2020年中考数学专题复习：反比例函数知识点及经典例题 7页

反比例函数 一、基础知识 1. 定义：一般地，形如 x ky  （ k 为常数， ok  ）的函数称为反比例函数。 x ky  还可以写成 kxy  1 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数 y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k （也叫做 比例系数 k ），分母中含有自变量 x ，且指数为 1. ⑵比例系数 0k ⑶自变量 x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数 y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ① 列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线， x ky  （ k 为常数， 0k ）中自变量 0x ， 函数值 0y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐 靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是 xy  或 xy  ）。 ⑷反比例函数 x ky  （ 0k ）中比例系数 k 的几何意义是：过双曲线 x ky  （ 0k ）上任意引 x 轴 y 轴的垂线，所得矩形面积为 k 。 4．反比例函数性质如下表： k 的取值 图像所在象限 函数的增减性 ok  一、三象限 在每个象限内， y 值随 x 的增大而减小 ok  二、四象限 在每个象限内， y 值随 x 的增大而增大 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个 点的坐标即可求出 k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数 x ky  中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用 二、例题 【例 1】如果函数 22 2  kkkxy 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值 是多少？ 【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 x ky  ，（ 0k ）即 kxy  1 （ 0k ）又在第二，四象限内，则 0k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：      0 122 2 k kk 解得      0 2 11 k kk 或 1k 1k 时函数 22 2  kkkxy 为 xy 1 【例 2】在反比例函数 xy 1 的图像上有三点 1x ， 1y ， 2x ， 2y ， 3x ， 3y 。 若 321 0 xxx  则下列各式正确的是（ ） A． 213 yyy  B． 123 yyy  C． 321 yyy  D． 231 yyy  【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得 1 1 1 xy  ， 2 2 1 xy  ， 3 3 1 xy  321 0 xxx  ， 213 yyy  所以选 A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出 xy 1 的图像 描出三个点，满足 321 0 xxx  观察图像直接得到 213 yyy  选 A 解法三：用特殊值法 213321321321 ,1,1,2 11,1,2,0 yyyyyyxxxxxx  令 【例 3】如果一次函数   的图像与反比例函数 x mnymnmxy  30 相交于点 （ 22 1，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ） 【解析】               1 2 13 22 1 22 13 n m mn nmxx mnynmxy 解得，，相交于与双曲线直线                 2 2 1 1 1 1 121,12 2 2 1 1 y x y x xy xy xyxy 得 解方程组双曲线为直线为  11  ，另一个点为 【例 4】 如图，在 AOBRt 中，点 A 是直线 mxy  与双曲线 x my  在第一象 限的交点，且 2AOBS ，则m 的值是_____. 图 解:因为直线 与双曲线 过点 ,设 点的坐标为 AA yx , . 则有 A AAA x mymxy  , .所以 AA yxm  . 又点 在第一象限,所以 AAAA yyABxxOB  , . 所以 myxABOBS AAAOB 2 1 2 1 2 1  .而已知 . 所以 4m . 三、练习题 1.反比例函数 xy 2 的图像位于（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2.若 y 与 x 成反比例， x 与 z 成正比例，则 y 是 z 的（ ） A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 3.如果矩形的面积为 6cm2，那么它的长 y cm 与宽 x cm 之间的函数图象大致为 （ ） o y x y x o y x o y x o A B C D 4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于 120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ） A、不小于 5 4 m3 B、小于 m3 C、不小于 4 5 m3 D、小于 m3 5．如图 ，A、C 是函数 xy 1 的图象上的任意两点，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B，过 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D，记 Rt Δ AOB 的面积为 S1，RtΔ COD 的面积为 S2 则 （ ） A． S1 ＞S2 B． S1 0 D. = 4. 反比例函数 y＝k x的图象过点 P（－1.5，2），则 k＝________． 5. 点 P（2m－3，1）在反比例函数 y＝1 x的图象上，则 m＝__________． 6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则 m 的值为__________． 7. 已知反比例函数 x my 21 的图象上两点    2211 ,,, yxByxA ，当 21 0 xx  时， 有 21 yy  ，则m 的取值范围是？ 8.已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x＝-2 时 y＝7，求： (1)求 y 和 x 之间的函数关系式； (2)当 x=8 时，求 y 的值； (3)y＝-2 时，x 的值。 9. 已知 3b ,且反比例函数 x by  1 的图象在每个象限内， y 随 x 的增大而增 大,如果点 3,a 在双曲线上 x by  1 ，求 a 是多少？