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- 2021-11-06 发布
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2020年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学模拟试卷(一)
一、单项选择(本大题共10题,每题3分,共30分)
1.(3分)在0,,sin45°,这四个数中,无理数是( )
A.0 B. C.sin45° D.
2.(3分)十九大报告指出,我国目前经济保持了中高速增长,在世界主要国家中名列前茅,国内生产总值从54万亿元增长到80万亿元,稳居世界第二,其中80万亿用科学记数法表示为( )
A.8×1012 B.8×1013 C.8×1014 D.0.8×1013
3.(3分)下列运算正确的是( )
A.(﹣2x2)3=﹣6x6 B.(y+x)(﹣y+x)=y2﹣x2
C.2x+2y=4xy D.x4÷x2=x2
4.(3分)为了帮助我市一名贫困学生,某校组织捐款,现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表:
捐款金额/元
20
30
50
90
人数
2
4
3
1
则下列说法正确的是( )
A.10名学生是总体的一个样本
B.中位数是40
C.众数是90
D.方差是400
5.(3分)如图是某圆锥的主视图和左视图,该圆锥的侧面积是( )
A.25π B.24π C.20π D.15π
6.(3分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:
第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;
第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;
第三步,连接DE、DF.
若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
7.(3分)某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器,现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同,设原计划每天生产x台机器,根据题意,下面列出的方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
8.(3分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则AE的长为( )
A.2.5 B.2.8 C.3 D.3.2
9.(3分)如图,在以O为原点的直角坐标系中,矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y=(x>0)与AB相交于点D,与BC相交于点E,若BD=3AD,且△ODE的面积是9,则k=( )
A. B. C. D.12
10.(3分)如图,直线l的解析式为y=﹣x+4,它与x轴和y轴分别相交于A,B两点.平行于直线l的直线m从原点O出发,沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与x轴和y轴分别相交于C,D两点,运动时间为t秒(0≤t≤4),以CD为斜边作等腰直角三角形CDE(E,O两点分别在CD两侧).若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空(本大题共6题,每题3分,共18分)
11.(3分)函数y=中,自变量x的取值范围是 .
12.(3分)从分别标有数﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的七张卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 .
13.(3分)如果一个正多边形每一个内角都等于144°,那么这个正多边形的边数是 .
14.(3分)下列说法正确的是 .(填写正确说法的序号)
①在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上;②一元二次方程x2﹣3x=5无实数根;③的平方根为±4;④了解北京市居民”一带一路”
期间的出行方式,采用抽样调查方式;⑤圆心角为90°的扇形面积是π,则扇形半径为2.
15.(3分)如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:y=x于点B1,以原点O为圆心,OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3;….按此作法进行下去,则的长是 .
16.(3分)如图,正方形ABCD的边长为4,点O为对角线AC、BD的交点,点E为边AB的中点,△BED绕着点B旋转至△BD1E1,如果点D、E、D1在同一直线上,那么EE1的长为 .
三、解答(本大题共8题,72分.解答时请写出必要的文字说明,演算步骤或推证过程)
17.(8分)解不等式组,并求出其所有整数解的和.
18.(8分)“食品安全”受到全社会的广泛关注,我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面的两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有 人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 °;
(2)请补全条形统计图;
(3)若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中,男、女生的比例恰为2:3,现从中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.
19.(8分)如图,在三角形ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到F,使EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
20.(7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm,花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°.求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1cm).(参考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)
21.(9分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连接AC,过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.
(1)求证:EG是⊙O的切线;
(2)延长AB交GE的延长线于点M,若AH=3,CH=4,求EM的值.
22.(9分)“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
23.(11分)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标;
(3)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.
24.(12分)(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为 ;
②线段AD,BE之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=,若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.
25.先化简,再求值:,其中.
2020年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学模拟试卷(一)
参考答案与试题解析
一、单项选择(本大题共10题,每题3分,共30分)
1.(3分)在0,,sin45°,这四个数中,无理数是( )
A.0 B. C.sin45° D.
【分析】先将题干中的数化简,根据无理数的定义判断即可得出.
【解答】解:=﹣3;sin45°=;
可得出无理数为.
故选:C.
2.(3分)十九大报告指出,我国目前经济保持了中高速增长,在世界主要国家中名列前茅,国内生产总值从54万亿元增长到80万亿元,稳居世界第二,其中80万亿用科学记数法表示为( )
A.8×1012 B.8×1013 C.8×1014 D.0.8×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:80万亿用科学记数法表示为8×1013.
故选:B.
3.(3分)下列运算正确的是( )
A.(﹣2x2)3=﹣6x6 B.(y+x)(﹣y+x)=y2﹣x2
C.2x+2y=4xy D.x4÷x2=x2
【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项以及平方差公式逐一计算,判断即可.
【解答】解:A、(﹣2x2)3=﹣8x6,故本项错误;
B、(y+x)(﹣y+x)=x2﹣y2,故本项错误;
C、2x与2y不能合并,故本项错误;
D、x4÷x2=x2,故本项正确,
故选:D.
4.(3分)为了帮助我市一名贫困学生,某校组织捐款,现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表:
捐款金额/元
20
30
50
90
人数
2
4
3
1
则下列说法正确的是( )
A.10名学生是总体的一个样本
B.中位数是40
C.众数是90
D.方差是400
【分析】根据样本、众数、中位数及方差的定义,结合表格分别进行解答,即可得出答案.
【解答】解:A、10名学生的捐款数是总体的一个样本,故本选项错误;
B、中位数是30,故本选项错误;
C、众数是30,故本选项错误;
D、平均数是:(20×2+30×4+50×3+90)÷10=40(元),
则方差是:×[2×(20﹣40)2+4×(30﹣40)2+3×(50﹣40)2+(90﹣40)2]=400,故本选项正确;
故选:D.
5.(3分)如图是某圆锥的主视图和左视图,该圆锥的侧面积是( )
A.25π B.24π C.20π D.15π
【分析】求得圆锥的底面周长以及母线长,即可得到圆锥的侧面积.
【解答】解:由题可得,圆锥的底面直径为8,高为3,
∴圆锥的底面周长为8π,
圆锥的母线长为=5,
∴圆锥的侧面积=×8π×5=20π,
故选:C.
6.(3分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:
第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;
第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;
第三步,连接DE、DF.
若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线,推出AE=DE,AF=DF,求出DE∥AC,DF∥AE,得出四边形AEDF是菱形,根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF,根据平行线分线段成比例定理得出=,代入求出即可.
【解答】解:∵根据作法可知:MN是线段AD的垂直平分线,
∴AE=DE,AF=DF,
∴∠EAD=∠EDA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠EDA=∠CAD,
∴DE∥AC,
同理DF∥AE,
∴四边形AEDF是菱形,
∴AE=DE=DF=AF,
∵AF=4,
∴AE=DE=DF=AF=4,
∵DE∥AC,
∴=,
∵BD=6,AE=4,CD=3,
∴=,
∴BE=8,
故选:D.
7.(3分)某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器,现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同,设原计划每天生产x台机器,根据题意,下面列出的方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
【分析】设原计划平均每天生产x台机器,根据题意可知现在每天生产(x+40)台机器,而现在生产600台所需时间和原计划生产480台机器所用时间相等,从而列出方程即可.
【解答】解:设原计划平均每天生产x台机器,
根据题意得,=.
故选:B.
8.(3分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则AE的长为( )
A.2.5 B.2.8 C.3 D.3.2
【分析】连接BD、CD,由勾股定理先求出BD的长,再利用△ABD∽△BED,得出=,可解得DE的长,由AE=AD﹣DE求解即可得出答案.
【解答】解:如图1,连接BD、CD,
,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴BD=,
∵弦AD平分∠BAC,
∴CD=BD=,
∴∠CBD=∠DAB,
在△ABD和△BED中,
∴△ABD∽△BED,
∴=,即=,
解得DE=,
∴AE=AD﹣DE=5﹣=2.8.
故选:B.
9.(3分)如图,在以O为原点的直角坐标系中,矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函数y=(x>0)与AB相交于点D,与BC相交于点E,若BD=3AD,且△ODE的面积是9,则k=( )
A. B. C. D.12
【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积,然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数.
【解答】解:∵四边形OCBA是矩形,
∴AB=OC,OA=BC,
设B点的坐标为(a,b),
∵BD=3AD,
∴D(,b),
∵点D,E在反比例函数的图象上,
∴=k,∴E(a,),
∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣k﹣•(b﹣)=9,
∴k=,
故选:C.
10.(3分)如图,直线l的解析式为y=﹣x+4,它与x轴和y轴分别相交于A,B两点.平行于直线l的直线m从原点O出发,沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动.它与x轴和y轴分别相交于C,D两点,运动时间为t秒(0≤t≤4),以CD为斜边作等腰直角三角形CDE(E,O两点分别在CD两侧).若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【分析】分别求出0<t≤2和2<t≤4时,S与t的函数关系式即可判断.
【解答】解:当0<t≤2时,S=t2,
当2<t≤4时,S=t2﹣(2t﹣4)2=﹣t2+8t﹣8,
观察图象可知,S与t之间的函数关系的图象大致是C.
故选:C.
二、填空(本大题共6题,每题3分,共18分)
11.(3分)函数y=中,自变量x的取值范围是 x≥2且x≠3 .
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,就可以求解.
【解答】解:根据题意得:,
解得:x≥2且x≠3.
故答案是:x≥2且x≠3.
12.(3分)从分别标有数﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3的七张卡片中,随机抽取一张,所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 .
【分析】根据写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中,数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1,直接利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中,数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1、,
∴任意抽取一张卡片,所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是:.
故答案为:.
13.(3分)如果一个正多边形每一个内角都等于144°,那么这个正多边形的边数是 10 .
【分析】设正多边形的边数为n,然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可.
【解答】解:设正多边形的边数为n,
由题意得,=144°,
解得n=10.
故答案为:10.
14.(3分)下列说法正确的是 ①④⑤ .(填写正确说法的序号)
①在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上;②一元二次方程x2﹣3x=5无实数根;③的平方根为±4;④了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式,采用抽样调查方式;⑤圆心角为90°的扇形面积是π,则扇形半径为2.
【分析】①根据角平分线的性质即可求解;
②根据根的判别式即可求解;
③根据算术平方根的定义和平方根的定义即可求解;
④根据全面调查与抽样调查的定义即可求解;
⑤根据扇形的面积公式计算即可求解.
【解答】解:①在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上是正确的;
②一元二次方程x2﹣3x=5,x2﹣3x﹣5=0,△=(﹣3)2﹣4×1×(﹣5)=29>0,方程有两个不相等的两个实数根,原来的说法是错误的;
③=4,4的平方根为±2,原来的说法是错误的;
④了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式,采用抽样调查方式是正确的;
⑤圆心角为90°的扇形面积是π,则扇形半径为=2,正确.
故说法正确的是①④⑤.
故答案为:①④⑤.
15.(3分)如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交直线l:y=x于点B1,以原点O为圆心,OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2,以原点O为圆心,以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点
A3;….按此作法进行下去,则的长是 .
【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标,再根据B1点的坐标求出A2点的坐标,得出B2的坐标,以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标,再根据弧长公式计算即可求解,.
【解答】解:直线y=x,点A1坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为(2,2),
以原O为圆心,OB1长为半径画弧x轴于点A2,OA2=OB1,
OA2==4,点A2的坐标为(4,0),
这种方法可求得B2的坐标为(4,4),故点A3的坐标为(8,0),B3(8,8)
以此类推便可求出点A2019的坐标为(22019,0),
则的长是=.
故答案为:.
16.(3分)如图,正方形ABCD的边长为4,点O为对角线AC、BD的交点,点E为边AB的中点,△BED绕着点B旋转至△BD1E1,如果点D、E、D1在同一直线上,那么EE1的长为 .
【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=4,根据勾股定理得到BD=AB=4,==2,过B作BF⊥DD1于F,根据相似三角形的性质得到EF=
,求得DF=2+=,根据旋转的性质得到BD1=BD,∠D1BD=∠E1BE,BE1=BE,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:∵正方形ABCD的边长为4,
∴AB=AD=4,
∴BD=AB=4,
∵点E为边AB的中点,
∴AE=AB=2,
∵∠EAD=90°,
∴DE==2,
过B作BF⊥DD1于F,
∴∠DAE=∠EFB=90°,
∵∠AED=∠BEF,
∴△ADE∽△FEB,
∴,
∴=,
∴EF=,
∴DF=2+=,
∵△BED绕着点B旋转至△BD1E1,
∴BD1=BD,∠D1BD=∠E1BE,BE1=BE,
∴DD1=2DF=,△D1BD∽△E1BE,
∴=,
∴=,
∴EE1=,
故答案为:.
三、解答(本大题共8题,72分.解答时请写出必要的文字说明,演算步骤或推证过程)
17.(8分)解不等式组,并求出其所有整数解的和.
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集,进而求出整数解的和即可.
【解答】解:,
由①得:x≥﹣1,
由②得:x≤,
∴﹣1≤x≤,
则所有整数解为﹣1,0,1,2,3,之和为5.
18.(8分)“食品安全”受到全社会的广泛关注,我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度,采用随机抽样调查的方式,并根据收集到的信息进行统计,绘制了下面的两幅尚不完整的统计图,请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:
(1)接受问卷调查的学生共有 60 人,扇形统计图中“基本了解”
部分所对应扇形的圆心角为 90 °;
(2)请补全条形统计图;
(3)若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中,男、女生的比例恰为2:3,现从中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛,请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率.
【分析】(1)根据了解很少的人数和所占的百分百求出抽查的总人数,再用“基本了解”所占的百分比乘以360°,即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角
的度数;
(2)用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数,求出了解的人数,从而补全统计图;
(3)根据题意先画出树状图,再根据概率公式即可得出答案.
【解答】解:(1)接受问卷调查的学生共有30÷50%=60(人),
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×=90°,
故答案为:60,90.
(2)了解的人数有:60﹣15﹣30﹣10=5(人),补图如下:
(3)画树状图得:
∵共有20种等可能的结果,恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况,
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为=.
19.(8分)如图,在三角形ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到F,使EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
【分析】(1)只要证明四边形BCFE是平行四边形,又因为BE=FE,所以是菱形;
(2)∠BCF是120°,所以∠EBC为60°,所以菱形的边长也为4,求出菱形的高面积就可求.
【解答】(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE∥BC且2DE=BC,
又∵BE=2DE,EF=BE,
∴EF=BC,EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形,
又∵BE=FE,
∴四边形BCFE是菱形;
(2)解:∵∠BCF=120°,
∴∠EBC=60°,
∴△EBC是等边三角形,
∴菱形的边长为4,高为2,
∴菱形的面积为4×2=8.
20.(7分)墙壁及淋浴花洒截面如图所示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm,花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD为43°.求花洒顶端C到地面的距离CE(结果精确到1cm).(参考数据:sin43°=0.68,cos43°=0.73,tan43°=0.93)
【分析】过C作CF⊥AB于F,于是得到∠AFC=90°,解直角三角形即可得到结论.
【解答】解:过C作CF⊥AB于F,
则∠AFC=90°,
在Rt△ACF中,AC=30,∠CAF=43°,
∵cos∠CAF=,
∴AF=AC•cos∠CAF=30×0.73=21.9,
∴CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9≈192(cm),
答:花洒顶端C到地面的距离CE为192cm.
21.(9分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连接AC,过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.
(1)求证:EG是⊙O的切线;
(2)延长AB交GE的延长线于点M,若AH=3,CH=4,求EM的值.
【分析】(1)连接OE,由FG=EG得∠GEF=∠GFE=∠AFH,由OA=OE知∠OAE=∠OEA,根据CD⊥AB得∠AFH+∠FAH=90°,从而得出∠GEF+∠AEO=90°
,即可得证;
(2)连接OC,设OA=OC=r,再Rt△OHC中利用勾股定理求得r=,再证△AHC∽△MEO得=,据此求解可得.
【解答】解:(1)如图,连接OE,
∵FG=EG,
∴∠GEF=∠GFE=∠AFH,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∵CD⊥AB,
∴∠AFH+∠FAH=90°,
∴∠GEF+∠AEO=90°,
∴∠GEO=90°,
∴GE⊥OE,
∴EG是⊙O的切线;
(2)连接OC,设⊙O的半径为r,
∵AH=3、CH=4,
∴OH=r﹣3,OC=r,
则(r﹣3)2+42=r2,
解得:r=,
∵GM∥AC,
∴∠CAH=∠M,
∵∠OEM=∠AHC,
∴△AHC∽△MEO,
∴=,即=,
解得:EM=.
22.(9分)“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
【分析】(1)可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式;
(2)根据利润=销售量×单件的利润,然后将(1)中的函数式代入其中,求出利润和销售单件之间的关系式,然后根据其性质来判断出最大利润;
(3)首先得出w与x的函数关系式,进而利用所获利润等于3600元时,对应x的值,根据增减性,求出x的取值范围.
【解答】解:(1)设y=kx+b,
∵直线y=kx+b经过点(40,300),(55,150),
∴,
解得:.
故y与x之间的函数关系式为:y=﹣10x+700,
(2)由题意,得
﹣10x+700≥240,
解得x≤46,
∴30<x≤46,
设利润为w=(x﹣30)•y=(x﹣30)(﹣10x+700),
w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10(x﹣50)2+4000,
∵﹣10<0,
∴x<50时,w随x的增大而增大,
∴x=46时,w最大=﹣10(46﹣50)2+4000=3840,
答:当销售单价为46元时,每天获取的利润最大,最大利润是3840元;
(3)w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600,
﹣10(x﹣50)2=﹣250,
x﹣50=±5,
x1=55,x2=45,
如图所示,由图象得:
当45≤x≤55时,捐款后每天剩余利润不低于3600元.
23.(11分)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标;
(3)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.
【分析】(1)根据待定系数法直接确定出抛物线解析式;
(2)先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出;
(3)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标.
【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx﹣5上,
∴,
解得,
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5,
(2)设H(t,t2﹣4t﹣5),
∵CE∥x轴,
∴点E的纵坐标为﹣5,
∵E在抛物线上,
∴x2﹣4x﹣5=﹣5,
∴x=0(舍)或x=4,
∴E(4,﹣5),
∴CE=4,
∵B(5,0),C(0,﹣5),
∴直线BC的解析式为y=x﹣5,
∴F(t,t﹣5),
∴HF=t﹣5﹣(t2﹣4t﹣5)=﹣(t﹣)2+,
∵CE∥x轴,HF∥y轴,
∴CE⊥HF,
∴S四边形CHEF=CE•HF=﹣2(t﹣)2+,
∴H(,﹣);
(3)如图2,∵K为抛物线的顶点,
∴K(2,﹣9),
∴K关于y轴的对称点K'(﹣2,﹣9),
∵M(4,m)在抛物线上,
∴M(4,﹣5),
∴点M关于x轴的对称点M'(4,5),
∴直线K'M'的解析式为y=x﹣,
∴P(,0),Q(0,﹣).
24.(12分)(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为 60° ;
②线段AD,BE之间的数量关系为 AD=BE .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,
AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=,若点P满足PD=1,且∠BPD=90°,请直接写出点A到BP的距离.
【分析】(1)由条件易证△ACD≌△BCE,从而得到:AD=BE,∠ADC=∠BEC.由点A,D,E在同一直线上可求出∠ADC,从而可以求出∠AEB的度数.
(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度数,证出AD=BE;由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME,从而证到AE=2CH+BE.
(3)由PD=1可得:点P在以点D为圆心,1为半径的圆上;由∠BPD=90°可得:点P在以BD为直径的圆上.显然,点P是这两个圆的交点,由于两圆有两个交点,接下来需对两个位置分别进行讨论.然后,添加适当的辅助线,借助于(2)中的结论即可解决问题.
【解答】解:(1)①如图1,
∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等边三角形,
∴∠CDE=∠CED=60°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=120°.
∴∠BEC=120°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°.
故答案为:60°.
②∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
故答案为:AD=BE.
(2)∠AEB=90°,AE=BE+2CM.
理由:如图2,
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME.
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
(3)点A到BP的距离为或.
理由如下:
∵PD=1,
∴点P在以点D为圆心,1为半径的圆上.
∵∠BPD=90°,
∴点P在以BD为直径的圆上.
∴点P是这两圆的交点.
①当点P在如图3①所示位置时,
连接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足为H,
过点A作AE⊥AP,交BP于点E,如图3①.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC=,∠BAD=90°.
∴BD=2.
∵DP=1,
∴BP=.
∵∠BPD=∠BAD=90°,
∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上,
∴∠APB=∠ADB=45°.
∴△PAE是等腰直角三角形.
又∵△BAD是等腰直角三角形,点B、E、P共线,AH⊥BP,
∴由(2)中的结论可得:BP=2AH+PD.
∴=2AH+1.
∴AH=.
②当点P在如图3②所示位置时,
连接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足为H,
过点A作AE⊥AP,交PB的延长线于点E,如图3②.
同理可得:BP=2AH﹣PD.
∴=2AH﹣1.
∴AH=.
综上所述:点A到BP的距离为或.
25.先化简,再求值:,其中.
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将化简后的x的值代入计算可得.
【解答】解:原式=(+)÷
=•
=,
当=4﹣1=3时,
原式==﹣.
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