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- 2021-11-06 发布
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2019 年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题(本题共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一个选项正确)
1.(3 分)﹣2 的绝对值是( )
A.2 B. C.﹣ D.﹣2
2.(3 分)如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
3.(3 分)2019 年 6 月 5 日,长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术
试验,该火箭重 58000kg,将数 58000 用科学记数法表示为( )
A.58×103 B.5.8×103 C.0.58×105 D.5.8x104
4.(3 分)在平面直角坐标系中,将点 P(3,1)向下平移 2 个单位长度,得到的点 P′的
坐标为( )
A.(3,﹣1) B.(3,3) C.(1,1) D.(5,1)
5.(3 分)不等式 5x+1≥3x﹣1 的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.(3 分)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.菱形 D.平行四边形
7.(3 分)计算(﹣2a)3 的结果是( )
A.﹣8a3 B.﹣6a3 C.6a3 D.8a3
8.(3 分)不透明袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外无其他差别,随机摸出一个小
球后,放回并摇匀,再随机摸出一个,两次都摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
9.(3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 EF,若 AB=4,BC
=8.则 D′F 的长为( )
A.2 B.4 C.3 D.2
10.(3 分)如图,抛物线 y=﹣ x2+ x+2 与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,
点 D 在抛物线上,且 CD∥AB.AD 与 y 轴相交于点 E,过点 E 的直线 PQ 平行于 x 轴,
与拋物线相交于 P,Q 两点,则线段 PQ 的长为 .
二、填空题(本题共 6 小题,每小題分,共 18 分)
11.(3 分)如图 AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D= °.
12.(3 分)某男子足球队队员的年龄分布如图所示,这些队员年龄的众数是 .
13.(3 分)如图,△ABC 是等边三角形,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD.若 AB
=2,则 AD 的长为 .
14.(3 分)我国古代数学著作《九章算术》中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一
小器五容二斛.问大小器各容几何.”其大意为:有大小两种盛酒的桶,已知 5 个大桶
加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛(斛,音 hu,是古代的一种容量单位).1 个大桶加上 5 个
小桶可以盛酒 2 斛,问 1 个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛?若设 1 个大桶可以盛
酒 x 斛,1 个小桶可以盛酒 y 斛,根据题意,可列方程组为 .
15.(3 分)如图,建筑物 C 上有一杆 AB.从与 BC 相距 10m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰
角为 53°,观测旗杆底部 B 的仰角为 45°,则旗杆 AB 的高度约为 m(结果取整
数,参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33).
16.(3 分)甲、乙两人沿同一条直路走步,如果两人分别从这条多路上的 A,B 两处同时
出发,都以不变的速度相向而行,图 1 是甲离开 A 处后行走的路程 y(单位:m)与行走
时 x(单位:min)的函数图象,图 2 是甲、乙两人之间的距离(单位:m)与甲行走时
间 x(单位;min)的函数图象,则 a﹣b= .
三、解答题(本题共 4 小题,17、18、19 题各 9 分,20 题 12 分,共 39 分)
17.(9 分)计算:( ﹣2)2+ +6
18.(9 分)计算: ÷ +
19.(9 分)如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,求证:AF=DE.
20.(12 分)某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况,随机选取该年级部分男生
进行测试,以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.
成绩等级 频数(人) 频率
优秀 15 0.3
良好
及格
不及格 5
根据以上信息,解答下列问题
(1)被测试男生中,成绩等级为“优秀”的男生人数为 人,成绩等级为“及格”
的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 %;
(2)被测试男生的总人数为 人,成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男
生总人数的百分比为 %;
(3)若该校八年级共有 180 名男生,根据调查结果,估计该校八年级男生成绩等级为“
良好”的学生人数.
四、解答题(本共 3 小,其中 21、22 题各分,23 题 10 分,共 28 分)
21.(9 分)某村 2016 年的人均收入为 20000 元,2018 年的人均收入为 24200 元
(1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测 2019
年村该村的人均收入是多少元?
22.(9 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(3,2)在反比例函数 y= (x>0)
的图象上,点 B 在 OA 的廷长线上,BC⊥x 轴,垂足为 C,BC 与反比例函数的图象相交
于点 D,连接 AC,AD.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若 S△ACD= ,设点 C 的坐标为(a,0),求线段 BD 的长.
23.(10 分)如图 1,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,过点 A 的切线与 CD
的延长线相交于点 P.且∠APC=∠BCP
(1)求证:∠BAC=2∠ACD;
(2)过图 1 中的点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E(如图 2),当 BC=6,AE=2 时,求⊙O
的半径.
五、解答题(本题共 3 小题,其中 24 题 11 分,25、26 題各 12 分,共 35 分)
24.(11 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=﹣ x+3 与 x 轴,y 轴分别相交于
点 A,B,点 C 在射线 BO 上,点 D 在射线 BA 上,且 BD= OC,以 CO,CD 为邻边作
▱COED.设点 C 的坐标为(0,m),▱COED 在 x 轴下方部分的面积为 S.求:
(1)线段 AB 的长;
(2)S 关于 m 的函数解析式,并直接写出自变量 m 的取值范围.
25.(12 分)阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题
数学课上,老师出示了这样一道题:如图 1,△ABC 中,∠BAC=90°,点 D、E 在 BC
上,AD=AB,AB=kBD(其中 <k<1)∠ABC=∠ACB+∠BAE,∠EAC 的平分线与
BC 相交于点 F,BG⊥AF,垂足为 G,探究线段 BG 与 AC 的数量关系,并证明.同学们
经过思考后,交流了自已的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠BAE 与∠DAC 相等.”
小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段 BG 与 AC 的数量关系.
”
……
老师:“保留原题条件,延长图 1 中的 BG,与 AC 相交于点 H(如图 2),可以求出
的值.”
(1)求证:∠BAE=∠DAC;
(2)探究线段 BG 与 AC 的数量关系(用含 k 的代数式表示),并证明;
(3)直接写出 的值(用含 k 的代数式表示).
26.(12 分)把函数 C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点 P(m,0)旋转 180°,得
到新函数 C2 的图象,我们称 C2 是 C1 关于点 P 的相关函数.C2 的图象的对称轴与 x 轴
交点坐标为(t,0).
(1)填空:t 的值为 (用含 m 的代数式表示)
(2)若 a=﹣1,当 ≤x≤t 时,函数 C 1 的最大值为 y1,最小值为 y2,且 y1﹣y2=1,
求 C2 的解析式;
(3)当 m=0 时,C2 的图象与 x 轴相交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的右侧).与 y 轴相
交于点 D.把线段 AD 原点 O 逆时针旋转 90°,得到它的对应线段 A′D′,若线 A′D
′与 C2 的图象有公共点,结合函数图象,求 a 的取值范围.
2019 年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一个选项正确)
1.(3 分)﹣2 的绝对值是( )
A.2 B. C.﹣ D.﹣2
【考点】15:绝对值.菁优网版权所有
【分析】根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离,可得答案.
【解答】解:﹣2 的绝对值是 2.
故选:A.
【点评】本题考查了绝对值,正数的绝对值等于它本身;负数的绝对值等于它的相反数;
0 的绝对值等于 0.
2.(3 分)如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
【考点】U2:简单组合体的三视图.菁优网版权所有
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【解答】解:左视图有 3 列,每列小正方形数目分别为 2,1,1.
故选:B.
【点评】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
3.(3 分)2019 年 6 月 5 日,长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术
试验,该火箭重 58000kg,将数 58000 用科学记数法表示为( )
A.58×103 B.5.8×103 C.0.58×105 D.5.8x104
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的
值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同
.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.
【解答】解:将数 58000 用科学记数法表示为 5.8×104.
故选:D.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其
中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
4.(3 分)在平面直角坐标系中,将点 P(3,1)向下平移 2 个单位长度,得到的点 P′的
坐标为( )
A.(3,﹣1) B.(3,3) C. (1,1) D.(5,1)
【考点】Q3:坐标与图形变化﹣平移.菁优网版权所有
【分析】根据向下平移,横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解.
【解答】解:将点 P(3,1)向下平移 2 个单位长度,得到的点 P′的坐标为(3,1﹣2)
,即(3,﹣1),
故选:A.
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,熟记平移中点的变化规律:横坐标右移加,
左移减;纵坐标上移加,下移减是解题的关键.
5.(3 分)不等式 5x+1≥3x﹣1 的解集在数轴上表示正确的是( )[来源:学,科,网 Z,X,X,K]
A. B.
C. D.
【考点】C4:在数轴 上表示不等式的解集;C6:解一元一次不等式.菁优网版权所有
【分析】先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来即可.
【解答】解:5x+1≥3x﹣1,
移项得 5x﹣3x≥﹣1﹣1,
合并同类项得 2x≥﹣2,
系数化为 1 得,x≥﹣1,
在数轴上表示为:
故选:B.
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出
来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一
段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几
个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空
心圆点表示.
6.(3 分)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.菱形 D.平行四边形
【考点】P3:轴对称图形;R5:中心对称图形.菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.
【解答】解:A、等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
B、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
C、菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确;
D、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误.
故选:C.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称
轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后两部分
重合.
7.(3 分)计算(﹣2a)3 的结果是( )
A.﹣8a3 B.﹣6a3 C.6a3 D.8a3
【考点】47:幂的乘方与积的乘方.菁优网版权所有
【分析】利用积的乘方的性质求解即可求得答案.
【解答】解:(﹣2a)3=﹣8a3;
故选:A.
【点评】此题考查了积的乘方的性质.此题比较简单,注意掌握指数的变化是解此题的
关键.
8.(3 分)不透明袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外无其他差别,随机摸出一个小
球后,放回并摇匀,再随机摸出一个,两次都摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果,然后看符合条件的占
总数的几分之几即可.
【解答】解:两次摸球的所有的可能性树状图如下:
∴P 两次都是红球= .
故选:D.
【点评】考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率,关键是列举出所有等可能出
现的结果数,然后用分数表示,同时注意“放回”与“不放回”的区别.
9.(3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 EF,若 AB=4,BC
=8.则 D′F 的长为( )
A.2 B.4 C.3 D.2
【考点】LB:矩形的性质;PB:翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
【分析】连接 AC 交 EF 于点 O,由矩形的性质得出 AD=BC=8,∠B=90°,由勾股定
理得出 AC= =4 ,由折叠的性质得出 EF⊥AC,AO=CO= AC=2 ,
证出 Rt△FOA∽Rt△ADC,则 = ,求出 AF=5,即可得出结果.
【解答】解:连接 AC 交 EF 于点 O,如图所示:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC=8,∠B=∠D=90°,
AC= = =4 ,
∵折叠矩形使 C 与 A 重合时,EF⊥AC,AO=CO= AC=2 ,
∴∠AOF=∠D=90°,∠OAF=∠DAC,
∴则 Rt△FOA∽Rt△ADC,
∴ = ,即: = ,
解得:AF=5,
∴ D′F=DF=AD﹣AF=8﹣5=3,
故选:C.
【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等
知识,熟练掌握折叠的性质,证明三角形相似是解题的关键.
10.(3 分)如图,抛物线 y=﹣ x2+ x+2 与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,
点 D 在抛物线上,且 CD∥AB.AD 与 y 轴相交于点 E,过点 E 的直线 PQ 平行于 x 轴,
与拋物线相交于 P,Q 两点,则线段 PQ 的长为 2 .
【考点】H5:二次函数图象上点的坐标特征;HA:抛物线与 x 轴的交点.菁优网版权所有
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 A,B,C,D 的坐标,由点 A,D
的坐标,利用待定系数法可求出直线 AD 的解析式,利用一次函数图象上点的坐标特征
可求出点 E 的坐标,再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 P,Q 的坐标,进而
可求出线段 PQ 的长.
【解答】解:当 y=0 时,﹣ x2+ x+2=0,
解得:x1=﹣2,x2=4,
∴点 A 的坐标为(﹣2,0);
当 x=0 时,y=﹣ x2+ x+2=2,
∴点 C 的坐标为(0,2);
当 y=2 时,﹣ x2+ x+2=2,
解得:x1=0,x2=2,
∴点 D 的坐标为(2,2).
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b(k≠0),
将 A(﹣2,0),D(2,2)代入 y=kx+b,得:
,解得: ,
∴直线 AD 的解析式为 y= x+1.
当 x=0 时,y= x+1=1,
∴点 E 的坐标为(0,1).
当 y=1 时,﹣ x2+ x+2=1,
解得:x1=1﹣ ,x2=1+ ,
∴点 P 的坐标为(1﹣ ,1),点 Q 的坐标为(1+ ,1),
∴PQ=1+ ﹣(1﹣ )=2 .
故答案为 :2 .
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法
求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征,利用二次函数图象上点的坐标特
征求出点 P,Q 的坐标是解题的关键.
二、填空题(本 题共 6 小题,每小題分,共 18 分)
11.(3 分)如图 AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D= 130 °.
【考点】JA:平行线的性质.菁优网版权所有
【分析】首先根据平行线的性质可得∠B=∠C=50°,再根据 BC∥DE 可根据两直线平
行,同旁内角互补可得答案.
【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠B=∠C=50°,
∵BC∥DE,
∴∠C+∠D=180°,
∴∠D=180°﹣50°=130°,
故答案为:130.
【点评】此题主要考查了平行线的性质,关键是掌握两直线平行,同旁内角互补. 两直
线平行,内错角相等.
12.(3 分)某男子足球队队员的年龄分布如图所示,这些队员年龄的众数是 25 .
【考点】W5:众数.菁优网版权所有
【分析】根据条形统计图找到最高的条形图所表示的年龄数即为众数.
【解答】解:观察条形统计图知:为 25 岁的最多,有 8 人,
故众数为 25 岁,
故答案为:25.
【点评】考查了众数的定义及条形统计图的知识,解题的关键是能够读懂条形统计图及
了解众数的定义,难度较小.
13.(3 分)如图,△ABC 是等边三角形,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD.若 AB
=2,则 AD 的长为 2 .
【考点】KK:等边三角形的性质;KO:含 30 度角的直角三角形.菁优网版权所有
【分析】AB=AC=BC=CD,即可求出∠BAD=90°,∠D=30°,解直角三角形即可
求得.
【解答】解:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°,
∵CD=AC,
∴∠CAD=∠D,
∵∠ACB=∠CAD+∠D=60°,
∴∠CAD=∠D=30°,
∴∠BAD=90°,
∴AD= = =2 .
故答案为 2 .
【点评】本题考查了等边三角形的性质,等腰三角形的性质以及解直角三角形等,证得△
ABD 是含 30°角的直角三角形是解题的关键.
14.(3 分)我国古代数学著作《九章算术》中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一
小器五容二斛.问大小器各容几何.”其大意为:有大小两种盛酒的桶,已知 5 个大桶
加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛(斛,音 hu,是古代的一种容量单位).1 个大桶加上 5 个
小桶可以盛酒 2 斛,问 1 个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛?若设 1 个大桶可以盛
酒 x 斛,1 个小桶可以盛酒 y 斛,根据题意,可列方程组为 .
【考点】1O:数学常识;99:由实际问题抽象出二元一次方程组.菁优网版权所有
【分析】设 1 个大桶可以盛酒 x 斛,1 个小桶可以盛酒 y 斛,根据“5 个大桶加上 1 个小
桶可以盛酒 3 斛,1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛”即可得出关于 x、y 的二元一次
方程组.
【解答】解:设 1 个大桶可以盛酒 x 斛,1 个小桶可以盛酒 y 斛,
根据题意得: ,
故答案为 .
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,根据数量关系列出关于 x、y 的
二元一次方程组是解题的关键.
15.(3 分)如图,建筑物 C 上有一杆 AB.从与 BC 相距 10m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰
角为 53°,观测旗杆底部 B 的仰角为 45°,则旗杆 AB 的高度约为 3 m(结果取整数
,参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33).
【考点】TA:解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.菁优网版权所有
【分析】根据正切的定义分别求出 AC、BC,结合图形计算即可.
【解答】解:在 Rt△BCD 中,tan∠BDC= ,
则 BC=CD•tan∠BDC=10,
在 Rt△ACD 中,tan∠ADC= ,
则 AC=CD•tan∠ADC≈10×1.33=13.3,
∴AB=AC﹣BC=3.3≈3(m),
故答案为:3.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟
记锐角三角函数的定义是解题的关键.
16.(3 分)甲、乙两人沿同一条直路走步,如果两人分别从这条多路上的 A,B 两处同时
出发,都以不变的速度相向而行,图 1 是甲离开 A 处后行走的路程 y(单位:m)与行走
时 x(单位:min)的函数图象,图 2 是甲、乙两人之间的距离(单位:m)与甲行走时
间 x(单位;min)的函数图象,则 a﹣b= .
【考点】FH:一次函数的应用.菁优网版权所有
【分析】从图 1,可见甲的速度为 =60,从图 2 可以看出,当 x= 时,二人相遇,
即:(60+V 已)× =120,解得:已的速度 V已=80,已的速度快,从图 2 看出已用了
b 分钟走完全程,甲用了 a 分钟走完全程,即可求解.
【解答】解:从图 1,可见甲的速度为 =60,
从图 2 可以看出,当 x= 时,二人相遇,即:(60+V 已)× =120,解得:已的速度 V
已=80,
∵已的速度快,从图 2 看出已用了 b 分钟走完全程,甲用了 a 分钟走完全程,
a﹣b= = ,
故答案为 .
【点评】本题考查了一次函数的应用,把一次函数和行程问题结合在一起,关键是能正
确利用待定系数法求一次函数的解析式,明确三个量的关系:路程=时间×速度.
三、解答题(本题共 4 小题,17、18、19 题各 9 分,20 题 12 分,共 39 分)
17.(9 分)计算:( ﹣2)2+ +6
【考点】79:二次根式的混合运算.菁优网版权所有
【分析】直接利用完全平方公式以及结合二次根式的性质化简进而得出答案.
【解答】解:原式=3+4﹣4 +2 +6×
=3+4﹣4 +2 +2
=7.
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算,正确化简二次根式是解题关键.
18.(9 分)计算: ÷ +
【考点】6C:分式的混合运算.菁优网版权所有
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简,进而利用分式的加减运算法则计算得出答
案;
【解答】解:原式= × ﹣
= ﹣
= .
【点评】此题主要考查了分式的混合运算,正确化简是解题关键.
19.(9 分)如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,求证:AF=DE.
【考点】KD:全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】利用 SAS 定理证明△ABF≌△DCE,根据全等三角形的性质证明结论.
【解答】证明:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即 BF=CE,
在△ABF 和△DCE 中,
,
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴AF=DE.
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键.
20.(12 分)某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况,随机选取该年级部分男生
进行测试,以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.
成绩等级 频数(人) 频率
优秀 15 0.3
良好
及格
不及格 5
根据以上信息,解答下列问题
(1)被测试男生中,成绩等级为“优秀”的男生人数为 15 人,成绩等级为“及格”
的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 90 %;
(2)被测试男生的总人数为 50 人,成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生
总人数的百分比为 10 %;
(3)若该校八年级共有 180 名男生,根据调查结果,估计该校八年级男生成绩等级为“
良好”的学生人数.
【考点】V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;VB:扇形统计图.菁优网版权所有
【分析】(1)由统计图表可知,成绩等级为“优秀”的男生人数为 15 人,被测试男生
总数 15÷0.3=50(人),
成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比: ;
(2)被测试男生总数 15÷0.3=50(人),成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试
男生总人数的百分比: ;
(3)由(1)(2)可知,优秀 30%,及格 20%,不及格 10%,则良好 40%,该校八年
级男生成绩等级为“良好”的学生人数 180×40%=72(人).
【解答】解:(1)由统计图表可知,成绩等级为“优秀”的男生人数为 15 人,
被测试男生总数 15÷0.3=50(人),
成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比: ,
故答案为 15,90;
(2)被测试男生总数 15÷0.3=50(人),
成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比: ,
故答案为 50,10;
(3)由(1)(2)可知,优秀 30%,及格 20%,不及格 10%,则良好 40%,
该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 180×40%=72(人)
答:该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 72 人.
【点评】本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统
计图中得到必要的信息是解决问题的关键.表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据;
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
四、解答题(本共 3 小,其 中 21、22 题各分,23 题 10 分,共 28 分)
21.(9 分)某村 2016 年的人均收入为 20000 元,2018 年的人均收入为 24200 元
(1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测 2019
年村该村的人均收入是多少元?
【考点】AD:一元二次方程的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x,根据某村 2016 年
的人均收入为 20000 元,2018 年的人均收入为 24200 元,即可得出关于 x 的一元二次方
程,解之取其较小值即可得出结论;
(2)由 2019 年村该村的人均收入=2018 年该村的人均收入×(1+年平均增长率),即
可得出结论.
【解答】解:(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x,
根据题意得:20000(1+x)2=24200,
解得:x1=0.1=10%,x2=1.1(不合题意,舍去).
答:2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10%.
(2)24200×(1+10%)=26620(元).
答:预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列
出一元二次方程;(2)根据数量关系,列式计算.
22.(9 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(3,2)在反比例函数 y= (x>0)
的图象上,点 B 在 OA 的廷长线上,BC⊥x 轴,垂足为 C,BC 与反比例函数的图象相交
于点 D,连接 AC,AD.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若 S△ACD= ,设点 C 的坐标为(a,0),求线段 BD 的长.
【考点】G5:反比例函数系数 k 的几何意义;G6:反比例函数图象上点的坐标特征;G7
:待定系数法求反比例函数解析式.菁优网版权所有
【分析】(1)把点 A(3,2)代入反比例函数 y= ,即可求出函数解析式;
(2)直线 OA 的关系式可求,由于点 C(a,0),可以表示点 B、D 的坐标,根据 S△ACD
= ,建立方程可以解出 a 的值,进而求出 BD 的长.
【解答】解:(1)∵点 A(3,2)在反比例函数 y= (x>0)的图象上,
∴k=3×2=6,
∴反比例函数 y= ;
答:反比例函数的关系式为:y= ;
(2)过点 A 作 AE⊥OC,垂足为 E,连接 AC,
设直线 OA 的关系式为 y=kx,将 A(3,2)代入得,k= ,
∴直线 OA 的关系式为 y= x,
∵点 C(a,0),把 x=a 代入 y= x,得:y= a,把 x=a 代入 y= ,得:y= ,
∴B(a, ),即 BC═ a,
D(a, ),即 CD=
∵S△ACD= ,
∴ CD•EC= ,即 , 解得:a=6,
∴BD=BC﹣CD= =3;
答:线段 BD 的长为 3.
【点评】考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质,将点的坐标转化为
线段的长,利用方程求出所设的参数,进而求出结果是解决此类问题常用的方法.
23.(10 分)如图 1,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,过点 A 的切线与 CD
的延长线相交于点 P.且∠APC=∠BCP
(1)求证:∠BAC=2∠ACD;
(2)过图 1 中的点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E(如图 2),当 BC=6,AE=2 时,求⊙O
的半径.
【考点】M5:圆周角定理;M6:圆内接四边形的性质;MC:切线的性质.菁优网版权所有
【分析】(1)作 DF⊥BC 于 F,连接 DB,根据切线的性质得到∠PAC=90°,根据圆
周角定理得到∠ADC=90°,得到∠DBC=∠DCB,得到 DB=DC,根据线段垂直平分
线的性质、圆周角定理证明即可;[来源:学.科.网]
(2)根据垂径定理求出 FC,证明△DEC≌△CFD,根据全等三角形的性质得到 DE=FC
=3,根据射影定理计算即可.
【解答】(1)证明:作 DF⊥BC 于 F,连接 DB,
∵AP 是⊙O 的切线,
∴∠PAC=90°,即∠P+∠ACP=90°,
∵AC 是⊙O 的直径,
∴∠ADC=90°,即∠PCA+∠DAC=90°,
∴∠P=∠DAC=∠DBC,
∵∠APC=∠BCP,
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC,
∵DF⊥BC,
∴DF 是 BC 的垂直平分线,
∴DF 经过点 O,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∵∠BDC=2∠ODC,
∴∠BAC=∠BDC=2∠ODC=2∠OCD;
(2)解:∵DF 经过点 O,DF⊥BC,
∴FC= BC=3,
在△DEC 和△CFD 中,
,
∴△DEC≌△CFD(AAS)
∴DE=FC=3,
∵∠ADC=90°,DE⊥AC,
∴DE2=AE•EC,
则 EC= = ,
∴AC=2+ = ,
∴⊙O 的半径为 .
【点评】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理,
掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
五、解答题(本题共 3 小题,其中 24 题 11 分,25、26 題各 12 分,共 35 分)
24.(11 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=﹣ x+3 与 x 轴,y 轴分别相交于
点 A,B,点 C 在射线 BO 上,点 D 在射线 BA 上,且 BD= OC,以 CO,CD 为邻边作
▱COED.设点 C 的坐标为(0,m),▱COED 在 x 轴下方部分的面积为 S.求:
(1)线段 AB 的长;
(2)S 关于 m 的函数解析式,并直接写出自变量 m 的取值范围 .
【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征;L5:平行四边形的性质.菁优网版权所有
【分析】(1)由直线 y=﹣ x+3 与令 x=0,或 y=0,分别求出对应的 y、x 的值,从而
确定 A、B 两点的坐标;
(2)分两种情况进行分别探究,①当 <m≤3 时,②当 0<m≤ 时,分别画出相应的
图象,根据三角形相似,求出相应的边的长用含有 m 的代数式表示,再表示面积,从而
确定在不同情况下 S 与 m 的函数解析式.
【解答】解:(1)当 x=0 时,y=3,
当 y=0 时,x=4,
∴直线 y=﹣ x+3 与 x 轴点交 A(4,0),与 y 轴交点 B(0,3)
∴OA=4,OB=3,
∴AB= ,
因此:线段 AB 的长为 5.
(2)当 CD∥OA 时,如图,
∵BD= OC,OC=m,
∴BD= m,[来源:Z_xx_k.Com]
由△BCD∽△BOA 得:
,即: ,解得:m= ;
①当 <m≤3 时,如图 1 所示:过点 D 作 DF⊥OB,垂足为 F,
此时在 x 轴下方的三角形与△CDF 全等,
∵△BDF∽△BAO,
∴ ,
∴DF= ,同理:BF=m,
∴CF=2m﹣3,
∴S△CDF= = (2m﹣3)× = m2﹣2m,
即:S= m2﹣2m,( <m≤3)
②当 0<m≤ 时,如图 2 所示:DE=m≤ ,此时点 E 在△AOB 的内部,
S=0 (0<m≤ );
答:S 与 m 的函数关系式为:S= m2﹣2m,( <m≤3)或 S=0 (0<m≤ ).
【点评】考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质,全等三角形等知识,分类讨论,
分别探究在不同情况下,存在的不同函数解析式,根据不同情况,画出相应的图形,再
利用所学的知识探究出不同函数解析式.
25.(12 分)阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题
数学课上,老师出示了这样一道题:如图 1,△ABC 中,∠BAC=90°,点 D、E 在 BC
上,AD=AB,AB=kBD(其中 <k<1)∠ABC=∠ACB+∠BAE,∠EAC 的平分线与
BC 相交于点 F,BG⊥AF,垂足为 G,探究线段 BG 与 AC 的数量关系,并证明.同学们
经过思考后,交流了自已的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠BAE 与∠DAC 相等.”
小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段 BG 与 AC 的数量关系.
”
……
老师:“保留原题条件,延长图 1 中的 BG,与 AC 相交于点 H(如图 2),可以求出
的值.”
(1)求证:∠BAE=∠DAC;
(2)探究线段 BG 与 AC 的数量关系(用含 k 的代数式表示),并证明;
(3)直接写出 的值(用含 k 的代数式表示).
【考点】SO:相似形综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)利用三角形的外角性质可求解;
(2)由直角三角形的性质和角平分线的性质可得 AF=FC,AF=BF,通过证明△ABG∽
△BCA 和△ABF∽△BAD,利用相似三角形的性质可求解;
(3)通过证明△ABH∽△ACB,可得 AB2=AC×AH,设 BD=m,AB=km,由勾股定理
可求 AC 的长,可求 AH,HC 的长,即可求解.
【解答】证明:(1)∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∵∠ADB=∠ACB+∠DAC,∠ABD=∠ABC=∠ACB+∠B AE
∴∠BAE=∠DAC
(2)设∠DAC=α=∠BAE,∠C=β
∴∠ABC=∠ADB=α+β
∵∠ABC+∠C=α+β+β=α+2β=90°,∠BAE+∠EAC=90°=α+∠EAC
∴∠EAC=2β
∵AF 平分∠EAC
∴∠FAC=∠EAF=β
∴∠FAC=∠C,∠ABE=∠BAF=α+β
∴AF=FC,AF=BF
∴AF= BC=BF
∵∠ABE=∠BAF,∠BGA=∠BAC=90°
∴△ABG∽△BCA
∴
∵∠ABE=∠BAF,∠ABE=∠AFB
∴△ABF∽△BAD
∴ ,且 AB=kBD,AF= BC=BF
∴k= ,即
∴
(3)∵∠ABE=∠BAF,∠BA C=∠AGB=90°
∴∠ABH=∠C,且∠BAC=∠BAC
∴△ABH∽△ACB
∴
∴AB2=AC×AH
设 BD=m,AB=km,
∵
∴BC=2k2m
∴AC= =km
∴AB2=AC×AH
(km)2=km ×AH
∴AH=
∴HC=AC﹣AH=km ﹣ =
∴
【点评】本题是相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,
灵活运用相似三角形的判定是本题的关键.
26.(12 分)把函数 C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点 P(m,0)旋转 180°,得
到新函数 C2 的图象,我们称 C2 是 C1 关于点 P 的相关函数.C2 的图象的对称轴与 x 轴
交点坐标为(t,0).
(1)填空:t 的值为 2m﹣1 (用含 m 的代数式表示)
(2)若 a=﹣1,当 ≤x≤t 时,函数 C 1 的最大值为 y1,最小值为 y2,且 y1﹣y2=1,
求 C2 的解析式;
(3)当 m=0 时,C2 的图象与 x 轴相交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的右侧).与 y 轴相
交于点 D.把线段 AD 原点 O 逆时针旋转 90°,得到它的对应线段 A′D′,若线 A′D
′与 C2 的图象有公共点,结合函数图象,求 a 的取值范围.
【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)C1:y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,顶点(1,﹣4a)围绕点 P(m,
0)旋转 180°的对称点为(2m﹣1,4a),即可求解;
(2)分 t<1、1≤t 、t 三种情况,分别求解;
(3)分 a>0、a<0 两种情况,分别求解.
【解答】解:(1)C1:y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,
顶点(1,﹣4a)围绕点 P(m,0)旋转 180°的对称点为(2m﹣1,4a),
C2:y=﹣a(x﹣2m+1)2+4a,函数的对称轴为:x=2m﹣1,
t=2m﹣1,
故答案为:2m﹣1;
(2)a=﹣1 时,
C1:y=(x﹣1)2﹣4,
①当 t<1 时,
x= 时,有最小值 y2= ,
x=t 时,有最大值 y1=﹣(t﹣1)2+4,
则 y1﹣y2=﹣(t﹣1)2+4﹣ =1,无解;
②1≤t 时,
x=1 时,有最大值 y1=4,
x= 时,有最小值 y2=﹣(t﹣1)2+4,
y1﹣y2= ≠1(舍去);
③当 t 时,
x=1 时,有最大值 y1=4,
x=t 时,有最小值 y2=﹣(t﹣1)2+4,
y1﹣y2=(t﹣1)2=1,
解得:t=0 或 2(舍去 0),
故 C2:y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x;
(3)m=0,
C2:y=﹣a(x+1)2+4a,
点 A、B、D、A′、D′的坐标分别为(1,0)、(﹣3,0)、(0,3a)、(0,1)、(﹣
3a,0),
当 a>0 时,a 越大,则 OD 越大,则点 D′越靠左,
当 C2 过点 A′时,y=﹣a(0+1)2+4a=1,解得:a= ,
当 C2 过点 D′时,同理可得:a=1,
故:0<a 或 a≥1;
当 a<0 时,
当 C2 过点 D′时,﹣3a=1,解得:a=﹣ ,
故:a≤﹣ ;
综上,故:0<a 或 a≥1 或 a≤﹣ .
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、图形的旋转等,其中(2)
(3),要注意分类求解,避免遗漏.
声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布
日期:2019/7/29 11:42:42;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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