( B 2 ) A 1 A 3 B 1 B 3 归纳： 如图， DE∥BC ， ，则 ； FG∥BC ， ，则 . 练一练 A B C E D F G 例1 如图，在△ ABC 中， EF∥BC . (1) 如果 E 、 F 分别是 AB 和 AC 上的点， AE = BE =7， FC = 4 ，那么 AF 的长是多少？ A B C E F 典例精析 解： ∵ ∴ 解得 AF = 4. (2) 如果 AB = 10， AE =6， AF = 5，那么 FC 的长是多 少？ A B C E F 解： ∵ ∴ 解得 AC = . ∴ FC = AC － AF = . 如图， DE∥BC ， AD =4， DB =6， AE =3，则 AC = ； FG∥BC ， AF =4.5 ，则 AG = . A B C E D F G 练一练 7.5 6 例 2 ： 如图：在 △ABC 中 , 点 D 、 E 、 F 分别在边 AB 、 AC 、 BC 上，且 DE//BC 、 EF//AB. 若 AD=2BD. (1) 求证： (2) 求 的值 . A B C D E F 解： ∵ DE // BC ， EF // AB 又 AD =2 BD 1. 如图，已知 l 1 ∥l 2 ∥l 3 ，下列比例式中错误的是 ( 　　 ) A. B. C. D. D 当堂练习 2. 如图，在 △ ABC 中， EF∥BC ， AE =2cm， BE =6cm， BC = 4 cm， EF 长 ( ) A A. 1 cm B. cm C. 3 cm D. 2cm A B C E F A B C E D 2. 填空题 : 如图 : DE∥BC , 已知 : 则 . 3.在△ ABC 中， ED // AB ，若 ， 则 4 . 如图，已知菱形 ABCD 内接于△ AEF ， AE =5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长. 解： ∵ 四边形 ABCD 为菱形， B C A D E F ∴ CD∥AB ， ∴ 设菱形的边长为 x cm ，则 CD = AD = x cm ， DF = (4 － x ) cm ， ∴ 解得 x = ∴ 菱形的边长为 cm. 5. 如图， AB = AC ， AD ⊥ BC 于点 D , M 是 AD 的中点， CM 交 AB 于点 P , DN ∥ CP . （ 1 ）若 AB =6cm ，求 AP 的长； （ 2 ）若 PM =1cm, 求 PC 的长 . 拓展提升 解： (1)∵ AB = AC ， AD ⊥ BC 于点 D , M 是 AD 的中点 , ∴ DB = DC , AM = MD . ∵ DN ∥ CP , 又 ∵ AB = 6cm ， ∴ AP = 2cm. （ 2 ） 若 PM =1cm, 求 PC 的长 . ∵ DN ∥ CP , 又 ∵ PM = 1cm ， ∴ PC = 2 ND =4 PM =4cm. 解：由（ 1 ）知 AP = PN = NB , 课堂小结 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ◑推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例 ◑基本事实 平行线分线段成 比例 4.3 相似多边形 第四章 图形的相似 1. 了解相似多边形和相似比的概念 . 2. 会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形 . （重点） 3. 掌握相似多边形的性质 , 能根据相似比进行相关的计算 . （难点） 学习目标 导入新课 观察与思考 想一想 : 下面几组图形有什么相同点和不同点 ? （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 放大镜下的图形和原来的图形有什么相同与不同吗？ 放大镜下的角与原图 形中角是什么关系 ? 相似多边形与相似比 一 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 A B C D E F 多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的 ， 而多边形 A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 是投射到银幕上的. 观察与思考 讲授新课 问题 1 这两个多边形相似吗？ 问题 2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？ 问题 3 在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成 比例？ A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 A B C D E F 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形的对应边的比叫作相似比. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. ◑相似比： ◑相似多边形的特征： ◑相似多边形的定义： 要点归纳 相似多边形用符号 “∽” 表示，读作 “ 相似于 ” 任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？ a 1 a 2 a 3 a n … 分析： 已知等边三角形的每个角都为 60°, 三边都相等 . 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等 . 议一议 同理，任意两个正方形都相似 . 归纳： 任意两个边数相等的正多边形都相似. … a 1 a 2 a 3 a n 思考： 任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？ 例 1 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α ， β 的大小和 EH 的长度 x . 典例精析 D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 在四边形 ABCD 中， ∠ β＝ 360°－ ( 78°＋83°＋118° ) ＝81°. ∠ α ＝∠ C ＝83°，∠ A ＝∠ E ＝118°. 解： ∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似， ∴ 它们的对 应角相等．由此可得 D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° ∵ 四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应边 成 比 例， 由此可得 解得 x ＝ 28 cm. ，即 . D A B C 18 21 78° 83° β 24 G E F H α x 118° 如图所示的两个五边形相似，求未知边 a ， b ， c ， d 的长度． 5 3 2 c d 7.5 b a 6 9 练一练 解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得 解得： a =3， b =4.5， c =4， d =6. 所以未知边 a ， b ， c ， d 的长度分别为3，4.5，4，6. ， ， ， ， 例 2 ： 如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， EF∥BC ， EF 将四边形 ABCD 分成两个相似四边形 AEFD 和 EBCF . 若 AD =3 ， BC =4 ，求 AE : EB 的值 . 解：∵四边形 AEFD ∽ 四边形 EBCF , ∴ . ∴ EF 2 = AD · BC =3×4=12, ∴ EF = . ∵四边形 AEFD ∽ 四边形 EBCF , ∴ AE : EB = AD : EF= 3: = :2. A B C D E F 当堂练习 1. 下 列图形中能够确定相似的是 ( ) A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形 C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形 E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形 ABDF 2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得 甲、乙两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际 距离是 ( ) A. 3000 m B. 3500 m C. 5000 m D. 7500 m D 3 . 如图所示的两个四边形是否相似？ 答案：不相似 . 4. 观察下面的图形 (a)~(g) ， 其中哪些是与图形 (1)、 (2) 或 (3) 相似的？ 5. 填空： (1) 如图① 是两个相似的四边 形 ，则 x = ， y = ， α = ； (2) 如图② 是两个相似的矩形 ， x = . ╰ 65 ° ╯ 80 ° α ╭ 6 125 ° ╯ 80 ° ╮ 3 x y 图① 3 5 30 20 15 x 图② 2.5 1.5 90° 22.5 6 . 如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 EF ，若矩形 ABCD 与矩形 EABF 相似， AB = 1． ( 1 ) 求 BC 长； A B C D E F 解： ∵ E 是 AD 的中点， ∴ . 又 ∵矩形 ABCD 与 矩形 EABF 相似， AB =1 ， ∴ ， ∴ AB 2 = AE · BC ， ∴ . 解得 (2) 求矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比. A B C D E F 解：矩形 ABEF 与矩形 ABCD 的相似比为： 相似图形 形状相同的图形叫做 相似图形 相似图形的大小不一定相同 相似多边形对应边的比叫做 相似比 对应角相等，对应边成比例 课堂小结 相似多边形 相似多边形 4.4 探索三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第 1 课时 利用两角判定三角形相似 1. 理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件 . 2. 掌握相似三角形的判定定理 1. （重点） 3. 能熟练运用相似三角形的判定定理 1. （难点） 学习目标 问题 1 ： 这两个三角形有什么关系？ 观察与思考 全等三角形 导入新课 那这样变化一下呢？ 相似三角形 相似三角形定义 ：我们把 三角 分别相等、 三边 成比例的两个三角形叫做 相似三角形 . 对应角 …… ？ 对应边 …… ？ 问题 2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 全等是一种特殊的相似 定义 判定 方法 全等三角形 相似三角形 三角、三边对应相等的两个三角形全等 三角对应相等 , 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角 A S A 角角边 A A S 边边边 S S S 边角边 S A S 斜边、直角边 H L 问题 3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 需要 三个 等量条件 思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？ 学校举办活动，需要三个内角分别为 90 °， 60 °， 30 °的形状相同、大小不同的三角纸板若干 . 小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 导入新课 情境引入 ？ ？ ？ 讲授新课 问题一 度量 AB ， BC ， AC ， A′B′ ， B′C′ ， A′C′ 的长，并计算出它们的比值 . 你有什么发现？ C A B A' B' C' 两角分别相等的两个三角形相似 一 合作探究 与同伴合作，一人画 △ ABC ，另一人画 △ A′B′C′ ，使∠ A =∠ A′ ， ∠ B = ∠ B ′ ，探究下列问题： 这两个三角形是相似的 证明： 在 △ ABC 的边 AB （或 AB 的延长线）上， 截取 AD = A′B′ ，过点 D 作 DE // BC ，交 AC 于点 E ， 则有△ ADE ∽△ ABC ，∠ ADE =∠ B . ∵ ∠ B = ∠ B ′ ， ∴ ∠ ADE =∠ B′. 又 ∵ AD = A′B′ ， ∠ A =∠ A′ ， ∴ △ ADE ≌ △ A′B′C′ ， ∴ △ A′B′C′ ∽△ ABC . C A A' B B' C' D E 问题二 试证明 △ A′B′C′ ∽△ ABC . 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠ A = ∠ A' ，∠ B =∠ B' ， ∴ △ ABC ∽ △ A'B'C' . 符号语言： C A B A' B' C' 归纳： 例 1 ： 如图， D , E 分别是△ ABC 的边 AB , AC 上的点， DE∥BC , AB =7 ， AD =5 ， DE =10 ，求 BC 的长 . 解：∵ DE∥BC , ∴∠ ADE =∠ B ，∠ AED =∠ C . ∴△ ADE ∽△ ABC ( 两角分别相等的两个三角形相似 ). ∴ ∴ BC =14. B A D E C 典例精析 如图，△ ABC 中， DE∥BC ， EF∥AB ，求证： △ ADE ∽△ EFC . A E F B C D 证明 : ∵ DE∥BC ， EF∥AB ， ∴∠ AED ＝∠ C ， ∠ A ＝∠ FEC . ∴ △ ADE ∽△ EFC . 练一练 证明： ∵∠ BAC = ∠ 1+ ∠ DAC ， ∠ DAE = ∠ 3+ ∠ DAC ，∠ 1=∠3 ， ∴ ∠ BAC = ∠ DAE. ∵ ∠ C =180° －∠ 2 －∠ DOC ， ∠ E =180° －∠ 3 －∠ AOE ， ∠ DOC = ∠ AOE （对顶角相等）， ∴ ∠ C = ∠ E. ∴ △ ABC ∽△ ADE. 例 2 ： 如图，∠ 1=∠2=∠3 ，求证：△ ABC ∽△ ADE ． A B C D E 1 3 2 O 归纳总结 ∴ 解： ∵ ED ⊥ AB ， ∴ ∠ EDA =90 ° . 又 ∠ C =90 ° ， ∠ A = ∠ A ， ∴ △ AED ∽ △ ABC . 例 3 如图 ， 在 Rt △ ABC 中， ∠ C = 90° ， AB = 10 ， AC = 8. E 是 AC 上一点， AE = 5 ， ED ⊥ AB ，垂足为 D . 求 AD 的长 . D A B C E ∴ 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳总结 当堂练习 1. 如图，已知 AB∥DE ，∠ AFC ＝∠ E ，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1 对 　　 B. 2 对 C. 3 对 　　 D. 4 对 C 2. 如图，△ ABC 中， AE 交 BC 于点 D ，∠ C =∠ E ， AD : DE =3 : 5， AE =8， BD =4，则 DC 的长等于 ( ) A. B. C. D. A C A B D E A B D C 3 . 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ ( 或 ∠ =∠ ) 时， △ ACD ∽△ ABC ； ACD ACB B ADB 证明： ∵ 在 △ ABC 中， ∠ A =40 ° ， ∠ B =80 ° ， ∴ ∠ C =180 ° －∠ A －∠ B =60 °. ∵ 在 △ DEF 中， ∠ E =80 ° ， ∠ F =60 °. ∴ ∠ B =∠ E ，∠ C =∠ F . 　 ∴ △ ABC ∽ △ DEF . 4. 如图， △ ABC 和 △ DEF 中，∠ A =40° ，∠ B =80° ， ∠ E =80 ° ， ∠ F =60 ° ．求证： △ ABC ∽ △ DEF. A C B F E D 证明： ∵ △ ABC 的高 AD 、 BE 交于点 F ， ∴ ∠ FEA = ∠ FDB =90° ， ∠ AFE =∠ BFD ( 对顶角相等 ). ∴ △ FEA ∽ △ FDB ， ∴ 5. 如图，△ ABC 的高 AD 、 BE 交于点 F ． 求证： D C A B E F 利用两角判定三角形相似 定理：两角分别相等的两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理 1 的运用 第四章 图形的相似 4.4 探究三角形相似的条件 第 2 课时 利用两边及夹角判定三角形相似 学习目标 1. 掌握相似三角形的判定定理 2 ；（重点） 2. 能熟练运用相似三角形的判定定理 2 ．（难点） 问题 1 . 有两边对应成比例的两个三角形相似吗? 3 3 5 5 不相似 观察与思考 问题 2 . 类比三角形全等的判定方法（ SAS,SSS ），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 3 3 5 5 相似 导入新课 讲授新课 利用刻度尺和量角器画 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′，使 ∠ A =∠ A ′， 量出 BC 及 B ′ C ′ 的长， 它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的 两个角，你有什么发现？△ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ 有何关 系？ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 合作探究 两个三角形相似 改变 k 和∠ A 的值的大小，是否有同样的结论？ 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′中，已知∠ A = ∠ A ′ ， 证明： 在 △ A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D ， 使 A′D = AB ．过点 D 作 DE∥B′C′ ， 交 A′C′ 于点 E . ∵ DE∥B′C′ ， ∴ △ A′DE ∽△ A′B′C′ . 求证： △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′. B A C D E B' A' C' ∴ ∴ A′E = AC . 又 ∠ A′ = ∠ A . ∴ △ A′DE ≌ △ ABC ， ∴ △ A′B′C′ ∽ △ ABC . B A C D E B' A' C' ∵ A′D=AB ， ∴ 由此得到利用 两边和夹角 来判定 三角形相似的定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言： ∵ ∠ A= ∠ A ′ ， B A C B' A' C' ∴ △ ABC ∽ △ A′B′C′ . 归纳： 对于△ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ ， 如果 A ′ B ′ : AB = A ′ C ′ : AC . ∠ B = ∠ B ′ ， 这两个三角形一定会相似吗？ 不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等 . A B C 思考： A ′ B ′ B ″ C ′ 结论： 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似， 相等的角一定要是两条对应边的夹角. 典例精析 例 1 根据下列条件，判断 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 是否相似，并说明理由： ∠ A =120° ， AB =7 cm ， AC =14 cm ， ∠ A ′ =120° ， A ′ B ′ =3 cm ， A ′ C ′ =6 cm ． 解： ∵ ∴ 又 ∠ A′ = ∠ A ， ∴ △ ABC ∽ △ A′B′C′ . 1. 在 △ ABC 和 △ DEF 中， ∠ C =∠ F =70° ， AC = 3.5 cm ， BC = 2.5 cm ， DF =2.1 cm ， EF =1.5 cm. 求证： △ DEF ∽△ ABC . A C B F E D 证明： ∵ AC = 3.5 cm ， BC = 2.5 cm ， DF = 2.1 cm ， EF = 1.5 cm ， 又 ∵ ∠ C =∠ F = 70° ， ∴ △ DEF ∽△ ABC . 练一练 ∴ 2. 如图，△ ABC 与 △ ADE 都是等腰三角形， AD = AE ， AB = AC ，∠ DAB =∠ CAE . 求证：△ ABC ∽△ ADE . 证明 ： ∵ △ ABC 与 △ ADE 是等腰三角形， ∴ AD = AE ， AB = AC ， ∴ 又 ∵ ∠ DAB = ∠ CAE ， ∴ ∠ DAB +∠ BAE = ∠ CAE +∠ BAE ， 即 ∠ DAE =∠ BAC ，∴△ ABC ∽ △ ADE . A B C D E 解：∵ AE =1.5 ， AC =2 ， 例 2 如图， D ， E 分别是 △ ABC 的边 AC ， AB 上的点， AE =1.5 ， AC =2 ， BC =3 ， 且 ，求 DE 的长 . A C B E D ∴ 又∵∠ EAD =∠ CAB ， ∴ △ ADE ∽△ ABC ， ∴ ∴ 提示： 解题时要找准对应边 . 证明： ∵ CD 是边 AB 上的高， ∴ ∠ ADC = ∠ CDB =90°. ∴ △ ADC ∽ △ CDB ， ∴ ∠ ACD = ∠ B ， ∴ ∠ ACB = ∠ ACD + ∠ BCD = ∠ B + ∠ BCD = 90°. 例 3 如图， 在 △ ABC 中 ， CD 是边 AB 上的高，且 ，求证 ∠ ACB =90 ° ． A B C D ∵ 方法总结： 解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等 . 当堂练习 1 . 判断 (1) 两个等边三角形相似 ( ) (2) 两个直角三角形相似 ( ) (3) 两个等腰直角三角形相似 ( ) (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 ( ) × √ √ × 2. 如图， D 是 △ ABC 一边 BC 上一点，连接 AD ，使 △ ABC ∽ △ DBA 的条件是 ( ) A . AC : BC=AD : BD B . AC : BC=AB : AD C . AB 2 = CD · BC D . AB 2 = BD · BC D A B C D 3. 如图 △ AEB 和 △ FEC ( 填 “ 相似 ” 或 “ 不相似 ”) . 54 30 36 45 E A F C B 1 2 相似 解析：当 △ ADP ∽△ ACB 时， AP : AB = AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ， 解得 AP = 9； 当 △ ADP ∽△ ABC 时， AD : AB = AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4 . ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时， △ ADP 和 △ ABC 相似． 4. 如图，已知 △ ABC 中， D 为边 AC 上一点， P 为边 AB 上一点， AB = 12， AC = 8， AD = 6，当 AP 的长 度为 时，△ ADP 和 △ ABC 相似. A B C D 4 或 9 P P 5. 如图，在四边形 ABCD 中， 已知 ∠ B =∠ ACD ， AB =6， BC =4， AC =5， CD = ，求 AD 的长． A B C D 解： ∵ AB =6， BC =4， AC =5， CD = ， ∴ 又 ∵∠ B =∠ ACD ， ∴ △ ABC ∽ △ DCA ， ∴ ， ∴ 6 . 如图，∠ DAB =∠ CAE ，且 AB · AD = AE · AC ，求证 △ ABC ∽△ AED . A B C D E 证明： ∵ AB · AD = AE · AC ， ∴ 又 ∵ ∠ DAB =∠ CAE ， ∴ ∠ DAB +∠ BAE =∠ CAE +∠ BAE ， 即 ∠ DAE =∠ BAC ， ∴ △ ABC ∽△ AED . 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 利用两边及夹角判定三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 4.4 探究三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第 3 课时 利用三边判定三角形相似 1. 复习已经学过的三角形相似的判定定理 . 2. 掌握利用 三边来判定两个三角形相似的方法，并能进 行相关计算 . ( 重点、难点 ) 学习目标 2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获 得证明三角形相似的启发吗？ 导入新课 1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪 些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有 其缺点和局限性？ A B C D E 复习引入 3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，我们能不能通 过三边来判定两个三角形相似呢？ 讲授新课 三边成比例的两个三角形相似 合作探究 画 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ ， 使 ， 动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两 个三角形是否相似？ A B C C′ B ′ A ′ A B C C′ B ′ A ′ 通过测量不难发现∠ A =∠ A' ，∠ B =∠ B' ，∠ C =∠ C' ， 又因为两个三角形的边对应成比例， 所以 △ ABC ∽ △ A′B′C′ . 下面我们 用前 面 所学得定理 证明该结论 . ∴ C′ B ′ A ′ 证明: 在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A ′ B ′， 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E . ∵ DE∥BC ，∴ △ ADE ∽ △ ABC . ∴ DE = B′C′ ， EA = C′A ′. ∴△ ADE ≌ △ A′B′C′ ， △ A′B′C′ ∽ △ ABC . B C A D E 又 ， AD = A ′ B ′， ∴ ， . 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △ A ′ B ′ C . 符号语言： 归纳总结 例 1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 典例精析 解：在 △ ABC 中 ， AB > BC > CA ， 在 △ DEF 中， DE > EF > FD. ∴ △ ABC ∽ △ DEF . A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 ∵ ， ， ， ∴ . 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等 . 注意： 计算时 最长边 与 最长边 对应，最短边与最短边对应 . 归纳总结 已知 △ ABC 和 △ DEF ， 根据下列条件判断它们是否相似 . (3) AB =12 ， BC =15 ， AC ＝ 24 ， DE ＝ 16 ， EF ＝ 20 ， DF ＝ 30. (2) AB =4 ， BC =8 ， AC ＝ 10 ， DE ＝ 20 ， EF ＝ 16 ， DF ＝ 8 ； (1) AB =3 ， BC =4 ， AC ＝ 6 ， DE ＝ 6 ， EF ＝ 8 ， DF ＝ 9 ； 是 否 否 练一练 例 2 如图，在 Rt△ ABC 与 Rt△ A′B′C′ 中， ∠ C =∠ C ′ = 90 ° ， 且 求证：△ A′B′C′ ∽△ ABC . 证明：由已知条件 得 AB = 2 A ′ B ′ ， AC = 2 A ′ C ′ ， ∴ BC 2 = AB 2 － AC 2 = ( 2 A ′ B ′ ) 2 － ( 2 A ′ C ′ ) 2 = 4 A ′ B ′ 2 － 4 A ′ C ′ 2 = 4 ( A ′ B ′ 2 － A ′ C ′ 2 ) = 4 B ′ C ′ 2 = ( 2 B ′ C ′ ) 2 . ∴ △ A′B′C′ ∽△ ABC . ( 三边对应 成比例的两个三角形相似 ) ∴ BC =2 B ′ C ′ ， ∴∠ BAC =∠ DAE ， ∠ BAC － ∠ DAC = ∠ DAE － ∠ DAC ， 即 ∠ BAD =∠ CAE . ∵∠ BAD =20° ， ∴∠ CAE =20°. ∴ △ ABC ∽△ ADE ( 三边成 比例的两个三角形相似 ). 例 3 如图，在 △ ABC 和 △ ADE 中， ∠ BAD =20° ， 求∠ CAE 的度数 . A B C D E 解：∵ 解：在 △ ABC 和 △ ADE 中， ∵ AB : CD = BC : DE = AC : AE ， ∴ △ ABC ∽ △ ADE ， ∴∠ BAC =∠ DAE ， ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E . ∴∠ BAC － ∠ CAD =∠ DAE － ∠ CAD ， ∴∠ BAD =∠ CAE . 故图中相等的角有 ∠ BAC =∠ DAE ， ∠ B =∠ D ， ∠ C =∠ E ， ∠ BAD =∠ CAE . 如图，已知 AB : A D = BC : DE = AC : AE ，找出图中相等的角 ( 对顶角除外 ) ，并说明你的理由 . 练一练 A B C D E 当堂练习 1. 如图，若 △ ABC ∽ △ DEF ，则 x 的值为 ( ) A B C D E F A. 20 B. 27 C. 36 D. 45 C 2. 如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三 角形的是 ( ) ① ② ③ ④ A. ①和② B. ②和③ C. ①和③ D. ②和④ C 3 . 如图，∠ APD =90°， AP = PB = BC = CD ，下列结论 正确的是 ( ) A. △ PAB ∽△ PCA B. △ PAB ∽△ PDA C. △ ABC ∽△ DBA D. △ ABC ∽△ DCA A C B P D C ∵ AB : BC = B D : AB = A D : A C ， ∴ △ ABC ∽ △ DBA ，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD =1 ， ∵ ∠ APD =90°， ∴AB= ， AC= ， AD= . 4. 根据下列条件，判断△ ABC 与△ A ′ B ′ C ′ 是否相似： AB =4cm ， BC =6cm ， AC =8cm， A ′ B ′ =12cm ， B ′ C ′ =18cm ， A ′ C ′ =21cm. 答案：不相似 . 5. 如图，△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点，求证：△ ABC ∽△ EFD ． ∴ △ ABC ∽△ EFD . 证明：∵△ ABC 中，点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点， ∴ ∴ 6. 如图，某地四个乡镇 A ， B ， C ， D 之间建有公路， 已知 AB = 14 千米， AD = 28 千米， BD = 21 千米， DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你 的理由. A C B D 28 14 21 42 31.5 解： 公路 AB 与 CD 平行 . ∴ ∴ △ AB D ∽△ B D C ， ∴∠ ABD =∠ BDC ， ∴ AB∥DC . 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 课堂小结 相似三角形的判定定理的运用 4.4 探究三角形相似的条件 第四章 图形的相似 第 4 课时 黄金分割 学习目标 1. 知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比； 2. 能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点） 导入新课 通过观察，你觉得下面那副图最有美感？ 事物之间的 和谐 关系可以表现为某种恰当的比例关系 . 讲授新课 黄金分割的概念 一 一个五角星如下图所示 . 问题 ： 度量 C 到点 A 、 B 的距离 , 与 相等吗？ A C B A B C A B C 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC , 如果 , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 . 点 C 叫做线段 AB 的 黄金分割点 , AC 与 AB 的比称为 黄金比 . 概念学习 1. 计算黄金比 . 解：由 ，得 AC 2 = AB·BC . 设 AB = 1 ， AC = x , 则 BC = 1 – x. ∴ x 2 = 1 × （ 1 - x ） . 即 x 2 + x – 1 = 0. 解方程得： x 1 = x 2 = 黄金比 做一做 2. 如图所示 , 已知线段 AB 按照如下方法作图 : 1. 经过点 B 作 BD ⊥ AB , 使 BD = AB 2. 连接 AD , 在 AD 上截取 DE = DB . 3. 在 AB 上截取 AC = AE . 思考： 点 C 是线段 AB 的黄金分割点吗 ? A B D E C 巴台农神庙 （ Parthenom Temple ） F C A E B D 想一想： 如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD ，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD ，那么我们可以惊奇地发现 ， 点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？为什么 ? 点 E 是 AB 的黄金分割点 （即 ）是黄金比 矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形 . A B C D E F 例 1 ： 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近 0.618 越给人以美感 . 小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为 0.60 ，她的身高为 1.60m ，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？ 解： 设肚脐到脚底的距离为 x m ，根据题意，得 ，解得 x = 0.96. 设穿上 y m 高的高跟鞋看起来会更美，则 解得 y ≈0.075 ，而 0.075m=7.5cm. 故她应该穿约为 7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美 . 1. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为 20 cm ，则它的宽约为 ( ) (A)12.36 cm (B)13.6 cm (C)32.36 cm (D)7.64 cm 【 解析 】 选 A. 0.618×20=12.36(cm). A 练一练 2. 如图是一种贝壳的俯视图，点 C 分线段 AB 近似于黄金分割，已知 AB=10 cm ，则 AC 的长约为 _____cm. （结果精确到 0.1 cm ） 【 解析 】 本题考查黄金分割的有关知识，由题意知 ∴AC 2 =(10-AC)×10 ，解得 AC≈6.2 cm. 6.2 3. 如图所示，乐器上的一根弦 AB=80 cm ，两个端点 A 、 B 固定在乐器板面上，支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，支撑点 D 是靠近点 A 的黄金分割点，则 AC=______cm ， DC=_______cm. 【 解析 】 由黄金分割定义可知， AC=BD= ×AB= ( 40 -40 ) cm, AD=AB-BD=(120-40 ) cm, 所以 DC=AC-AD=(80 -160) cm. 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬 30 度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬 30 度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。 衔远山，吞长江的中国三大 淡水湖也恰好在这黄金分割 的纬度上。 大自然与黄金分割 图中主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为 0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比 , 普通树叶的宽与长之比也接近 0.618; 人与黄金分割 人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是 23℃( 体温 ) ，也是正常人体温 ( 37℃ ) 的黄金点 ( 23=37×0.618 ) . 这说明医学与 0.618 有千丝万缕联系 , 尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节 . 上肢与下肢长度之比均 近似 0.618 . 在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美． B C A 设计与黄金分割 文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异 . 但这些 金字塔底面的边长与高的比都接近于 0.618. 东方明珠塔， 塔高 468 米 . 设计师在 263 米 处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观 . 人的俊美 , 体现在头部及躯干是否符合黄金分割 . 美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例 0.618 ，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美． 黄金分割的魅力 Apple logo 苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6 ，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。 1. 已知线段 AB ，点 P 是它的黄金分割点， AP>BP ，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1 ，以 PB 、 AB 为边的矩形面积为 S2 ，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A ． S1>S2 B ． S10) ． ( 2 ) 小明星期二步行上学用了 25 min ，星期三骑自行 车上学用了 8 min ，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？ 125 － 40 ＝ 85 ( m/min ) ． 答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min. 解：当 t ＝ 25 时， ； 当 t ＝ 8 时， . 能力提升： 6. 已知 y = y 1 + y 2 ， y 1 与 ( x － 1) 成正比例， y 2 与 ( x + 1) 成反比例，当 x = 0 时， y = － 3 ；当 x =1 时， y = － 1 ， 求： ( 1 ) y 关于 x 的关系式； 解：设 y 1 = k 1 ( x － 1) ( k 1 ≠0) ， ( k 2 ≠0) ， 则 . ∵ x = 0 时， y = － 3 ； x =1 时， y = － 1 ， － 3= － k 1 + k 2 ， ∴ k 1 =1 ， k 2 = － 2. ∴ ∴ ( 2 ) 当 x = 时， y 的值 . 解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 课堂小结 建立反比例函数模型 用待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数：定义 / 三种表达方式 反比例函数 6.2 反比例函数的图象与性质 第六章 反比例函数 第 1 课时　反比例函数的图象 学习目标 1. 会用描点法画出反比例函数的图象 , 并掌握反比例函数图象的特征 . （重点） 2. 会利用反比例函数图象解决相关问题 . （难点） 1 ．什么是反比例函数？ 2 ．反比例函数的定义中需要注意什么？ （ 1 ） k 是非零常数 . （ 2 ） xy = k ． 一般地，形如 y = ( k 是常数 , k ≠0 ) 的函数叫做反比例函数． k x — 3．还记得正比例函数的图像与性质吗？ 导入新课 回顾与思考 函数 正比例函数 表达式 图象形状 k>0 k<0 位置 增减性 位置 增减性 y = kx ( k 是常数， k ≠0 ） 直线（经过原点） 一、三象限 从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 二、四象限 从左到右下降 y 随 x 的增大而减小 反比例 函数 ？ 4 . 如何画函数的图象？ 函数图象画法 描点法 列 表 描 点 连 线 想一想： 正比例函数 y=kx (k≠0) 的图像的位置和增减性是由谁决定的？我们是如何探究得到的？ 反比例函数的图像与性质 又 如何呢？ 反比例函数 的图象 一 讲授新课 问题： 如何画反比例函数 的图象？ 列表 描点 连线 解：列表如下 应注意 1 . 自变量x需要取多少值?为什么? 2 . 取值时要注意什么? x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 y -1 -2 -4 -8 8 4 2 1 描点、连线： x -8 –7 –6 –5 –4 –3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 y -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 87654321 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 想一想： 你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题 ? 1. 列表时， 自变量的值可以选取一些互为相反数的值这样既可简化计算 , 又便于对称性描点 ; 2. 列表描点时 , 要尽量多取一些数值 , 多描一些点 , 这样 既可以方便连线 , 又较准确地表达函数的变化趋势 ; 3. 连线时， 一定要养成按自变量从小到大的顺序， 依次用平滑的曲线连接 , 从中体会函数的增减性； …… 注意要点 列表： 描点、 连线： x -8 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 8 1 2 4 8 -8 -4 -2 -1 请大家用同样的方法作反比例函数 的图象 . y x -8 –7 –6 –5 –4 –3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 87654321 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 议一议 （ 1 ）观察 和 的图象，它们有什么相同点和不同点 ? （ 2 ）函数 的图象在哪两个象限 , 由什么确定？ x y x y 双曲线 轴对称 图形，也是 以原点为对称中心的 中 心对称 图形． O O 相同点： 1. 两支曲线构成； 2. 与坐标轴不相交； 3. 图象自身关于原点成中心对称； 4. 图象自身是轴对称图形。 不同点： 的图象在第一、三象限； 的图象在第二、四象限。 归纳总结 形状: 反比例函数 的图象由两支曲线组成，因此称反比例函数 的图象为 双曲线 . 位置：由 k 决定： 当 k >0时,两支曲线分别位于____ _____ ______内; 当 k <0时,两支曲线分别位于_________ _____ _内. 第一、三象限 第二、四象限 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 练一练 例 1 ： 若双曲线 y = 的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是 ( ) A. k ＞ B. k ＜ C. k = D. 不存在 解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有 2 k -1 ＜ 0 ，解得 k ＜ . 故选 B . B 典例精析 例 2: 如图所示的曲线是函数 ( m 为常数 ) 图象的一支． (1) 求常数 m 的取值范围； 解： 由题意可得， m －5＞0， 解得 m ＞5 . x y O (2) 若该函数的图象与正比例函数 y ＝ 2 x 的图象在第一象限的交点为 A (2 ， n ) ，求点 A 的坐标及反比例函数的解析式． 解： ∵ 两个函数的交点为 A(2 ， n) ， ∴ ， 解得 . ∴ 点 A 的坐标为 (2 ， 4) ；反比例函数的解析式为 . x y O 当堂练习 １． 已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则 m 的取值范围是 ________ 2. 下列函数中，其图象位于第一、三象限的有 _____________; 图象位于二、四象限的有 ___________. (1)(2)(3) (4) 3. 如图，已知直线 y=mx 与双曲线 的一个交点坐标为 (-1,3) ，则它们的另一个交点坐标是 ( ) A. (1,3) B. (3,1) C. (1,-3) D. (-1,3) x y C O 4. 已知反比例函数 ( k 为常数， k ≠0) 的图象经过点 A (2 ， 3) ． (1) 求这个函数的表达式； 解： ∵ 反比例函数 ( k 为常数， k ≠0) 的 图象经过点 A (2 ， 3) ， ∴把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 解得 k= 6 ， ∴这个函数的表达式为 ． 解： ∵ 反比例函数的表达式为 　　　 ， 　　∴ 6= xy 分别把点 B ， C 的坐标代入， 得 ( － 1)×6= － 6≠6 ， 则点 B 不在该函数图象上； 3×2=6 ，则点 C 在该函数图象上． (2) 判断点 B (-1 ， 6) ， C (3 ， 2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由 . 课堂小结 反比例函数 的图象 形状 双曲线 位置 画法 当 k ＞ 0 时，两支曲线分别位于 第一、三象限内 当 k < 0 时，两支曲线分别位于 第二、四象限内 描点法： 列表、描点、连线 6.2 反比例函数的图象与性质 第六章 反比例函数 第 2 课时　反比例函数的性质 学习目标 1. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图 象和性质 . ( 重点 ) 2. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题 . ( 重点 ) 3. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中 . ( 重点、难点 ) 4. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题 . ( 重 点、难点) 导入新课 反比例函数的图象是什么？ 反比例函数的性质是什么？能类比前面学习的一次函数得到吗？ 反比例函数的图 象 是双曲线 复习引入 问题 1 问题 2 反比例函数的性质 一 讲授新课 例 1 画反比例函数 与 的图象 . 合作探究 提示： 画函数的图象步骤一般分为：列表 → 描点 → 连线 . 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解： 列表如下： x … － 6 － 5 － 4 － 3 － 2 － 1 1 2 3 4 5 6 … … … … … － 1 － 1.2 － 1.5 － 2 － 3 － 6 6 3 2 1.5 1.2 1 － 2 － 2.4 － 3 － 4 － 6 6 4 3 2.4 2 O － 2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 － 3 － 4 － 1 － 5 － 6 － 1 － 2 － 3 － 4 － 5 － 6 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可 得 　的图象． 观察这两个函数图象，回答问题： 思考： (1) 每个函数图象分别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内，随着 x 的增大， y 如何变化？ 你能由它们的解析式说明理由吗？ (3) 对于反比例函数 ( k ＞ 0) ，考虑问题 (1)(2) ， 你能得出同样的结论吗？ ●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限 它们与 x 轴、 y 轴都不相交； ●在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 . 反比例函数 ( k ＞ 0) 的 图象 和 性质 ： 观察与思考 当 k = － 2 ， － 4 ， － 6 时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k ＞ 0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k ＜ 0) 的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 反比例函数 ( k ＜ 0) 的 图象 和 性质 ： ●由两条曲线组成， 且分别位于第二、四象限 它们与 x 轴、 y 轴都不相交； ●在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 . 归纳： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三 象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而增大 . 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数所在的象限和增减性 点 (2 ， y 1 ) 和 (3 ， y 2 ) 在函数 上，则 y 1 y 2 ( 填“ > ”“ < ” 或“ = ” ) . < 练一练 例 2 已知反比例函数 ， y 随 x 的 增大而增大，求 a 的值 . 解：由题意得 a 2 + a － 7= － 1 ，且 a － 1<0 ． 解得 a= － 3 . 反比例函数的图象和性质的初步运用 二 练一练 已知反比例函数 在每个象限内， y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m 2 － 10= － 1 ，且 3 m － 8 ＞ 0 ． 解得 m= 3 . 例 3 已知反比例函数的图象经过点 A (2 ， 6). ( 1 ) 这个函数的图象位于哪些象限？ y 随 x 的 增大如 何变化？ 解：因为点 A (2 ， 6) 在第一象限，所以这个函数的 图象位于第一、三象限； 在每一个象限内， y 随 x 的 增大而减小 . ( 2 ) 点 B (3 ， 4) ， C ( ， ) ， D (2 ， 5) 是否在这个 函数的图象上？ 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2 ， 6) 在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B ， C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B ， C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上 . 所以反比例函数的解析式为 . ( 1 ) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？ O x y 例 4 如图，是反比例函数 图象的一支 . 根据图象，回答下列问题： 解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限 . 由因为这个函数图象位于第一、 三象限，所以 m － 5 ＞ 0 ， 解得 m ＞ 5. ( 2 ) 在这个函数图象的某一支上任取点 A ( x 1 ， y 1 ) 和 点 B ( x 2 ， y 2 ). 如果 x 1 ＞ x 2 ，那么 y 1 和 y 2 有怎样的 大小关系？ 解：因为 m － 5 ＞ 0 ，所以在这个函数图象的任一支 上， y 都随 x 的增大而减小，因此当 x 1 ＞ x 2 时， y 1 ＜ y 2 . 练一练 已知反比例函数 的图象经过点 A (2 ， 3) ． ( 1 ) 求这个函数的表达式； 解： ∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2 ， 3) ， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . 　　 ( 2 ) 判断点 B ( － 1 ， 6) ， C (3 ， 2) 是否在这个函数的 图象上，并说明理由； 解： 分别把点 B ， C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式， 所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上． ( 3 ) 当 － 3< x < － 1 时，求 y 的取值范围． 解： ∵ 当 x = － 3 时， y = － 2 ； 当 x = － 1 时， y = － 6 ，且 k > 0 ， ∴ 当 x < 0 时， y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 － 3 < x < － 1 时，－ 6 < y < － 2. 反比例函数解析式中 k 的几何意义 三 1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P ， Q 向 x 轴、 y 轴作垂线，围成面积 分别 为 S 1 ， S 2 的矩形， 填写下页表格： 合作探究 5 1 2 3 4 － 1 5 x y O P S 1 S 2 P (2 ， 2) Q (4 ， 1) S 1 的值 S 2 的值 S 1 与 S 2 的关系 猜想 S 1 ， S 2 与 k 的关系 4 4 S 1 = S 2 S 1 = S 2 = k － 5 － 4 － 3 － 2 1 4 3 2 － 3 － 2 － 4 － 5 － 1 Q S 1 的值 S 2 的值 S 1 与 S 2 的关系 猜想与 k 的关系 P ( － 1 ， 4) Q ( － 2 ， 2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P ， Q 两点，填写表格： 4 4 S 1 = S 2 S 1 = S 2 = － k y x O P Q S 1 S 2 由前面的探究过程，可以猜想： 若点 P 是 图象上的任意一点 ，作 P A 垂直于 x 轴，作 P B 垂直于 y 轴，矩形 AOB P 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOB P = | k | . y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 ( a ， b ) A B ∵ 点 P ( a ， b ) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab=k . ∴ S 矩形 AOB P = PB · PA= － a · b= － ab= － k ； 若点 P 在第二象限，则 a <0 ， b >0 ， 若点 P 在第四象限，则 a >0 ， b <0 ， ∴ S 矩形 AOB P = PB · PA =a · ( － b ) = － ab= － k . B P A 综上， S 矩形 AOB P = | k |. 自己尝试证明 k > 0 的情况 . 点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于 x 轴，矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S 矩形 AOBQ = . 推理：△ QAO 与△ QBO 的 面积和 k 的关系是 S △ QAO = S △QBO = . Q 对于反比例函数 ， A B | k | y x O 归纳： 反比例函数的 面积不变性 A. SA > SB > SC B. SA < SB < SC C. SA = SB = SC D. SA < SC < SB 1. 如图，在函数 ( x ＞0)的图像上有三点 A ， B ， C ，过这三点分别向 x 轴、 y 轴作垂线，过每一点 所作的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分 别为 SA ， SB ， SC ， 则 ( ) y x O A B C C 练一练 2 . 如图，过反比例函数 图象上的一点 P ，作 PA ⊥ x 轴于 A . 若△ POA 的面积为 6，则 k = . －12 提示： 当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k ＜ 0. y x O P A 3 . 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为点 M ， N ，若四边形 PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是 . 或 例 5 如图， P ， C 是函数 ( x >0 ) 图像上的任意两点，过点 P 作 x 轴的垂线 PA ，垂足为 A ，过点 C 作 x 轴的 垂线 CD ，垂足为 D ，连接 OC 交 PA 于点 E . 设 △ POA 的面积 为 S 1 ，则 S 1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S 2 ，则 S 1 与 S 2 的大小 关系是 S 1 S 2 ；△ POE 的面 积 S 3 和 S 2 的大小关系是S 2 S 3 . 典例精析 2 S 1 S 2 ＞ ＝ S 3 如图所示，直线与双曲线交于 A ， B 两点， P 是 AB 上的点，△ AOC 的面积 S 1 、 △ BOD 的面积 S 2 、 △ POE 的面积 S 3 的大小关系为 . S 1 = S 2 < S 3 练一练 解析：由 反比例函数面积的不变 性易知 S 1 = S 2 . PE 与双曲线的一 支交于点 F ，连接 OF ，易知， S △ OFE = S 1 = S 2 ，而 S 3 ＞ S △ OFE ， 所以 S 1 ， S 2 ， S 3 的大小关系为 S 1 = S 2 < S 3 F S 1 S 2 S 3 y D B A C x 例 6 如图，点 A 是反比例函数 ( x ＞0)的图象上 任意一点， AB // x 轴交反比例函数 ( x ＜ 0) 的图象于点 B ，以 AB 为边作平行四边形 ABCD ，其中 点 C ， D 在 x 轴上，则 S 平行四边形 ABCD = ___ . 3 2 5 如图所示，在平面直角坐标系中，过点 的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数 ( x ＞0) 和 ( x ＜0) 的图象交于点 P ， Q ，若△ POQ 的面积为 8，则 k =______ . Q P O x M y － 10 练一练 例 7 如图所示，点 A ( x 1 ， y 1 )， B ( x 2 ， y 2 )都在双曲线 上，且 x 2 － x 1 = 4， y 1 － y 2 =2 . 分别过点 A ， B 向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为 C ， D ， E ， F ， AC 与 BF 相交于 G 点，四边形 FOCG 的面积为 2，五边形 AEODB 的面积为 14，那么双曲线的解析式 为 . 解得 k = 6. ∴ 双曲线的解析式为 . 解析： ∵ x 2 － x 1 = 4， y 1 － y 2 =2， ∴ BG = 4 ， AG =5 ， ∴ S △ ABG =4 × 5 ÷ 2=10. 由 反比例函数面积的不变 性可知， S 长方形 ACOE = S 长方形 BDOF = k . ∴ S 五边形 AEODB = S 四边形 ACOE + S 四边形 BDOF － S 四边形 F O CG + S △ABG = k + k － 2+4=14. 如图，已知点 A ， B 在双曲线 上， AC ⊥ x 轴于 点 C ， BD ⊥ y 轴于点 D ， AC 与 BD 交于点 P ， P 是 AC 的中点，若△ ABP 的面积为6，则 k = . 24 练一练 E F 解析：作 AE ⊥ y 轴于点 E ， BF ⊥ x 轴于点 F . ∵ P 是 AC 的中点， ∴ S 四边形 OCPD = S 四边形 ACOE = S 四边形 BDOF = k ， S △ ABP = S 四边形 BFCP ， = ( S 四边形 BDOF － S 四边形 OCPD ) = ( k － k )= k = 6. ∴ k =24. 1 . 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则 m 的取值范围是 ________. 2. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 ( － 1 ， 12) 和点 ( 10 ，－ 1.2) ； (2) 在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于 二、四象限 . 其中正确的是 ( 填序号 ). (1)(3) m ＞ 2 当堂练习 A. 4 B. 2 C. － 2 D. 不确定 3. 如图所示， P 是反比例函数 的图象上一点， 过点 P 作 PB ⊥ x 轴于点 B ，点 A 在 y 轴上， △ ABP 的面积为 2，则 k 的值为 ( ) O B A P x y A 4. 已知反比例函数 y = mx m ² － 5 ，它的两个分支分别在 第一、第三象限，求 m 的值 . 解：因为反比例函数 y = mx m ² － 5 的两个分支分别在第 一、第三象限， 所以有 m 2 － 5= － 1 ， m ＞ 0 ， 解得 m =2. 5. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2 ，－ 4). ( 1 ) 求 k 的值； 解： ∵ 反比例函数 的图象经过点 A (2 ，－ 4 ) ， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = － 8. ( 2 ) 这个函数的图象分布在哪些象限？ y 随 x 的增大 如何变化 ? 解： 这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内， y 随 x 的 增大而增大 . ( 3 ) 画出该函数的图象； O x y 解：如图所示： ( 4 ) 点 B (1 ，－ 8) ， C ( － 3 ， 5) 是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标 不满足该解析式， 所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数 的图象上 . 解：该反比例函数的解析式为 . 6 . 如图，反比例函数 与一次函数 y =－ x + 2 的图象交于 A ， B 两点 . ( 1 ) 求 A ， B 两点的坐标； A y O B x 解： y = － x + 2 ， 解得 x = 4 ， y = － 2 所以 A ( － 2 ， 4) ， B (4 ，－ 2) . 或 x = － 2 ， y = 4. 作 AC ⊥ x 轴于 C ， BD ⊥ x 轴于 D ， 则 AC =4 ， BD =2. ( 2 ) 求△ AOB 的面积 . 解：一次函数与 x 轴的交点为 M (2 ， 0) ， ∴ OM =2. O A y B x M C D ∴ S △ OMB = OM · BD ÷ 2=2 × 2 ÷ 2=2 ， ∴ S △ OMA = OM · AC ÷ 2=2 × 4 ÷ 2=4 ， ∴ S △ AOB = S △ OMB + S △ OMA =2+4=6. 课堂小结 反比例函数 的性质 性质 反比例函数图象中比例系数 k 的几何意义 当 k ＞ 0 时，在每一象限内， y 的值随 x 的增大而减小 . 当 k <0 时，在每一象限内， y 的值随 x 的增大而增大 . 6.3 反比例函数的应用 第六章 反比例函数 学习目标 1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识， 提高运用代数方法解决问题的能力. 2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反 比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图 象、性质的综合能力. ( 重点、难点 ) 3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围． 导入新课 对于一个矩形，当它面积一定时，长 a 是宽 b 的反比例函数，其函数解析式可以写为 ( S ＞ 0). 请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有 反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数解析式． 实例： 函数解析式： ． 三角形的面积 S 一定时，三角形底边长 y 是高 x 复习引入 ( S ＞ 0) 的反比例函数 ； 讲授新课 反比例函数在实际生活中的应用 一 引例： 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S (m 2 ) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 将如何变化？ 如果人和木板对湿地地面的压力合 计 600N ，那么 (1) 用含 S 的代数式表示 p ， p 是 S 的反比 例函数吗？为什么？ 由 p ＝ 得 p ＝ p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，对应的就有唯一的一个 p 值和它对应，根据函数定义，则 p 是 S 的反比例函数． (2) 当木板面积为 0.2m 2 时，压强是多少？ 当 S ＝ 0.2m 2 时， p ＝ ＝ 3000(Pa) ． 答：当木板面积为 0.2m 2 时压强是 3000Pa ． (3) 如果要求压强不超过 6000Pa ，木板面积至少要多大？ (4) 在直角坐标系中，作出相应的函数图象． 图象如下 当 p ≤6000 Pa 时， S ≥0.1m 2 ． 0.1 0.5 O 0.6 0.3 0.2 0.4 1000 3000 4000 2000 5000 6000 p /Pa S/ 例 1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 10 4 m 3 的圆柱形煤气储存室 . ( 1 ) 储存室的底面积 S ( 单位： m 2 ) 与其深度 d ( 单位： m) 有怎样的函数关系 ? 解：根据圆柱体的体积公式，得 Sd = 10 4 ， ∴ S 关于 d 的函数解析式为 典例精析 ( 2 ) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m 2 ， 施工队 施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20 . 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 ( 3 ) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时 ，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相 应地， 储存室的底面积应改为多少 ( 结果 保留 小 数点后 两位)? 解得 S≈666.67 . 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 ( 2 ) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 ( 3 ) 问则是与第 ( 2 ) 问相反． 想一想： 1. 矩形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用 图象可表示为 ( ) B 练一练 A. B. C. D. x y x y x y x y 2. 如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升 (1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗． ( 1 ) 漏斗口的面积 S ( 单位： dm 2 )与漏斗的深 d ( 单位： dm) 有怎样的函数关系? d 解： ( 2 ) 如果漏斗的深为10 cm，那么漏斗口 的面积为多少 dm 2 ？ 解： 10cm=1dm ，把 d =1 代入解析式，得 S =3. 所以漏斗口的面积为 3 dm 2 . ( 3 ) 如果漏斗口的面积为 60 cm 2 ，则漏斗的深为多少? 解： 60 cm 2 = 0.6 dm 2 ，把 S =0.6 代入解析式，得 d =5. 所以漏斗的深为 5 dm. 例 2 码头工人每天 往一艘轮船上装载 30吨货物 ， 装载完毕恰好用了8天时间. ( 1 ) 轮船到达目的地后开始卸货 ，平均 卸货速度 v (单位 ： 吨/天)与卸货 天数 t 之间有怎样的函数关系? 提示： 根据 平均 装货速度×装货 天数 =货物的总量，可以求出轮船装载货物的总量；再根据 平均 卸货速度=货物的总量÷卸货 天数 ，得到 v 关于 t 的函数解析式. 解：设轮船上的货物总量为 k 吨，根据已知条件得 k =30×8=240， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 ( 2 ) 由于遇到紧急情况 ，要求 船上的货物不超过 5 天 卸 载完毕 ， 那么平均每天至少要卸 载 多少吨? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸载 完，则平均每天卸载 48 吨. 而观察求得的反比例 函数的解析式可知， t 越小， v 越大 . 这样若货物 不超过 5 天卸载完，则平均每天至少要卸载 48 吨. 解：把 t =5 代入 ，得 练一练 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走． ( 1 ) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y 与 x 之间的函数关系式； 解： ( 2 ) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的 拖拉机要用多少天才能运完？ 解： x =12 × 5=60 ，代入函数解析式得 答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完 . ( 3 ) 在 ( 2 ) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不 超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少 辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 解：运了8天后剩余的垃圾有 1200－8×60=720 ( 立方米 ) ， 剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天 至少运 720÷6=120 ( 立方米 ) ， 所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 ( 辆 ) ， 即至少需要增加拖拉机10－5=5 ( 辆 ). 例 3 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地. ( 1 ) 甲、乙两地相距多少千米？ 解：80 × 6 =480 ( 千米 ) 答：甲、乙两地相距 480 千米 . ( 2 ) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？ 解：由题意得 vt =480 ， 整理得 ( t ＞ 0). 例 4 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. ( 1 ) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 ? 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力 ? 反比例函数在其他学科中的应用 一 解：根据 “ 杠杆原理 ” ，得 Fl = 1200 × 0.5 ， ∴ F 关于 l 的函数解析式为 当 l =1.5m 时， 对于函数 ，当 l =1.5 m 时， F =400 N ，此 时杠杆平衡 . 因此撬动石头至少需要 400N 的力 . ( 2 ) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则 动力臂 l 至少要加长多少? 提示： 对于函数 ， F 随 l 的增大而减小 . 因此，只要求出 F =200 N 时对应的 l 的值，就能 确定动力臂 l 至少应加长的量 . 解：当 F=400 × =200 时，由 200 = 得 300 － 1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞ 0 时， l 越大， F 越 小 . 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则 动力臂至少要加长 1.5 m. 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 想一想： 假定地球重量的近似值为 6 × 1025 牛顿 ( 即阻力 ) ，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得 F × l ＝6×1025×2×106 =1.2×10 32 米， 当 F =500时， l =2.4×10 29 米， 解： 2000 千米 = 2×10 6 米， 练一练 变形得： 故用2.4×10 29 米动力臂的杠杆才能把地球撬动 . 例 5 一个用电器的电阻是可调节的 ， 其范围为 110～220 Ω. 已知电压为 220 V ， 这个用电器的电路图如图所示. ( 1 ) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系? U ~ 解：根据电学知识， 当 U = 220 时，得 ( 2 ) 这个 用电器功率的范围 是 多 少 ? 解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率 越小 . 把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式， 得到功率的最大值 把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式， 得到功率的最小值 因此 用电器功率的范围为220~440 W. 1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电 阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为 ( ) D 练一练 A. B. C. D. I R I R I R I R 2. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻 R (欧姆) 成反比例，当电阻 R ＝5 欧姆时，电流 I ＝2 安培． ( 1 ) 求 I 与 R 之间的函数关系式； ( 2 ) 当电流 I ＝0.5 时，求电阻 R 的值． 解： ( 1 ) 设 ∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培， ∴ U =10． ∴ I 与 R 之间的函数关系式为 (2) 当 I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 ( 欧姆 ) ． 当堂练习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边为 x ，另一直角边 长 为 y ，则 y 与 x 的变化规律用 图象可 大致 表示为 ( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C 2. ( 1 ) 体积为 20 cm 3 的面团做成拉面，面条的总长度 y ( 单位： cm) 与面条粗细 (横截面积) S ( 单位： cm 2 ) 的函数关系 为 . ( 2 ) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm 2 ， 则 面条 的 总长 度 是 cm. 2000 3. A 、 B 两城市相距720千米，一列火车从 A 城去 B 城. ( 1 ) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是___ __ ___． ( 2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求 在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低 于____________． 240 千米 / 时 4. 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤， 现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期 (按150 天计算) 刚好用完. 若每天的耗煤量为 x 吨，那么 这批煤能维持 y 天. ( 1 ) 则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？ 解：煤的总量为：0.6×150=90 (吨)， 根据题意有 ( x ＞ 0). ( 2 ) 画出函数的图象； 解： 如图所示 . 30 90 1 x y O ( 3 ) 若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？ 解：∵ 每天节约 0.1 吨煤， ∴ 每天的用煤量为 0.6 － 0.1=0.5 (吨)， ∴ 这批煤能维持 180 天． 5. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行 车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． ( 1 ) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ 解： ( 2 ) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速 度是多少？ 解：把 t =15代入函数的解析式，得： 答：他骑车的平均速度是 240 米/分 . ( 3 ) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少 需要几分钟到达单位 ? 解：把 v =300 代入函数解析式得： 解得： t =12． 答：他至少需要 12 分钟到达单位． 6. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电 阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． ( 1 ) 求这个反比例函数的表达式； 解：设 ，把 M (4，9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的 表达式 为 . O 9 I (A) 4 R (Ω) M (4 ， 9) ( 2 ) 当 R =10Ω 时，电流能是 4 A 吗？为什么？ 解： 当 R =10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4， ∴电流不可能是4A． 7. 某汽车的功率 P 为一定值，汽车行驶时的速度 v (m/s) 与它所受的牵引力 F (N)之间的函数关系如 下图所示： ( 1 ) 这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表 达式； O 20 v (m/s) 3000 F (N) 解： ( 3 ) 如果限定汽车的速度不超过 30 m/s，则 F 在什 么范围内？ ( 2 ) 当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多 少 km/h？ 解： 把 F = 1200 N 代入 求得的解析式得 v = 50 ， ∴ 汽车 的速度是3600×50÷1000 = 180 km/m. 答案： F ≥ 2000 N. 8. 在某村河治理工程施工过程中，某工程队接受一项 开挖水渠的工程，所需天数 y ( 天 ) 与每天完成的工 程量 x ( m/天 ) 的函数关系图象如图所示 . (1 ) 请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； 50 24 x (m/ 天 ) y ( 天 ) O 解： ( 2 ) 若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够 开挖水渠 15 m ，问该工程队需用多少天才能完 成此项任务？ 解：由图象可知共需开挖水渠 24×50=1200 ( m ) ； 2 台挖掘机需要 1200÷ ( 2×15 ) =40 ( 天 ). ( 3 ) 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内 ( 按 30 天计算 ) 完成任务，那么每天至少要完成多 少 m ？ 解：1200÷30=40 ( m ) ， 故每天至少要完成40 m． 课堂小结 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 小结与复习 第六章 反比例函数 1. 反比例函数的概念 要点梳理 定义：形如________ ( k 为常数， k ≠0) 的函数称为 反 比例函数 ，其中 x 是自变量， y 是 x 的函数， k 是比例 系数． 三种表达式方法： 或 x y ＝ kx 或y＝ kx －1 ( k ≠0)． 防错提醒：(1) k ≠0；(2)自变量 x ≠0；(3)函数 y ≠0. 2. 反比例函数的图象和性质 ( 1 ) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ， 它既 是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的 两条对称轴 为 直线 和 ； 对称中心是： . 双曲线 原点 y = x y= － x ( 2 ) 反比例函数的性质 图象 所在象限 性质 ( k ≠0) k ＞ 0 一、三象限 ( x ， y 同号 ) 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 k ＜ 0 二、四象限 ( x ， y 异号 ) 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 x y o x y o ( 3 ) 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 ( x ， y ) 具有 两坐标之积 ( xy ＝ k ) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 | k | . 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 ． 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数 ： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x 、 y 的一对 对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ◑ 反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y ＝ k 1 x ＋ b ( k 1 ≠0) 和双曲线 ( k 2 ≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组. ◑ 利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确 数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值 . 考点讲练 考点一 反比例函数的概念 针对训练 1 . 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数 ? ① y = 3 x －1 ② y = 2 x 2 ⑤ y = 3 x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 2 . 已知点 P (1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A . 3　　　　　　　　B . －3 C. D . B 3 . 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A . 1 B . －1 C . ±1 D . 任意实数 A 例 1 已知点 A(1， y 1 )，B(2， y 2 )，C(－3， y 3 ) 都在反比 例函数 的图象上，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系是 ( ) A . y 3 ＜ y 1 ＜ y 2 B . y 1 ＜ y 2 ＜ y 3 C . y 2 ＜ y 1 ＜ y 3 D . y 3 ＜ y 2 ＜ y 1 解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y 1 ， y 2 ， y 3 的值，再比较出其大小即可． 方法②：根据反比例函数的图象和性质比较． 考点二 反比例函数的图象和性质 D 　 方法总结： 比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定． 已知点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ( x 1 ＜ 0 ＜ x 2 ) 都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y 1 与 y 2 的大小关系 (从大到小) 为 . y 1 ＞0＞ y 2 针对训练 例 2 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C 1 和 C 2 ，设点 P 在 C 1 上， PA ⊥ x 轴于点 A ，交 C 2 于点 B ，则△ POB 的面积为 . 1 考点三 与反比例函数 k 有关的问题 针对训练 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥ y 轴，且直线 l 分别与 反比例函数 ( x ＞0)和 ( x ＞0) 的图象交于 P ， Q 两点，若 S △ POQ =14， 则 k 的值为 . 20 考点四 反比例函数的应用 例 3 如图，已知 A ( －4， ) ， B ( － 1 ，2 ) 是一次函数 y = kx + b 与反比例函数 ( m ＜0 ) 图象的两个交点， AC ⊥ x 轴于点 C ， BD ⊥ y 轴于点 D ． ( 1 ) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值 时，一次函数的值大于反比例函数的值； O B A x y C D 解：当－4＜ x ＜－1时，一 次函数的值大于反比例 函数的值. ( 2 ) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把 A ( － 4 ， ) ， B ( － 1 ， 2) 代入 y = kx + b 中，得 － 4 k + b = ， － k + b =2 ， 解得 k = ， b = ， 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B ( － 1 ， 2) 代入 中，得 m = － 1 × 2= － 2. ( 3 ) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC ， PD ，若△ PCA 和 △ PDB 面积相等，求点 P 坐标 . O B A x y C D P ∵ △ PCA 面积和△ PDB 面积相等， ∴ AC ·[ t － ( －4 ) ] = BD ·[ 2－ [ 2－ ( t + )] ， 解得： t = . ∴ 点 P 的坐标为 ( ， ) ． 解：设点 P 的坐标为 ( t ， t + ) ， P 点到直线 AC 的 距离为 t － ( －4 ) ， P 点到直线 BD 的距离为2－ ( t + ) ． 方法总结： 此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 针对训练 如图，设反比例函数的解析式为 ( k ＞0 ) ． ( 1 ) 若该反比例函数与正比例函数 y =2 x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x 解：由题意知点 P 在正比例函数 y =2 x 上， 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式，得 P ( 1，2 ) ， 把 P ( 1，2 ) 代入 ， 得到 P 2 ( 2 ) 若该反比例函数与过点 M ( －2，0 ) 的直线 l ： y = kx + b 的图象交于 A ， B 两点，如图所示，当 △ ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式； 解：把 M ( －2，0 ) 代入 y = kx + b ， 得 b = 2 k ，∴ y = kx +2k， O A y B x M l N 解得 x =－3 或 1 . y ＝ kx +2 k ， ∴ ∴ B ( －3，－ k ) ， A ( 1，3 k ). ∵ △ ABO 的面积为 ∴ 2 · 3 k · + 2 · k · = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ． O y x M l N A ( 1，3 k ) B ( －3，－ k ) ( 3 ) 在 第 (2) 题的条件下， 当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？ O y x M l N A ( 1，3 k ) B ( －3，－ k ) 解：当 x ＜－ 3 或 0 ＜ x ＜ 1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值. 例 4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克 . 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图) . 根据以上信息解答下列问题： ( 1 ) 求当 0 ≤ x ≤2 时， y 与 x 的函数解析式； 解：当 0 ≤ x ≤2 时， y 与 x 成正比 例函数关系． 设 y ＝ kx ，由于点 (2，4) 在 线段上， 所以 4＝2 k ， k ＝2，即 y ＝2 x . O y / 毫克 x / 小时 2 4 ( 2 ) 求当 x > 2 时， y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时， y 与 x 成反比例函数关系， 设 解得 k ＝8. 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 即 O y / 毫克 x / 小时 2 4 ( 3 ) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则 服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤ x ≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2 x ≥2， 解得 x ≥1， ∴1≤ x ≤2 ； 当 x >2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥ 2，解得 x ≤ 4. ∴ 2< x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 1 ＋ 2 ＝ 3 ( 小时 ) ． O y / 毫克 x / 小时 2 4 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热，停止加热 后，材料温度逐渐下降，这 时温度 y 与时间 x 成反比例 函数关系，已知第 12 分钟 时，材料温度是14℃． 针对训练 O y (℃) x (min) 12 4 14 28 ( 1 ) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出 x 的取值范围）； O y (℃) x (min) 12 4 14 28 答案： y = 4 x + 4 (0 ≤ x ≤ 6) ， ( x ＞ 6 ). ( 2 ) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟 ? 解：当 y =12时， y =4 x +4，解得 x =2． 由 ，解得 x =14 . 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14－2=12 ( 分钟 ) ． O y (℃) x (min) 12 4 14 28 课堂小结 反比例函数 定义 图象 性质 x ， y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用