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  • 2021-11-06 发布

2020年中考数学专题复习:反比例函数知识点及经典例题

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反比例函数 一、基础知识 1. 定义:一般地,形如 x ky  ( k 为常数, ok  )的函数称为反比例函数。 x ky  还可以写成 kxy  1 2. 反比例函数解析式的特征: ⑴等号左边是函数 y ,等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k (也叫做 比例系数 k ),分母中含有自变量 x ,且指数为 1. ⑵比例系数 0k ⑶自变量 x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数 y 的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法:描点法 ① 列表(应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数) ② 描点(有小到大的顺序) ③ 连线(从左到右光滑的曲线) ⑵反比例函数的图像是双曲线, x ky  ( k 为常数, 0k )中自变量 0x , 函数值 0y ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延伸部分逐渐 靠近坐标轴,但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形(对称轴是 xy  或 xy  )。 ⑷反比例函数 x ky  ( 0k )中比例系数 k 的几何意义是:过双曲线 x ky  ( 0k )上任意引 x 轴 y 轴的垂线,所得矩形面积为 k 。 4.反比例函数性质如下表: k 的取值 图像所在象限 函数的增减性 ok  一、三象限 在每个象限内, y 值随 x 的增大而减小 ok  二、四象限 在每个象限内, y 值随 x 的增大而增大 5. 反比例函数解析式的确定:利用待定系数法(只需一对对应值或图像上一个 点的坐标即可求出 k ) 6.“反比例关系”与“反比例函数”:成反比例的关系式不一定是反比例函数, 但是反比例函数 x ky  中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用 二、例题 【例 1】如果函数 22 2  kkkxy 的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值 是多少? 【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数 x ky  ,( 0k )即 kxy  1 ( 0k )又在第二,四象限内,则 0k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义,得:      0 122 2 k kk 解得      0 2 11 k kk 或 1k 1k 时函数 22 2  kkkxy 为 xy 1 【例 2】在反比例函数 xy 1 的图像上有三点 1x , 1y , 2x , 2y , 3x , 3y 。 若 321 0 xxx  则下列各式正确的是( ) A. 213 yyy  B. 123 yyy  C. 321 yyy  D. 231 yyy  【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。 解法一:由题意得 1 1 1 xy  , 2 2 1 xy  , 3 3 1 xy  321 0 xxx  , 213 yyy  所以选 A 解法二:用图像法,在直角坐标系中作出 xy 1 的图像 描出三个点,满足 321 0 xxx  观察图像直接得到 213 yyy  选 A 解法三:用特殊值法 213321321321 ,1,1,2 11,1,2,0 yyyyyyxxxxxx  令 【例 3】如果一次函数   的图像与反比例函数 x mnymnmxy  30 相交于点 ( 22 1,),那么该直线与双曲线的另一个交点为( ) 【解析】               1 2 13 22 1 22 13 n m mn nmxx mnynmxy 解得,,相交于与双曲线直线                 2 2 1 1 1 1 121,12 2 2 1 1 y x y x xy xy xyxy 得 解方程组双曲线为直线为  11  ,另一个点为 【例 4】 如图,在 AOBRt 中,点 A 是直线 mxy  与双曲线 x my  在第一象 限的交点,且 2AOBS ,则m 的值是_____. 图 解:因为直线 与双曲线 过点 ,设 点的坐标为 AA yx , . 则有 A AAA x mymxy  , .所以 AA yxm  . 又点 在第一象限,所以 AAAA yyABxxOB  , . 所以 myxABOBS AAAOB 2 1 2 1 2 1  .而已知 . 所以 4m . 三、练习题 1.反比例函数 xy 2 的图像位于( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 2.若 y 与 x 成反比例, x 与 z 成正比例,则 y 是 z 的( ) A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 3.如果矩形的面积为 6cm2,那么它的长 y cm 与宽 x cm 之间的函数图象大致为 ( ) o y x y x o y x o y x o A B C D 4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时, 气球内气体的气压 P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数,其图象如图所示.当气球内气压大于 120 kPa 时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( ) A、不小于 5 4 m3 B、小于 m3 C、不小于 4 5 m3 D、小于 m3 5.如图 ,A、C 是函数 xy 1 的图象上的任意两点,过 A 作 x 轴的垂线,垂足为 B,过 C 作 y 轴的垂线,垂足为 D,记 Rt Δ AOB 的面积为 S1,RtΔ COD 的面积为 S2 则 ( ) A. S1 >S2 B. S1 0 D. = 4. 反比例函数 y=k x的图象过点 P(-1.5,2),则 k=________. 5. 点 P(2m-3,1)在反比例函数 y=1 x的图象上,则 m=__________. 6. 已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)则 m 的值为__________. 7. 已知反比例函数 x my 21 的图象上两点    2211 ,,, yxByxA ,当 21 0 xx  时, 有 21 yy  ,则m 的取值范围是? 8.已知 y 与 x-1 成反比例,并且 x=-2 时 y=7,求: (1)求 y 和 x 之间的函数关系式; (2)当 x=8 时,求 y 的值; (3)y=-2 时,x 的值。 9. 已知 3b ,且反比例函数 x by  1 的图象在每个象限内, y 随 x 的增大而增 大,如果点 3,a 在双曲线上 x by  1 ,求 a 是多少?