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- 2021-11-06 发布
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2017年辽宁省盘锦市中考数学试卷
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序号涂在答题卡上,每小题3分,共30分)
1.(3分)﹣2的相反数是( )
A.2 B. C.﹣ D.﹣2
2.(3分)以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.x2+2x﹣1=(x﹣1)2 B.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 C.x2+4x+4=(x+2)2 D.ax2﹣a=a(x2﹣1)
4.(3分)如图,下面几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
5.(3分)在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中,有15名学生进入决赛,他们决赛的成绩各不相同,小明想知道自己能否进入前8名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这15名学生成绩的( )
A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数
6.(3分)不等式组的解集是( )
A.﹣1<x≤3 B.1≤x<3 C.﹣1≤x<3 D.1<x≤3
7.(3分)样本数据3,2,4,a,8的平均数是4,则这组数据的众数是( )
A.2 B.3 C.4 D.8
8.(3分)十一期间,几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩,中巴车的租价为480元,出发时又有4名学生参加进来,结果每位同学比原来少分摊4元车费.设原来游玩的同学有x名,则可得方程( )
A.﹣=4 B.﹣=4
C.﹣=4 D.﹣=4
9.(3分)如图,双曲线y=﹣(x<0)经过▱ABCO的对角线交点D,已知边OC在y轴上,且AC⊥OC于点C,则▱OABC的面积是( )
A. B. C.3 D.6
10.(3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),则下列结论:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m为任意实数);⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根,其中正确的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题(每小题3分,共24分)[来源:Zxxk.Com]
11.(3分)2016年我国对“一带一路”沿线国家直接投资145亿美元,将145亿用科学记数法表示为 .
12.(3分)若式子有意义,则x的取值范围是 .
13.(3分)计算:10ab3÷(﹣5ab)= .
14.(3分)对于▱ABCD,从以下五个关系式中任取一个作为条件:①AB=BC;②∠BAD=90°;③AC=BD;④AC⊥BD;⑤∠DAB=∠ABC,能判定▱ABCD是矩形的概率是 .
15.(3分)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AB=4cm,分别以B、C为圆心,以BD、CD为半径画弧,交边AB、AC于点E、F,则图中阴影部分的面积是 cm2.
16.(3分)在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,﹣5),以P为圆心的圆与x轴相切,⊙P的弦AB(B点在A点右侧)垂直于y轴,且AB=8,反比例函数y=(k≠0)经过点B,则k= .
17.(3分)如图,⊙O的半径OA=3,OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点,连接OB、OC,用扇形OBC围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 .
18.(3分)如图,点A1(1,1)在直线y=x上,过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y=x于点B1,B2,过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2,过点A2作x轴的平行线交直线y=x于点B3,…,按照此规律进行下去,则点An的横坐标为 .
三、解答题(19小题8分,20小题10分,共18分)
19.(8分)先化简,再求值:(+)÷,其中a=(π﹣)0+()﹣1.
20.(10分)如图,码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上,仓库C在海岛O的北偏东75°方向上,码头A、B均在仓库C的正西方向,码头B和仓库C的距离BC=50km,若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处,再用货船运送到海岛O,若汽车的行驶速度为50km/h,货船航行的速度为25km/h,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵海岛O?(两个码头物资装船所用的时间相同,参考数据:≈1.4,≈1.7)
21.(14分)如今很多初中生购买饮品饮用,既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销,为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查,大致可分为四种:
A:自带白开水;B:瓶装矿泉水;C:碳酸饮料;D:非碳酸饮料.
根据统计结果绘制如下两个统计图,根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)这个班级有多少名同学?并补全条形统计图.
(2)若该班同学没人每天只饮用一种饮品(每种仅限1瓶,价格如下表),则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元?
饮品名称
自带白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格(元/瓶)
0
2
3
4
(3)若我市约有初中生4万人,估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元?
(4)为了养成良好的生活习惯,班主任决定在自带白开水的5名同学(男生2人,女生3人)中随机抽取2名同学做良好习惯监督员,请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率.
22.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M,N,高为3的等边三角形ABC,边BC在x轴上,将此三角形沿着x轴的正方向平移,在平移过程中,得到△A1B1C1,当点B1与原点重合时,解答下列问题:
(1)求出点A1的坐标,并判断点A1是否在直线l上;
(2)求出边A1C1所在直线的解析式;
(3)在坐标平面内找一点P,使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出P点坐标.
23.(12分)端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况,请根据小梅提供的信息,解答小慧和小杰提出的问题.(价格取正整数)
24.(12分)如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E,垂足为点F.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径R=5,tanC=,求EF的长.
[来源:学科网ZXXK]
25.(14分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.
(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系.
(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若∠BPO=15°,BP=4,请求出BQ的长
26.(14分)如图,直线y=﹣2x+4交y轴于点A,交抛物线y=x2+bx+c于点B(3,﹣2),抛物线经过点C(﹣1,0),交y轴于点D,点P是抛物线上的动点,作PE⊥DB交DB所在直线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△PDE为等腰直角三角形时,求出PE的长及P点坐标;
(3)在(2)的条件下,连接PB,将△PBE沿直线AB翻折,直接写出翻折点后E的对称点坐标.
2017年辽宁省盘锦市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,请将正确答案的序号涂在答题卡上,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2017•盘锦)﹣2的相反数是( )
A.2 B. C.﹣ D.﹣2
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号,求解即可.
【解答】解:﹣2的相反数是2,
故选:A.
【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.不要把相反数的意义与倒数的意义混淆.
2.(3分)(2017•盘锦)以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可.
【解答】解:A、不是中心对称图形,故本选项错误;
B、不是中心对称图形,故本选项错误;
C、是中心对称图形,故本选项正确;
D、不是中心对称图形,故本选项错误;
故选C.
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
3.(3分)(2017•盘锦)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.x2+2x﹣1=(x﹣1)2 B.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 C.x2+4x+4=(x+2)2 D.ax2﹣a=a(x2﹣1)
【分析】根据因式分解的意义即可求出答案.
【解答】解:(A)x2﹣2x+1=(x﹣1)2,故A不是因式分解,
(B)a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),故B不是因式分解,
(D)ax2﹣a=a(x2﹣1)=a(x+1)(x﹣1),故D分解不完全,
故选(C)
【点评】本题考查多项式的因式分解,解题的关键是正确理解因式分解的意义,本题属于基础题型.
4.(3分)(2017•盘锦)如图,下面几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可.
【解答】解:从上面可看到第一行有三个正方形,
第二行最左边有1个正方形.
故选D.
【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
5.(3分)(2017•盘锦)在我市举办的中学生“争做文明盘锦人”演讲比赛中,有15名学生进入决赛,他们决赛的成绩各不相同,小明想知道自己能否进入前8名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这15名学生成绩的( )
A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数
【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前8名,只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数,比较即可.
【解答】解:由题意可得:
一名学生想要知道自己能否进入前8名,不仅要了解自己的成绩,还要了解这15名学生成绩的中位数,
故选D.
【点评】本题考查统计量的选择,解题的关键是明确题意,选取合适的统计量.
6.(3分)(2017•盘锦)不等式组的解集是( )
A.﹣1<x≤3 B.1≤x<3 C.﹣1≤x<3 D.1<x≤3
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
【解答】解:解不等式<1,得:x<3,
解不等式2(x+2)+1≥3,得:x≥﹣1,
∴不等式组的解集为﹣1≤x<3,
故选:C.
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
7.(3分)(2017•盘锦)样本数据3,2,4,a,8的平均数是4,则这组数据的众数是( )
A.2 B.3 C.4 D.8
【分析】根据平均数的定义求出a的值,再求出众数.
【解答】解:a=4×5﹣3﹣2﹣4﹣8=3,
则这组数据为3,2,4,3,8;
众数为3,
故选B.
【点评】本题考查了平均数和众数,求出a的值是解题的关键.
8.(3分)(2017•盘锦)十一期间,几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩,中巴车的租价为480元,出发时又有4名学生参加进来,结果每位同学比原来少分摊4元车费.设原来游玩的同学有x名,则可得方程( )
A.﹣=4 B.﹣=4
C.﹣=4 D.﹣=4
【分析】原来参加游玩的同学为x名,则后来有(x+4)名同学参加,根据增加4名学生之后每个同学比原来少分担4元车费,列方程即可.
【解答】解:由题意得:=4,
故选D.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程.
9.(3分)(2017•盘锦)如图,双曲线y=﹣(x<0)经过▱ABCO的对角线交点D,已知边OC在y轴上,且AC⊥OC于点C,则▱OABC的面积是( )
A. B. C.3 D.6
【分析】根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义,即可得出S平行四边形ABCO=4S△COD=2|k|,代入k值即可得出结论.
【解答】解:∵点D为▱ABCD的对角线交点,双曲线y=﹣(x<0)经过点D,AC⊥y轴,
∴S平行四边形ABCO=4S△COD=4××|﹣|=3.
故选C.
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质,根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义,找出出S平行四边形ABCO=4S△COD=2|k|是解题的关键.
10.(3分)(2017•盘锦)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),则下列结论:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m为任意实数);⑤一元二次方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数根,其中正确的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【分析】根据抛物线开口向下判断出a<0,再根据顶点横坐标用a表示出b,根据与y轴的交点求出c的取值范围,然后判断出①错误,②正确,根据点A的坐标用c表示出a,再根据c的取值范围解不等式求出③正确,根据顶点坐标判断出④正确,⑤错误,从而得解.
【解答】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵顶点坐标(1,n),
∴对称轴为直线x=1,
∴﹣=1,
∴b=﹣2a>0,
∵与y轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),
∴3≤c≤4,
∴abc<0,故①错误,
3a+b=3a+(﹣2a)=a<0,故②正确,
∵与x轴交于点A(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
∴a﹣(﹣2a)+c=0,
∴c=﹣3a,
∴3≤﹣3a≤4,
∴﹣≤a≤﹣1,故③正确,
∵顶点坐标为(1,n),
∴当x=1时,函数有最大值n,
∴a+b+c≥am2+bm+c,
∴a+b≥am2+bm,故④正确,
一元二次方程ax2+bx+c=n有两个相等的实数根x1=x2=1,故⑤错误,
综上所述,结论正确的是②③④共3个.
故选B.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,主要利用了二次函数的开口方向,对称轴,最值问题,以及二次函数图象上点的坐标特征,关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(3分)(2017•盘锦)2016年我国对“一带一路”沿线国家直接投资145亿美元,将145亿用科学记数法表示为 1.45×1010 .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<
1时,n是负数.
【解答】解:将145亿用科学记数法表示为:1.45×1010.
故答案为:1.45×1010.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
12.(3分)(2017•盘锦)若式子有意义,则x的取值范围是 x>﹣ .
【分析】分式的分母不等于零,二次根式的被开方数是非负数,则2x+3>0.由此求得x的取值范围.
【解答】解:依题意得:2x+3>0.
解得x>﹣.
故答案是:x>﹣.
【点评】考查了二次根式的意义和性质.概念:式子(a≥0)叫二次根式.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
13.(3分)(2017•盘锦)计算:10ab3÷(﹣5ab)= ﹣2b2 .
【分析】根据整式的除法法则即可求出答案.
【解答】解:原式=﹣2b2,
故答案为:﹣2b2
【点评】本题考查整式的除法,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型.
14.(3分)(2017•盘锦)对于▱ABCD,从以下五个关系式中任取一个作为条件:①AB=BC;②∠BAD=90°;③AC=BD;④AC⊥BD;⑤∠DAB=∠ABC,能判定▱ABCD是矩形的概率是 .
【分析】由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形,求出概率即可.
【解答】解:由题意可知添加②③⑤可以判断平行四边形是矩形,
∴能判定▱ABCD是矩形的概率是,
故答案为.
【点评】本题考查概率公式、矩形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
15.(3分)(2017•盘锦)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AB=4cm,分别以B、C为圆心,以BD、CD为半径画弧,交边AB、AC于点E、F,则图中阴影部分的面积是 (2+2﹣π) cm2.
【分析】首先计算出AD长,进而可得BD和DC长,然后利用三角形ABC的面积减去扇形BED和DFC的面积即可.
【解答】解:∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵∠B=30°,
∴AD=AB=2cm,
∴BD==2(cm),
∵∠C=45°,
∴∠DAC=45°,
∴AD=CD=2cm,
∴BC=(2+2)cm,
∴S阴影=×(2+2)×2﹣﹣=2+2﹣π﹣=2+2﹣π,
故答案为:(2+2﹣π).
【点评】此题主要考查了扇形的面积计算,以及勾股定理,关键是正确计算出AD、BD、CD长.
16.(3分)(2017•盘锦)在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,﹣5),以P为圆心的圆与x轴相切,⊙P的弦AB(B点在A点右侧)垂直于y轴,且AB=8,反比例函数y=(k≠0)经过点B,则k= ﹣8或﹣32 .
【分析】设AB交y轴于点C,利用垂径定理可求得PC的长,则可求得B点坐标,代入反比例函数解析式可求得k的值.
【解答】解:
设线段AB交y轴于点C,当点C在点P的上方时,连接PB,如图,
∵⊙P与x轴相切,且P(0,﹣5),
∴PB=PO=5,
∵AB=8,
∴BC=4,
在Rt△PBC中,由勾股定理可得PC==3,
∴OC=OP﹣PC=5﹣3=2,
∴B点坐标为(4,﹣2),
∵反比例函数y=(k≠0)经过点B,
∴k=4×(﹣2)=﹣8;
当点C在点P下方时,同理可求得PC=3,则OC=OP+PC=8,
∴B(4,﹣8),
∴k=4×(﹣8)=﹣32;
综上可知k的值为﹣8或﹣32,
故答案为:﹣8或﹣32.
【点评】本题主要考查切线的性质及反比例函数图象上点的坐标特征,利用垂径定理和切线的性质求得PC的长是解题的关键,注意分两种情况.
17.(3分)(2017•盘锦)如图,⊙O的半径OA=3,OA的垂直平分线交⊙O于B、C两点,连接OB、OC,用扇形OBC围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 2 .
【分析】求出△OAB和△AOC都是等边三角形,求出∠BOC=120°,根据弧长公式求出圆锥的半径,根据勾股定理求出即可.
【解答】解:连接AB,AC,
∵BC为OA的垂直平分线,
∴OB=AB,OC=AC,
∴OB=AB=OA,OC=OA=AC,
∴△OAB和△AOC都是等边三角形,
∴∠BOA=∠AOC=60°,
∴∠BOC=120°,
设圆锥的底面半径为r,则2πr=,
解得:r=1,
这个圆锥的高为=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,弧长公式等知识点,能求出圆锥的半径是解此题的关键.
18.(3分)(2017•盘锦)如图,点A1(1,1)在直线y=x上,过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y=x于点B1,B2,过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2,过点A2作x轴的平行线交直线y=x于点B3,…,按照此规律进行下去,则点An的横坐标为 .
【分析】由点A1的横坐标可求出点B1的坐标,进而可得出A1B1、A1B2的长度,由1+A1B2=可得出点A2、B2的坐标,同理可求出点A3、An的坐标,此题得解.
【解答】解:∵AnBn+1∥x轴,
∴tan∠AnBn+1Bn=.
当x=1时,y=x=,
∴点B1的坐标为(1,),
∴A1B1=1﹣,A1B2==﹣1.
∵1+A1B2=,
∴点A2的坐标为(,),点B2的坐标为(,1),
∴A2B2=﹣1,A2B3==﹣,
∴点A3的坐标为(,),点B3的坐标为(,).
同理,可得:点An的坐标为(,).
故答案为:.
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形以及规律型中点的坐标,通过解直角三角形找出点A2、A3、…、An的坐标是解题的关键.
三、解答题(19小题8分,20小题10分,共18分)
19.(8分)(2017•盘锦)先化简,再求值:(+)÷,其中a=(π﹣)0+()﹣1.
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子,然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:(+)÷
=
=
=,
当a=(π﹣)0+()﹣1=1+2=3时,原式==1.
【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.
20.(10分)(2017•盘锦)如图,码头A、B分别在海岛O的北偏东45°和北偏东60°方向上,仓库C在海岛O的北偏东75°方向上,码头A、B均在仓库C的正西方向,码头B和仓库C的距离BC=50km,若将一批物资从仓库C用汽车运送到A、B两个码头中的一处,再用货船运送到海岛O,若汽车的行驶速度为50km/h,货船航行的速度为25km/h,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵海岛O?(两个码头物资装船所用的时间相同,参考数据:≈1.4,≈1.7)
【分析】如图延长CA交OM于K.承办方求出OB、AB的长,分别求出时间即可判断.
【解答】解:如图延长CA交OM于K.
由题意∠COK=75°,∠BOK=60°,∠COK=45°,∠CKO=90°,
∴∠KCO=15°,∠KBO=30°,OK=KA,
∵∠KBO=∠C+∠BOC,
∴∠C=∠BOC=15°,
∴OB=BC=50(km),
在Rt△OBK中,OK=OB=25(km),KB=OK=25(km),
在Rt△AOK中,OK=AK=25(km),OA=25≈35km,
∴AB=KB﹣AK≈17.5(km),
∴从A码头的时间=+=3.4(小时),
从B码头的时间=+=3(小时),3<3.4,
答:这批物资在B码头装船,最早运抵海岛O.
【点评】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理、速度、时间、路程之间的关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
21.(14分)(2017•盘锦)如今很多初中生购买饮品饮用,既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销,为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查,大致可分为四种:
A:自带白开水;B:瓶装矿泉水;C:碳酸饮料;D:非碳酸饮料.
根据统计结果绘制如下两个统计图,根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)这个班级有多少名同学?并补全条形统计图.[来源:Zxxk.Com]
(2)若该班同学没人每天只饮用一种饮品(每种仅限1瓶,价格如下表),则该班同学用于饮品上的人均花费是多少元?
饮品名称
自带白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格(元/瓶)
0
2
3
4
(3)若我市约有初中生4万人,估计我市初中生每天用于饮品上的花费是多少元?
(4)为了养成良好的生活习惯,班主任决定在自带白开水的5名同学(男生2人,女生3人)中随机抽取2名同学做良好习惯监督员,请用列表法或树状图法求出恰好抽到2名女生的概率.
【分析】(1)由B类型的人数及其百分比求得总人数,在用总人数减去其余各组人数得出C类型人数,即可补全条形图;
(2)由各类的人数可得其总消费,进而可求出该班同学用于饮品上的人均花费是多少元;
(3)用总人数乘以样本中的人均消费数额即可;
(4)用列表法或画树状图法列出所有等可能结果,从中确定恰好抽到一名男生和一名女生的结果数,根据概率公式求解可得.
【解答】解:(1)∵抽查的总人数为:20÷40%=50人,
∴C类人数=50﹣20﹣5﹣15=10人,
补全条形统计图如下:
(2)该班同学用于饮品上的人均花费==2.6元;
(3)我市初中生每天用于饮品上的花费=40000×2.6=104000元.
(4)列表得:
女
女
女
男
男
女
﹣﹣﹣
(女,女)
(女,女)
(男,女)
(男,女)
女
(女,女)
﹣﹣﹣
(女,女)
(男,女)
(男,女)
女
(女,女)
(女,女)
﹣﹣﹣
(男,女)
(男,女)
男
(女,男)
(女,男)
(女,男)
﹣﹣﹣
(男,男)
男
(女,男)
(女,男)
(女,男)
(男,男)
﹣﹣﹣
或画树状图得:
所有等可能的情况数有20种,其中一男一女的有12种,
所以P(恰好抽到一男一女)==.
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
22.(12分)(2017•盘锦)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M,N,高为3的等边三角形ABC,边BC在x轴上,将此三角形沿着x轴的正方向平移,在平移过程中,得到△A1B1C1,当点B1与原点重合时,解答下列问题:
(1)求出点A1的坐标,并判断点A1是否在直线l上;
(2)求出边A1C1所在直线的解析式;
(3)在坐标平面内找一点P,使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出P点坐标.
[来源:学科网ZXXK]
【分析】(1)如图作A1H⊥x轴于H.在Rt△A1OH中,由A1H=3,∠A1OH=60°,可得OH=A1H•tan30°=,求出点A坐标即可解决问题;
(2)利用待定系数法即可解决问题;
(3)分三种情形讨论即可解决问题;
【解答】解:(1)如图作A1H⊥x轴于H.
在Rt△A1OH中,∵A1H=3,∠A1OH=60°,
∴OH=A1H•tan30°=,
∴A1(,3),
∵x=时,y=﹣×+4=3,
∴A1在直线y=﹣x+4上.
(2)∵A1(,3),C1(2,0),
设直线A1C1的解析式为y=kx+b,则有,
解得,
∴直线A1C1的解析式为y=﹣x+6.
(3)∵M(4,0),A1(,3),C1(2,0),
由图象可知,当以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形时,P1(3,3),P2(5,﹣3),P3(﹣,3).
【点评】本题考查一次函数综合题.平行四边形的判定和性质、待定系数法等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
23.(12分)(2017•盘锦)端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况,请根据小梅提供的信息,解答小慧和小杰提出的问题.(价格取正整数)
【分析】小慧:设定价为x元,利润为y元,根据利润=(定价﹣进价)×销售量,列出函数关系式,结合x的取值范围,求出当y取800时,定价x的值即可;
小杰:根据小慧中求出的函数解析式,运用配方法求最大值,并求此时x的值即可.
【解答】解:小慧:设定价为x元,利润为y元,则销售量为:410﹣10(x﹣100)=1410﹣10x,
由题意得,y=(x﹣80)(1410﹣10x)
=﹣10x2+2210x﹣112800,
当y=8580时,﹣10x2+2210x﹣112800=8580,
整理,得:x2﹣221x+12138=0,
解得:x=102或x=119,
∵当x=102时,销量为1410﹣1020=390,
当x=119时,销量为1410﹣1190=220,
∴若要达到8580元的利润,且薄利多销,
∴此时的定价应为102元;
小杰:y=﹣10x2+2210x﹣112800=﹣10(x﹣)2+,
∵价格取整数,即x为整数,
∴当x=110或x=111时,y取得最大值,最大值为9300,
答:8580元的销售利润不是最多,当定价为110元或111元时,销售利润最多,最多利润为9300元.
【点评】本题考查了二次函数的应用,难度一般,解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系式,要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值.
24.(12分)(2017•盘锦)如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E,垂足为点F.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径R=5,tanC=,求EF的长.
【分析】(1)连接圆心和切点,利用平行,OF⊥CB可证得∠ODF=90°;
(2)过D作DH⊥BC于H,设BD=k,CD=2k,求得BD=2,CD=4,根据三角形的面积公式得到DH==4,由勾股定理得到OH==3,根据射影定理得到OD2=OH•OE,求得OE=,得到BE=,根据相似三角形的性质得到BF=2,根据勾股定理即可得到结论.
【解答】(1)证明:如图,连接OD,BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠90°,
∴BD⊥AC.
∵AB=BC,
∴AD=DC.
∵OA=OB,
∴OD∥BC,
∵DE⊥BC,
∴DE⊥OD.
∴直线DE是⊙O的切线.
(2)过D作DH⊥BC于H,
∵⊙O的半径R=5,tanC=,
∴BC=10,
设BD=k,CD=2k,
∴BC=k=10,
∴k=2,
∴BD=2,CD=4,
∴DH==4,
∴OH==3,
∵DE⊥OD,DH⊥OE,
∴OD2=OH•OE,
∴OE=,
∴BE=,
∵DE⊥AB,
∴BF∥OD,
∴△BFE∽△ODE,
∴,即,
∴BF=2,
∴EF==.
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,等腰直角三角形的性质以及解直角三角形.当题中已有垂直时,证直线为圆的切线,通常选用平行来进行证明;而求相关角的余弦值,应根据所给条件进行适当转移,注意利用直角三角形面积的不同方式求解.
25.(14分)(2017•盘锦)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠
A=30°,点O为AB中点,点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合),连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60°,得到线段PQ,连接BQ.
(1)如图1,当点P在线段BC上时,请直接写出线段BQ与CP的数量关系.
(2)如图2,当点P在CB延长线上时,(1)中结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,当点P在BC延长线上时,若∠BPO=15°,BP=4,请求出BQ的长
【分析】(1)结论:BQ=CP.如图1中,作PH∥AB交CO于H,可得△PCH是等边三角形,只要证明△POH≌△QPB即可;
(2)成立:PC=BQ.作PH∥AB交CO的延长线于H.证明方法类似(1);
(3)如图3中,作CE⊥OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CF.设CE=EO=a,则FC=FP=2a,EF=a,在Rt△PCE中,PC===(+)a,根据PC+CB=4,可得方程(+)a+a=4,求出a即可解决问题;
【解答】解:(1)结论:BQ=CP.
理由:如图1中,作PH∥AB交CO于H.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,
∴CO=AO=BO,∠CBO=60°,
∴△CBO是等边三角形,
∴∠CHP=∠COB=60°,∠CPH=∠CBO=60°,
∴∠CHP=∠CPH=60°,
∴△CPH是等边三角形,
∴PC=PH=CH,[来源:学科网]
∴OH=PB,
∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP,
∵∠OPQ=∠OCP=60°,
∴∠POH=∠QPB,∵PO=PQ,
∴△POH≌△QPB,
∴PH=QB,
∴PC=BQ.
(2)成立:PC=BQ.
理由:作PH∥AB交CO的延长线于H.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°,点O为AB中点,
∴CO=AO=BO,∠CBO=60°,
∴△CBO是等边三角形,
∴∠CHP=∠COB=60°,∠CPH=∠CBO=60°,
∴∠CHP=∠CPH=60°,
∴△CPH是等边三角形,
∴PC=PH=CH,
∴OH=PB,
∵∠POH=60°+∠CPO,∠QPO=60°+∠CPQ,
∴∠POH=∠QPB,∵PO=PQ,
∴△POH≌△QPB,
∴PH=QB,
∴PC=BQ.
(3)如图3中,作CE⊥OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CF.
∵∠OPC=15°,∠OCB=∠OCP+∠POC,
∴∠POC=45°,
∴CE=EO,设CE=EO=a,则FC=FP=2a,EF=a,
在Rt△PCE中,PC===(+)a,
∵PC+CB=4,
∴(+)a+a=4,
解得a=4﹣2,
∴PC=4﹣4,
由(2)可知BQ=PC,
∴BQ=4﹣4.
【点评】此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
26.(14分)(2017•盘锦)如图,直线y=﹣2x+4交y轴于点A,交抛物线y=x2+bx+c于点B(3,﹣2),抛物线经过点C(﹣1,0),交y轴于点D,点P是抛物线上的动点,作PE⊥DB交DB所在直线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△PDE为等腰直角三角形时,求出PE的长及P点坐标;
(3)在(2)的条件下,连接PB,将△PBE沿直线AB翻折,直接写出翻折点后E的对称点坐标.
【分析】(1)把B(3,﹣2),C(﹣1,0)代入y=x2+bx+c即可得到结论;
(2)由y=x2﹣x﹣2求得D(0,﹣2),根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE,列方程即可得到结论;
(3)①当P点在直线BD的上方时,如图1,设点E关于直线AB的对称点为E′,过E′作E′H⊥DE于H,求得直线EE′的解析式为y=x﹣,设E′(m,m﹣),根据勾股定理即可得到结论;②当P点在直线BD的下方时,如图2,设点E关于直线AB的对称点为E′,过E′作E′H⊥DE于H,得到直线EE′的解析式为y=x﹣3,设E′(m,m﹣3),根据勾股定理即可得到结论.
【解答】解:(1)把B(3,﹣2),C(﹣1,0)代入y=x2+bx+c得,,
∴,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;
(2)设P(m,m2﹣m﹣2),
在y=x2﹣x﹣2中,当x=0时,y=﹣2,
∴D(0,﹣2),
∵B(3,﹣2),
∴BD∥x轴,
∵PE⊥BD,
∴E(m,﹣2),
∴DE=m,PE=m2﹣m﹣2+2,或PE=﹣2﹣m2+m+2,
∵△PDE为等腰直角三角形,且∠PED=90°,
∴DE=PE,
∴m=m2﹣m,或m=﹣m2+m,
解得:m=5,m=2,m=0(不合题意,舍去),
∴PE=5或2,
P(2,﹣3),或(5,3);
(3)①当P点在直线BD的上方时,如图1,设点E关于直线AB的对称点为E′,
过E′作E′H⊥DE于H,
由(2)知,此时,E(5,﹣2),
∴DE=5,
∴BE′=BE=2,
∵EE′⊥AB,
∴设直线EE′的解析式为y=x+b,
∴﹣2=×5+b,
∴b=﹣,
∴直线EE′的解析式为y=x﹣,
设E′(m,m﹣),
∴E′H=﹣2﹣m+=﹣m,BH=3﹣m,
∵E′H2+BH2=BE′2,
∴(﹣m)2+(3﹣m)2=4,
∴m=,m=5(舍去),
∴E′(,﹣);
②当P点在直线BD的下方时,如图2,设点E关于直线AB的对称点为E′,
过E′作E′H⊥DE于H,
由(2)知,此时,E(2,﹣2),
∴DE=2,
∴BE′=BE=1,
∵EE′⊥AB,
∴设直线EE′的解析式为y=x+b,
∴﹣2=×2+b,
∴b=﹣3,
∴直线EE′的解析式为y=x﹣3,
设E′(m,m﹣3),
∴E′H=m﹣3+2=m﹣1,BH=m﹣3,
∵E′H2+BH2=BE′2,
∴(m﹣1)2+(m﹣3)2=1,
∴m=3.6,m=2(舍去),
∴E′(3.6,﹣1.2),
综上所述,E的对称点坐标为(,﹣),(3.6,﹣1.2).
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,等腰直角三角形的性质,勾股定理,折叠的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
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