2020九年级数学下册 二次函数的图象与性质 4页

‎27.1.2　圆的对称性 第2课时　垂径定理 知|识|目|标 ‎1．通过折叠、作图等方法，探索出圆是轴对称图形．‎ ‎2．通过圆的对称性探索出垂径定理及其推论，会用垂径定理解决有关的证明和计算问题．‎ ‎3．会利用垂径定理解决实际生活中的问题．‎ 目标一　理解圆的轴对称性 例1 教材补充例题 下列说法正确的是(　　)‎ A．每一条直径都是圆的对称轴 B．圆的对称轴是唯一的 C．圆的对称轴一定经过圆心 D．圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线 ‎【归纳总结】圆的对称轴的“两点注意”：‎ ‎(1)圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．‎ ‎(2)对称轴是直线而不是线段，所以说“圆的对称轴是直径所在的直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”．‎ 目标二　能应用垂径定理及其推论进行证明或计算 例2 教材补充例题 如图27－1－9，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是(　　)‎ 图27－1－9‎ A．CM＝DM B.＝ C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB ‎【归纳总结】垂径定理的“三点注意”：‎ ‎(1)垂径定理中的直径可以是直径、半径或过圆心的直线(线段)，其本质是“过圆心”．‎ ‎(2)当垂径定理中的弦为直径时，结论仍然成立．‎ ‎(3)平分两条弧是指平分这条弦所对的优弧和劣弧，不要漏掉优弧．‎ 例3 教材补充例题 如图27－1－10，AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，垂足为H，连结BC，BD.‎ ‎(1)求证：BC＝BD；‎ ‎(2)已知CD＝6，OH＝2，求⊙O的半径．‎ 4‎ 图27－1－10‎ ‎【归纳总结】垂径定理中常作的两种辅助线：‎ ‎(1)若已知圆心，则过圆心作垂直于弦的直径(或半径或线段)．‎ ‎(2)若已知弧、弦的中点，则作弧、弦中点的连线或连结圆心和弦的端点等．‎ 目标三　会用垂径定理解决实际生活中的问题 例4 高频考题“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”题目用现在的数学语言表达如下：如图27－1－11所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．请你解决这个问题．‎ 图27－1－11‎ ‎【归纳总结】垂径定理基本图形中的“四变量、两关系”：‎ ‎1．四变量：设弦长为a，圆心到弦的距离为d，半径为r，弧的中点到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量知道其中任意两个即可求出其他两个．‎ ‎2．两关系：(1)()2＋d2＝r2；‎ ‎(2)h＋d＝r. ‎ 图27－1－12‎ 知识点一　圆的轴对称性 圆是____________，它的任意一条直径所在的直线都是它的________，圆有________条对称轴．‎ 知识点二　垂径定理及其推论 垂直于弦的直径__________，并且____________．‎ 推论： 平分弦(不是直径)的直径____________，并且______________________‎ 4‎ ‎；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．‎ 已知CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB＝10，CD＝8，求BE的长．‎ 解：如图27－1－13，连结OC，则OC＝5.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，‎ ‎∴CE＝CD＝4.‎ 在Rt△OCE中，‎ OE＝＝3，‎ ‎∴BE＝OB＋OE＝5＋3＝8. 图27－1－13‎ 以上解答过程完整吗？若不完整，请进行补充．‎ 4‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　[解析] C　因为对称轴是直线，不是线段，而圆的直径是线段，故A不正确；因为圆的对称轴有无数条，故B不正确；因为圆的对称轴是直径所在的直线，所以一定经过圆心，故D不正确，C正确．故选C.‎ 例2　[解析] D　∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM＝DM，故选项A成立；由垂径定理可得＝，故选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD＝∠ADC，故选项C成立；而OM与MB不一定相等，故选项D不成立．故选D.‎ 例3　解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，∴＝，∴BC＝BD.‎ ‎(2)如图，连结OC.‎ ‎∵AB是⊙O的直径，CD为弦，AB⊥CD，CD＝6，∴CH＝3，‎ ‎∴OC＝＝＝，‎ 故⊙O的半径为.‎ 例4　[解析] 连结OA，构造Rt△AOE，利用勾股定理及垂径定理解答．‎ 解：连结OA.‎ ‎∵CD⊥AB于点E，CD为⊙O的直径，‎ ‎∴AE＝AB＝×10＝5(寸)．‎ 在Rt△AEO中，设AO＝x寸，‎ 则OE＝(x－1)寸．‎ 由勾股定理，得x2＝52＋(x－1)2，‎ 解得x＝13.‎ ‎∴AO＝13寸，∴CD＝2AO＝26寸．‎ 答：直径CD的长为26寸．‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点一　轴对称图形　对称轴　无数 知识点二　平分这条弦　平分这条弦所对的两条弧　垂直于这条弦　平分这条弦所对的两条弧 ‎[反思] ‎ 不完整．补充如下：‎ 如图，当垂足E在线段OB上时，‎ 此时，BE＝OB－OE＝5－3＝2.‎ ‎∴BE的长为8或2.‎ 4‎