2021年中考数学专题复习 专题44 构建方程的思想（学生版） 8页

专题 44 构建方程的思想 方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所 研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决．方程思想在数学解题中所 占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活． 1.利用勾股定理建立一元二次方程。 2.利用三角形三边关系可建立不等式。 3.利用圆的内接四边形内角和等于 360°建立一元一次方程。 4.利用绝对值、根式建立方程组。 5.其它许多情况建立的方程、函数关系式等。 【例题 1】(2020•内江)如图，矩形 ABCD 中，BD 为对角线，将矩形 ABCD 沿 BE、BF 所在直线折叠，使点 A 落在 BD 上的点 M 处，点 C 落在 BD 上的点 N 处，连结 EF．已知 AB＝3，BC＝4，则 EF 的长为( ) A．3 B．5 C． D． 【对点练习】若正多边形的一个内角是 150°，则该正多边形的边数是( ) A．6 B．12 C．16 D．18 【例题 2】(2020•天水)如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 内作∠EAF＝45°，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，连接 EF，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG．若 DF＝3，则 BE 的长为 ． 【对点练习】如图，在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A，∠B，∠C 的度数之比为 4：3：5，则∠D 的度数是 °． 【例题 3】(2020•常德)如图，已知抛物线 y＝ax2 过点 A(﹣3， )． (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线 l 过点 A，M( ，0)且与抛物线交于另一点 B，与 y 轴交于点 C，求证：MC2＝MA•MB； (3)若点 P，D 分别是抛物线与直线 l 上的动点，以 OC 为一边且顶点为 O，C，P，D 的四边形是平行四边形， 求所有符合条件的 P 点坐标． 【对点练习】(2019 江苏徐州)如图，有一块矩形硬纸板，长 30cm，宽 20cm．在其四角各剪去一个同样的正 方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方 体盒子的侧面积为 200cm2？ 一、选择题 1．(2020•绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 2：5，且三角板的一边 长为 8cm．则投影三角板的对应边长为( ) A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm 2．(2019 湖北黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧( )，点 O 是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点 C 是 的中点，且 CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为( ) A．25m B．24m C．30m D．60m 3．(2019 贵州贵阳)数轴上点 A，B，M 表示的数分别是 a，2a，9，点 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值是( ) A．3 B．4.5 C．6 D．18 4. (2020 桂林模拟)若|3x﹣2y﹣1|+ =0，则 x，y 的值为( ) A． B． C． D． 二、填空题 5．(2020•常德)如图 1，已知四边形 ABCD 是正方形，将△DAE，△DCF 分别沿 DE，DF 向内折叠得到图 2，此 时 DA 与 DC 重合(A、C 都落在 G 点)，若 GF＝4，EG＝6，则 DG 的长为 ． 6．(2020•长沙)如图，点 P 在以 MN 为直径的半圆上运动(点 P 不与 M，N 重合)，PQ⊥MN，NE 平分∠MNP，交 PM 于点 E，交 PQ 于点 F． (1) ． (2)若 PN2＝PM•MN，则 ． 7．(2020•湘潭)若 ，则 ᦙ ． 8．(2019 宁夏)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，垂足为点 C，将劣弧 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D，若 AB ＝2 ，则⊙O 的半径为 ． 9．(2020 毕节市模拟)一个容器盛满纯药液 40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积 的溶液，这时容器里只剩下纯药液 10L，则每次倒出的液体是 L． 10.(2020•衢州)如图，将一把矩形直尺 ABCD 和一块含 30°角的三角板 EFG 摆放在平面直角坐标系中，AB 在 x 轴上，点 G 与点 A 重合，点 F 在 AD 上，三角板的直角边 EF 交 BC 于点 M，反比例函数 y (x＞0)的图 象恰好经过点 F，M．若直尺的宽 CD＝3，三角板的斜边 FG＝8 ，则 k＝ ． 11．一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60°方向距小岛 80 海里的 B 处，沿正西方向航行 3 小时后到达小岛的北偏 西 45°的 C 处，则该船行驶的速度为 海里/小时． 12.(2019•湖北天门)矩形的周长等于 40，则此矩形面积的最大值是 ． 三、解答题 13．(2020•天津)如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC，BC．测得 BC＝221m，∠ACB＝ 45°，∠ABC＝58°．根据测得的数据，求 AB 的长(结果取整数)． 参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60． 14．(2020•武威)如图，点 M，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，且∠MAN＝45°．把△ADN 绕点 A 顺时 针旋转 90°得到△ABE． (1)求证：△AEM≌△ANM． (2)若 BM＝3，DN＝2，求正方形 ABCD 的边长． 15．(2020•长沙)在矩形 ABCD 中，E 为 DC 边上一点，把△ADE 沿 AE 翻折，使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F． (1)求证：△ABF∽△FCE； (2)若 AB＝2 ，AD＝4，求 EC 的长； (3)若 AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求 tanα+tanβ的值． 16．(2020•广元)在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，OA 平分∠BAC 交 BC 于点 O，以 O 为圆心，OC 长为半径作圆 交 BC 于点 D． (1)如图 1，求证：AB 为⊙O 的切线； (2)如图 2，AB 与⊙O 相切于点 E，连接 CE 交 OA 于点 F． ①试判断线段 OA 与 CE 的关系，并说明理由． ②若 OF：FC＝1：2，OC＝3，求 tanB 的值． 17．某公司组织员工到附近的景点旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图象，图中折线 ABCD 表示人均收费 y(元)与参加旅游的人数 x(人)之间的函数关系． (1)当参加旅游的人数不超过 10 人时，人均收费为 元； (2)如果该公司支付给旅行社 3600 元，那么参加这次旅游的人数是多少？ 18.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高 2 米(即 CD=2 米)，背水坡 DE 的坡度 i=1：1(即 DB：EB=1：1)，如图所示，已知 AE=4 米，∠EAC=130°，求水坝原 来的高度 BC．(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2) 19．(2019 辽宁本溪)如图，点 P 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一点，连接 BP 并延长交 CD 于点 E，交 AD 的延长线于点 F，⊙O 是△DEF 的外接圆，连接 DP． (1)求证：DP 是⊙O 的切线； (2)若 tan∠PDC＝ ，正方形 ABCD 的边长为 4，求⊙O 的半径和线段 OP 的长．