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- 2021-11-06 发布
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2019年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题后括号内.
1.(3分)﹣2019的倒数是( )
A.﹣2019 B.2019 C.﹣ D.
2.(3分)32的结果等于( )
A.9 B.﹣9 C.5 D.6
3.(3分)如图是下面哪个图形的俯视图( )
A. B.
C. D.
4.(3分)不等式组的解集为( )
A.6≤x<8 B.6<x≤8 C.2≤x<4 D.2<x≤8
5.(3分)已知一组数据5,4,x,3,9的平均数为5,则这组数据的中位数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.(3分)下列计算中,正确的是( )
A.a4+a4=a8 B.a4•a4=2a4
C.(a3)4•a2=a14 D.(2x2y)3÷6x3y2=x3y
7.(3分)若a:b=3:4,且a+b=14,则2a﹣b的值是( )
A.4 B.2 C.20 D.14
8.(3分)如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△
A1B1C1相似的是( )
A. B.
C. D.
9.(3分)在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x﹣2)2+1,下列说法中错误的是( )
A.y的最小值为1 [来源:Zxxk.Com]
B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2
C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
10.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AC、BD是对角线,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点,连接EF、FG、GH、HE,则四边形EFGH的形状是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
11.(3分)如图,已知⊙O的内接六边形ABCDEF的边心距OM=2,则该圆的内接正三角形ACE的面积为( )
A.2 B.4 C.6 D.4
12.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+1与直线l2:y=x交于点A1,过A1作x轴的垂线,垂足为B1,过B1作l2的平行线交l1于A2,过A2作x
轴的垂线,垂足为B2,过B2作l2的平行线交l1于A3,过A3作x轴的垂线,垂足为B3…按此规律,则点An的纵坐标为( )
A.()n B.()n+1 C.()n﹣1+ D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题中横线上.
13.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,则sinA= .
14.(3分)化简x2﹣(x+2)(x﹣2)的结果是 .
15.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,BD是⊙O的直径,∠CBD=21°,则∠A的度数为 .
16.(3分)在两个暗盒中,各自装有编号为1,2,3的三个球,球除编号外无其它区别,则在两个暗盒中各取一个球,两球上的编号的积为偶数的概率为 .
17.(3分)已知函数y=的图象如图所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为 .
三、解答题(本大题共7小题,满分69分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(10分)(1)计算:|﹣2|+﹣20190﹣2sin30°
(2)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=1.
19.(9分)某校为了解本校学生对课后服务情况的评价,随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果制成了如下不完整的统计图.
根据统计图:
(1)求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数;
(2)补全折线统计图;
(3)根据调查结果,若要在全校学生中随机抽1名学生,估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少?
20.(9分)某超市计划购进甲、乙两种商品,两种商品的进价、售价如下表:
商品
甲
乙
进价(元/件)
x+60
x
售价(元/件)
200
100
若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.
(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元?
(2)若超市销售甲、乙两种商品共50件,其中销售甲种商品为a件(a≥30),设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元,求w与a之间的函数关系式,并求出w的最小值.
21.(10分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF经过O,分别交AB、CD于点E、F,EF的延长线交CB的延长线于M.
(1)求证:OE=OF;
(2)若AD=4,AB=6,BM=1,求BE的长.
22.(9分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+m的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A、B两点,已知A(2,4)
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求B点的坐标;
(3)连接AO、BO,求△AOB的面积.
23.(10分)如图,已知AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若∠ABC=30°,AB=8,求线段CF的长.
24.(12分)已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(2,﹣1),点P(P与O不重合)是图象上的一点,直线l过点(0,1)且平行于x轴.PM⊥l于点M,点F(0,﹣1).
(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:点P在线段MF的中垂线上;
(3)设直线PF交二次函数的图象于另一点Q,QN⊥l于点N,线段MF的中垂线交l于点R,求的值;
(4)试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系.
2019年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题后括号内.
1.(3分)﹣2019的倒数是( )
A.﹣2019 B.2019 C.﹣ D.
【考点】17:倒数.菁优网版权所有
【分析】直接利用倒数的定义得出答案.
【解答】解:﹣2019的倒数是:﹣.
故选:C.
【点评】此题主要考查了倒数,正确把握倒数的定义是解题关键.
2.(3分)32的结果等于( )
A.9 B.﹣9 C.5 D.6
【考点】1E:有理数的乘方.菁优网版权所有
【分析】根据乘方的意义可得:32=3×3=9;
【解答】解:32=3×3=9;
故选:A.
【点评】本题考查有理数的乘方;熟练掌握乘方的运算法则是解题的关键.
3.(3分)如图是下面哪个图形的俯视图( )
A. B.
C. D.
【考点】U1:简单几何体的三视图.菁优网版权所有
【分析】根据各选项的俯视图进行判断即可.
【解答】解:A.球的俯视图为一个圆(不含圆心),不合题意;
B.圆柱的俯视图为一个圆(不含圆心),不合题意;
C.圆台的俯视图为两个同心圆,不合题意;
D.圆锥的俯视图为一个圆(含圆心),符合题意;
故选:D.
【点评】本题主要考查了简单几何体的三视图,俯视图是从上往下看得到的平面图形.
4.(3分)不等式组的解集为( )
A.6≤x<8 B.6<x≤8 C.2≤x<4 D.2<x≤8
【考点】CB:解一元一次不等式组.菁优网版权所有
【分析】分别解出两不等式的解集,再求其公共解.[来源:学_科_网]
【解答】解:
由①得x>6,
由②得x≤8,
∴不等式组的解集为6<x≤8,
故选:B.
【点评】本题考查了解一元一次方程组,求不等式组的解集应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.
5.(3分)已知一组数据5,4,x,3,9的平均数为5,则这组数据的中位数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【考点】W1:算术平均数;W4:中位数.菁优网版权所有
【分析】先根据平均数的定义求出x的值,再把这组数据从小到大排列,然后求出最中间两个数的平均数即可.
【解答】解:∵5,4,x,3,9的平均数为5,
∴(5+4+x+3+9)÷5=5,
解得:x=4,
把这组数据从小到大排列为:3,4,4,5,9,
则这组数据的中位数是4;
故选:B.
【点评】此题考查了平均数与中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,关键是求出x的值.
6.(3分)下列计算中,正确的是( )
A.a4+a4=a8 B.a4•a4=2a4
C.(a3)4•a2=a14 D.(2x2y)3÷6x3y2=x3y
【考点】4I:整式的混合运算.菁优网版权所有
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案.
【解答】解:A、a4+a4=2a4,故此选项错误;
B、a4•a4=a8,故此选项错误;
C、(a3)4•a2=a14 ,正确;
D、(2x2y)3÷6x3y2=8x6y3÷6x3y2=x3y,故此选项错误;
故选:C.
【点评】此题主要考查了整式的混合运算,正确掌握相关运算法则是解题关键.
7.(3分)若a:b=3:4,且a+b=14,则2a﹣b的值是( )
A.4 B.2 C.20 D.14
【考点】S1:比例的性质.菁优网版权所有
【分析】根据比例的性质得到3b=4a,结合a+b=14求得a、b的值,代入求值即可.
【解答】解:由a:b=3:4知3b=4a,
所以b=.
所以由a+b=14得到:a+=14,
解得a=6.
所以b=8.
所以2a﹣b=2×6﹣8=4.
故选:A.
【点评】考查了比例的性质,内项之积等于外项之积.若=,则ad=bc.
8.(3分)如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是( )
A. B.
C. D.
【考点】S8:相似三角形的判定.菁优网版权所有
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可.
【解答】解:因为△A1B1C1中有一个角是135°,选项中,有135°角的三角形只有B,且满足两边成比例夹角相等,
故选:B.
【点评】本题考查相似三角形的性质,解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题,属于中考常考题型.
9.(3分)在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x﹣2)2+1,下列说法中错误的是( )
A.y的最小值为1
B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2
C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
【考点】H3:二次函数的性质;H6:二次函数图象与几何变换;H7:二次函数的最值.菁优网版权所有
【分析】根据题目中的函数解析式,可以判断各个选项中的说法是否正确.
【解答】解:二次函数y=(x﹣2)2+1,a=1>0,
∴该函数的图象开口向上,对称轴为直线x=2,顶点为(2,1),当x=2时,y有最小值1,当x>2时,y的值随x值的增大而增大,当x<2时,y的值随x值的增大而减小;
故选项A、B的说法正确,C的说法错误;
根据平移的规律,y=x2的图象向右平移2个单位长度得到y=(x﹣2)2,再向上平移1个单位长度得到y=(x﹣2)2+1;
故选项D的说法正确,
故选:C.
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值,二次函数图象与几何变换,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
10.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AC、BD是对角线,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点,连接EF、FG、GH、HE,则四边形EFGH的形状是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
【考点】L6:平行四边形的判定;L9:菱形的判定;LC:矩形的判定;LF:正方形的判定;LN:中点四边形.菁优网版权所有
【分析】根据三角形的中位线定理可得,EH平行且等于CD的一半,FG平行且等于CD的一半,根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行,得到EH和FG平行且相等,所以EFGH为平行四边形,又因为EF等于AB的一半且AB=CD,所以得到所证四边形的邻边EH与EF相等,所以四边形EFGH为菱形.
【解答】解:∵E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点,
∴在△ADC中,EH为△ADC的中位线,所以EH∥CD且EH=CD;同理FG∥CD且FG=CD,同理可得EF=AB,[来源:学科网]
则EH∥FG且EH=FG,
∴四边形EFGH为平行四边形,又AB=CD,所以EF=EH,
∴四边形EFGH为菱形.
故选:C.
【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理,平行四边形的判断及菱形的判断进行证明,是一道综合题.
11.(3分)如图,已知⊙O的内接六边形ABCDEF的边心距OM=2,则该圆的内接正三角形ACE的面积为( )
A.2 B.4 C.6 D.4
【考点】KL:等边三角形的判定;MA:三角形的外接圆与外心;MM:正多边形和圆.菁优网版权所有
【分析】连接OC、OB,过O作ON⊥CE于N,证出△COB是等边三角形,根据锐角三角函数的定义求解即可.
【解答】解:如图所示,连接OC、OB,过O作ON⊥CE于N,
∵多边形ABCDEF是正六边形,
∴∠COB=60°,
∵OC=OB,
∴△COB是等边三角形,
∴∠OCM=60°,
∴OM=OC•sin∠OCM,
∴OC==.
∵∠OCN=30°,
∴ON=OC=,CN=2,
∴CE=2CN=4,
∴该圆的内接正三角形ACE的面积=3×=4,
故选:D.
【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数;熟练掌握正六边形的性质,由三角函数求出OC是解决问题的关键.
12.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+1与直线l2:y=x交于点A1,过A1作x轴的垂线,垂足为B1,过B1作l2的平行线交l1于A2,过A2作x轴的垂线,垂足为B2,过B2作l2的平行线交l1于A3,过A3作x轴的垂线,垂足为B3…按此规律,则点An的纵坐标为( )
A.()n B.()n+1 C.()n﹣1+ D.
【考点】D2:规律型:点的坐标;FF:两条直线相交或平行问题.菁优网版权所有
【分析】联立直线l1与直线l2的表达式并解得:x=,y=,故A1(,),依次求出:点A2的纵坐标为、A3的纵坐标为,即可求解.
【解答】解:联立直线l1与直线l2的表达式并解得:x=,y=,故A1(,);
则点B1(,0),则直线B1A2的表达式为:y=x+b,
将点B1坐标代入上式并解得:直线B1A2的表达式为:y3=x﹣,
将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得:x=,y=,即点A2的纵坐标为;
同理可得A3的纵坐标为,
…按此规律,则点An的纵坐标为()n,
故选:A.
【点评】本题考查了两直线的交点,要求利用图象求解各问题,要认真体会点的坐标,一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.不需写出解答过程,请把最后结果填在题中横线上.
13.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,则sinA= .
【考点】T1:锐角三角函数的定义.菁优网版权所有
【分析】根据正弦的定义解答.
【解答】解:在Rt△ABC中,sinA==,
故答案为:.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.
14.(3分)化简x2﹣(x+2)(x﹣2)的结果是 4 .
【考点】4F:平方差公式.菁优网版权所有
【分析】先根据平方差公式化简,再合并同类项即可.
【解答】解:x2﹣(x+2)(x﹣2)=x2﹣x2+4=4.
故答案为:4.
【点评】本题主要考查了平方差公式,熟记公式是解答本题的关键.
15.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,BD是⊙O的直径,∠CBD=21°,则∠A的度数为 69° .
【考点】M5:圆周角定理;MA:三角形的外接圆与外心.菁优网版权所有
【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD=90°,进而得出答案.
【解答】解:∵△ABC内接于⊙O,BD是⊙O的直径,
∴∠BCD=90°,
∵∠CBD=21°,
∴∠A=∠D=90°﹣21°=69°.
故答案为:69°
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心,正确掌握圆周角定理是解题关键.
16.(3分)在两个暗盒中,各自装有编号为1,2,3的三个球,球除编号外无其它区别,则在两个暗盒中各取一个球,两球上的编号的积为偶数的概率为 .
【考点】X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数,找出两球上的编号的积为偶数的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:画树状图为:
共有9种等可能的结果数,其中两球上的编号的积为偶数的结果数为5,
所以两球上的编号的积为偶数的概率=.
故答案为.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
17.(3分)已知函数y=的图象如图所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为 0<m< .
【考点】F7:一次函数图象与系数的关系;F8:一次函数图象上点的坐标特征;H3:二次函数的性质.菁优网版权所有
【分析】直线与y=﹣x有一个交点,与y=﹣x2+2x有两个交点,则有m>0,x+m=﹣x2+2x时,△=1﹣4m>0,即可求解.
【解答】解:直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,
则直线与y=﹣x有一个交点,
∴m>0,
∵与y=﹣x2+2x有两个交点,
∴x+m=﹣x2+2x,
△=1﹣4m>0,
∴m<,
∴0<m<;
故答案为0<m<.
【点评】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质;能够根据条件,数形结合的进行分析,可以确定m的范围.
三、解答题(本大题共7小题,满分69分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.(10分)(1)计算:|﹣2|+﹣20190﹣2sin30°
(2)先化简,再求值:(﹣)÷,其中a=1.
【考点】2C:实数的运算;6D:分式的化简求值;6E:零指数幂;T5:特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
【分析】(1)根据绝对值、零指数幂和特殊角的三角函数值可以解答本题;
(2)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:(1)|﹣2|+﹣20190﹣2sin30°
=2+3﹣1﹣2×
=2+3﹣1﹣1
=3;
(2)(﹣)÷
=[]
=()
=
=,
当a=1时,原式=.
【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.
19.(9分)某校为了解本校学生对课后服务情况的评价,随机抽取了部分学生进行调查,根据调查结果制成了如下不完整的统计图.
根据统计图:
(1)求该校被调查的学生总数及评价为“满意”的人数;
(2)补全折线统计图;
(3)根据调查结果,若要在全校学生中随机抽1名学生,估计该学生的评价为“非常满意”或“满意”的概率是多少?
【考点】VB:扇形统计图;VD:折线统计图;X8:利用频率估计概率.菁优网版权所有
【分析】(1)首先求得总人数,然后根据百分比求得人数即可;
(2)根据(1)补全折线统计图即可;
(3)利用概率公式求解即可.
【解答】解:(1)由折线统计图知“非常满意”9人,由扇形统计图知“非常满意”占15%,所以被调查学生总数为9÷15%=60(人),所以“满意”的人数为60﹣
(9+21+3)=27(人);
(2)如图:
(3)所求概率为=.
【点评】本题考查了统计图及概率公式的知识,能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息是解答本题的关键,难度不大.
20.(9分)某超市计划购进甲、乙两种商品,两种商品的进价、售价如下表:
商品
甲
乙
进价(元/件)
x+60
x
售价(元/件)
200
100
若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同.
(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元?
(2)若超市销售甲、乙两种商品共50件,其中销售甲种商品为a件(a≥30),设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元,求w与a之间的函数关系式,并求出w的最小值.
【考点】B7:分式方程的应用;FH:一次函数的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)根据用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同列出方程,解方程即可;
(2)根据总利润=甲种商品一件的利润×甲种商品的件数+乙种商品一件的利润×乙种商品的件数列出w与a之间的函数关系式,再根据一次函数的性质即可求出w的最小值.
【解答】解:(1)依题意可得方程:=,
解得x=60,
经检验x=60是方程的根,
∴x+60=120元,
答:甲、乙两种商品的进价分别是120元,60元;[来源:Zxxk.Com]
(2)∵销售甲种商品为a件(a≥30),
∴销售乙种商品为(50﹣a)件,
根据题意得:w=(200﹣120)a+(100﹣60)(50﹣a)=40a+2000(a≥30),
∵40>0,
∴w的值随a值的增大而增大,
∴当a=30时,w最小值=40×30+2000=3200(元).
【点评】本题考查了分式方程的应用,一次函数的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的数量关系.
21.(10分)如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF经过O,分别交AB、CD于点E、F,EF的延长线交CB的延长线于M.
(1)求证:OE=OF;
(2)若AD=4,AB=6,BM=1,求BE的长.
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;L5:平行四边形的性质;S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】(1)根据平行四边形的性质得到OA=OC,AB∥CD,证明△AOE≌△COF,根据全等三角形的性质证明结论;
(2)过点O作ON∥BC交AB于N,根据相似三角形的性质分别求出ON、BN,证明△ONE∽△MBE,根据相似三角形的性质列式计算即可.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,BC=AD,
∴∠OAE=∠OVF,
在△AOE和△COF中,
,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF;
(2)解:过点O作ON∥BC交AB于N,
则△AON∽△ACB,
∵OA=OC,
∴ON=BC=2,BN=AB=3,[来源:学科网]
∵ON∥BC,
∴△ONE∽△MBE,
∴=,即=,
解得,BE=1.
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
22.(9分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+m的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于A、B两点,已知A(2,4)
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求B点的坐标;
(3)连接AO、BO,求△AOB的面积.
【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
【分析】(1)由点A的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式;
(2)联立方程,解方程组即可求得;
(3)求出直线与y轴的交点坐标后,即可求出S△AOD和S△BOD,继而求出△AOB的面积.
【解答】解:(1)将A(2,4)代入y=﹣x+m与y=(x>0)中得4=﹣2+m,4=,
∴m=6,k=8,
∴一次函数的解析式为y=﹣x+6,反比例函数的解析式为y=;
(2)解方程组得或,
∴B(4,2);
(3)设直线y=﹣x+6与x轴,y轴交于C,D点,易得D(0,6),
∴OD=6,
∴S△AOB=S△DOB﹣S△AOD=×6×4﹣×6×2=6.
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积,解题的关键是:根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式;利用分割图形求面积法求出△AOB的面积.
23.(10分)如图,已知AB是⊙O的直径,AC,BC是⊙O的弦,OE∥AC交BC于E,过点B作⊙O的切线交OE的延长线于点D,连接DC并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若∠ABC=30°,AB=8,求线段CF的长.
【考点】M5:圆周角定理;ME:切线的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】(1)连接OC,AC,根据平行线的性质得到∠1=∠ACB,由圆周角定理得到∠1=∠ACB=90°,根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,求得∠DBE=∠DCE,根据切线的性质得到∠DBO=90°,求得OC⊥DC,于是得到结论;
(2)解直角三角形即可得到结论.
【解答】(1)证明:连接OC,AC,
∵OE∥AC,
∴∠1=∠ACB,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠1=∠ACB=90°,
∴OD⊥BC,由垂径定理得OD垂直平分BC,
∴DB=DC,
∴∠DBE=∠DCE,
又∵OC=OB,
∴∠OBE=∠OCE,
即∠DBO=∠OCD,
∵DB为⊙O的切线,OB是半径,
∴∠DBO=90°,
∴∠OCD=∠DBO=90°,
即OC⊥DC,
∵OC是⊙O的半径,
∴DC是⊙O的切线;
(2)解:在Rt△ABC中,∠ABC=30°,
∴∠3=60°,又OA=OC,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠COF=60°,
在Rt△COF中,tan∠COF=,
∴CF=4.
【点评】本题考查了切线的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
24.(12分)已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(2,﹣1),点P(P与O不重合)是图象上的一点,直线l过点(0,1)且平行于x轴.PM⊥l于点M,点F(0,﹣1).
(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:点P在线段MF的中垂线上;
(3)设直线PF交二次函数的图象于另一点Q,QN⊥l于点N,线段MF的中垂线交l于点R,求的值;
(4)试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系.
【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)把点(2,﹣1)代入函数表达式,即可求解;
(2)y1=﹣x12,即x12=﹣4y1,PM=|1﹣y1|,又PF===|y1﹣1|=PM,即可求解;
(3)证明△PMR≌△PFR(SAS)、Rt△RFQ≌Rt△RNQ(HL),即RN=FR,即MR=FR=RN,即可求解;
(4)在△PQR中,由(3)知PR平分∠MRF,QR平分∠FRN,则∠PRQ=(∠MRF+∠FRN)=90°,即可求解.
【解答】解:(1)∵y=ax2(a≠0)的图象过点(2,﹣1),
∴﹣1=a×22,即a=,∴y=﹣x2;
(2)设二次函数的图象上的点P(x1,y1),则M(x1,1),
y1=﹣x12,即x12=﹣4y1,PM=|1﹣y1|,
又PF===|y1﹣1|=PM,
即PF=PM,
∴点P在线段MF的中垂线上;
(3)连接RF,
∵R在线段MF的中垂线上,
∴MR=FR,
又∵PM=PF,PR=PR,
∴△PMR≌△PFR(SAS),
∴∠PFR=∠PMR=90°,
∴RF⊥PF,
连接RQ,又在Rt△RFQ和Rt△RNQ中,
∵Q在y=﹣x2的图象上,由(2)结论知∴QF=QN,
∵RQ=RQ,
∴Rt△RFQ≌Rt△RNQ(HL),
即RN=FR,
即MR=FR=RN,
∴=1;
(4)在△PQR中,由(3)知PR平分∠MRF,QR平分∠FRN,
∴∠PRQ=(∠MRF+∠FRN)=90°,
∴点R在以线段PQ为直径的圆上.
【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等,其中(3),证明△PMR≌△PFR(SAS)、Rt△RFQ≌Rt△RNQ(HL)是本题解题的关键.
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日期:2019/8/5 10:49:08;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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