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  • 2021-11-06 发布

浙教版九年级上册二次函数专题之函数最值问题(教师版)

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二次函数专题之函数最值问题 ‎【类型综述】‎ 二次函数的图像、性质问题中,求给定区间内函数的最值,是中考数学的热点问题.‎ 对于整个函数图像来说,最值在顶点处取到,而对于函数图像的一部分来说,则未必。‎ 常见的两种类型分别为:‎ 一是给定区间,对称轴不确定;二是给定对称轴,区间不确定。‎ 一般步骤是根据已知,画出函数图像,再根据给定的区间或对称轴进行分类讨论,根据题意建立方程求解。难点是有时分类讨论次数较多,计算比较繁琐,容易出错。‎ ‎【典例分析】‎ ‎【例1】已知二次函数(其中是自变量),当时,随的增大而增大,且当时,的最大值为9,则的值为(  )‎ A.-1 B.1 C.-2 D.2‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ ‎∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量), ∴对称轴是直线x=- =-1, ∵当x≥2时,y随x的增大而增大, ∴a>0, ∵-2≤x≤1时,y的最大值为9, ∴x=1时,y=a+2a+3a2+3=9, ∴3a2+3a-6=0, ∴a=1,或a=-2(不合题意舍去). 故选:B.‎ ‎【变式1】已知二次函数y=x2+mx+n的图像经过点(―1,―3),则代数式mn+1有( )‎ A.最小值―3 B.最小值3 C.最大值―3 D.最大值3‎ ‎【答案】A ‎【详解】‎ ‎∵二次函数y=x2+mx+n的图像经过点(-1,-3),‎ ‎∴-3=1-m+n,‎ ‎∴n=-4+m,‎ 代入mn+1,得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.‎ ‎∴代数式mn+1有最小值-3.‎ 故选A.‎ ‎【变式2】已知点A(t,y1),B(t+2,y2)在抛物线y=﹣x2的图象上,且﹣2≤t≤2,则线段AB长的最大值______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【详解】‎ ‎∵点A(t,y1),B(t+2,y2)在抛物线y=﹣x2的图象上,‎ ‎∴y1=﹣t2,y2=﹣(t+2)2=﹣t2﹣2t﹣2,‎ ‎∴AB2=(t+2﹣t)2+(y2﹣y1)2‎ ‎=22+(﹣t2﹣2t﹣2+t2)2‎ ‎=4+(﹣2t﹣2)2‎ ‎=4(t+1)2+4‎ ‎∴AB2与t是二次函数的关系,由抛物线性质可知:‎ 当t=﹣1时,AB2取得最小值,AB2=4,AB=2‎ 当t=2时,AB2取得最大值,AB2=4×(2+1)2+4=40,AB=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎【变式3】已知二次函数,当自变量满足时,y的最大值为a,最小值为b,则的值为________.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【详解】‎ 二次函数,‎ 该函数图象开口向上,对称轴为直线,‎ 当自变量满足时,的最大值为,最小值为,‎ 当时,取得最大值,当时,函数取得最小值,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 故答案为:9.‎ ‎【例2】已知关于x的二次函数y=ax2﹣4ax+a+1(a>0)‎ ‎(1)若二次函数的图象与x轴有交点,求a的取值范围;‎ ‎(2)若P(m,n)和Q(5,b)是抛物线上两点,且n>b,求实数m的取值范围;‎ ‎(3)当m≤x≤m+2时,求y的最小值(用含a、m的代数式表示).‎ ‎【答案】(1)a≥;(2)m<﹣1或m>5;(3)y的最小值为:am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)由题意得:‎ ‎△=(﹣4a)2﹣4a(a+1)≥0,且a>0,‎ 解得:a≥;‎ ‎(2)抛物线的对称轴为直线x=﹣=2,‎ 当n=b时,根据函数的对称性,则m=﹣1或m=5,‎ 故实数m的取值范围为:m<﹣1或m>5;‎ ‎(3)①当m+2<2时,即m<0时,‎ 函数在x=m+2时,取得最小值,‎ ymin=a(m+2)2﹣4a(m+2)+a+1=am2﹣3a+1;‎ ‎②当m≤2≤m+2时,即0≤m≤2,‎ 函数在顶点处取得最小值,‎ 即ymin=4a﹣4a×2+a+1=﹣3a+1;‎ ‎③当m>2时,‎ 函数在x=m时,取得最小值,‎ ymin=am2﹣4am+a+1;‎ 综上,y的最小值为:am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1.‎ ‎【变式1】二次函数y=-(x-1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值2n,则m+n的值等于( )‎ A.0 B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【详解】‎ 二次函数y=-(x-1)2+5的大致图象如下:‎ ‎①当m<0≤x≤n<1时,当x=m时,y取最小值,即2m=-(m-1)2+5,‎ 解得:m=-2,m=2(舍去).‎ 当x=n时,y取最大值,即2n=-(n-1)2+5,‎ 解得:n=2或n=-2(均不合题意,舍去);‎ ‎②当m<0≤x≤1≤n时,当x=m时,y取最小值,即2m=-(m-1)2+5,‎ 解得:m=-2.‎ 当x=1时,y取最大值,即2n=-(1-1)2+5,‎ 解得:n=2.5,‎ 或x=n时,y取最小值,x=1时,y取最大值,‎ ‎2m=-(n-1)2+5,n=2.5,‎ ‎∴m=,‎ ‎∵m<0,‎ ‎∴此种情形不合题意,‎ 所以m+n=-2+2.5=0.5.‎ 故选:B.‎ ‎【变式2】已知二次函数y=x2-2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m,则整数m的值是(    )‎ A.1 B.2 C.1或2 D.±1或2‎ ‎【答案】C ‎【解析】y=x2-2x+2=(x-1)2+1,分类讨论: (1)若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1右侧时,有m<1,此时y随x的增大而减小, ∴当x=m+1时,函数取得最小值,y最小值=m=(m+1)2-2(m+1)+2, 方程无解. (2)若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时,即有m≤1≤m+1, 解这个不等式,即 0≤m≤1.此时当x=1时,函数取得最小值,y最小值=1, ∴m=1. (3)若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时,即m>1时,y随x的增大而增大, ∵当x=m时,函数取得最小值,y最小值=m=m2-2m+2,解得m=2或1(舍弃) ∴m=1或2. 故选:C. ‎ ‎【变式3】在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴,y轴分别交于点A,B,点A在抛物线y=ax2+bx-3a(a<0)上,将点B向右平移3个单位长度,得到点C.‎ ‎(1)抛物线的顶点坐标为 (用含a的代数式表示)‎ ‎(2)若a=-1,当t-1≤x≤t时,函数y=ax2+bx-3a(a<0)的最大值为y1,最小值为y2‎ ‎,且y1-y2=2,求t的值;‎ ‎(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或;(3)或时,抛物线与线段有一个交点.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)直线y=4x+4与x轴,y轴分别交于点A,B, ∴A(-1,0),B(0,4), 点A在抛物线y=ax2+bx-3a(a<0)上, ∴b=-2a, ∴抛物线y=ax2+bx-3a=a(x-1)2-4a, ∴抛物线的顶点坐标为(1,-4a). 故答案为:;‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴抛物线的解析式为.‎ ‎①当时,‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎②当时,即时,.‎ ‎∴.‎ ‎③当时,.‎ 解得,(舍去).‎ ‎④当时,.‎ 解得,(舍去).‎ ‎∴或.‎ ‎(3)①把代入抛物线,得.‎ ‎∵抛物线与线段只有一个公共点,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎②当抛物线顶点在线段上时,则顶点坐标为.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴或时,抛物线与线段有一个交点.‎ ‎【例3】已知点A (1,1)为函数y=ax2+bx+4(a,b为常数,且a≠0)上一点.‎ ‎(1)用a的代数式表示b;‎ ‎(2)若1≤a≤2,求‎-‎b‎2a的范围;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设当1≤x≤2时,函数y=ax2+bx+4的最大值为m,最小值为n,求m﹣n(用a的代数式表示).‎ ‎【解答】解:(1)把A (1,1)代入y=ax2+bx+4得,1=a+b+4,‎ ‎∴b=﹣a﹣3;‎ ‎(2)∵b=﹣3﹣a,‎ ‎∴y=ax2﹣(a+3)x+4=a(x‎-‎a+3‎‎2a)2‎-a‎4‎-‎9‎‎4a+‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∴对称轴为直线x‎=‎a+3‎‎2a,‎ ‎∵1≤a≤2,‎ ‎∴‎5‎‎4‎‎≤‎1‎‎2‎+‎3‎‎2a≤‎2,‎ ‎∴‎5‎‎4‎‎≤-b‎2a≤‎2;‎ ‎(3)∵‎5‎‎4‎‎≤-b‎2a≤‎2,1≤x≤2,‎ ‎∴当x‎=‎a+3‎‎2a时,n‎=-a‎4‎-‎9‎‎4a+‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∵抛物线开口向上,‎ ‎∴离对称轴越远,函数值越大,‎ ‎①当‎5‎‎4‎‎≤-b‎2a≤‎‎3‎‎2‎时,x=2函数值最大,‎ ‎∴m=4a﹣2a﹣6+4=2a﹣2,‎ ‎∴m﹣n=2a‎+a‎4‎+‎9‎‎4a-‎9‎‎2‎=‎9a‎4‎+‎9‎‎4a-‎‎9‎‎2‎,‎ ‎②当‎3‎‎2‎‎<-b‎2a≤‎2时,x=1函数值最大,‎ ‎∴m=a﹣a﹣3+4=1,‎ ‎∴m﹣n═a‎4‎‎+‎9‎‎4a-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎【变式1】已知二次函数y=﹣x2+mx+m(m为常数),当﹣2≤x≤4时,y的最大值是15,则m的值是(  )‎ A.﹣19或 B.6或或-10 C.﹣19或6 D.6或或-19‎ ‎【答案】C ‎【详解】‎ 解:∵二次函数,‎ ‎∴当时,即m<-4,‎ ‎∵当-2≤x≤4时,y的最大值是15,‎ ‎∴当x=-2时,,得m=-19;‎ 当时,即-4≤m≤8时,‎ ‎∵当-2≤x≤4时,y的最大值是15,‎ ‎∴当时,,得(舍去),;‎ 当时,即m>8,‎ ‎∵当-2≤x≤4时,y的最大值是15,‎ ‎∴当x=4时,,得(舍去);‎ 综上可得,m的值是-19或6.‎ 故选:C.‎ ‎【变式2】当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为(  )‎ A. B.或 C.2或 D.2或或 ‎【答案】C ‎【详解】‎ 二次函数的对称轴为直线x=m,‎ ‎①m<﹣2时,x=﹣2时二次函数有最大值,‎ 此时﹣(﹣2﹣m)2+m2+1=4,‎ 解得m=,与m<﹣2矛盾,故m值不存在;‎ ‎②当﹣2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,‎ 此时,m2+1=4,‎ 解得m=﹣,m=(舍去);‎ ‎③当m>1时,x=1时二次函数有最大值,‎ 此时,﹣(1﹣m)2+m2+1=4,‎ 解得m=2,‎ 综上所述,m的值为2或﹣.‎ 故选C.‎ ‎【变式3】已知,抛物线y=ax²-2amx+am2+2m-5与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1