2020年四川省内江市中考数学试题 31页

内江市 2020 年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试试卷 数学试题 A 卷（共 100 分） 注意事项： 1、答题前，考生务必将将自己的姓名、学号、班级等填写好． 2、答 A 卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号． 第Ⅰ卷（选择题 共 36 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1. 1 2 的倒数是（ ） A. B. C. 1 2 D. 1 2  【答案】A 【解析】 【分析】 根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数，求解． 【详解】解：∵ 1 2=12  ∴ 1 2 的倒数是 2 故选：A． 【点睛】本题考查倒数的概念，掌握概念正确计算是解题关键． 2.下列四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 1 2020  C. 5 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项． 【详解】∵ 11 0 52020      ， ∴最小的数是 1 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反 而小． 3.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转 180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对 称图形”分析可知，上述图形中，A、C、D 都不是中心对称图形，只有 B 是中心对称图形. 故选 B. 4.如图，已知直线 / /a b ， 1 50   ，则 2 的度数为（ ） A. 140 B. 130 C. 50 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】如图，∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝50°， ∴∠2＝180°−50°＝130°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这 组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 80，90 B. 90，90 C. 90，85 D. 90，95 【答案】B 【解析】 【分析】 根据中位数、众数的定义即可求解． 【详解】把分数从小到大排列为：80,85,90,90,95 故中位数为 90，众数为 90 故选 B． 【点睛】此题主要考查中位数、众数，解题的关键是熟知中位数、众数的定义． 6.将直线 2 1y x   向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A. 2 5y x   B. 2 3y x   C. 2 1y x   D. 2 3y x   【答案】C 【解析】 【分析】 向上平移时，k 的值不变，只有 b 发生变化． 【详解】解：原直线的 k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线， 那么新直线的 k=-2，b=-1+2=1． ∴新直线的解析式为 y=-2x+1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时 k 和 b 的值发生变 化． 7.如图，在 ABC 中，D、E 分别是 AB 和 AC 的中点， 15BCEDS 四边形 ，则 ABCS  （ ） A. 30 B. 25 C. 22．5 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】 首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC 的面积． 【详解】解：根据题意，点 D 和点 E 分别是 AB 和 AC 的中点，则 DE∥BC 且 DE= 1 2 BC，故可以判断出 △ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知 ADES ： ABCS =1：4，则 BCEDS四边形 ： ABCS =3：4，题中已知 15BCEDS 四边形 ，故可得 ADES =5， ABCS =20 故本题选择 D 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出 DE 是中位线，从而判断 △ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题． 8.如图，点 A、B、C、D 在⊙O 上， 120AOC   ，点 B 是 AC 的中点，则 D 的度数是（ ） A. 30° B. 40 C. 50 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝ 1 2 ∠AOC，再根据圆周角定理解答． 【详解】连接 OB， ∵点 B 是 AC 的中点， ∴∠AOB＝ 1 2 ∠AOC＝60°， 由圆周角定理得，∠D＝ 1 2 ∠AOB＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 9.如图，点 A 是反比例函数 ky x  图象上的一点，过点 A 作 AC x 轴，垂足为点 C，D 为 AC 的中点，若 AOD 的面积为 1，则 k 的值为（ ） A. 4 3 B. 8 3 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 先设出点 A 的坐标，进而表示出点 D 的坐标，利用△ADO 的面积建立方程求出 2mn  ，即可得出结论． 【详解】点 A 的坐标为（m，2n）， ∴ 2mn k ， ∵D 为 AC 的中点， ∴D（m，n）， ∵AC⊥ x 轴，△ADO 的面积为 1， ∴  ADO 1 1 12 12 2 2S AD OC n n m mn       ， ∴ 2mn  ， ∴ 2 4k mn  ， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明 确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 10.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索 子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果 将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设绳索长 x 尺．则符合题意的方程是（ ） A.  1 5 52 x x   B.  1 5 52 x x   C.  2 5 5x x   D.  2 5 5x x   【答案】A 【解析】 【分析】 设索为 x 尺，杆子为( 5x  )尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺”，即可得出关于 x 一元一 次方程． 【详解】设索为 x 尺，杆子为( 5x  )尺， 根据题意得： 1 2 x  ( 5x  ) 5 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 11.如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结 EF．已知 3 4AB BC ， ，则 EF 的长为（ ） A. 3 B. 5 C. 5 13 6 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 由矩形的性质和已知求出 BD=5，根据折叠的性质得△ABE≌△MBE，设 AE 的长度为 x，在 Rt△EMD 中， 由勾股定理求出 DE 的长度，同理在 Rt△DNF 中求出 DF 的长度，在 Rt△DEF 中利用勾股定理即可求出 EF 的长度． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是矩形，AB=3，BC=4， ∴BD= 2 23 4 =5， 设 AE 的长度为 x， 由折叠可得：△ABE≌△MBE， ∴EM=AE=x，DE=4-x，BM=AB=3，DM=5-3=2， 在 Rt△EMD 中，EM2+DM2=DE2， ∴x2+22=（4-x）2， 解得：x= 3 2 ，ED=4- 3 2 = 5 2 ， 设 CF 的长度为 y， 由折叠可得：△CBF≌△NBF， ∴NF=CF=y，DF=3-y，BN=BC=4，DN=5-4=1， 在 Rt△DNF 中，DN2+NF2=DF2， ∴y2+12=（3-y）2， 解得：x= 4 3 ，DF=3- 4 3 = 5 3 ， 在 Rt△DEF 中，EF= 2 2 2 2 5 5 5 13 2 3 6DE DF              ， 故答案为：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，运用勾股定理求出 DE 和 DF 的长度是解题的关键． 12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 2 2y tx t   （ 0t  ）与两 坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 t 的取值范围是（ ） A. 1 22 t  B. 1 12 t  C. 1 2t  D. 1 22 t  且 1t  【答案】D 【解析】 【分析】 画出函数图象，利用图象可得 t 的取值范围. 【详解】∵ 2 2y tx t   ， ∴当 y=0 时，x= 22 t   ；当 x=0 时，y=2t+2， ∴直线 2 2y tx t   与 x 轴的交点坐标为（ 22 t   ，0），与 y 轴的交点坐标为（0，2t+2）， ∵t>0， ∴2t+2>2， 当 t= 1 2 时，2t+2=3，此时 22 t   =-6，由图象知：直线 2 2y tx t   （ 0t  ）与两坐标轴围成的三角形 区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图 1， 当 t=2 时，2t+2=6，此时 22 t   =-3，由图象知：直线 2 2y tx t   （ 0t  ）与两坐标轴围成的三角形区 域（不含边界）中有且只有四个整点，如图 2， 当 t=1 时，2t+2=4， 22 t   =-4，由图象知：直线 2 2y tx t   （ 0t  ）与两坐标轴围成的三角形区域（不 含边界）中有且只有三个整点，如图 3， ∴ 1 22 t  且 1t  ， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据 t 的值正确画出图象理解 题意是解题的关键. 第Ⅱ卷（非选择题 共 64 分） 注意事项： 1、第Ⅱ卷共 4 页，用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上． 2、答题前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.函数 1 2 4y x   中，自变量 x 的取值范围是_____ ． 【答案】 2x  【解析】 【详解】根据函数可知： 2 4 0x   ,解得： 2x  ． 故答案为： 2x  ． 14.2020 年 6 月 23 日 9 时 43 分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五 十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品 至少有 7 亿台，其中 7 亿用科学记数法表示为______________ 【答案】 87 10 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为： 10 na  ，其中 1≤∣ a ∣﹤10，n 为整数，确定 a 值和 n 值即可解答． 【详解】7 亿=700000000= 87 10 ， 故答案为： 87 10 ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示，正确确定 a 的值和 n 的值是解答的关键． 15.已知关于 x 的一元二次方程 2 21 3 3 0m x mx    有一实数根为 1 ，则该方程的另一个实数根为 _____________ 【答案】 1 3  【解析】 【分析】 根据一元二次方程的解的定义把 x=-1 代入原方程得到关于 m 的一元二次方程，解得 m 的值，然后根据一 元二次方程的定义确定 m 的值． 【详解】解：把 x=-1 代入 2 21 3 3 0m x mx    得 m2-5m+4=0，解得 m1=1,m2=4， ∵(m-1)2≠0， ∴m  1． ∴m=4. ∴方程为 9x2+12x+3=0. 设另一个根为 a,则-a= 3 9 . ∴a=- 1 3 . 故答案为: - 1 3 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方 程的根．也考查了一元二次方程的定义． 16.如图，在矩形 ABCD 中， 10BC  ， 30ABD   ，若点 M、N 分别是线段 DB、AB 上的两个动点，则 AM MN 的最小值为___________________． 【答案】15. 【解析】 【分析】 如图，过 A 作 AG BD 于 G ，延长 AG ，使 AG EG ，过 E 作 EN AB 于 N ，交 BD 于 M ，则 AM MN EN  最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 EN 即可得到答案． 【详解】解：如图，过 A 作 AG BD 于G ，延长 AG ，使 AG EG ，过 E 作 EN AB 于 N ，交 BD 于 M ，则 AM MN EN  最短，  四边形 ABCD 为矩形， 10BC  ， 30ABD   ， 10, 20, cos30 10 3,AD BD AB BD       ,AG BD AD AB   20 10 10 3,AG   5 3, 2 10 3,AG AE AG    , , ,AE BD EN AB EMG BMN     30 ,E ABD     3cos30 10 3 15,2EN AE       15,AM MN   即 AM MN 的最小值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的 最小值问题，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17.计算：   1 01 2 4sin 60 12 32             【答案】-3 【解析】 【分析】 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次幂的运算法则分别对每项进行化简， 再进行加减计算即可． 【详解】解：   1 01 2 4sin 60 12 32             2 2 2 3 2 3 1      3  【点睛】本题考查实数的混合运算、熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和 零次幂的运算法则是解题的关键． 18.如图，点 C，E，F，B 在同一直线上，点 A，D 在 BC 异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D． （1）求证：AB=CD； （2）若 AB＝CF，∠B＝40°，求∠D 的度数． 【答案】（1）AB＝CD（2）70° 【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据 AAS 推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出 AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出 CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C， 在△ABE 和△CDF 中， ∠B＝∠C，AE=DF ，∠A＝∠D． ∴△AEB≌△DFC． ∴AB＝CD. （2）∵AB＝CD， AB＝CF， ∴CD＝CF， ∵∠B＝∠C=40°， ∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三 角形的判定求出△ABE≌△CDF 是解此题的关键． 19.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为 A、B、C、D 四个等级，并将结果绘制 成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题． （1）成绩为“B 等级”的学生人数有 名； （2）在扇形统计图中，表示“D 等级”的扇形的圆心角度数为 ，图中 m 的值为 ； （3）学校决定从本次比赛获得“A 等级”的学生中选出 2 名去参加市中学生知识竞赛．已知“A 等级”中有 1 名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率． 【答案】（1）5（2）72°；40（3） 2 3 【解析】 【分析】 （1）先根据“A 等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B 等级”的学生人数； （2）根据“D 等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C 等级”的人数即可求出 m 的值； （3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）学生总人数为 3÷15%=20（人） ∴成绩为“B 等级”的学生人数有 20-3-8-4=5（人） 故答案为：5； （2）“D 等级”的扇形的圆心角度数为 4 360 7220     m= 8 100 4020   ， 故答案为：72°；40； （3）根据题意画树状图如下： ∴P（女生被选中）= 4 2 6 3  ． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求解方法． 20.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监 船以每小时 60 海里的速度向正东方向航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，海监船继续向东航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30°方向上． （1）求 B 处到灯塔 P 的距离； （2）已知灯塔 P 的周围 50 海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1）B 处到灯塔 P 的距离为 60 海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的 【解析】 【分析】 （1）作 PD⊥AB 于 D．求出∠PAB、∠PBA、∠P 的度数，证得△ABP 为等腰三角形，即可解决问题； （2）在 Rt△PBD 中，解直角三角形求出 PD 的值即可判定． 【详解】（1）过点 P 作 PD⊥AB 于点 D， 由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°， ∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB， ∴PB=AB=60（海里）， 答：B 处到灯塔 P 的距离为 60 海里； （2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°， ∴PB=AB=60（海里） 在 Rt△PBD 中， PD=BPsin60°  60 3 30 32   （海里）， ∵30 3 50 ， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌 握锐角三角函数的概念是解题的关键． 21.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点， OD BC^ 于点 D，过点 C 作⊙O 的切线，交 OD 的延长线 于点 E，连结 BE． （1）求证：BE 是⊙O 的切线； （2）设 OE 交⊙O 于点 F，若 2 4 3DF BC ， ，求线段 EF 的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）EF=4；（3） 1616 3 3  【解析】 【分析】 （1）连接 OC，如图，根据垂径定理由 OD⊥BC 得到 CD=BD，则 OE 为 BC 的垂直平分线，所以 EB=EC， 根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得 ∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得 BE 与⊙O 相切； （2）设⊙O 的半径为 R，则 OD=R-DF=R-2，OB=R，在 Rt△OBD，利用勾股定理解得 R=4，再利用含 30º 角的直角三角形边角关系可求得 OE，利用 EF=OE-OF 即可解答； （3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用 =S OBECS S阴影 四边形 扇形OBC 代入数值即可求解． 【详解】（1）证明：连接 OC，如图， ∵OD⊥BC， ∴CD=BD， ∴OE 为 BC 的垂直平分线， ∴EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE， ∵CE 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90°， ∴∠OBE=90°， ∴OB⊥BE， ∴BE 与⊙O 相切． （2）设⊙O 的半径为 R，则 OD=R-DF=R-2，OB=R， 在 Rt△OBD 中，BD= 1 2 BC= 2 3 ∵OD2+BD2=OB2， ∴ 2 2 2( 2) (2 3)R R   ，解得 R=4， ∴OD=2，OB=4， ∴∠OBD=30°， ∴∠BOD=60°， ∴在 Rt△OBE 中，∠BEO=30º，OE=2OB=8， ∴EF=OE-OF=8-4=4， 即 EF=4； （3）由∠OCD=∠OBD=30º和 OD⊥BC 知：∠COD=∠BOD=60º， ∴∠BOC=120º，又 BC= 4 3 ，OE=8， ∴ =S OBECS S阴影 四边形 扇形OBC = 21 120 48 4 32 360     1616 3 3   , 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含 30º角的直角三角形边角关系、勾 股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键． B 卷（共 60 分） 四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分．） 22.分解因式： 4 2 12b b   _____________ 【答案】   2 3 2 2b b b   【解析】 【分析】 先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解． 【详解】 4 2 12b b         2 2 23 4 3 2 2b b b b b      故答案为：   2 3 2 2b b b   ． 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法． 23.若数 a 使关于 x 的分式方程 2 31 1 x a x x     的解为非负数，且使关于 y 的不等式组   3 1 13 4 3 12 2 0 y y y a         的解集为 0y  ，则符合条件的所有整数 a 的积为_____________ 【答案】40 【解析】 【分析】 根据分式方程的解为正数即可得出 a  5 且 a≠3，根据不等式组的解集为 0y  ，即可得出 a>0，找出 00. ∴0