2017福建各地市数学5月质检卷及答案 26页

书书书 　　　 　 ２０１７年福州市初中毕业班质量检测 数 学 试 题 （考试时间：１２０分钟　试卷满分：１５０分） 一、选择题（共 １０小题，每题 ４分，满分 ４０分；每小题只有一个正确的选项，请在 答题卡的相应位置填涂） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列运算结果为正数的是 （　Ｂ　） Ａ．１＋（－２） Ｂ．１－（－２） Ｃ．１×（－２） Ｄ．１÷（－２） ２．若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是半径相等的圆，则这个几何体是 （　Ｃ　） Ａ．圆柱 Ｂ．圆锥 Ｃ．球 Ｄ．正方体 ３．数轴上点 Ａ，Ｂ表示的数分别是 ａ，ｂ，这两点间的距离是 （　Ｄ　） Ａ．｜ａ｜＋｜ｂ｜ Ｂ．｜ａ｜－｜ｂ｜ Ｃ．｜ａ＋ｂ｜ Ｄ．｜ａ－ｂ｜ ４．两个全等的正六边形如图摆放，与△ＡＢＣ面积不同的一个三角形是 （　Ｂ　） Ａ．△ＡＢＤ Ｂ．△ＡＢＥ Ｃ．△ＡＢＦ Ｄ．△ＡＢＧ 第 ４题图 　　　　 第 ５题图 ５．如图，Ｏ为直线 ＡＢ上一点，∠ＡＯＣ＝α，∠ＢＯＣ＝β，则 β的余角可表示为 （　Ｃ　） Ａ．１ ２（α＋β） Ｂ．１ ２α Ｃ．１ ２（α－β） Ｄ．１ ２β ６．在一个不透明的袋子中装有 ４个红球，２个白球，每个球只有颜色不同，从中任 意摸出 ３个球，下列事件为必然事件的是 （　Ａ　） Ａ．至少有 １个球是红球 Ｂ．至少有 １个球是白球 Ｃ．至少有 ２个球是红球 Ｄ．至少有 ２个球是白球 ７．若 ｍ，ｎ均为正整数且 ２ｍ·２ｎ＝３２，（２ｍ）ｎ＝６４，则 ｍｎ＋ｍ＋ｎ的值为 （　Ｂ　） Ａ．１０ Ｂ．１１ Ｃ．１２ Ｄ．１３ ８．如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝５０°，∠Ｃ＝３０°，将△ＡＢＣ绕点 Ｂ逆时针旋转 α（０°＜α ≤９０°）得到△ＤＢＥ．若 ＤＥ∥ＡＢ，则 α为 （　Ｃ　） 第 ８题图 Ａ．５０° Ｂ．７０° Ｃ．８０° Ｄ．９０° ９．在平面直角坐标系中，已知点 Ａ（１，２），Ｂ（２，１），Ｃ（－１，－ ３），Ｄ（－２，３），其中不可能与点 Ｅ（１，３）在同一函数图象 上的一个点是 （　Ａ　） Ａ．点 Ａ Ｂ．点 Ｂ Ｃ．点 Ｃ Ｄ．点 Ｄ １０．Ｐ是抛物线 ｙ＝ｘ２－４ｘ＋５上一点，过点 Ｐ作 ＰＭ⊥ｘ轴，ＰＮ⊥ｙ轴，垂足分别 是 Ｍ，Ｎ，则 ＰＭ＋ＰＮ的最小值是 （　Ｂ　） Ａ．５ ４ Ｂ．１１ ４ Ｃ．３ Ｄ．５ 二、填空题（共 ６小题，每题 ４分，满分 ２４分） １１．若二次根式 ｘ槡 －３有意义，则 ｘ的取值范围是ｘ≥３． １２．２０１７年 ５月 １２日是第 １０６个国际护士节，从数串“２０１７５１２”中随机抽取一个 数字，抽到数字 ２的概率是 ２ ７． １３．计算：４０３３２－４×２０１６×２０１７＝１． １４．如图，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，点 Ｅ在 ＡＤ边上，以 Ｅ为圆心，ＥＡ长为半径的 ⊙Ｅ与 ＢＣ相切，交 ＣＤ于点 Ｆ，连接 ＥＦ，若扇形 ＥＡＦ的面积为 ４ ３π，则 ＢＣ的 长是３． 第 １４题图 　　　　　 第 １６题图 １５．对于锐角 α，ｔａｎα＞ｓｉｎα．（填“＞”，“＜”或“＝”） １６．如图，四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠ＤＣＢ＝６０°， ＡＢ＋ＢＣ＝８，则 ＡＣ的长是 槡８ ６ ３ ． 三、解答题（共 ９小题，满分 ８６分） １７．（８分）化简：（３ａ ａ＋１－ ａ ａ＋１）·ａ２－１ ａ ． 解：原式 ＝ ２ａ ａ＋１·（ａ＋１）（ａ－１） ａ ＝２（ａ－１） ＝２ａ－２． １８．（８分）求证：等腰三角形底边中点到两腰距离相等． 第 １８题解图 已知：如解图，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是 ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ，垂足 分别为 Ｅ，Ｆ． 即求证 ＤＥ＝ＤＦ． 解法一：证明：如解图，连接 ＡＤ， ∵ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是 ＢＣ的中点， ∴ＡＤ平分∠ＢＡＣ． ∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ， ∴ＤＥ＝ＤＦ． 解法二：证明：∵ＡＢ＝ＡＣ， ∴∠Ｂ＝∠Ｃ， ∵点 Ｄ是 ＢＣ的中点， ∴ＢＤ＝ＣＤ， 又∵ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ， ∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°， ∴△ＢＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）， ∴ＤＥ＝ＤＦ． １９．（８分）已知关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２ ＋ｍｘ＋１＝０，写出一个无理数 ｍ，使该 方程没有实数根，并说明理由． 解：ｍ 槡＝ ２（满足 －２＜ｍ＜２的无理数均可） 理由如下： 当 ｍ 槡＝ ２时，方程为 ｘ２ 槡＋ ２ｘ＋１＝０， ∵Δ＝ｂ２－４ａｃ＝（槡２）２－４＝－２＜０， ∴当 ｍ 槡＝ ２时，方程 ｘ２＋ｍｘ＋１＝０无实数根． ２０．（８分）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝１，ＡＣ＝２，以点 Ｂ为圆心，ＢＣ长 为半径画弧交 ＡＢ于点 Ｄ；以点 Ａ为圆心，ＡＤ长为半径画弧，交 ＡＣ于点 Ｅ，保 留作图痕迹，并求ＡＥ ＡＣ的值． 第 ２０题图 　　　 第 ２０题解图 解：作图如解图所示， ∵在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝１，ＡＣ＝２， ∴ＡＢ＝ １２＋２槡 ２ 槡＝ ５， 由作图知：ＢＤ＝ＢＣ＝１， ∴ＡＥ＝ＡＤ 槡＝ ５－１， ∴ＡＥ ＡＣ＝槡５－１ ２ ． ２１．（８分）请根据下列图表信息解答问题： ２０１１～２０１６年电影行业观影人次年增长率统计表 年份 ２０１１ ２０１２ ２０１３ ２０１４ ２０１５ ２０１６ 年增长率 ３１％ ２７％ ３２％ ３５％ ５２％ ２０１０～２０１６年电影行业观影人次统计图 第 ２１题图 （１）表中空缺的数据为９％；（精确到 １％） （２）求统计表中年增长率的平均数及中位数； （３）预测 ２０１７年的观影人次，并说明理由． 解：（１）９％； 【解法提示】２０１６年增长率 ＝１３．７２－１２．６０ １２．６０ ×１００％≈９％． （２）年增长率的平均数 ＝３１％ ＋２７％ ＋３２％ ＋３５％ ＋５２％ ＋９％ ６ ＝３１％． 年增长率的中位数 ＝３１％ ＋３２％ ２ ＝３１．５％ （３）预测 ２０１７年全国观影人数约为 １７．９７亿（答案从 １４．８～２０．８５均可）． 理由如下： 按每年增长率的平均数进行估算，答案为 １３．７２×（１＋３１％）≈１７．９７．（答 案不唯一，言之有理即可得分） 第 ２２题图 ２２．（１０分）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距 离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高 ｙ（ｃｍ） 是指距 ｘ（ｃｍ）的一次函数，下表是测得的一组数据： 指距 ｘ（ｃｍ） １９ ２０ ２１ 身高 ｙ（ｃｍ） １５１ １６０ １６９ （１）求 ｙ与 ｘ的函数关系式；（不要求写出 ｘ的取值范围） （２）如果李华指距为 ２２ｃｍ，那么他的身高约为多少                                                                                                                                                     ？ ７３ 解：（１）设身高 ｙ与指距 ｘ之间的函数关系式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，将 ｘ＝１９ ｙ{ ＝１５１与 ｘ＝２０ ｙ{ ＝１６０代入上式得： １９ｋ＋ｂ＝１５１ ２０ｋ＋ｂ{ ＝１６０， 解得 ｋ＝９ ｂ{ ＝－２０ ∴ｙ与 ｘ之间的函数关系式为 ｙ＝９ｘ－２０， 将 ｘ＝２１ ｙ{ ＝１６９代入关系式也符合； （２）当 ｘ＝２２时，ｙ＝９ｘ－２０＝９×２２－２０＝１７８． 因此，李华的身高大约是 １７８ｃｍ． ２３．（１０分）如图，锐角△ＡＢＣ内接于⊙Ｏ，Ｅ为 ＣＢ延长线上一点，连接 ＡＥ交⊙Ｏ 于点 Ｄ，∠Ｅ＝∠ＢＡＣ，连接 ＢＤ． （１）求证：∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＣ； （２）若∠Ｅ＝４５°，ＢＥ＝３，ＢＣ＝５，求△ＡＥＣ的面积． 第 ２３题图 　　　 第 ２３题解图 解：（１）∵四边形 ＡＤＢＣ为⊙Ｏ的内接四边形， ∴∠ＤＢＣ＋∠ＥＡＣ＝１８０°， ∵∠ＥＢＤ＋∠ＤＢＣ＝１８０°， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＥＡＣ＝∠ＢＡＥ＋∠ＢＡＣ， ∵∠Ｅ＝∠ＢＡＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠Ｅ＋∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ＋∠ＢＡＣ， ∴∠ＤＢＥ＝∠ＡＢＣ； （２）如解图，过点 Ａ作 ＡＨ⊥ＢＣ，垂足为 Ｈ， ∵∠Ｅ＝４５°， ∴∠ＥＡＨ＝４５°， ∴ＡＨ＝ＥＨ， ∵∠Ｃ＝∠Ｃ，∠Ｅ＝∠ＢＡＣ， ∴△ＡＢＣ∽△ＥＡＣ． ∴ＢＣ ＡＣ＝ＡＣ ＥＣ， 即 ＡＣ２＝ＢＣ·ＥＣ＝５×（５＋３）＝４０． 设 ＡＨ＝ｘ，则 ＥＨ＝ｘ，ＨＣ＝８－ｘ， 在 Ｒｔ△ＡＨＣ中，ＡＨ２＋ＨＣ２＝ＡＣ２， 即 ｘ２＋（８－ｘ）２＝４０， 解得 ｘ＝６或 ｘ＝２． 当 ｘ＝２时，ＥＨ＜ＢＥ， ∴点 Ｈ在 ＢＥ上， ∴∠ＡＢＣ＞９０°（不合题意，舍去）， ∴ＡＨ＝６， ∴Ｓ△ＡＥＣ ＝１ ２ＥＣ·ＡＨ＝１ ２×８×６＝２４． ２４．（１２分）如图，ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝２ＡＢ，点 Ｅ在 ＢＣ边上，且 ＣＥ＝１ ４ＡＤ，Ｆ为 ＢＤ 的中点，连接 ＥＦ． （１）当∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＤ＝４时，连接 ＡＦ，求 ＡＦ的长； （２）连接 ＤＥ，若 ＤＥ⊥ＢＣ，求∠ＢＥＦ的度数； （３）求证：∠ＢＥＦ＝１ ２∠ＢＣＤ． 第 ２４题图 　　 备用图 解：（１）如解图①，∵四边形 ＡＢＣＤ为平行四边形，∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ ＢＣ．（写出一个结论即给 １分） 第 ２４题解图① ∴∠ＢＡＤ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝１８０°－９０°＝９０°， ∵ＡＤ＝２ＡＢ，ＡＤ＝４， ∴ＡＢ＝２， ∴ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２＝ ２２＋４槡 ２ 槡＝２ ５． ∵Ｆ为 ＢＤ的中点， ∴ＡＦ＝１ ２ＢＤ 槡＝ ５； 第 ２４题解图② （２）如解图②，∵ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，ＣＥ＝１ ４ＡＤ，ＡＤ＝２ＡＢ， ∴ＣＤ＝２ＣＥ，ＢＣ＝２ＣＤ， ∴ＣＥ ＣＤ＝ＣＤ ＣＢ＝１ ２， ∵∠Ｃ＝∠Ｃ， ∴△ＤＣＥ∽△ＢＣＤ， ∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＥ， ∵在 Ｒｔ△ＣＤＥ中，ｓｉｎ∠ＥＤＣ＝ＣＥ ＣＤ＝１ ２， ∴∠ＣＢＤ＝∠ＣＤＥ＝３０°， ∵Ｆ为 ＢＤ中点， ∴ＥＦ＝１ ２ＢＤ＝ＢＦ， ∴∠ＢＥＦ＝∠ＤＢＥ＝３０°． 第 ２４题解图③ （３）如解图③，在 ＢＣ边上取中点 Ｇ，连接 ＦＧ，则 ＦＧ∥ＣＤ． ∴∠ＢＧＦ＝∠Ｃ，ＦＧ＝１ ２ＣＤ＝１ ４ＢＣ． ∵ＣＥ＝１ ４ＡＤ＝１ ４ＢＣ，ＣＧ＝１ ２ＢＣ， ∴ＧＥ＝ＣＧ－ＥＣ＝１ ４ＢＣ， ∴ＦＧ＝ＧＥ， ∴∠ＢＥＦ＝∠ＧＦＥ， ∵∠ＢＧＦ＝∠ＢＥＦ＋∠ＧＦＥ＝２∠ＢＥＦ， ∴∠ＢＥＦ＝１ ２∠ＢＣＤ． ２５．（１４分）已知抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ｂｃ≠０）． （１）若该抛物线的顶点坐标为（ｃ，ｂ），求其解析式； （２）点 Ａ（ｍ，ｎ），Ｂ（ｍ＋１，３ ８ｎ），Ｃ（ｍ＋６，ｎ）在抛物线 ｙ＝ｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ上，求 △ＡＢＣ的面积； （３）在（２）的条件下，抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象与 ｘ轴交于 Ｄ（ｘ１，０），Ｅ（ｘ２， ０）（ｘ１＜ｘ２）两点，且 ０＜ｘ１＋１ ３ｘ２＜３，求 ｂ的取值范围． 解：（１）依题意得：抛物线的对称轴是 ｘ＝－ｂ ２＝ｃ， ∴ｂ＝－２ｃ， ∴抛物线的解析式可化为 ｙ＝ｘ２－２ｃｘ＋ｃ， ∵抛物线过顶点（ｃ，－２ｃ）， ∴ｃ２－２ｃ２＋ｃ＝－２ｃ． 化简得 ｃ２－３ｃ＝０， 解得 ｃ１＝０（不合题意，舍去），ｃ２＝３． ∴ｂ＝－２ｃ＝－６， ∴抛物线的解析式为 ｙ＝ｘ２－６ｘ＋３； （２）依题意得：抛物线的对称轴为直线 ｘ＝ｍ＋３， ∴设抛物线的顶点为（ｍ＋３，ｋ）， 则抛物线的解析式为 ｙ＝（ｘ－ｍ－３）２＋ｋ， ∵抛物线过 Ａ（ｍ，ｎ），Ｂ（ｍ＋１，３ ８ｎ）两点， ∴ ９＋ｋ＝ｎ ４＋ｋ＝３ ８{ ｎ，解得 ｋ＝－１ ｎ{ ＝８ ， ∴Ｓ△ＡＢＣ ＝１ ２ＡＣ·（１－３ ８）ｎ＝１ ２×６×５＝１５； （３）由（２）可知：抛物线的解析式为 ｙ＝（ｘ－ｍ－３）２－１， 令 ｙ＝０，得（ｘ－ｍ－３）２－１＝０， ∵ｘ１＜ｘ２，∴ｘ１＝ｍ＋２，ｘ２＝ｍ＋４， ∵０＜ｘ１＋１ ３ｘ２＜３，∴０＜ｍ＋２＋１ ３（ｍ＋４）＜３， 解得 －５ ２＜ｍ＜－１ ４， ∵ －ｂ ２＝ｍ＋３，∴ｂ＝－２ｍ－６，∴ －１１ ２＜ｂ＜－１                                                                                                                                                   ． ８３ 　　　 　 ２０１７年厦门市初中总复习教学质量检测 数 学 试 题 注意事项： １．全卷三大题，２５小题，试卷共 ４页，另有答题卡． ２．答案必须写在答题卡，否则不能得分． ３．可以直接使用 ２Ｂ铅笔作图． 一、选择题（本大题有 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分，每小题都有四个选项，其中 有且只有一个选项正确） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．４的绝对值可表示为 （　Ｂ　） 槡Ａ．－４ Ｂ．｜４｜ Ｃ． ４ Ｄ．１ ４ ２．若∠Ａ与∠Ｂ互为余角，则∠Ａ＋∠Ｂ＝ （　Ｃ　） Ａ．１８０° Ｂ．１２０° Ｃ．９０° Ｄ．６０° ３．把 ａ２－４ａ分解因式，结果为 （　Ａ　） 第 ４题图 Ａ．ａ（ａ－４） Ｂ．（ａ＋２）（ａ－２） Ｃ．ａ（ａ＋２）（ａ－２） Ｄ．（ａ－２）２－４ ４．如图，Ｄ，Ｅ分别是△ＡＢＣ的边 ＡＢ，ＢＣ延长线上的点，连接 ＤＣ，若∠Ｂ＝２５°， ∠ＡＣＢ＝５０°，则下列角中度数为 ７５°的是 （　Ｂ　） Ａ．∠ＡＣＤ Ｂ．∠ＣＡＤ Ｃ．∠ＤＣＥ Ｄ．∠ＢＤＣ ５．我们规定一个物体向右运动为正，向左运动为负，如果该物体向左连续运动两 次，每次运动 ３米，那么下列算式中，可以表示这两次运动结果的是 （　Ｄ　） Ａ．（－３）２ Ｂ．（－３）－（－３）Ｃ．２×３ Ｄ．２×（－３） ６．下列各图中，ＯＰ是∠ＭＯＮ的平分线，点 Ｅ，Ｆ，Ｇ分别在射线 ＯＭ，ＯＮ，ＯＰ上，则 可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边距离相等”的图形是 （　Ｄ　） ７．如图，矩形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，∠ＡＯＢ＝６０°，ＡＢ＝２，则该矩形的 对角线长为 （　Ｂ　） 第 ７题图 Ａ．２ Ｂ．４ 槡 槡Ｃ．２ ３ Ｄ．４ ３ ８．在 ６，７，８，８，９这组数据中，去掉一个数后，余下数据的中位 数不变，且方差减小，则去掉的数是 （　Ａ　） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ９．如图，在⊙Ｏ中，弦 ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，Ｄ是 ) ＢＣ上一点，弦 ＡＤ与 ＢＣ所夹 的锐角度数是 ７２°，则 ) ＢＤ的长为 （　Ｃ　） 第 ９题图 Ａ．π ４ Ｂ．π ２ Ｃ．π Ｄ．５ ２π １０．在平面直角坐标系中，Ｏ为原点，抛物线 ｙ＝－ｘ２ ＋３ｘ的对称 轴 ｌ交 ｘ轴于点 Ｍ，直线 ｙ＝ｍｘ－２ｍ（ｍ＜０）与该抛物线 ｘ轴上方的部分交于 点 Ａ，与 ｌ交于点 Ｂ，过点 Ａ作 ＡＮ⊥ｘ轴，垂足为 Ｎ，则下列线段中，长度随线 段 ＯＮ长度的增大而增大的是 （　Ｃ　） Ａ．ＡＮ Ｂ．ＭＮ Ｃ．ＢＭ Ｄ．ＡＢ 二、填空题（本大题有 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分） １１．计算：－ａ＋３ａ＝２ａ． １２．若式子 ｘ槡 －３在实数范围内有意义，则 ｘ的取值范围是ｘ≥３． １３．有三张材质及大小都相同的牌，在牌面上分别写上数：－１，１，２，从中随机摸 出两张，牌面上两数和为 ０的概率是 １ ３． １４．如图，在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝４，△ＤＥＦ是等腰直角三角形，∠ＤＥＦ＝ ９０°，Ａ，Ｅ分别是 ＤＥ，ＡＣ的中点，点 Ｆ在 ＡＢ边上，则 ＡＢ＝ 槡２ ５． 第 １４题图 　　　　 第 １５题图 　　　　　 第 １６题图 １５．如图，已知 Ａ（２，ｎ），Ｂ（６，ｍ）是双曲线 ｙ＝６ ｘ上的两点，分别过点 Ａ，Ｂ作 ｘ轴， ｙ轴的垂线交于点 Ｃ，ＯＣ的延长线与 ＡＢ交于点 Ｍ，则 ｔａｎ∠ＭＣＢ＝１ ２． １６．如图，在ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ是锐角，Ｍ是 ＡＤ边上的一点，且 ＢＭ＋ＭＣ＝１４ ５ ＡＢ，ＢＭ与 ＣＤ的延长线交于点 Ｅ，把ＡＢＣＤ沿直线 ＣＭ折叠，点 Ｂ恰与点 Ｅ 重合．若 ＡＢ边上的一点 Ｐ满足 Ｐ，Ｂ，Ｃ，Ｍ在同一个圆上，设 ＢＣ＝ａ，则 ＣＰ＝ ２４ ２５ａ．（用含 ａ的代数式表示） 三、解答题（本大题有 ９小题，共 ８６分） １７．（本题满分 ８分）计算：（－３）０＋（１ ２）－１ 槡－ ８×槡２ ２． 解：原式 槡＝１＋２－２ ２×槡２ ２ ＝１＋２－２ ＝１． １８．（本题满分 ８分）如图，已知△ＡＢＣ和△ＦＥＤ，Ｂ，Ｄ，Ｃ，Ｅ在一条线上，∠Ｂ＝ ∠Ｅ，ＡＢ＝ＦＥ，ＢＤ＝ＥＣ．证明 ＡＣ∥ＤＦ． 第 １８题图 证明：∵ＢＤ＝ＥＣ， ∴ＢＤ＋ＤＣ＝ＤＣ＋ＥＣ，即 ＢＣ＝ＥＤ， 又∵∠Ｂ＝∠Ｅ，ＡＢ＝ＦＥ， ∴△ＡＢＣ≌△ＦＥＤ， ∴∠ＡＣＢ＝∠ＦＤＥ， ∴ＡＣ∥ＤＦ． １９．（本题满分 ８分）已知 ｍ是方程 ｘ２－２ｘ－２＝０的根，且 ｍ＞０，求代数式ｍ２－１ ｍ＋１ 的值． 解：解方程 ｘ２－２ｘ－２＝０， 得 ｘ１ 槡＝ ３＋１，ｘ２ 槡＝－ ３＋１， ∵ｍ＞０，∴ｍ的值为槡３＋１， ｍ２－１ ｍ＋１＝（ｍ＋１）（ｍ－１） ｍ＋１ ＝ｍ－１， ∴当 ｍ 槡＝ ３＋１时，原式 槡 槡＝ ３＋１－１＝ ３． ２０．（本题满分 ８分）某垃圾分类试点小区对 ３月份该小区产生的四类垃圾（可回 收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾）的重量（单位：吨）进行统计，图①和图 ②是还未制作完整的统计图． 第 ２０题图 （１）根据图中信息，该小区 ３月份共产生多少吨垃圾？ （２）垃圾分类投放后，每吨厨余垃圾可生产 ０．３吨有机肥料，若该小区 ３月份 的厨余垃圾共生产 １０．８吨有机肥料，请将图②中的信息补充完整． 解：（１）１２÷２０％ ＝６０（吨）， 答：该小区 ３月份共产生 ６０吨垃圾； （２）补全统计图如解图所示： 第 ２０题解图 【解法提示】１０．８÷０．３＝３６（吨），∴厨余垃圾占总体的百分比为：３６÷６０× １００％ ＝６０％．其他垃圾占总体的百分比为 １－６０％ －２０％ －５％ ＝１５％． ２１．（本题满分 ８分）如图，在△ＡＢＣ中，点 Ｄ在 ＢＣ边上，ＢＤ＝ＡＤ＝ＡＣ，ＡＣ平 分∠ＤＡＥ． （１）设∠ＤＡＣ＝ｘ°，将△ＡＤＣ绕点 Ａ逆时针旋转 ｘ°，用直尺和圆规在图中画出 旋转后的三角形，记点 Ｃ的对应点为 Ｃ′；（保留作图痕迹） （２）在（１）的条件下，若∠Ｂ＝３０°，证明四边形 ＡＤＣＣ′是菱形． 第 ２１题图 　　　 第 ２１题解图 （１）解：如解图所示，△ＡＣＣ′即为所求． 【作法提示】以点 Ａ为圆心，ＡＣ长为半径画弧，与 ＡＥ交于 Ｃ′，连接 ＣＣ′， △ＡＣＣ′即为所求． （２）证明：∵∠Ｂ＝３０°，ＢＤ＝ＡＤ， ∴∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝３０°，即∠ＡＤＣ＝６０°， 又 ＡＤ＝ＡＣ，∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＣ＝６０°， ∴△ＡＤＣ为等边三角形， ∴ＡＤ＝ＡＣ＝ＣＤ， 由旋转可得 ＡＣ′＝ＡＣ，ＣＣ′＝ＣＤ， ∴ＡＤ＝ＣＤ＝ＣＣ′＝ＡＣ′， ∴四边形 ＡＤＣＣ′是菱形                                                                                                                                                     ． ９３ ２２．（本题满分 １０分）如果 Ｐ是正方形 ＡＢＣＤ内的一点，且满足∠ＡＰＢ＋∠ＤＰＣ＝ １８０°，那么称点 Ｐ是正方形 ＡＢＣＤ的“对补点”． （１）如图①，正方形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｍ，求证：点 Ｍ是正方形 ＡＢＣＤ的对补点； （２）如图②，在平面直角坐标系中，正方形 ＡＢＣＤ的顶点 Ａ（１，１），Ｃ（３，３），除 对角线交点外，请再写出一个该正方形的对补点的坐标，并证明． 第 ２２题图 （１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，且 ＡＣ、ＢＤ相交于点 Ｍ， ∴∠ＡＭＢ＝９０°，∠ＤＭＣ＝９０°，即∠ＡＭＢ＋∠ＤＭＣ＝１８０°， ∴点 Ｍ是正方形 ＡＢＣＤ的对补点； （２）解：Ｐ（３ ２，３ ２）． 证明：由 Ａ（１，１），Ｃ（３，３）可得 ＡＣ的解析式为 ｙ＝ｘ（１≤ｘ≤３）， ∴Ｐ（３ ２，３ ２）在 ＡＣ上， 由正方形的轴对称性可得∠ＡＰＤ＝∠ＡＰＢ， ∵∠ＡＰＤ＋∠ＤＰＣ＝１８０°， ∴∠ＡＰＢ＋∠ＤＰＣ＝１８０°， 即 Ｐ（３ ２，３ ２）为该正方形 ＡＢＣＤ的对补点． ２３．（本题满分 １１分）为节约能源，某市众多车主响应号召，将燃油汽车改装为天 然气汽车，某日上午 ７：００－８：００，燃气公司给该市城西加气站的储气罐加气， ８：００加气站开始为前来的车辆加气，储气罐内的天然气总量 ｙ（立方米）随加 气时间 ｘ（时）的变化而变化． （１）在 ７：００－８：００范围内，ｙ随 ｘ的变化情况如图所示，求 ｙ关于 ｘ的函数解 析式； （２）在 ８：００－１２：００范围内，ｙ的变化情况如下表所示，请写出一个符合表格 中数据的 ｙ关于 ｘ的函数解析式，依此函数解析式，判断上午 ９：０５到 ９：２０能 否完成加气 ９５０立方米的任务，并说明理由． 时刻 ８：００ ９：００ １０：００ １１：００ １２：００ ｙ（立方米） １５０００ ７５００ ５０００ ３７５０ ３０００ 　 　 　 第 ２３题图 解：（１）设 ｙ关于 ｘ的函数解析式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，由题图可知，图象过（０， ３０００），（１，１５０００），代入可得 ｋ＋ｂ＝１５０００ ｂ{ ＝３０００ ，解得 ｋ＝１２０００ ｂ{ ＝３０００， ∴ｙ关于 ｘ的函数解析式为 ｙ＝１２０００ｘ＋３０００（０≤ｘ≤１）； （２）函数解析式为 ｙ＝１５０００ ｘ （１≤ｘ≤５）． 验证如下： 当 ｘ＝１时，ｙ＝１５０００，即上午 ８：００，ｘ与 ｙ的值满足解析式． 同理，表格数据所对应的 ｘ与 ｙ的值都满足是解析式． 当上午 ９：０５即 ｘ＝２１ １２时，ｙ＝７２００立方米． 当上午 ９：２０即 ｘ＝２１ ３时，ｙ＝４５０００ ７ 立方米． ∵７２００－４５０００ ７ ＝５４００ ７ ， 又∵５４００ ７ ＜９５０， ∴上午 ９：０５到 ９：２０不能完成加气 ９５０立方米的任务． ２４．（本题满分 １１分）已知 ＡＢ是半圆 Ｏ的直径，点 Ｃ在半圆 Ｏ上． （１）如图①，若 ＡＣ＝３，∠ＣＡＢ＝３０°，求半圆 Ｏ的半径； （２）如图②，Ｍ是 ) ＢＣ的中点，Ｅ是直径 ＡＢ上一点，ＡＭ分别交 ＣＥ，ＢＣ于点 Ｆ， Ｄ，过点 Ｆ作 ＦＧ∥ＡＢ交 ＢＣ于点 Ｇ，若△ＡＣＥ与△ＣＥＢ相似，请探究以点 Ｄ 为圆心，ＧＢ长为半径的⊙Ｄ与直线 ＡＣ的位置关系，并说明理由． 第 ２４题图 解：（１）据题意可得∠Ｃ＝９０°， 又∵ＡＣ＝３，∠ＣＡＢ＝３０°， ∴ＡＢ＝ ＡＣ ｃｏｓ∠ＣＡＢ＝３×２ 槡３ 槡＝２ ３， ∴半圆 Ｏ的半径为槡３； （２）⊙Ｄ与直线 ＡＣ相切．理由如下： 由（１）得∠ＡＣＢ＝９０°， 如解图所示，∵∠ＡＥＣ＝∠ＥＣＢ＋∠６， ∴∠ＡＥＣ＞∠ＥＣＢ，∠ＡＥＣ＞∠６． ∵△ＡＣＥ与△ＣＥＢ相似， ∴∠ＡＥＣ＝∠ＣＥＢ＝９０°． 在 Ｒｔ△ＡＣＤ、Ｒｔ△ＡＥＦ中分别有∠１＋∠３＝９０°，∠２＋∠４＝９０°， ∵Ｍ是 ) ＢＣ的中点， ∴∠１＝∠２， ∴∠３＝∠４， ∵∠４＝∠５， ∴∠３＝∠５． ∴ＣＦ＝ＣＤ， 过点 Ｄ作 ＤＮ⊥ＡＢ于点 Ｎ． ∵∠１＝∠２，∠ＡＣＤ＝∠ＡＮＤ＝９０°， ∴ＣＤ＝ＤＮ， ∴ＣＦ＝ＤＮ． ∵ＦＧ∥ＡＢ， ∴∠ＣＧＦ＝∠６，∠ＣＦＧ＝∠ＣＥＢ＝９０°， ∴∠ＣＦＧ＝∠ＤＮＢ＝９０°， ∴△ＣＦＧ≌△ＤＮＢ． ∴ＣＧ＝ＤＢ． 在 Ｒｔ△ＤＮＢ中，ＤＢ＞ＤＮ． ∴ＤＢ＞ＣＤ， ∴点 Ｇ在线段 ＤＢ上， ∴ＣＧ－ＤＧ＝ＤＢ－ＤＧ， ∴ＣＤ＝ＧＢ． ∵ＣＤ⊥ＡＣ， ∴点 Ｄ到直线 ＡＣ的距离为线段 ＣＤ的长， ∴⊙Ｄ与直线 ＡＣ相切． 第 ２４题解图 ２５．（本题满分 １４分）已知抛物线 Ｃ：ｙ＝（ｘ＋２）［ｔ（ｘ＋１）－（ｘ＋３）］，其中 －７≤ｔ ≤ －２，且无论 ｔ取任何符合条件的实数，点 Ａ，Ｐ都在抛物线 Ｃ上． （１）当 ｔ＝－５时，求抛物线 Ｃ的对称轴； （２）当 －６０≤ｎ≤ －３０时，判断点（１，ｎ）是否在抛物线 Ｃ上，并说明理由； （３）如图，若点 Ａ在 ｘ轴上，过点 Ａ作线段 ＡＰ的垂线交 ｙ轴于点 Ｂ，交抛物线 Ｃ于点 Ｄ，当点 Ｄ的纵坐标为 ｍ＋１ ２时，求 Ｓ△ ＰＡＤ的最小值． 第 ２５题图 　　　 第 ２５题解图 解：（１）将 ｔ＝－５代入 ｙ＝（ｘ＋２）［ｔ（ｘ＋１）－（ｘ＋３）］， 得 ｙ＝（ｘ＋２）［－５（ｘ＋１）－（ｘ＋３）］， 化简得 ｙ＝－６ｘ２－２０ｘ－１６， ∵ －ｂ ２ａ＝－ －２０ －６×２＝－５ ３， ∴抛物线的对称轴为直线 ｘ＝－５ ３； （２）当 －６０≤ｎ≤ －３０时，点（１，ｎ）不在抛物线 Ｃ上．理由如下：将（１，ｎ）代 入 ｙ＝（ｘ＋２）［ｔ（ｘ＋１）－（ｘ＋３）］， 得 ｎ＝（１＋２）［ｔ（１＋１）－（１＋３）］， 化简得 ｎ＝６ｔ－１２； ∵ －７≤ｔ≤ －２， ∴ －５４≤ｎ≤ －２４． ∴当 －６０≤ｎ≤ －５４时，点（１，ｎ）不在抛物线 Ｃ上； （３）由题得 Ａ（－２，０），Ｐ（－１，－２）， 如解图，过点 Ｐ作 ＰＮ⊥ ｘ轴于点 Ｎ，可得 ＰＮ＝ＡＯ＝２，∠ＰＮＡ＝∠ＡＯＢ ＝９０°， ∵ＰＡ⊥ＡＢ                                                                                                                                                     ， ０４ ∴∠ＰＡＮ＋∠ＢＡＯ＝９０°． 又∵∠ＡＢＯ＋∠ＢＡＯ＝９０°， ∴∠ＰＡＮ＝∠ＡＢＯ， ∴△ＰＡＮ≌△ＡＢＯ， ∴ＢＯ＝１，ＰＡ＝ＡＢ 槡＝ ５． 过点 Ｄ作 ＤＭ⊥ｘ轴于点 Ｍ，可得∠ＤＭＡ＝∠ＢＯＡ＝９０°． 又∵∠ＤＡＭ＝∠ＢＡＯ， ∴△ＤＡＭ∽△ＢＡＯ， ∴ＡＤ ＡＢ＝ＤＭ ＢＯ． ∴ＡＤ 槡＝ ５｜ｍ＋１ ２｜， ∴Ｓ△ＰＡＤ ＝１ ２ＡＰ·ＡＤ＝５ ２｜ｍ＋１ ２｜． ∵Ａ（－２，０），Ｂ（０，１）， ∴直线 ＡＢ的解析式为 ｙ＝１ ２ｘ＋１． 当 ｙ＝ｍ＋１ ２时，ｘ＝２ｍ－１． 把点 Ｄ（２ｍ－１，ｍ＋１ ２）代入抛物线 Ｃ的解析式，得ｔ＝１＋５ ４ｍ， ∵ －７≤ｔ≤ －２， ∴ －５ １２≤ｍ≤ －５ ３２． ∴ｍ＋１ ２＞０． ∴Ｓ△ＰＡＤ ＝５ ２（ｍ＋１ ２）． ∵ ５ ２＞０， ∴Ｓ△ＰＡＤ随 ｍ的增大而增大， ∴当 ｍ取最小值 －５ １２时，Ｓ△ＰＡＤ的最小值为 ５ ２４                                                                                                                     ． １４ 　　　 　 ２０１７年福建省泉州市初中学业质量检查 数 学 试 题 （试卷满分：１５０分；考试时间：１２０分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 一、选择题：本大题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．下列各式正确的是 （　Ａ　） Ａ．－（－２０１７）＝２０１７ Ｂ．｜－２０１７｜＝±２０１７ Ｃ．２０１７０＝０ Ｄ．２０１７－１＝－２０１７ ２．计算（－２ａ２）３的结果是 （　Ｄ　） Ａ．－６ａ２ Ｂ．－８ａ５ Ｃ．８ａ５ Ｄ．－８ａ６ ３．某几何体如下左图所示，该几何体的右视图是 （　Ｄ　） 第 ３题图 　　　　　 ４．一个正多边形的边长为 ２，每个外角都为 ６０°，则这个多边形的周长是（　Ｂ　） Ａ．８ Ｂ．１２ Ｃ．１６ Ｄ．１８ ５．不等式组 ｘ－１≤０ －ｘ{ ＜２的整数解的个数为 （　Ｃ　） Ａ．０个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．无数个 ６．如图，ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ与 ＢＤ相交于点 Ｏ，要使它成为矩形，需再添加的 条件是 （　Ｂ　） Ａ．ＯＡ＝ＯＣ Ｂ．ＡＣ＝ＢＤ Ｃ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｄ．ＢＤ平分∠ＡＢＣ 第 ６题图 　　　 第 ７题图 ７．在学校演讲比赛中，１０名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的 是 （　Ｃ　） Ａ．最高分 ９０ Ｂ．众数是 ５ Ｃ．中位数是 ９０ Ｄ．平均分为 ８７．５ ８．如图，在△ＡＢＣ中，点 Ｄ，Ｅ分别是边 ＡＢ，ＡＣ上的点，且 ＤＥ∥ＢＣ，若ＡＤ ＤＢ＝１ ２，ＤＥ ＝３，则 ＢＣ的长度是 （　Ｃ　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０ 第 ８题图 ９．实数 ａ，ｂ，ｃ，ｄ在数轴上的对应点从左到右依次是 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，若 ｂ＋ｄ＝０，则 ａ ＋ｃ的值 （　Ａ　） Ａ．小于 ０　　Ｂ．等于 ０　　Ｃ．大于 ０　　Ｄ．与 ａ，ｂ，ｃ，ｄ的取值有关 １０．已知双曲线 ｙ＝ｋ ｘ经过点（ｍ，ｎ），（ｎ＋１，ｍ－１），（ｍ２－１，ｎ２－１），则 ｋ的值为 （　Ｄ　） Ａ．０或 ３ Ｂ．０或 －３ Ｃ．－３ Ｄ．３ 二、填空题：本大题共 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分．把答案填在答题卡的相应 位置． １１．已知 ｘ＝０是方程 ｘ２－５ｘ＋２ｍ－１＝０的解，则 ｍ的值是 １ ２． １２．分解因式：ｘ３－４ｘ＝ｘ（ｘ＋２）（ｘ－２）． １３．某口袋中装有 ２个红球和若干个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅匀后 从中摸出一个球恰为红球的概率是 １ ５，则袋中黄球的个数为８． １４．抛物线 ｙ＝ｘ２－６ｘ＋７的顶点坐标是（３，－２）． １５．在直角坐标系中，点 Ｍ（槡３，１）绕着原点 Ｏ顺时针旋转 ６０°后的对应点的坐标 是（槡３，－１）． １６．如图，在面积为 １６的四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＤ＝ＣＤ，ＤＰ⊥ ＡＢ于点 Ｐ，则 ＤＰ的长是４． 第 １６题图 三、解答题：本大题共 ９小题，共 ８６分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤．在答题卡的相应位置内作答． １７．（８分）先化简，再求值：ｘ（ｘ＋２）＋（ｘ－１）（ｘ＋１）－２ｘ，其中 ｘ 槡＝ ２． 解：原式 ＝ｘ２＋２ｘ＋ｘ２－１－２ｘ ＝２ｘ２－１， 当 ｘ 槡＝ ２时，原式 ＝２×（槡２）２－１＝４－１＝３． １８．（８分）解方程组：ｘ－ｙ＝１ ３ｘ＋ｙ{ ＝７． 解：ｘ－ｙ＝１① ３ｘ＋ｙ＝７{ ② ， ① ＋②得 ４ｘ＝８，∴ｘ＝２． 将 ｘ＝２代入①得 ｙ＝１． ∴该方程组的解为 ｘ＝２ ｙ{ ＝１． １９．（８分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＡＤ＝３，ＤＣ＝４，∠Ａ＝６０°，∠Ｄ＝１５０°， 试求 ＢＣ的长度． 第 １９题图 　　　　 第 １９题解图 解：如解图，连接 ＤＢ， ∵ＡＢ＝ＡＤ，∠Ａ＝６０°， ∴△ＡＢＤ是等边三角形， ∴ＢＤ＝ＡＤ＝３，∠ＡＤＢ＝６０°， 又∵∠ＡＤＣ＝１５０°， ∴∠ＣＤＢ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＢ＝１５０°－６０°＝９０°． ∵ＤＣ＝４， ∴ＢＣ＝ ＤＣ２＋ＤＢ槡 ２＝ ４２＋３槡 ２＝５． ２０．（８分）如图，Ｅ，Ｆ是ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ上的两点，ＡＥ＝ＣＦ，求证：ＤＦ＝ＢＥ． 第 ２０题图 证明：在ＡＢＣＤ中，ＣＤ∥ＡＢ，ＤＣ＝ＡＢ， ∴∠ＤＣＡ＝∠ＢＡＣ， 在△ＤＣＦ和△ＢＡＥ中， ＤＣ＝ＢＡ ∠ＤＣＡ＝∠ＢＡＣ ＣＦ＝{ ＡＥ ， ∴△ＤＣＦ≌△ＢＡＥ（ＳＡＳ）， ∴ＤＦ＝ＢＥ． ２１．（８分）某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成 绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统 计图．请根据有关信息解答： 第 ２１题图 （１）接受测评的学生共有８０人，扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆心角为 １３５°，并补全条形统计图； （２）若该校共有学生 １２００人，请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数； （３）测评成绩前五名的学生恰好是 ３个女生和 ２个男生，现从中随机抽取 ２ 人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到 １个男生和 １个女生 的概率． 解：（１）８０，１３５，补全条形统计图如解图①所示； 第 ２１题解图①                                                                                                                                                     ２４ 【解法提示】接受测评的学生共有 ２０÷２５％ ＝８０（人），安全知识达到“良” 的人数为 ８０－３０－２０－５＝２５（人），扇形统计图中“优”部分对应扇形的圆 心角为３０ ８０×３６０°＝１３５°． （２）该校对安全知识达到“良”程度的人数为： １２００×３０＋２５ ８０ ＝８２５（人）； （３）列表如下： 女１ 女２ 女３ 男１ 男２ 女１ ——— 女１女２ 女１女３ 女１男１ 女１男２ 女２ 女２女１ ——— 女２女３ 女２男１ 女２男２ 女３ 女３女１ 女３女２ ——— 女３男１ 女３男２ 男１ 男１女１ 男１女２ 男１女３ ——— 男１男２ 男２ 男２女１ 男２女２ 男２女３ 男２男１ ——— 所有等可能的结果为 ２０种，其中抽到一男一女的结果有 １２种， 所以 Ｐ（抽到 １男 １女）＝１２ ２０＝３ ５． 或画树状图如解图②： 第 ２１题解图② 所有等可能的结果为 ２０种，其中抽到一男一女的结果有 １２种， 所以 Ｐ（抽到 １男 １女）＝１２ ２０＝３ ５． ２２．（１０分）某学校在“校园读书节”活动中，购买甲、乙两种图书共 １００本作为奖 品，已知乙种图书的单价比甲种图书的单价高出 ５０％．同样用 ３６０元购买乙 种图书比购买甲图书少 ４本． （１）求甲、乙两种图书的单价各是多少元； （２）如果购买图书的总费用不超过 ３５００元，那么乙种图书最多能买多少本？ 解：（１）设甲种图书的单价是 ｘ元，则乙种图书的单价是 １．５ｘ元， 依题意得：３６０ ｘ －３６０ １．５ｘ＝４． 解得：ｘ＝３０， 经检验 ｘ＝３０是原方程的解，且 ｘ＝３０，１．５ｘ＝４５符合题意． 答：甲种图书的单价是 ３０元，乙种图书的单价是 ４５元． （２）设乙种图书能买 ｍ本， 依题意得：４５ｍ＋３０（１００－ｍ）≤３５００， 解得：ｍ≤１００ ３ ＝３３１ ３， 因为 ｍ是正整数，所以 ｍ最大值为 ３３， 答：乙种图书最多能买 ３３本． ２３．（１０分）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，Ｅ是边 ＡＤ的中 点，且 ＡＣ 槡＝ ５，ＤＣ＝１． （１）求证：ＡＢ＝ＤＥ； （２）求 ｔａｎ∠ＥＢＤ的值． 第 ２３题图 　　　 第 ２３题解图 （１）证明：在矩形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ＝９０°，ＡＢ＝ＤＣ＝１， ∵ＡＣ 槡＝ ５，ＤＣ＝１， ∴在 Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＡＤ＝ ＡＣ２－ＤＣ槡 ２＝ （槡５）２－１槡 ２＝２． ∵Ｅ是边 ＡＤ的中点， ∴ＡＥ＝ＤＥ＝１． 又∵ＡＢ＝１， ∴ＡＢ＝ＤＥ； （２）解：如解图，过点 Ｅ作 ＥＭ⊥ＢＤ于点 Ｍ， ∵ＢＤ＝ＡＣ 槡＝ ５， 在 Ｒｔ△ＤＥＭ和 Ｒｔ△ＤＢＡ中， ｓｉｎ∠ＡＤＢ＝ＥＭ ＥＤ＝ＢＡ ＢＤ，即ＥＭ １ ＝１ 槡５ ， 解得：ＥＭ＝槡５ ５， 又∵在 Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＢＥ＝ ＡＢ２＋ＡＥ槡 ２＝ １２＋１槡 ２ 槡＝ ２， ∴在 Ｒｔ△ＢＥＭ中，ＢＭ＝ ＢＥ２－ＥＭ槡 ２＝ （槡２）２－（槡５ ５）槡 ２＝ 槡３ ５ ５ ， ∴在 Ｒｔ△ＢＥＭ中，ｔａｎ∠ＥＢＤ＝ＥＭ ＢＭ＝ 槡５ ５ 槡３ ５ ５ ＝１ ３． ２４．（１３分）如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｆ为弦 ＡＣ的中点，连接 ＯＦ并延长交 ) ＡＣ于点 Ｄ，过点 Ｄ作 ＤＥ∥ＡＣ，交 ＢＡ的延长线于点 Ｅ，连接 ＡＤ，ＣＤ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若 ＯＡ＝ＡＥ＝２时， ①求图中阴影部分的面积； ②以 Ｏ为原点，ＡＢ所在的直线为 ｘ轴，直径 ＡＢ的垂直平分线为 ｙ轴，建立如 图所示的平面直角坐标系，试在线段 ＡＣ上求一点 Ｐ，使得直线 ＤＰ把阴影部 分的面积分成 １∶２的两部分． 第 ２４题图 　　 第 ２４题解图 （１）证明：如解图，连接 ＯＣ， ∵ＯＡ＝ＯＣ，Ｆ为 ＡＣ的中点， ∴ＯＤ⊥ＡＣ， 又∵ＤＥ∥ＡＣ， ∴ＯＤ⊥ＤＥ， ∵ＯＤ为⊙Ｏ的半径， ∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）解：①由（１）得 ＯＤ⊥ＤＥ， ∴∠ＥＤＯ＝９０°， ∵ＯＡ＝ＡＥ＝２， ∴ＯＡ＝ＯＤ＝ＡＤ＝２， ∴△ＡＯＤ是等边三角形， ∴∠ＡＯＤ＝∠ＤＡＯ＝６０°， ∴∠ＡＣＤ＝１ ２∠ＡＯＤ＝３０°， 又∵ＡＣ⊥ＯＤ， ∴∠ＣＡＯ＝∠ＣＡＤ＝３０°， ∴∠ＡＣＤ＝∠ＣＡＯ， ∴ＣＤ∥ＡＢ， ∴Ｓ△ＡＣＤ ＝Ｓ△ＯＣＤ， ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形 ＯＣＤ， ∵∠ＣＡＤ＝∠ＯＡＤ－∠ＯＡＣ＝６０°－３０°＝３０°， ∴∠ＣＯＤ＝２∠ＣＡＤ＝６０°， ∴Ｓ阴影 ＝６０π×２２ ３６０ ＝２ ３π； ②由已知得：Ａ（－２，０），Ｃ（１，槡３）， ∴直线 ＡＣ的表达式为 ｙ＝槡３ ３ｘ＋ 槡２ ３ ３ ， 如解图，过点 Ｐ１分别作 Ｐ１Ｍ⊥ｘ轴，Ｐ１Ｎ⊥ＡＤ，垂足分别为点 Ｍ，Ｎ， 由①得 ＡＣ平分∠ＯＡＤ， ∴Ｐ１Ｍ＝Ｐ１Ｎ， 设 Ｐ１（ｘ，槡３ ３ｘ＋ 槡２ ３ ３ ）（－２≤ｘ≤１）， Ｐ１Ｍ＝Ｐ１Ｎ＝槡３ ３ｘ＋ 槡２ ３ ３ ， ∵直线 ＤＰ１把阴影部分面积分成 １：２的两部分， 若 Ｓ△ＡＰ１Ｄ ＝１ ３Ｓ阴影 ， 即 １ ２×２·（槡３ ３ｘ＋ 槡２ ３ ３ ）＝１ ３×２ ３π， 解得 ｘ＝ 槡２ ３π－１８ ９ ，此时 Ｐ１（ 槡２ ３π－１８ ９ ，２π ９）， 若 Ｓ△ＡＰ２Ｄ ＝２ ３Ｓ阴影 ，同理可求得 Ｐ２（ 槡４ ３π－１８ ９ ，４π ９）， 综上所述：满足条件的点 Ｐ的坐标为（ 槡２ ３π－１８ ９ ，２π ９）和（ 槡４ ３π－１８ ９ ，４π ９）． ２５．（１３分）如图，在直角坐标系中，抛物线 ｙ＝－ｘ２ ＋ｂｘ＋２与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两 点，与直线 ｙ＝２ｘ交于点 Ｍ（１，ｍ）． （１）求 ｍ，ｂ的值； （２）已知点 Ｎ，点 Ｍ关于原点 Ｏ对称，现将线段 ＭＮ沿 ｙ轴向上平移 ｓ（ｓ＞０） 个单位长度．若线段 ＭＮ与抛物线有两个不同的公共点，试求 ｓ的取值范围； （３）利用尺规作图，在该抛物线上作出点 Ｇ，使得∠ＡＧＯ＝∠ＢＧＯ，并简要说明 理由．（保留作图痕迹） 第 ２５题图                                                                                                                                                     ３４ 解：（１）把 Ｍ（１，ｍ）代入 ｙ＝２ｘ得 ｍ＝２×１＝２， 把 Ｍ（１，２）代入 ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋２得 ２＝－１２＋ｂ＋２，即 ｂ＝１； （２）由（１）得 ｙ＝－ｘ２＋ｘ＋２，Ｍ（１，２）， ∵点 Ｎ，点 Ｍ关于原点 Ｏ对称，∴Ｎ（－１，－２）， 如解图①，过点 Ｎ作 ＣＮ⊥ｘ轴，交抛物线于 Ｃ，则 Ｃ的横坐标为 －１， ∴Ｃ的纵坐标为 －（－１）２＋（－１）＋２＝０， 第 ２５题解图① 所以 Ｃ（－１，０）与点 Ａ重合， 则 ＣＮ＝ＡＮ＝２，即当 ｓ＝２时线段 ＭＮ与抛物线有两个公共点， 设平移后的直线表达式为 ｙ＝２ｘ＋ｓ， 由 ｙ＝２ｘ＋ｓ ｙ＝－ｘ２＋ｘ{ ＋２ 得 ｘ２＋ｘ＋ｓ－２＝０， 由 Δ＝１２－４（ｓ－２）＝０，得 ｓ＝９ ４， 即当 ｓ＝９ ４时，线段 ＭＮ与抛物线只有一个公共点， 所以，当线段 ＭＮ与抛物线有两个公共点时，ｓ的取值范围为 ２≤ｓ＜９ ４； （３）如解图②，在 ｘ轴上取一点 Ｐ（－２，０），以 Ｐ为圆心，ＯＰ为半径作圆， ⊙Ｐ与抛物线的交点，即是所求作的点 Ｇ（解图②中的 Ｇ与 Ｇ′）， 理由： 第 ２５题解图② 当点 Ｇ在 ｘ轴上方时，由作图可知，ＰＧ＝２，ＰＡ＝１，ＰＢ＝４， 则ＰＡ ＰＧ＝ＰＧ ＰＢ＝１ ２， ∵∠ＧＰＡ＝∠ＢＰＧ， ∴△ＧＰＡ∽△ＢＰＧ， ∴∠ＰＢＧ＝∠ＰＧＡ， ∵ＧＰ＝ＰＯ， ∴∠ＰＯＧ＝∠ＰＧＯ， 又∵∠ＰＯＧ＝∠ＰＢＧ＋∠ＯＧＢ， ∠ＰＧＯ＝∠ＰＧＡ＋∠ＡＧＯ， ∴∠ＡＧＯ＝∠ＢＧＯ， 同理可证：当点 Ｇ′在 ｘ轴的下方时，结论也成立                                                                                                                                                ． ４４ 　　　 　 ２０１７年漳州市初中毕业班质量检测 数 学 试 题 （满分 １５０分；时间 １２０分钟） 一、选择题（共 １０小题，每小题 ４分，满分 ４０分，每题只有一个正确的选项，请在 答题卡的相应位置填涂） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图，点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在数轴上，其中表示互为相反数的点是 （　Ａ　） Ａ．点 Ａ与点 Ｄ　Ｂ．点 Ｂ与点 Ｄ 　Ｃ．点 Ａ与点 Ｃ 　Ｄ．点 Ｂ与点 Ｃ 第 １题图 ２．如图，一个水平放置的六棱柱，这个六棱柱的左视图是 （　Ｂ　） 第 ２题图 　　　 ３．ａ６可以表示为 （　Ｂ　） Ａ．ａ３·ａ２ Ｂ．（ａ２）３ Ｃ．ａ１２÷ａ２ Ｄ．ａ７－ａ ４．下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （　Ｄ　） ５．若 －１ ２ａ≥ｂ，则 ａ≤ －２ｂ，其根据是 （　Ｃ　） Ａ．不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变 Ｂ．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 Ｃ．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 Ｄ．以上答案均不对 ６．若一组数据 ３，ｘ，４，５，６的众数是 ５，则这组数据的中位数是 （　Ｃ　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ７．２０１６年漳州市生产总值突破 ３０００亿元，数字 ３０００亿用科学记数法表示为 （　Ｄ　） Ａ．３×１０１２ Ｂ．３０×１０１１ Ｃ．０．３×１０１１ Ｄ．３×１０１１ ８．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝３，ＡＣ＝４，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ，ＢＣ的中点，以下 结论错误的是 （　Ｂ　） Ａ．△ＡＢＣ是直角三角形 Ｂ．ＡＦ是△ＡＢＣ的中位线 Ｃ．ＥＦ是△ＡＢＣ的中位线 Ｄ．△ＢＥＦ的周长是 ６ 第 ８题图 　　　　　　　 第 ９题图 ９．如图，点 Ｏ是△ＡＢＣ外接圆的圆心，若⊙Ｏ的半径为 ５，∠Ａ＝４５°，则 ) ＢＣ的长是 （　Ｄ　） Ａ．５ ８π Ｂ．２５ ４π Ｃ．５ ４π Ｄ．５ ２π １０．如图①，在矩形 ＡＢＣＤ中，动点 Ｐ从点 Ｂ出发，沿 ＢＣ→ＣＤ→ＤＡ运动至点 Ａ停 止．设点 Ｐ运动的路程为 ｘ，△ＡＢＰ的面积为 ｙ，ｙ关于 ｘ的函数图象如图②所 示，则 ｍ的值是 （　Ｃ　） 第 １０题图 Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１１ Ｄ．１６ 二、填空题（共 ６小题，每小题 ４分，满分 ２４分．请将答案填入答题卡的相应位置） １１．分解因式：ｘ３－４ｘ２ｙ＋４ｘｙ２＝ｘ（ｘ－２ｙ）２． １２．正 ｎ边形的一个内角等于 １３５°，则边数 ｎ的值为８． １３．在一个不透明的布袋中装有 ４个红球和 ａ个白球，它们除颜色不同外，其余 均相同，若从中随机摸出一球，摸到红球的概率是 ２ ５，则 ａ的值是６． 第 １４题图 １４．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，将△ＡＣＤ沿 ＣＤ折叠， 使点 Ａ恰好落在 ＢＣ边上的点 Ｅ处，若∠Ｂ＝２５°，则 ∠ＢＤＥ＝４０度． １５．若实数 ａ满足 ａ２ －２ａ－１＝０，则 ２ａ２ －４ａ＋２０１５的值 是２０１７． １６．定义：式子 １－１ ａ（ａ≠０）叫做 ａ的影子数．如：３的影子数是 １－１ ３＝２ ３，已知 ａ１＝－１ ２，ａ２是 ａ１的影子数，ａ３是 ａ２的影子数，…，依此类推，则 ａ２０１７的值 是 －１ ２． 三、解答题（共 ９题，满分 ８６分，请在答题卡的相应位置解答） １７．（满分 ８分）计算：槡｜３－２｜＋３ｔａｎ３０°＋２－２． 解：原式 槡＝２－ ３＋３×槡３ ３＋１ ４ ＝９ ４． １８．（满分 ８分）先化简，再求值：（１－ ｘ ｘ＋１）÷ ｘ ｘ＋１，其中 ｘ＝２． 解：解法一：原式 ＝ｘ＋１－ｘ ｘ＋１ ÷ ｘ ｘ＋１． ＝ １ ｘ＋１·ｘ＋１ ｘ ＝１ ｘ． 解法二：原式 ＝（１－ ｘ ｘ＋１）·ｘ＋１ ｘ ＝ｘ＋１ ｘ －１ ＝１＋１ ｘ－１ ＝１ ｘ． 当 ｘ＝２时，原式 ＝１ ２． １９．（满分 ８分）如图，在 ８×８的正方形网格中，△ＡＢＣ的顶点和线段 ＥＦ的端点 都在边长为 １的小正方形的格点上，请你在图中找出一点 Ｄ（仅一点即可）， 连接 ＤＥ，ＤＦ，使△ＤＥＦ与△ＡＢＣ全等，并给予证明． 第 １９题图 解法一：如解图①或解图②的点 Ｄ，连接 ＤＥ，ＤＦ． 证明：∵在△ＤＥＦ中，ＤＥ＝ ２２＋１槡 ２ 槡＝ ５，ＤＦ＝ ３２＋２槡 ２ 槡＝ １３，ＥＦ＝２． 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ２２＋１槡 ２ 槡＝ ５，ＡＣ＝ ３２＋２槡 ２ 槡＝ １３，ＢＣ＝２． ∴ＤＥ＝ＡＢ，ＤＦ＝ＡＣ，ＥＦ＝ＢＣ． ∴△ＤＥＦ≌△ＡＢＣ（ＳＳＳ）． 解法二：如解图③或解图④的点 Ｄ，连接 ＤＥ，ＤＦ． 证明：∵在△ＤＥＦ中，ＤＦ＝ ２２＋１槡 ２ 槡＝ ５，ＤＥ＝ ３２＋２槡 ２ 槡＝ １３，ＥＦ＝２． 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ２２＋１槡 ２ 槡＝ ５，ＡＣ＝ ３２＋２槡 ２ 槡＝ １３，ＢＣ＝２． ∴ＤＦ＝ＡＢ，ＤＥ＝ＡＣ，ＥＦ＝ＢＣ． ∴△ＤＦＥ≌△ＡＢＣ（ＳＳＳ）． 第 １９题解图 （说明：作图正确给 ２分．） ２０．（满分 ８分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，且 ＯＢ＝ ＯＤ．点 Ｅ在线段 ＯＡ上，连接 ＢＥ，ＤＥ．给出下列条件：①ＯＣ＝ＯＥ；②ＡＢ＝ＡＤ； ③ＢＣ⊥ＣＤ；④∠ＣＢＤ＝∠ＥＢＤ．请你从中选择两个条件，使四边形 ＢＣＤＥ是 菱形，并给予证明． 你选择的条件是：①②（只填写序号）． 第 ２０题图                                                                                                                                                     ５４ 解：方法一：选①②． ∵ＯＢ＝ＯＤ，ＯＣ＝ＯＥ． ∴四边形 ＢＣＤＥ是平行四边形． ∵ＡＢ＝ＡＤ，ＯＢ＝ＯＤ， ∴ＡＯ⊥ＢＤ，即 ＥＣ⊥ＢＤ． ∴平行四边形 ＢＣＤＥ是菱形． 方法二：选①④． ∵ＯＢ＝ＯＤ，ＯＣ＝ＯＥ， ∴四边形 ＢＣＤＥ是平行四边形． ∴ＢＣ∥ＤＥ． ∴∠ＣＢＤ＝∠ＢＤＥ． ∵∠ＣＢＤ＝∠ＥＢＤ， ∴∠ＢＤＥ＝∠ＥＢＤ． ∴ＢＥ＝ＤＥ． ∴平行四边形 ＢＣＤＥ是菱形． 方法三：选②④． 解法一：∵ＡＢ＝ＡＤ，ＯＢ＝ＯＤ， ∴ＡＯ⊥ＢＤ，即 ＥＣ⊥ＢＤ． ∴∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＥ＝９０°． ∵∠ＣＢＤ＝∠ＥＢＤ，ＢＯ＝ＢＯ， ∴△ＢＯＣ≌△ＢＯＥ． ∴ＯＥ＝ＯＣ． 又∵ＯＢ＝ＯＤ， ∴四边形 ＢＣＤＥ是平行四边形． 又∵ＥＣ⊥ＢＤ， ∴平行四边形 ＢＣＤＥ是菱形． 解法二：∵ＡＢ＝ＡＤ，ＯＢ＝ＯＤ， ∴ＡＯ⊥ＢＤ，即 ＥＣ⊥ＢＤ． ∴ＥＣ垂直平分 ＢＤ． ∴ＢＥ＝ＤＥ，ＢＣ＝ＤＣ． ∵∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＥ＝９０°，∠ＣＢＤ＝∠ＥＢＤ，ＢＯ＝ＢＯ， ∴△ＢＯＣ≌△ＢＯＥ． ∴ＢＥ＝ＢＣ． ∴ＢＥ＝ＤＥ＝ＢＣ＝ＤＣ． ∴四边形 ＢＣＤＥ是菱形． 备注：选①③或②③或③④结论不成立． ２１．（满分 ８分）为了落实漳州市教育局关于全市中小学生每天阅读 １小时的文 件精神．某校对七年级（３）班全体学生一周到图书馆的次数做了调查统计，以 下是调查过程中绘制的还不完整的两个统计图表．请你根据统计图表的信 息，解答下列问题： （１）求图表中 ｍ，ｎ的值； （２）该年级学生共有 ３００人，估计这周到图书馆的次数为“４次及以上”的学 生大约有多少人？ 　　　　　　　　七年级（３）班学生到图书馆的次数统计表 到图书馆的次数 ０次 １次 ２次 ３次 ４次及以上 人数 ５ １０ ｍ ８ １２ 第 ２１题图 解：（１）该班学生总数为：１０÷２０％ ＝５０（人）， 则 ｍ＝５０－５－１０－８－１２＝１５， ｎ＝８ ５０×１００＝１６； （２）∵该班学生一周到图书馆的次数为 “４次及以上”的占１２ ５０×１００％ ＝２４％， ∴３００×２４％ ＝７２（人）， ∴该年级这周到图书馆的次数为“４次及以上”的学生大约有 ７２人． ２２．（满分 １０分）如图，直线 ｙ１＝ｋｘ＋２与反比例函数 ｙ２＝３ ｘ的图象交于点 Ａ（ｍ， ３），与坐标轴分别交于 Ｂ，Ｃ两点． （１）若 ｙ１＞ｙ２＞０，求自变量 ｘ的取值范围； （２）动点 Ｐ（ｎ，０）在 ｘ轴上运动，当 ｎ为何值时，｜ＰＡ－ＰＣ｜的值最大？并求最 大值． 第 ２２题图 　　　 第 ２２题解图 解：（１）∵点 Ａ（ｍ，３）在反比例函数 ｙ２＝３ ｘ的图象上， ∴ ３ ｍ＝３ 解得：ｍ＝１， ∴Ａ（１，３）， ∴当 ｙ１＞ｙ２＞０时，ｘ＞１； （２）当 Ｐ，Ａ，Ｃ三点不在同一直线上时，由三角形的三边关系可知，｜ＰＡ－ＰＣ ｜＜ＡＣ，仅当 Ｐ，Ａ，Ｃ三点在同一直线上，即点 Ｐ与点 Ｂ重合时，｜ＰＡ－ＰＣ｜的 最大值为 ＡＣ的长， 把 Ａ（１，３）代入 ｙ１＝ｋｘ＋２，得 ｋ＝１， ∴直线的解析式为 ｙ１＝ｘ＋２， 当 ｘ＝０时，ｙ＝２，∴Ｃ（０，２）， 当 ｙ１＝０时，ｘ＝－２， ∴Ｂ（－２，０），即 Ｐ（－２，０）； 解法一：如解图①，作 ＡＤ⊥ｘ轴于点 Ｄ，在 Ｒｔ△ＰＡＤ中，ＰＡ＝ ３２＋３槡 ２ ＝ 槡３ ２． 在 Ｒｔ△ＰＯＣ中，ＰＣ＝ ２２＋２槡 ２ 槡＝２ ２． ∴ＡＣ＝ＰＡ－ＰＣ 槡 槡 槡＝３ ２－２ ２＝ ２． ∴当 ｎ＝－２时，｜ＰＡ－ＰＣ｜的值最大，最大值为槡２． 解法二：如解图②，作 ＡＤ⊥ｘ轴于点 Ｄ，作 ＣＥ⊥ＡＤ于点 Ｅ， 则 ＡＥ＝ＣＥ＝１． 在 Ｒｔ△ＡＣＥ中，ＡＣ＝ １２＋１槡 ２ 槡＝ ２． ∴当 ｎ＝－２时，｜ＰＡ－ＰＣ｜的值最大，最大值为槡２． ２３．（满分 １０分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，以 ＢＣ边为直径作⊙Ｏ交 ＡＢ边于点 Ｄ，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ． （１）求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若⊙Ｏ的半径等于 ３ ２，ｃｏｓＢ＝１ ３，求线段 ＤＥ的长． 第 ２３题图 　　　 第 ２３题解图 （１）证明：如解图，连接 ＯＤ， ∵ＡＣ＝ＢＣ， ∴∠Ａ＝∠Ｂ． ∵ＯＢ＝ＯＤ， ∴∠Ｂ＝∠ＯＤＢ． ∴∠Ａ＝∠ＯＤＢ， ∴ＯＤ∥ＡＣ． ∵ＤＥ⊥ＡＣ， ∴ＤＥ⊥ＯＤ． 又∵ＯＤ为⊙Ｏ的半径， ∴ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）解：如解图，连接 ＣＤ， ∵⊙Ｏ的半径等于 ３ ２， ∴ＢＣ＝３，∠ＣＤＢ＝９０°． ∵在 Ｒｔ△ＣＤＢ中，ｃｏｓＢ＝ＢＤ ＢＣ＝１ ３， ∴ＢＤ＝１ ３ＢＣ＝１． ＣＤ＝ ＢＣ２－ＢＤ槡 ２＝ ３２－１槡 ２ 槡＝２ ２． ∵ＡＣ＝ＢＣ＝３，∠ＣＤＢ＝９０°， ∴ＡＤ＝ＢＤ＝１． 解法一：在 Ｒｔ△ＡＤＣ中， ∵Ｓ△ＡＤＣ ＝１ ２ＡＤ·ＣＤ，Ｓ△ＡＤＣ ＝１ ２ＡＣ·ＤＥ， ∴ １ ２ＡＤ·ＣＤ＝１ ２ＡＣ·ＤＥ． ∴ＤＥ＝ＡＤ·ＣＤ ＡＣ ＝ 槡１×２ ２ ３ ＝ 槡２ ２ ３ ． 解法二：∵∠Ａ＝∠Ａ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＥＤ＝９０°， ∴△ＡＣＤ∽△                                                                                                                                                     ＡＤＥ． ６４ ∴ＡＣ ＡＤ＝ＣＤ ＤＥ ∴ＤＥ＝ＡＤ·ＣＤ ＡＣ ＝ 槡１×２ ２ ３ ＝ 槡２ ２ ３ ． （其它解法酌情给分） ２４．（满分 １２分）如图，已知抛物线 ｙ＝ｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ与直线 ｙ＝－ｘ＋３相交于坐标 轴上的 Ａ，Ｂ两点，顶点为 Ｃ． （１）填空：ｂ＝－４，ｃ＝３； （２）将直线 ＡＢ向下平移 ｈ个单位长度，得直线 ＥＦ．当 ｈ为何值时，直线 ＥＦ 与抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ没有交点？ （３）直线 ｘ＝ｍ与△ＡＢＣ的边 ＡＢ，ＡＣ分别交于点 Ｍ，Ｎ．当直线 ｘ＝ｍ把△ＡＢＣ 的面积分为 １∶２两部分时，求 ｍ的值． 第 ２４题图 　　　 第 ２４题解图 解：（１）－４，３； 【解法提示】∵点 Ａ，Ｂ分别是抛物线与 ｙ轴、ｘ轴的交点，分别令直线 ｙ＝－ｘ ＋３中 ｘ，ｙ等于 ０，则 Ａ点的纵坐标为 ３，横坐标为 ３，将点 Ａ（０，３）、Ｂ（３，０） 代入抛物线 ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ中得，ｂ＝－４，ｃ＝３． （２）∵直线 ＡＢ向下平移 ｈ个单位长度，得直线 ＥＦ， ∴可设直线 ＥＦ的解析式为 ｙ＝－ｘ＋３－ｈ． ∴ ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３ ｙ＝－ｘ＋３－{ ｈ， ∴ｘ２－４ｘ＋３＝－ｘ＋３－ｈ． 整理得：ｘ２－３ｘ＋ｈ＝０． ∵直线 ＥＦ与抛物线没有交点， ∴Δ＝（－３）２－４×１×ｈ＝９－４ｈ＜０， 即 ｈ＞９ ４． ∴当 ｈ＞９ ４时，直线 ＥＦ与抛物线没有交点． （３）在直线 ＡＢ：ｙ＝－ｘ＋３中，令 ｘ＝０，则 ｙ＝３；令 ｙ＝０，则 ｘ＝３，∴Ａ（０，３）， Ｂ（３，０）． ∵抛物线 ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３的顶点 Ｃ（２，－１）， 设直线 ＡＣ的解析式为 ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１（ｋ１≠０）． 则 ｂ１＝３ ２ｋ１＋ｂ１ { ＝－１ ，解得 ｋ１＝－２， ｂ１＝３{ ， ∴直线 ＡＣ的解析式为 ｙ＝－２ｘ＋３． 如解图，设直线 ＡＣ交 ｘ轴于点 Ｄ，则 Ｄ（３ ２，０），ＢＤ＝３ ２． ∴Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＤ ＋Ｓ△ＢＣＤ ＝１ ２×３ ２×３＋１ ２×３ ２×１＝３． ∵直线 ｘ＝ｍ与线段 ＡＢ、ＡＣ分别交于 Ｍ，Ｎ两点，则０≤ｍ≤２， ∴Ｍ（ｍ，－ｍ＋３），Ｎ（ｍ，－２ｍ＋３）， ∴ＭＮ＝（－ｍ＋３）－（－２ｍ＋３）＝ｍ． ∴Ｓ△ＡＭＮ ＝１ ２ｍ２， ∵直线 ｘ＝ｍ把△ＡＢＣ的面积分为 １∶２两部分， ∴分两种情况讨论： ①当Ｓ△ＡＭＮ Ｓ△ＡＢＣ＝１ ３时，即 １ ２ｍ２ ３ ＝１ ３，解得 ｍ 槡＝± ２． ②当Ｓ△ＡＭＮ Ｓ△ＡＢＣ＝２ ３时，即 １ ２ｍ２ ３ ＝２ ３，解得 ｍ＝±２． ∵０≤ｍ≤２， ∴ｍ 槡＝ ２或 ｍ＝２． ∴当 ｍ 槡＝ ２或 ２时，直线 ｘ＝ｍ把△ＡＢＣ的面积分为１∶２两部分． ２５．（满分 １４分）操作与探究 综合实践课，老师把一个足够大的等腰直角三角尺 ＡＭＮ靠在一个正方形纸 片 ＡＢＣＤ的一侧，使边 ＡＭ与 ＡＤ在同一直线上（如图①），其中∠ＡＭＮ＝９０°， ＡＭ＝ＭＮ． （１）猜想发现 　　老师将三角尺 ＡＭＮ绕点 Ａ逆时针旋转 α．如图②，当 ０＜α＜４５°时，边 ＡＭ，ＡＮ分别与直线 ＢＣ，ＣＤ交于点 Ｅ，Ｆ，连接 ＥＦ．小明同学探究发现，线段 ＥＦ，ＢＥ，ＤＦ满足 ＥＦ＝ＢＥ－ＤＦ；如图③，当 ４５°＜α＜９０°时，其它条件不变． ①填空：∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＥ＝４５度； ②猜想：线段 ＥＦ，ＢＥ，ＤＦ三者之间的数量关系是：ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ； （２）证明你的猜想； （３）拓展探究 在 ４５°＜α＜９０°的情形下，连接 ＢＤ，分别交 ＡＭ，ＡＮ于点 Ｇ，Ｈ，如图④，连接 ＥＨ，试证明：ＥＨ⊥ＡＮ． 图① 　 图② 图③ 　 图④ 第 ２５题图 解：（１）① ４５， ②ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ； 第 ２５题解图① （２）证明：如解图①，延长 ＣＢ至点 Ｋ，使 ＢＫ＝ＤＦ，连接 ＡＫ． ∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＡＤ，∠ＡＢＫ＝∠Ｄ＝９０°， ∴△ＡＢＫ≌△ＡＤＦ． ∴ＡＫ＝ＡＦ，∠ＢＡＫ＝∠ＤＡＦ． ∵∠ＤＡＦ＋∠ＢＡＥ＝４５°， ∴∠ＥＡＫ＝∠ＢＡＫ＋∠ＢＡＥ＝４５°， ∴∠ＥＡＦ＝∠ＥＡＫ， ∵ＡＥ是公共边， ∴△ＡＥＦ≌△ＡＥＫ． ∴ＥＦ＝ＥＫ， ∴ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ； 第 ２５题解图② （３）证明：如解图②，连接 ＡＣ， ∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＡＣＥ＝∠ＡＤＨ＝∠ＣＡＤ＝４５°． ∵∠ＥＡＦ＝４５°， ∴∠ＥＡＦ＝∠ＣＡＤ＝４５°， ∴∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＨ， ∴△ＡＤＨ∽△ＡＣＥ， ∴ＡＤ ＡＣ＝ＡＨ ＡＥ， ∴ＡＤ ＡＨ＝ＡＣ ＡＥ， 又∵∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＦ＝４５°， ∴△ＡＤＣ∽△ＡＨＥ． ∴∠ＡＤＣ＝∠ＡＨＥ＝９０°． ∴ＥＨ⊥                                                                                                                                             ＡＮ． ７４ 　　　 　 ２０１７莆田市初中毕业班质量检查试卷 数 学 试 题 （满分：１５０分；考试时间：１２０分钟） 友情提醒：本试卷为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事 项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题（本大题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．８的立方根是 （　Ａ　） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．４ Ｄ．－４ ２．ｘ７可以表示为 （　Ｂ　） Ａ．ｘ３＋ｘ４ Ｂ．ｘ３·ｘ４ Ｃ．ｘ１４÷ｘ２ Ｄ．（ｘ３）４ ３．下面几何体的左视图是 （　Ｃ　） 　　　　　　 ４．下列图形中，内角和为 ５４０°的多边形是 （　Ｃ　） ５．下列图形中对称轴最多的是 （　Ｄ　） Ａ．线段 Ｂ．等边三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．正方形 ６．关于 ｘ的方程 ｘ２＋２ｘ＋ｃ＝０有两个相等的实数根，则 ｃ的值是 （　Ａ　） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．２ Ｄ．－２ ７．平行四边形一边长为 １２ｃｍ，那么两条对角线的长度可以是 （　Ｂ　） Ａ．８ｃｍ和 １６ｃｍ Ｂ．１０ｃｍ和 １６ｃｍ Ｃ．８ｃｍ和 １４ｃｍ Ｄ．１０ｃｍ和 １２ｃｍ ８．一组数据：ａ－１，ａ，ａ，ａ＋１，若添加一个数据 ａ，则下列说法错误的是 （　Ｄ　） Ａ．平均数不变 Ｂ．中位数不变 Ｃ．众数不变 Ｄ．方差不变 ９．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形网格构成，向游戏板随机投中一 枚飞镖，击中黑色区域的概率是 （　Ｂ　） Ａ．１ ２ Ｂ．３ ８ Ｃ．１ ４ Ｄ．１ ３ 第 ９题图 　　　　 第 １０题图 １０．如图，在平面直角坐标系中，点 Ａ在函数 ｙ＝３ ｘ（ｘ＞０）的图象上，点 Ｂ在函数 ｙ＝ｋ ｘ（ｘ＜０）的图象上，ＡＢ⊥ｙ轴于点 Ｃ．若 ＡＣ＝３ＢＣ，则 ｋ的值为 （　Ａ　） Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－２ Ｄ．２ 二、填空题（本大题共 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分．把答案填在答题卡上的相应 位置） １１．分解因式：ｘ２－２ｘ＋１＝（ｘ－１）２． １２．在平面直角坐标系中，Ｏ为坐标原点，点 Ａ的坐标为（－３，１），将 ＯＡ绕点 Ｏ 顺时针旋转 ９０°得到 ＯＡ′，则点 Ａ′的坐标为（１，３）． １３．如图，已知 ＡＢ∥ＣＤ，∠Ａ＝４９°，∠Ｃ＝２９°，则∠Ｅ的度数为２０°． 第 １３题图 　　　　　　　 第 １４题图 １４．如图，在直角三角尺 ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，把直角三角尺 ＡＢＣ放置在圆上，ＡＢ 经过圆心 Ｏ，ＡＣ与⊙Ｏ相交于 Ｄ，Ｅ两点，点 Ｃ，Ｄ，Ｅ的刻度分别是 ０ｃｍ，２ ｃｍ，５ｃｍ，ＢＣ与⊙Ｏ相切于 Ｆ点，那么⊙Ｏ的半径是３．５ｃｍ． １５．已知 ｙ是 ｘ的二次函数，ｙ与 ｘ的部分对应值如下表： ｘ … －１ ０ １ ２ … ｙ … ０ ３ ４ ３ … 该二次函数图象向左平移３个单位长度，图象经过原点． １６．甲、乙、丙三位同学被问到是否参加 Ａ，Ｂ，Ｃ三个志愿者活动， 甲说：“我参加的活动比乙多，但没参加过 Ｂ活动．” 乙说：“我没参加过 Ｃ活动．” 丙说：“我们三人参加过同一个活动．” 由此可判断乙参加的活动为Ａ．（填“Ａ”，“Ｂ”或“Ｃ”） 三、解答题（本大题共 ９小题，共 ８６分．解答应写出必要的文字说明、证明过程、正 确作图或演算步骤） １７．（８分）计算：（１ ２）－１＋｜ｓｉｎ３０° 槡－１｜－ ４． 解：原式 ＝２＋１ ２－２ ＝１ ２． １８．（８分）解方程：ｘ－１ ｘ－２＋ ２ ２－ｘ＝２． 解：去分母，得：ｘ－１－２＝２（ｘ－２）， 解得：ｘ＝１， 经检验 ｘ＝１是原方程的解， 所以，原分式方程的解为 ｘ＝１． 第 １９题图 １９．（８分）如图，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，点 Ｅ，Ｆ在对角 线 ＡＣ上，且 ＡＥ＝ＣＦ，∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ．不添加字母及辅 助线，写出图中两对全等三角形，并选一对进行证明． 解：△ＡＥＤ≌ △ＣＦＢ；△ＡＢＦ≌ △ＣＤＥ；△ＡＢＣ≌ △ＣＤＡ； （共 ４分，每写出一对得 ２分） ①△ＡＥＤ≌△ＣＦＢ，证明如下： ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＢ， 又∵∠ＣＢＦ＝∠ＡＤＥ，且 ＡＥ＝ＣＦ， ∴△ＡＥＤ≌△ＣＦＢ； ②△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ，证明如下： 由①得：△ＡＥＤ≌△ＣＦＢ， ∴ＤＥ＝ＢＦ，∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＢ． ∴∠ＤＥＣ＝∠ＢＦＡ． 又∵ＡＥ＝ＣＦ， ∴ＡＦ＝ＣＥ． ∴△ＡＢＦ≌△ＣＤＥ； ③△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ，证明如下： 由①得：△ＡＥＤ≌△ＣＦＢ， ∴ＡＤ＝ＣＢ，∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＢ． 又∵ＡＣ＝ＡＣ， ∴△ＡＢＣ≌△ＣＤＡ． ２０．（８分）为了响应市政府“创建文明城市，建设美丽莆田”的号召，某街道决定 从备选的五种树中选购一种进行栽种．工作人员在街道辖区范围内随机抽取 了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树）， 并将调查结果整理后，绘制成下列两个不完整的统计图： 第 ２０题图 请根据所给信息解答以下问题： （１）这次参与调查的居民人数为２００人； （２）扇形统计图中，“枫树”所在扇形的圆心角度数为３６°； （３）已知该街道辖区内现有居民 ３万人，请你估计这 ３万人中喜欢玉兰树的 有多少人？ 解：（１）２００； 【解法提示】这次参与调查的居民人数有 ７５ ３７．５％ ＝２００（人）； （２）３６°； 【解法提示】３６０°×２０ ２００＝＝３６°； （３）３×２００－５０－７５－２５－２０ ２００ ＝０．４５（万人）． 答：估计这 ３万人中喜欢玉兰树的约有 ０．４５万人． ２１．（８分）如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２，Ｄ是 ＢＣ边的中点． （１）尺规作图：过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ；（保留作图痕迹，不写作法） （２）求 ＤＥ的长． 第 ２１题图 　　　　 第 ２１题解图 解：（１）作图如解图； 【作法提示】（１）任取一点 Ｉ，使点 Ｉ和点 Ｄ在直线 ＡＢ的两侧；（２）以点 Ｄ为 圆心，ＤＩ长为半径作弧，交直线于点 Ｆ，Ｇ；（３）分别以点 Ｆ，点 Ｇ为圆心，大 于 １ ２ＦＧ长为半径作弧，两弧相交于点 Ｈ；（４）作直线 ＤＨ，与 ＡＢ交于点 Ｅ，点 Ｅ即为所求                                                                                                                                                     ． ８４ （２）∵点 Ｄ为 ＢＣ中点， ∴ＤＢ＝１ ２ＢＣ＝１ ２×１２＝６， 又∵在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝５，ＢＣ＝１２， ∴ＡＢ＝ ５２＋１２槡 ２＝１３， 又∵∠Ｃ＝∠ＤＥＢ＝９０°，∠Ｂ＝∠Ｂ， ∴△ＡＣＢ∽△ＤＥＢ， ∴ＤＥ ＤＢ＝ＡＣ ＡＢ，ＤＥ ６ ＝５ １３． 即 ＤＥ＝３０ １３． ２２．（１０分）如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，连接 ＯＣ，过点 Ａ 作 ＡＤ∥ＯＣ交⊙Ｏ于点 Ｄ，连接 ＣＤ． （１）求证：ＣＤ是⊙Ｏ的切线； （２）延长 ＣＤ，ＢＡ交于点 Ｅ，若ＡＥ ＤＥ＝３ ４，求 ｔａｎ∠ＡＣＢ的值． 第 ２２题图 　　　 第 ２２题解图 证明：（１）如解图，连接 ＯＤ． ∵ＯＡ＝ＯＤ， ∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ， ∵ＯＣ∥ＡＤ， ∴∠ＯＡＤ＝∠ＢＯＣ，∠ＡＤＯ＝∠ＤＯＣ． ∴∠ＤＯＣ＝∠ＢＯＣ． 又∵ＯＤ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＣ， ∴△ＯＢＣ≌△ＯＤＣ． ∴∠ＯＤＣ＝∠ＯＢＣ＝９０°． ∴ＣＤ是⊙Ｏ的切线； （２）∵ＡＤ∥ＯＣ， ∴ＯＡ ＤＣ＝ＥＡ ＥＤ＝３ ４， 设 ＯＡ＝３ａ，ＤＣ＝４ａ， ∵△ＯＢＣ≌△ＯＤＣ， ∴ＢＣ＝ＤＣ＝４ａ． 又∵ＡＢ＝２ＯＡ＝６ａ， ∴ｔａｎ∠ＡＣＢ＝ＡＢ ＢＣ＝６ａ ４ａ＝３ ２． 第 ２３题图 ２３．（１０分）小明和小红同时从学校出发骑自 行车到公园后返回，他们与学校的距离 ｙ （千米）和离开学校的时间 ｘ（分钟）之间 的关系如图． 请根据图象回答： （１）如果小明两次经过途中某一地点的 时间间隔为 １５分钟，求该地与学校的 距离； （２）若小红出发 ３５分钟后两人相遇，求小红从公园回到学校所用的时间． 解：（１）设 ＯＡ的函数解析式为 ｙ＝ｋｘ，由题意得：４＝２０ｋ， 解得：ｋ＝１ ５，即 ｙ＝１ ５ｘ（０≤ｘ＜２０）； 设 ＢＣ的函数解析式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，由题意得：４＝３０ｋ＋ｂ ０＝６０ｋ＋{ ｂ， 解得：ｋ＝－２ １５ ｂ{ ＝８ ， 即 ｙ＝－２ １５ｘ＋８（３０≤ｘ＜６０）； 设小明第一次经过某地的时间为 ｔ分钟，则依题意得：１ ５ｔ＝－２ １５（ｔ＋１５）＋ ８，解得：ｔ＝１８， 所以该地离学校的距离为 ｙ＝１ ５×１８＝１８ ５（千米）； （２）当 ｘＥ ＝３５时，ｙＥ ＝－２ １５×３５＋８＝１０ ３， 所以设 ＯＤ的函数解析式为 ｙ＝ｋｘ，由题意得：１０ ３＝３５ｋ， 解得：ｋ＝２ ２１，即 ｙ＝２ ２１ｘ， 当 ｙＤ ＝４时，ｘＤ ＝４２， 所以小红从公园回到学校所用的时间为 ６０－４２＝１８（分钟）． ２４．（１２分）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝６，Ｅ是 ＡＢ边上的一个动点，点 Ｆ在射线 ＥＣ上，点 Ｈ在 ＡＤ边上，四边形 ＥＦＧＨ是正方形，过点 Ｇ作 ＧＭ⊥射 线 ＡＤ于点 Ｍ，连接 ＣＧ，ＤＧ． （１）求证：ＡＨ＝ＧＭ； （２）设 ＡＥ＝ｘ，△ＣＤＧ的面积为 Ｓ，求 Ｓ与 ｘ的函数关系式，并写出 ｘ的取值范 围． 第 ２４题图 （１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，ＧＭ⊥ＡＤ于 Ｍ点， ∴∠Ａ＝∠ＧＭＨ＝９０°． ∵四边形 ＥＦＧＨ是正方形， ∴ＥＨ＝ＧＨ，∠ＥＨＧ＝９０°． ∴∠ＨＧＭ＝９０°－∠ＧＨＭ，∠ＥＨＡ＝９０°－∠ＧＨＭ． ∴∠ＨＧＭ＝∠ＥＨＡ． ∴△ＨＡＥ≌△ＧＭＨ， ∴ＡＨ＝ＧＭ； （２）解：∵∠ＨＡＥ＝∠ＥＢＣ＝９０°，由∠ＨＥＡ＋∠ＡＨＥ＝∠ＨＥＡ＋∠ＣＥＢ＝９０°， 可得，∠ＡＨＥ＝∠ＣＥＢ， ∴△ＥＡＨ∽△ＣＢＥ，则有：ＡＨ ＢＥ＝ＡＥ ＢＣ， ∴ ＡＨ １０－ｘ＝ｘ ６，ＡＨ＝ｘ（１０－ｘ） ６ ， 由△ＥＡＨ≌△ＨＭＧ得：ＨＭ＝ＡＥ＝ｘ， 当点 Ｇ落在边 ＣＤ上时，ｘ（１０－ｘ） ６ ＋ｘ＝６， 解得：ｘ１ 槡＝８－２ ７，ｘ２ 槡＝８＋２ ７（不合题意，舍去）， ①当 ０＜ｘ 槡＜８－２ ７时，点 Ｇ落在矩形 ＡＢＣＤ之内， 如解图①，过 Ｇ作 ＧＮ⊥ＣＤ于点 Ｎ， 第 ２４题解图① ∴ＧＮ＝ＤＭ＝６－ＡＨ－ＭＨ＝６－ｘ（１０－ｘ） ６ －ｘ， 即 ＧＮ＝１ ６（ｘ２－１６ｘ＋３６）， ∴Ｓ＝１ ２ＣＤ·ＧＮ＝５ ６ｘ２－４０ ３ｘ＋３０； ②当 槡８－２ ７＜ｘ≤１０时，点 Ｇ落在矩形 ＡＢＣＤ之外， 如解图②，过 Ｇ作 ＧＮ⊥ＣＤ于点 Ｎ， 第 ２４题解图② ∵ＧＮ ＝ＤＭ＝ＡＨ＋ＨＭ－ＡＤ ＝ｘ（１０－ｘ） ６ ＋ｘ－６ ＝１ ６（－ｘ２＋１６ｘ－３６）， ∴Ｓ＝１ ２ＣＤ·ＧＮ＝－５ ６ｘ２＋４０ ３ｘ－３０． ２５．（１４分）已知抛物线 Ｃ：ｙ１＝ａ（ｘ－ｈ）２－１，直线 ｌ：ｙ２＝ｋｘ－ｋｈ－１． （１）求证：直线 ｌ恒过抛物线 Ｃ的顶点； （２）当 ａ＝－１，ｍ≤ｘ≤２时，ｙ１≥ｘ－３恒成立，求 ｍ的最小值； （３）当 ０＜ａ≤２，ｋ＞０时，若在直线 ｌ下方的抛物线 Ｃ上至少存在两个横坐标 为整数的点，求 ｋ的取值范围． （１）证明：抛物线 Ｃ的顶点坐标为（ｈ，－１）， 当 ｘ＝ｈ时，ｙ２＝ｋｈ－ｋｈ－１＝－１， 所以直线 ｌ恒过抛物线 Ｃ的顶点； 解：（２）当 ａ＝－１时，抛物线 Ｃ解析式为 ｙ１＝－（ｘ－ｈ）２－１， 不妨令 ｙ３＝ｘ－３， 如解图①，抛物线 Ｃ的顶点在直线 ｙ＝－１上移动                                                                                                                                                     ， ９４ 第 ２５题解图① 当 ｍ≤ｘ≤２时，ｙ１≥ｘ－３恒成立， 则可知抛物线 Ｃ的顶点为（２，－１）， 设抛物线 Ｃ与直线 ｙ３＝ｘ－３除顶点外的另一交点为 Ｍ，此时点 Ｍ的横坐标 即为 ｍ的最小值， 由 ｙ＝－（ｘ－２）２－１ ｙ＝ｘ{ －３ ，解得：ｘ１＝１，ｘ２＝２， 所以 ｍ的最小值为 １． （３）解法一：如解图②，由（１）可知：抛物线 Ｃ与直线 ｌ都过点 Ａ（ｈ，－１）， 当 ０＜ａ≤２，ｋ＞０时，在直线 ｌ下方的抛物线 Ｃ上至少存在两个横坐标为整 数的点，即当 ｘ＝ｈ＋２时，ｙ２＞ｙ１恒成立， 所以 ｋ（ｈ＋２）－ｋｈ－１＞ａ（ｈ＋２－ｈ）２－１，整理得：ｋ＞２ａ， 又因为 ０＜ａ≤２， 所以 ０＜２ａ≤４，所以 ｋ＞４． 解法二：由 ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２－１ ｙ＝ｋｘ－ｋｈ{ －１ ，解得：ｘ１＝ｈ，ｘ２＝ｈ＋ｋ ａ， 如解图②，Ａ，Ｂ为抛物线 Ｃ与直线 ｌ的交点，过点 Ｂ作 ＢＣ垂直直线 ｙ＝－１ 于点 Ｃ， 所以 ＡＣ＝ｘ２－ｘ１＝ｈ＋ｋ ａ－ｈ＝ｋ ａ， 当 ０＜ａ≤２，ｋ＞０时，欲使得在直线 ｌ下方的抛物线 Ｃ上至少存在两个横坐 标为整数的点， 只要 ｋ ａ＞２即可，所以 ｋ＞２ａ， 又因为 ０＜ａ≤２， 所以 ０＜２ａ≤４，所以 ｋ＞４． 第 ２５题解图②                                                                                                                       ０５ 　　　 　 ２０１７年宁德市初中毕业班质量检测（二） 数 学 试 题 （满分 １５０分；考试时间 １２０分钟） 友情提示： １．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效； ２．抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标（－ｂ ２ａ，４ａｃ－ｂ２ ４ａ ）． 一、选择题（本大题有 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分，每小题只有一个正确的选 项，请在答题卡的相应位置填涂） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．－３的绝对值是 （　Ａ　） Ａ．３ Ｂ．１ ３ Ｃ．－１ ３ Ｄ．－３ 第 ２题图 ２．已知一个几何体的三种视图如图所示，则该几何体是 （　Ｃ　） Ａ．三棱柱 Ｂ．三棱锥 Ｃ．圆锥 Ｄ．圆柱 ３．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，ＡＣ＝８，则 ＢＣ长不可能是 （　Ｄ　） Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１３ ４．如图，点 Ｍ在线段 ＡＢ上，则下列条件不能确定 Ｍ是 ＡＢ中点的是 （　Ｂ　） 第 ４题图 Ａ．ＢＭ＝１ ２ＡＢ　　　Ｂ．ＡＭ＋ＢＭ＝ＡＢ　　　Ｃ．ＡＭ＝ＢＭ　　　Ｄ．ＡＢ＝２ＡＭ ５．下列计算正确的是 （　Ｂ　） Ａ．－５＋２＝－７ Ｂ．６÷（－２）＝－３ Ｃ．（－１）２０１７＝１ Ｄ．－２０＝１ ６．如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是 （　Ｄ　） Ａ．①：同分母分式的加减法法则 Ｂ．②：合并同类项法则 Ｃ．③：提公因式法 Ｄ．④：等式的基本性质 计算：３ａ ａ＋ｂ＋ａ＋４ｂ ａ＋ｂ 解：原式 ＝３ａ＋ａ＋４ｂ ａ＋ｂ ……① ＝４ａ＋４ｂ ａ＋ｂ……② ＝４（ａ＋ｂ） ａ＋ｂ ……③ ＝４……④ 　　　　第 ６题图 　　　　 第 ７题图 ７．某创意工作室 ６位员工的月工资如图所示，因业务需要，现决定招聘一名新员 工，若新员工的工资为 ４５００元，则下列关于现在 ７位员工工资的平均数和方 差的说法正确的是 （　Ｂ　） Ａ．平均数不变，方差变大 Ｂ．平均数不变，方差变小 Ｃ．平均数不变，方差不变 Ｄ．平均数变小，方差不变 ８．如图，直线 ｌ是一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象，若点 Ａ（３，ｍ）在直线 ｌ上，则 ｍ的值 是 （　Ｃ　） Ａ．－５ Ｂ．３ ２ Ｃ．５ ２ Ｄ．７ 第 ８题图 　　　　 第 ９题图 ９．函数 ｙ＝ｘ３－３ｘ的图象如图所示，则以下关于该函数图象及其性质的描述正确 的是 （　Ｃ　） Ａ．函数最大值为 ２ Ｂ．函数图象最低点为（１，－２） Ｃ．函数图象关于原点对称 Ｄ．函数图象关于 ｙ轴对称 １０．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｄ，Ｅ分别在边 ＢＣ和 ＡＣ上，若 ＡＤ＝ＡＥ，则下 列结论错误的是 （　Ｄ　） Ａ．∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＋∠ＣＡＤ Ｂ．∠ＡＤＥ＝∠ＡＥＤ Ｃ．∠ＣＤＥ＝１ ２∠ＢＡＤ Ｄ．∠ＡＥＤ＝２∠ＥＣＤ 第 １０题图 二、填空题（本大题有 ６小题，每小题 ４分，共 ２４分，请将答案填入答题卡的相应 位置） １１．２０１６年 ９月 ２６日，我国自主设计建造的世界最大球面射电望远镜落成启用， 该望 远 镜 理 论 上 能 接 收 到 １３７００００００００光 年 以 外 的 电 磁 信 号．数 据 １３７００００００００光年用科学记数法表示为１．３７×１０１０光年． １２．一元二次方程 ｘ（ｘ＋３）＝０的解为ｘ１＝０，ｘ２＝－３． １３．若矩形的面积为 ａ２＋ａｂ，长为 ａ＋ｂ，则宽为ａ． １４．甲、乙两位同学参加物理实验考试，若每人只能从 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个实验中随机 抽取一个，则甲、乙两位同学抽到同一实验的概率为 １ ４． １５．将边长为 ２的正六边形 ＡＢＣＤＥＦ绕中心 Ｏ顺时针旋转 α度与原图形重合，当 α最小时，点 Ａ运动的路径长为２π ３． 第 １５题图 　　　　　　　　　　 第 １６题图 １６．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ＯＡＢＣ的边 ＯＡ在 ｘ轴上，ＡＣ与 ＯＢ交于点 Ｄ（８，４），反比例函数 ｙ＝ｋ ｘ的图象经过点 Ｄ．若将菱形 ＯＡＢＣ向左平移 ｎ个 单位，使点 Ｃ落在该反比例函数图象上，则 ｎ的值为２． 三、解答题（本大题共 ９小题，共 ８６分，请在答题卡的相应位置作答） １７．（本题满分 ８分）化简并求值：ｘ（ｘ－２）＋（ｘ＋１）２，其中 ｘ＝－２． 解：原式 ＝ｘ２－２ｘ＋ｘ２＋２ｘ＋１ ＝２ｘ２＋１， 当 ｘ＝－２时， 原式 ＝２×（－２）２＋１＝９． １８．（本题满分 ８分）已知：不等式２－ｘ ３ ≤２＋ｘ． （１）解该不等式，并把它的解集表示在数轴上； （２）若实数 ａ满足 ａ＞２，说明 ａ是否是该不等式的解． 解：（１）２－ｘ≤３（２＋ｘ）， ２－ｘ≤６＋３ｘ， －４ｘ≤４， ｘ≥ －１． 这个不等式的解集在数轴上表示如解图： 第 １８题解图 （２）∵ａ＞２，不等式的解集为 ｘ≥ －１，而 ２＞－１， ∴ａ是该不等式的解． １９．（本题满分 ８分）如图，Ｅ，Ｆ为平行四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＢＤ上的两点，ＡＥ⊥ ＢＤ于点 Ｅ，ＣＦ⊥ＢＤ于点 Ｆ． 求证：ＡＥ＝ＣＦ． 第 １９题图 证明：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ． ∴∠ＡＢＥ＝∠ＣＤＦ． ∵ＡＥ⊥ＢＤ，ＣＦ⊥ＢＤ， ∴∠ＡＥＢ＝∠ＣＦＤ＝９０°． ∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ． ∴ＡＥ＝ＣＦ． ２０．（本题满分 ８分）小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是 正确的，写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要 ５５００ 元，由 于 该 商 场 开 展 “五 一 ”促 销 活 动，同 样 的 电 视 打 八 折 销 售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，空调两台， 共花费 ７２００元．求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 解：设 “五 一 ”前 同 样 的 电 视 每 台 ｘ元，空 调 每 台 ｙ元，根 据 题 意， 得 ． 解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠 ４００元． 解法一：设 “五一”前同样的电视每台 ｘ元，空调每台 ｙ元，根据题意， 得 ｘ＋ｙ＝５５００ ０．８ｘ＋２（ｙ－４００）{ ＝７２００， 解得 ｘ＝２５００ ｙ{ ＝３０００． 答：“五一”前同样的电视每台 ２５００元，空调每台 ３０００元． 解法二：设“五一”前同样的电视每台 ｘ元，则空调每台（５５００－ｘ）元，根据 题意，得 ０．８ｘ＋２（５５００－ｘ－４００）＝７２００． 解得 ｘ＝２５００．则 ５５００－ｘ＝３０００． 答：“五一”前同样的电视每台 ２５００元，空调每台 ３０００元． ２１．（本题满分 ８分）某初中学校组织 ２００位同学参加义务植树活动，每人植树的 棵数在 ６至 １０之间，甲、乙两位同学分别调查了 ３０位同学的植树情况，并将 收集的数据进行了整理，绘制成统计表分别为表 １和表 ２                                                                                                                                                     ： １５ ０ 表 １　甲调查九年级 ３０位同学植树情况统计表（单位：棵） 每人植树情况 ７ ８ ９ １０ 人数 ３ ６ １５ ６ 频率 ０．１ ０．２ ０．５ ０．２ 表 ２　乙调查三个年级各 １０位同学植树情况统计表（单位：棵） 每人植树情况 ６ ７ ８ ９ １０ 人数 ３ ６ ３ １１ ６ 频率 ０．１ ０．２ ０．１ ０．４ ０．２ 根据以上材料回答下列问题： （１）表 １中 ３０位同学植数情况中位数是９棵； （２）已知表 ２的最后两列中有一个错误的数据，这个错误的数据是１１，正确的 数据应该是１２； （３）指出哪位同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况，并用该样本 估计本次活动 ２００位同学一共植树多少棵？ 解：（１）９； 【解法提示】将 ３０位同学植树情况按从小到大的顺序排列，第 １５、１６位同学 的平均数即为中位数，即９＋９ ２ ＝９． （２）１１，１２； 【解法提示】３０×０．４＝１２． （３）乙同学所抽取的样本能更好反映此次植树活动情况， （３×６＋６×７＋３×８＋１２×９＋６×１０）÷３０×２００＝１６８０（棵）． 答：本次活动 ２００位同学一共植树约 １６８０棵． 【一题多解】（６×０．１＋７×０．２＋８×０．１＋９×０．４＋１０×０．２）×２００＝１６８０ （棵）． 答：本次活动 ２００位同学一共植树约 １６８０棵． ２２．（本题满分 １０分）如图，在边长为 １的正方形组成的 ５×８方格中，△ＡＢＣ的 顶点都在格点上． （１）在给定的方格中，以直线 ＡＢ为对称轴，画出△ＡＢＣ的轴对称图形△ＡＢＤ； （２）求 ｓｉｎ∠ＡＢＤ的值． 第 ２２题图 　　　　 第 ２２题解图 解：（１）如解图，△ＡＢＤ即为所求作的图形； （２）如解图，连接 ＣＤ交 ＡＢ于点 Ｏ． 解法一：根据勾股定理，可得 ＢＤ 槡＝ ５，ＣＤ 槡＝ １０． 由轴对称可知 ＣＤ⊥ＡＢ，ＯＤ＝１ ２ＣＤ＝槡１０ ２ ． ∴在 Ｒｔ△ＯＢＤ中，ｓｉｎ∠ＡＢＤ＝ＯＤ ＢＤ＝ 槡１０ ２ 槡５ ＝槡２ ２． 解法二：根据勾股定理，可得 ＢＣ 槡＝ ５，ＢＤ 槡＝ ５，ＣＤ 槡＝ １０， 又 ＢＣ２＋ＢＤ２＝ＣＤ２． ∴△ＢＣＤ是直角三角形，∠ＣＢＤ＝９０°， 由轴对称可知∠ＡＢＤ＝∠ＡＢＣ＝１ ２∠ＣＢＤ＝４５°， ∴ｓｉｎ∠ＡＢＤ＝ｓｉｎ４５°＝槡２ ２． ２３．（本题满分 １０分）如图，ＢＦ为⊙Ｏ的直径，直线 ＡＣ交⊙Ｏ于 Ａ，Ｂ两点，点 Ｄ 在⊙Ｏ上，ＢＤ平分∠ＯＢＣ，ＤＥ⊥ＡＣ于点 Ｅ． （１）求证：直线 ＤＥ是⊙Ｏ的切线； （２）若 ＢＦ＝１０，ｓｉｎ∠ＢＤＥ＝槡５ ５，求 ＤＥ的长． 第 ２３题图 　　　　 第 ２３题解图 （１）证明：如解图，连接 ＯＤ． ∵ＯＤ＝ＯＢ， ∴∠ＯＤＢ＝∠ＯＢＤ． ∵ＢＤ平分∠ＯＢＣ， ∴∠ＯＢＤ＝∠ＤＢＥ． ∴∠ＯＤＢ＝∠ＤＢＥ． ∴ＯＤ∥ＡＣ． ∵ＤＥ⊥ＡＣ， ∴ＯＤ⊥ＤＥ． ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴直线 ＤＥ为⊙Ｏ的切线； （２）解：如解图，连接 ＤＦ． ∵ＢＦ是⊙Ｏ的直径 ∴∠ＦＤＢ＝９０°． ∴∠Ｆ＋∠ＯＢＤ＝９０°． ∵∠ＯＢＤ＝∠ＤＢＥ，∠ＢＤＥ＋∠ＤＢＥ＝９０°． ∴∠Ｆ＝∠ＢＤＥ． 在 Ｒｔ△ＢＤＦ中， ＢＤ ＢＦ＝ｓｉｎＦ＝ｓｉｎ∠ＢＤＥ＝槡５ ５， ∴ＢＤ＝１０×槡５ ５ 槡＝２ ５， ∴在 Ｒｔ△ＢＤＥ中，ｓｉｎ∠ＢＤＥ＝ＢＥ ＢＤ＝槡５ ５． ∴ＢＥ＝ＢＤ×槡５ ５ 槡＝２ ５×槡５ ５＝２． ∴在 Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＤＥ２＝ＢＤ２－ＢＥ２＝１６． ∴ＤＥ＝４． ２４．（本题满分 １３分）在平面直角坐标系中，点 Ａ的坐标为（０，３），点 Ｂ和点 Ｄ的 坐标分别为（ｍ，０），（ｎ，４），且 ｍ＞０，四边形 ＡＢＣＤ是矩形． （１）如图①，当四边形 ＡＢＣＤ为正方形时，求 ｍ，ｎ的值； （２）在图②中，画出矩形 ＡＢＣＤ，简要说明点 Ｃ，Ｄ的位置是如何确定的，并直 接用含 ｍ的代数式表示点 Ｃ的坐标； （３）探究：当 ｍ为何值时，矩形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ的长度最短． 第 ２４题图 解：（１）如解图①，过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ｙ轴于点 Ｅ，则有∠ＡＥＤ＝∠ＡＯＢ＝９０°． 第 ２４题解图① ∵Ａ（０，３），Ｂ（ｍ，０），Ｄ（ｎ，４）． ∴ＯＡ＝３，ＯＢ＝ｍ，ＯＥ＝４，ＤＥ＝ｎ． ∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＤ＝ＡＢ，∠ＤＡＢ＝９０°， ∴∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＯ＝９０°， ∵∠ＤＡＥ＋∠ＡＤＥ＝９０°， ∴∠ＢＡＯ＝∠ＡＤＥ． ∵ＤＥ⊥ＯＥ，ＡＯ⊥ＯＢ， ∴∠ＡＯＢ＝∠ＤＥＡ＝９０°， ∴△ＡＢＯ≌△ＤＡＥ． ∴ＡＥ＝ＯＢ＝ｍ，ｎ＝ＤＥ＝ＯＡ＝３． ∴ＯＥ＝ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＡ＋ＯＢ＝３＋ｍ＝４． ∴ｍ＝１，ｎ＝３； （２）作图如解图②． 第 ２４题解图② 画法为：①过点 Ａ画 ＡＢ的垂线 ｌ１，过点 Ｂ画 ＡＢ的垂线 ｌ２； ②过点（０，４）画 ｙ轴的垂线 ｌ３与直线 ｌ１交于点 Ｄ与 ｙ轴交于点 Ｅ； ③过点 Ｄ画直线 ｌ１的垂线与直线 ｌ２交于点 Ｃ． 点 Ｃ的坐标为（ｍ＋３ ｍ，１）； 【解法提示】如解图②，过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ｘ轴于点 Ｆ，∴∠ＣＢＦ＋∠ＢＣＦ＝９０°， 又∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＤ＝ＢＣ，∠ＡＢＣ＝∠ＢＡＤ＝９０°，∴∠ＡＢＯ＋ ∠ＣＢＦ＝９０°，∴∠ＢＣＦ＝∠ＡＢＯ，同理：∠ＡＢＯ＝∠ＤＡＥ，∴∠ＢＣＦ＝∠ＤＡＥ                                                                                                                                                     ， ２５ ０ 在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中， ∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＢ＝９０° ∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＡＤ＝{ ＢＣ ，∴△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ，∴ＤＥ＝ ＢＦ＝ｎ，ＡＥ＝ＣＦ＝１，易证△ＡＯＢ∽△ＤＥＡ，∴ＯＡ ＥＤ＝ＯＢ ＥＡ，３ ｎ＝ｍ １，∴ｎ＝３ ｍ，∴ ＯＦ＝ＯＢ＋ＢＦ＝ｍ＋３ ｍ，∴Ｃ（ｍ＋３ ｍ，１）． （３）由矩形的性质可知 ＢＤ＝ＡＣ， ∴当 ＤＢ最小时即 ＡＣ最小， ∵Ｂ（ｍ，０），Ｄ（ｎ，４）， ∴当 ＢＤ⊥ｘ轴时，ＢＤ有最小值 ４． ∴ＡＣ最小值为 ４． 如解图③，当 ＤＢ⊥ｘ轴时，ｍ＝ｎ， 第 ２４题解图③ 过点 Ｄ作 ＤＥ⊥ｙ轴于点 Ｅ， ∴∠ＤＥＡ＝９０°＝∠ＡＯＢ， ∴∠ＤＡＥ＋∠ＡＤＥ＝９０°， ∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形， ∴∠ＤＡＢ＝９０°， ∴∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＯ＝９０°， ∴∠ＢＡＯ＝∠ＡＤＥ， ∴△ＡＢＯ∽△ＤＡＥ， ∴ＡＯ ＤＥ＝ＢＯ ＡＥ，ＡＯ·ＡＥ＝ＢＯ·ＤＥ． ∴３＝ｍ２，ｍ 槡＝ ３，ｍ 槡＝－ ３（舍去）． ∴ｍ 槡＝ ３． ∴当 ｍ 槡＝ ３时，矩形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ的长度最短． 解法二：当 ＢＤ⊥ｘ轴时，如解图④，连接 ＢＤ，与 ＡＣ交于点 Ｍ，过点 Ａ作 ＡＥ⊥ ＢＤ于点 Ｅ．由矩形的性质可知 ＡＭ＝ＢＭ＝１ ２ＢＤ＝２． 第 ２４题解图④ ∵Ａ（０，３），Ｄ（ｎ，４）， ∴ＤＥ＝１． ∴ＥＭ＝２－１＝１． 在 Ｒｔ△ＡＥＭ中， 由勾股定理得 ＡＥ 槡＝ ３． ∴ｍ 槡＝ ３． ∴当 ｍ 槡＝ ３时，矩形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ的长度最短． ２５．（本题满分 １３分）如图，抛物线 ｌ：ｙ＝１ ２（ｘ－ｈ）２－２与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点（点 Ａ在点 Ｂ的左侧），将抛物线 ｌ在 ｘ轴下方部分沿 ｘ轴翻折，ｘ轴上方的图象保 持不变，就组成了函数 ｆ的图象． （１）若点 Ａ的坐标为（１，０）． ①求抛物线 ｌ的表达式，并直接写出当 ｘ为何值时，函数 ｆ的值 ｙ随 ｘ的增大 而增大； ②如图②，若过 Ａ点的直线交函数 ｆ的图象于另外两点 Ｐ，Ｑ，且 Ｓ△ＡＢＱ ＝ ２Ｓ△ＡＢＰ，求点 Ｐ的坐标； （２）当 ２＜ｘ＜３时，若函数 ｆ的值 ｙ随 ｘ的增大而增大，直接写出 ｈ的取值 范围． 第 ２５题图 解：（１）①∵点 Ａ（１，０）在抛物线 ｌ上， ∴ １ ２（１－ｈ）２－２＝０． 解得 ｈ＝３或 ｈ＝－１． ∵点 Ａ在点 Ｂ的左侧， ∴ｈ＝－１（舍去）． ∴ｈ＝３． ∴抛物线的表达式为 ｙ＝１ ２（ｘ－３）２－２． ∴抛物线的对称轴为直线 ｘ＝３． 由对称性得 Ｂ（５，０）． 由图象可知：当 １＜ｘ＜３或 ｘ＞５时，函数 ｆ的值 ｙ随 ｘ的增大而增大； （备注：写≤或≥均不扣分）． ②如解图，作 ＰＤ⊥ｘ轴于点 Ｄ，延长 ＰＤ交抛物线 ｌ于点 Ｆ，作 ＱＥ⊥ｘ轴于点 Ｅ． 第 ２５题解图 由对称性可得 ＤＦ＝ＰＤ． ∵Ｓ△ＡＢＱ ＝２Ｓ△ＡＢＰ， ∴ １ ２ＡＢ·ＱＥ＝２×１ ２ＡＢ·ＰＤ． ∴ＱＥ＝２ＰＤ． ∵∠ＡＤＰ＝∠ＡＥＱ＝９０°，∠ＰＡＤ＝∠ＥＡＱ． ∴△ＰＡＤ∽△ＱＡＥ． ∴ＡＥ ＡＤ＝ＱＥ ＰＤ． ∴ＡＥ＝２ＡＤ． 设 ＡＤ＝ａ，则 ＯＤ＝１＋ａ，ＯＥ＝１＋２ａ， ∵点 Ｆ，Ｑ在抛物线 ｌ上， ∴ＰＤ＝ＤＦ＝－［１ ２（１＋ａ－３）２－２］． ＱＥ＝１ ２（１＋２ａ－３）２－２． ∴ １ ２（１＋２ａ－３）２－２＝－２［１ ２（１＋ａ－３）２－２］． ∴解得 ａ＝８ ３或 ａ＝０（舍去）． ∴Ｐ点的坐标为（１１ ３，１６ ９）； （２）当 ３≤ｈ≤４或 ｈ≤０时，函数 ｆ的值 ｙ随 ｘ的增大而增大． （备注：写出一个答案得 ２分，２个答案得满分，其中写成 ＜或 ＞，扣 １分                                                                                                                                                     ） ３５ ０ 　　　 ２０１７年龙岩市九年级学业（升学）质量检查 数 学 试 题 （满分：１５０分　考试时间：１２０分钟） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 在本试题上答题无效． 一、选择题（本大题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．每小题的四个选项中，只有 一项符合题目要求） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．２的相反数是 （　Ａ　） Ａ．－２ Ｂ．－１ ２ Ｃ．１ ２ Ｄ．２ ２．下列运算正确的是 （　Ｄ　） Ａ．ｍ３＋ｍ２＝ｍ５ Ｂ．（ｍ３）３＝ｍ６ Ｃ．ｍ３·ｍ２＝ｍ６ Ｄ．ｍ３÷ｍ２＝ｍ ３．用科学记数法表示为 ２．０１７×１０３的数是 （　Ａ　） Ａ．２０１７ Ｂ．２０１．７ Ｃ．０．００２０１７ Ｄ．２０１７０ ４．下列四个几何体中，主视图与俯视图相同的是 （　Ｂ　） ５．下列说法正确的是 （　Ｄ　） Ａ．不可能事件发生的概率为 １ Ｂ．随机事件发生的概率为 １ ３ Ｃ．概率很小的事件不可能发生 Ｄ．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 的概率为 １ ２ ６．若一个正多边形的一个内角是 １４０°，则这个多边形是 （　Ｃ　） Ａ．正七边形 Ｂ．正八边形 Ｃ．正九边形 Ｄ．正十边形 ７．若 ｘ＝１是方程 ａｘ２＋ｂｘ－２＝０的一个根，则 ａ＋ｂ的值是 （　Ｂ　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．－２ Ｄ．－１ ８．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝１，ＡＢ＝２，以 Ａ为圆心，ＡＣ长为半径画弧 交 ＡＢ于 Ｄ，则扇形 ＣＡＤ的周长是（结果保留 π） （　Ｄ　） Ａ．１＋π Ｂ．２＋π ２ Ｃ．１＋２π ３ Ｄ．２＋π ３ 第 ８题图 　　　　 第 １０题图 ９．定义新运算“”如下：当 ａ＞ｂ时，ａｂ＝ａｂ＋ｂ；当 ａ＜ｂ时，ａｂ＝ａｂ－ｂ．若 ３ （ｘ＋２）＞０，则 ｘ的取值范围是 （　Ｃ　） Ａ．－２＜ｘ＜１或 ｘ＜－２ Ｂ．ｘ＜－２或 １＜ｘ＜２ Ｃ．－２＜ｘ＜１或 ｘ＞１ Ｄ．ｘ＜－２或 ｘ＞２ １０．如图有矩形纸片 ＡＢＣＤ，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，对折纸片使 ＡＤ与 ＢＣ重合得到折痕 ＥＦ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 Ｂ落在 ＥＦ上的点 Ｈ处，并使折痕经 过点 Ａ，得到折痕 ＡＧ，则 ＨＦ＝ （　Ｃ　） Ａ．３ Ｂ．４． 槡 槡５ Ｃ．８－３ ３ Ｄ．８－２ ３ 二、填空题（本大题共 ６个小题，每小题 ４分，共 ２４分） １１．计算：６０°－９°２５′＝５０°３５′． １２．若 １＜ｘ 槡＜ ５，且 ｘ是整数，则 ｘ＝２． １３．已知一组数据：２，２，２，２，２，则这组数据的方差为０． １４．如图，若∠１＝∠２＝∠３＝４８°，则∠４＝１３２°． 第 １４题图 　　　　　　　 第 １５题图 １５．如图，在网格中，小正方形的边长均为 １，点 Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，则 ｓｉｎ∠ＡＢＣ ＝槡５ ５． １６．若 ｍ＝ 槡１＋ ５ ２ ，ｎ＝ 槡１－ ５ ２ ，则 ｍ１０＋ｎ１０＝１２３． 三、解答题（本大题共 ９小题，共 ８６分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） １７．（本题满分 ８分）计算：槡 槡８＋｜２－２｜－（１ ２）－１． 解：原式 槡 槡＝２ ２＋２－ ２－２ 槡＝ ２． １８．（本题满分 ８分）先化简，再求值：（ａ２ｂ－ａｂ２）÷ｂ＋（３－ａ）（３＋ａ），其中 ａ＝ １，ｂ＝２． 解：原式 ＝ａ２－ａｂ＋９－ａ２ ＝－ａｂ＋９． ∵ａ＝１，ｂ＝２， ∴原式 ＝－１×２＋９＝７． １９．（本题满分 ８分）如图，Ａ是∠ＭＯＮ边 ＯＭ上一点，ＡＥ∥ＯＮ． （１）尺规作图：作∠ＭＯＮ的角平分线 ＯＢ，交 ＡＥ于点 Ｂ；（保留作图痕迹，不写 作法） （２）过点 Ｂ画 ＯＢ的垂线，分别交 ＯＭ，ＯＮ于点 Ｃ，Ｄ，求证：ＡＢ＝１ ２ＯＣ． 第 １９题图 　　　 第 １９题解图 解：（１）如解图①，②所示，角平分线 ＯＢ即为所求； 【作法提示】作法一：１．如解图①，以点 Ｏ为圆心，适当长为半径画弧，交 ＯＭ 于点 Ｆ，交 ＯＮ于点 Ｇ；２．分别以点 Ｆ、Ｇ为圆心，大于 １ ２ＦＧ长为半径画弧，两 弧在∠ＭＯＮ的内部相交于点 Ｐ；３．连接 ＯＰ交 ＡＥ于点 Ｂ；作法二：如解图 ②，以点 Ａ为圆心，ＯＡ长为半径作弧，交 ＡＥ于点 Ｂ，连接 ＯＢ； （２）如解图①，②所示，ＣＤ即为所求； 【作法提示】作法一：１．如解图①，以点 Ｂ为圆心，任意长为半径向点 Ｂ两侧 作弧，分别交射线 ＯＢ于点 Ｈ、Ｉ；２．分别以点 Ｈ、点 Ｉ为圆心，以大于 １ ２ＨＩ长 为半径作弧，两弧相交于 Ｊ、Ｋ两点；３．作直线 ＪＫ，分别交 ＯＭ于点 Ｃ，ＯＮ于 点 Ｄ，ＣＤ即为所求；作法二：１．如解图②，以点 Ａ为圆心，ＯＡ长为半径作弧， 与 ＯＭ交于点 Ｃ；２．连接 ＣＢ并延长交 ＯＮ于点 Ｄ． 证明：解法一：∵ＡＥ∥ＯＮ，∴∠ＡＢＯ＝∠ＢＯＤ， ∵∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＤ，∴∠ＡＯＢ＝∠ＡＢＯ， ∴ＡＢ＝ＡＯ， ∵ＣＤ⊥ＯＢ，∴∠ＡＢＯ＋∠ＡＢＣ＝∠ＡＯＢ＋∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ． ∴ＡＢ＝ＡＣ，∴ＡＢ＝１ ２ＯＣ． 解法二：∵ＯＢ是∠ＣＯＤ的角平分线， ∴∠ＣＯＢ＝∠ＤＯＢ， 又∵∠ＣＢＯ＝∠ＤＢＯ＝９０°，ＯＢ＝ＯＢ， ∴△ＣＯＢ≌△ＤＯＢ， ∴ＣＢ＝ＤＢ，ＯＣ＝ＯＤ，∴点 Ｂ是 ＣＤ的中点， 又∵ＡＥ∥ＯＮ，∴点 Ａ是 ＯＣ的中点， ∴ＡＢ是△ＯＣＤ的中位线， ∴ＡＢ＝１ ２ＯＤ， 又∵ＯＣ＝ＯＤ， ∴ＡＢ＝１ ２ＯＣ． ２０．（本题满分 ８分）如图，在直角坐标系中，四边形 ＯＡＢＣ是矩形，点 Ｄ（１，４）是 ＢＣ中点，反比例函数 ｙ＝ｋ ｘ的图象经过点 Ｄ，并交 ＡＢ于点 Ｅ． 第 ２０题图 （１）求 ｋ的值； （２）求五边形 ＯＡＥＤＣ的面积 Ｓ． 解：（１）把 Ｄ（１，４）代入 ｙ＝ｋ ｘ得 ｋ＝４，∴ｋ＝４． （２）∵四边形 ＯＡＢＣ是矩形，Ｄ（１，４）是 ＢＣ中点， ∴ＢＣ＝２ＣＤ＝２，∴Ｂ（２，４）． ∵ｋ＝４，∴ｙ＝４ ｘ． 把 ｘ＝２代入 ｙ＝４ ｘ得 ｙ＝４ ２＝２， ∴Ｅ（２，２），∴ＢＥ＝２， ∴Ｓ△ＥＢＤ ＝１ ２×２×１＝１，∴Ｓ＝２×４－１＝７，∴五边形 ＯＡＥＤＣ的面积为 ７． ２１．（本题满分 ８分）当下共享单车在各大城市相当火热，给人们的短距离出行带 来了许多便利．某市准备在 ２０１７年分四期投放若干辆“飞歌同程”和“摩拜单 车”两种品牌的共享单车．决策人员根据计划绘制了如图所示的两幅统计图． 第 ２１题图 （１）第四期投放占总量的百分比是３０％                                                                                                                                                     ； ４５ （２）计算该市四期共投放多少辆共享单车； （３）补全四期投放共享单车折线统计图． 解：（１）３０％； 【解法提示】１００％ －１５％ －３０％ －２５％ ＝３０％，∴第四期投放量所占百分比 为 ３０％． （２）（２５００＋３５００）÷１５％ ＝６０００÷１５％ ＝４００００（辆）． 答：四期共投放 ４００００辆共享单车； （３）补全折线统计图，如解图． 第 ２１题解图 第 ２２题图 ２２．（本题满分 １０分）如图，在△ＡＣＢ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ ２ＢＣ，点 Ｏ在边 ＡＢ上，且 ＢＯ＝１ ３ＡＢ，以 Ｏ为圆心，ＯＢ长 为半径的圆分别交 ＡＢ，ＢＣ于 Ｄ，Ｅ两点． （１）求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线； （２）判断由 Ｄ，Ｏ，Ｅ及切点所构成的四边形的形状，并说 明理由． 第 ２２题解图 （１）证明：如解图，过 Ｏ作 ＯＦ⊥ＡＣ于 Ｆ． 在 Ｒｔ△ＡＣＢ中，ＡＢ＝２ＢＣ，易得∠Ａ＝３０°，∠Ｂ＝６０°， ∵ＢＯ＝１ ３ＡＢ，ＯＢ＝ＯＤ， ∴ＡＤ＝ＯＤ＝ＢＯ． 在 Ｒｔ△ＡＦＯ中，∠Ａ＝３０°． ∴ＡＯ＝２ＯＦ， ∴ＯＦ＝ＯＤ． ∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线． （２）解：四边形 ＤＯＥＦ为菱形． 理由如下：如解图，连接 ＤＦ，ＥＦ，ＯＥ， ∵在△ＡＯＦ中，∠ＡＯＦ＝６０°，ＯＦ＝ＯＤ， ∴△ＤＯＦ是等边三角形． ∴ＤＦ＝ＯＦ＝ＯＤ，． 同理∠ＥＯＢ＝６０°， ∴∠ＦＯＥ＝１８０°－６０°－６０°＝６０°． ∴△ＦＯＥ是等边三角形． ∴ＦＥ＝ＯＦ＝ＯＥ． ∴在四边形 ＤＯＥＦ中，ＤＯ＝ＯＥ＝ＥＦ＝ＦＤ． ∴四边形 ＤＯＥＦ是菱形． ２３．（本题满分 １０分）某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球． 其中足球的单价比篮球的单价少 ２０元，用 ９００元购进的足球个数和 １２００元 购进的篮球个数相等． （１）篮球和足球的单价各是多少元？ （２）该校打算用 ８００元购买篮球和足球，且两种球都必须购买，请问恰好用完 ８００元的购买方案有哪几种？ 解：（１）设足球的单价为 ｘ元，则篮球的单价为（ｘ＋２０）元． 依题意得９００ ｘ ＝１２００ ｘ＋２０，解得 ｘ＝６０． 经检验，ｘ＝６０是原分式方程的解，则 ｘ＋２０＝８０． 答：足球和篮球的单价分别为 ６０元和 ８０元． （２）设恰好用完 ８００元购买篮球 ａ个和足球 ｂ个． 依题意得 ８０ａ＋６０ｂ＝８００，即 ａ＝１０－３ ４ｂ． ∵ａ、ｂ都是正整数， ∴①ｂ＝４时，ａ＝７；②ｂ＝８时，ａ＝４；③ｂ＝１２时，ａ＝１． 答：有三种方案，①购买篮球 ７个，足球 ４个；②购买篮球 ４个，足球 ８个；③ 购买篮球 １个，足球 １２个． ２４．（本题满分 １２分）△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，点 Ｄ，Ｐ分别在边 ＡＢ，ＡＣ上（点 Ｄ不与 点 Ａ，点 Ｂ重合），ＤＰ∥ＢＣ，将△ＡＤＰ绕点 Ａ顺时针旋转得到△ＡＥＦ． （１）当点 Ｅ在 ＢＣ上时，连接 ＣＦ， ①如图①，∠ＢＡＣ＝４５°，线段 ＣＦ，ＡＢ的位置关系是ＣＦ∥ＡＢ； ②如图②，∠ＢＡＣ＝６０°，此时 ＣＦ，ＡＢ还满足①中的位置关系吗？若满足，请 证明你的结论；若不满足，请说明理由； （２）若∠ＢＡＣ＝β，ＡＣ＝ｂ，在△ＡＤＰ绕点 Ａ顺时针旋转过程中，点 Ｅ第一次落 在射线 ＢＣ上时，连接 ＣＦ，此时 ＣＦ，ＡＢ还满足（１）①中的位置关系吗？若满 足，请证明你的结论，并直接写出 ＡＤ的取值范围（用含 β，ｂ的式子表示）；若 不满足，请说明理由． 第 ２４题图 解：（１）①ＣＦ∥ＡＢ； ②满足（或 ＣＦ∥ＡＢ）； 理由如下：∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＢＡＣ＝６０°， ∴△ＡＢＣ是等边三角形． ∴ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝６０°． 又∵ＤＰ∥ＢＣ， ∴∠ＡＰＤ＝∠ＰＤＡ＝∠Ｂ＝６０°． ∴△ＡＤＰ是等边三角形． 第 ２４题解图 如解图，由旋转可知，△ＡＥＦ≌△ＡＤＰ，∠１＝∠２，ＡＥ＝ＡＦ． 在△ＢＡＥ和△ＣＡＦ中， ＡＢ＝ＡＣ ∠１＝∠２ ＡＥ＝{ ＡＦ ， ∴△ＢＡＥ≌△ＣＡＦ，∴∠Ｂ＝∠３＝６０°， ∴∠３＝∠ＢＡＣ＝６０°， ∴ＣＦ∥ＡＢ； （２）满足； 理由如下，分两种情况： ①当 ４５°≤β＜９０°，∵ＤＰ∥ＢＣ，∴△ＡＤＰ∽△ＡＢＣ， ∴△ＡＥＦ∽△ＡＢＣ，∴ＡＦ ＡＣ＝ＡＥ ＡＢ． 由（１）知∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ， ∴△ＢＡＥ∽△ＣＡＦ，∴∠Ｂ＝∠ＡＣＦ， 又∵ＡＣ＝ＢＣ，∴∠Ｂ＝∠ＢＡＣ， ∴∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＦ，∴ＣＦ∥ＡＢ， 此时，２ｂｓｉｎβｃｏｓβ≤ＡＤ＜２ｂｃｏｓβ（或 ｂｓｉｎ（１８０°－２β）≤ＡＤ＜２ｂｃｏｓβ）； ②当 ０＜β＜４５°，同理可证 ＣＦ∥ＡＢ，此时 ｂｓｉｎ２β≤ＡＤ＜２ｂｃｏｓβ， 综上所述，当 ０＜β＜４５°时，ｂｓｉｎ２β≤ＡＤ＜２ｂｃｏｓβ， 当 ４５°≤β＜９０°时， ２ｂｓｉｎβ·ｃｏｓβ≤ＡＤ＜２ｂｃｏｓβ（或 ｂｓｉｎ（１８０°－２β）≤ＡＤ＜２ｂｃｏｓβ）． ２５．（本题满分 １４分）已知二次函数 ｙ＝ｘ２＋（２ｍ－２）ｘ＋ｍ２ －２ｍ－３（ｍ是常数） 的图象与 ｘ轴交于 Ａ，Ｂ两点（点 Ａ在点 Ｂ的左边）． （１）如果二次函数的图象经过原点． ①求 ｍ的值； ②若 ｍ＜０，点 Ｃ是一次函数 ｙ＝－ｘ＋ｂ（ｂ＞０）图象上的一点，且∠ＡＣＢ＝ ９０°，求 ｂ的取值范围； （２）当 －３≤ｘ≤２时，函数的最大值为 ５，求 ｍ的值． 第 ２５题图 　　　　 第 ２５题解图                                                                                                                                                     ５５ 解：（１）①依题意把（０，０）代入 ｙ＝ｘ２＋（２ｍ－２）ｘ＋ｍ２－２ｍ－３， 得 ｍ２－２ｍ－３＝０，解得 ｍ１＝３，ｍ２＝－１； ②由①得 ｍ＝３或 ｍ＝－１，又∵ｍ＜０，∴ｍ＝－１． 把 ｍ＝－１代入 ｙ＝ｘ２＋（２ｍ－２）ｘ＋ｍ２－２ｍ－３，得 ｙ＝ｘ２－４ｘ， 把 ｙ＝０代入 ｙ＝ｘ２－４ｘ，得 ｘ２－４ｘ＝０，解得 ｘ１＝０，ｘ２＝４， 所以 ＡＢ＝４． 如解图，以 ＡＢ为直径作⊙Ｐ，根据直径所对的圆周角是直角，如当一次函数 ｙ＝－ｘ＋ｂ（ｂ＞０）的图象与圆相切时，可得∠ＡＣＢ＝９０°，设一次函数图象与 ⊙Ｐ相切于点 Ｃ，与 ｘ轴交于点 Ｆ，与 ｙ轴交于点 Ｅ．连接 ＰＣ，易得∠ＰＣＦ ＝９０°， 把 ｘ＝０，ｙ＝０分别代入 ｙ＝－ｘ＋ｂ， 解得 ｙ＝ｂ，ｘ＝ｂ，所以 ＡＥ＝ＡＦ＝ｂ， 在 Ｒｔ△ＦＡＥ中，由勾股定理可求得 ＥＦ 槡＝ ２ｂ， ∵ＡＥ＝ＡＦ， ∴∠ＯＦＥ＝４５°， 在 Ｒｔ△ＦＣＰ中，ｓｉｎ４５°＝ＣＰ ＰＦ， ∴ＰＦ 槡＝２ ２， ∴ＯＦ 槡＝２ ２＋２， ∴ｂ 槡＝２ ２＋２， ∴０＜ｂ≤ 槡２ ２＋２； （２）∵ｙ＝ｘ２＋（２ｍ－２）ｘ＋ｍ２－２ｍ－３＝（ｘ＋ｍ－１）２－４， ∴对称轴为直线 ｘ＝１－ｍ， ①当 １－ｍ≤ －０．５即 ｍ≥１．５时，根据二次函数的对称性及增减性，当 ｘ＝２ 时，函数最大值为 ５， ∴（２＋ｍ－１）２－４＝５， ∴ｍ＝２或 －４（舍去）； ②当 １－ｍ＞－０．５即 ｍ＜１．５时，根据二次函数的对称性及增减性，当 ｘ＝ －３时，函数最大值为 ５， ∴（－３＋ｍ－１）２－４＝５，∴ｍ＝１或 ７（舍去）． 综上所述，ｍ＝２或 ｍ＝１                                                                                                  ． ６５ 　　　 　 ２０１７年三明市初中毕业班教学质量检测 数 学 试 题 （满分：１５０分　考试时间：５月 １０日下午 １５：００－１７：００） 友情提示： １．作图或画辅助线等需用签字笔描黑． ２．未注明精确度的计算问题，结果应为准确数． 一、选择题（共 １０题，每题 ４分，满分 ４０分．每题只有一个正确选项，请在答题卡 的相应位置填涂） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如果 ａ与 ８互为相反数，那么 ａ是 （　Ｄ　） Ａ．１ ８ Ｂ．－１ ８ Ｃ．８ Ｄ．－８ ２．下列单项式中，与 ａｂ２是同类项的是 （　Ｂ　） Ａ．２ａｂ Ｂ．３ａｂ２ Ｃ．４ａ２ｂ Ｄ．５ａ２ｂ２ ３．下列图形是中心对称图形的是 （　Ｃ　） ４．把多项式 ｘ２－６ｘ＋９分解因式，结果正确的是 （　Ａ　） Ａ．（ｘ－３）２　　Ｂ．（ｘ－９）２　　Ｃ．（ｘ＋３）（ｘ－３）　　Ｄ．（ｘ＋９）（ｘ－９） ５．如图，下列条件中，能判定 ａ∥ｂ的是 （　Ｃ　） Ａ．∠１＝∠２　Ｂ．∠１＝∠４　Ｃ．∠１＋∠３＝１８０°　　Ｄ．∠３＋∠４＝１８０° 第 ５题图 ６．设某数是 ｘ，若比它的 ２倍大 ３的数是 ８，可列方程为 （　Ｂ　） Ａ．２ｘ－３＝８ Ｂ．２ｘ＋３＝８ Ｃ．１ ２ｘ－３＝８ Ｄ．１ ２ｘ＋３＝８ ７．如图，四边形 ＡＢＣＤ内接于半圆 Ｏ，已知∠ＡＤＣ＝１４０°，则∠ＡＯＣ的大小是 （　Ｄ　） Ａ．４０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° 第 ７题图 　　　　　　　　 第 ８题图 ８．如图，大三角形与小三角形是位似图形，若小三角形一个顶点的坐标为（ｍ， ｎ），则大三角形中与之对应的顶点坐标为 （　Ａ　） Ａ．（－２ｍ，－２ｎ）　　Ｂ．（２ｍ，２ｎ）　　Ｃ．（－２ｎ，－２ｍ）　　Ｄ．（２ｎ，２ｍ） ９．在“百善孝为先”朗诵比赛中，晓晴根据七位评委所给的某位参赛选手的分数 制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 ８．５ ８．３ ８．１ ０．１５ 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是 （　Ｂ　） Ａ．平均数 Ｂ．中位数 Ｃ．众数 Ｄ．方差 １０．如图，点 Ｐ是 ｙ轴正半轴上的一动点，过点 Ｐ作 ＡＢ∥ｘ轴，分别交反比例函数 ｙ＝－２ ｘ（ｘ＜０）与 ｙ＝１ ｘ（ｘ＞０）的图象于点 Ａ，Ｂ，连接 ＯＡ，ＯＢ，则以下结论： ①ＡＰ＝２ＢＰ；②∠ＡＯＰ＝２∠ＢＯＰ；③△ＡＯＢ的面积为定值；④△ＡＯＢ是等腰三 角形，其中一定正确的有（　Ｂ　）个． Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 第 １０题图 二、填空题（共 ６题，每题 ４分，满分 ２４分．请将答案填在答题卡的相应位置） １１．化简：槡１２＝ 槡２ ３． １２．一个学习兴趣小组有 ３名女生，５名男生，现要从这 ８名学生中随机选出一人 担任组长，则男生当选组长的概率是 ５ ８． １３．若关于 ｘ的一元二次方程 ｘ２－４ｘ＋ｋ＝０有两个不相等的实数根，则 ｋ的值可 以是ｋ＝２（答案不唯一，只要是 ｋ＜４的数即可）（写出一个即可）． １４．正多边形的一个内角为 １５０°，则这个正多边形的边数为１２． １５．已知 ｍ＋ｎ＝４，ｍｎ＝２，则代数式 ３ｍｎ－２ｍ－２ｎ的值为 －２． １６．如图，矩形纸片 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＢＣ＝２，点 Ｍ，Ｎ分别在边 ＢＣ，ＡＤ上，将纸片 ＡＢＣＤ沿直线 ＭＮ对折，使点 Ａ落在 ＣＤ边上，则线段 ＢＭ 长的取值范围 是 ３ ４≤ｘ≤１． 第 １６题图 三、解答题（共 ９题，满分 ８６分，请将解答过程写在答题卡的相应位置，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．） １７．（本题满分 ８分）化简：（ ｘ ｘ＋２－ １ ｘ＋２）·ｘ２－４ ｘ－１． 解：原式 ＝ｘ－１ ｘ＋２·ｘ２－４ ｘ－１ ＝ｘ－１ ｘ＋２·（ｘ＋２）（ｘ－２） ｘ－１ ＝ｘ－２． １８．（本题满分 ８分）解不等式组 ２（ｘ＋１）≥０① １－ｘ ３＞ｘ－３ ６{ ②，并把解集在数轴上表示出来． 第 １８题图 解：解不等式①得 ｘ≥ －１， 解不等式②得 ｘ＜３， ∴不等式组的解集为 －１≤ｘ＜３， 不等式组的解集在数轴上表示如解图： 第 １８题解图 １９．（本题满分 ８分）如图，在ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别在边 ＡＤ，ＢＣ上，且 ＡＥ＝ＣＦ，连 接 ＥＦ．请你只用无刻度的直尺画出线段 ＥＦ的中点 Ｏ，并说明这样画的理由． 第 １９题图 　　　 第 １９题解图 解：如解图，连接 ＡＣ交 ＥＦ于点 Ｏ，则点 Ｏ就是 ＥＦ的中点． 理由如下：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ． ∴∠ＣＡＥ＝∠ＡＣＦ，∠ＡＥＦ＝∠ＣＦＥ． ∵ＡＥ＝ＣＦ， ∴△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ． ∴ＯＥ＝ＯＦ， ∴点 Ｏ是 ＥＦ的中点． ２０．（本题满分 ８分）某校为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若 干名学生进行问卷调查，问卷给出了四种上学方式供学生选择，每人只能选 一项，且不能不选，将调查得到的结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形 统计图（均不完整）． 根据以上信息，解答下列问题： （１）在这次调查中，一共抽取了８０名学生；（２分） （２）补全条形统计图；（３分） （３）如果全校有 １２００名学生，学校准备的 ４００个自行车停车位是否够用？（３ 分） 第 ２０题图 解：（１）８０； 【解法提示】用乘公交车的人数除以乘公交车的人数占总人数的百分比即 可求出抽样调查的总人数，即 ３２÷４０％ ＝８０（人）． （２）补全条形统计图如解图： 第 ２０题解图                                                                                                                                                     ７５ ０ 【解法提示】步行的人数可用抽样调查的总人数乘以步行人数占总人数的百 分比，即 ８０×２０％ ＝１６（人）．骑自行车的人数为 ８０－１６－３２－８＝２４（人）． （３）够用．骑自行车人数大约为２４ ８０×１２００＝３６０（人），∵４００＞３６０，∴学校准 备的 ４００个自行车停车位够用． ２１．（本题满分 ８分）如图，从 Ａ地到 Ｂ地的公路需要经过 Ｃ地，根据规划，将在 Ａ，Ｂ两地之间修一条笔直的公路．已知 ＡＣ＝１０千米，∠ＣＡＢ＝３４°，∠ＣＢＡ＝ ４５°，求改直后公路 ＡＢ的长（结果精确到 ０．１千米）． （参考数据：ｓｉｎ３４°≈０．５５９，ｃｏｓ３４°≈０．８２９，ｔａｎ３４°≈０．６７５） 第 ２１题图 　　　 第 ２１题解图 解：如解图，过点 Ｃ作 ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ． 在 Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｓｉｎ∠ＣＡＤ＝ＣＤ ＡＣ，ｃｏｓ∠ＣＡＤ＝ＡＤ ＡＣ， ∴ＣＤ＝１０·ｓｉｎ３４°≈１０×０．５５９＝５．５９（千米）， ＡＤ＝１０·ｃｏｓ３４°≈１０×０．８２９＝８．２９（千米）． 在 Ｒｔ△ＢＣＤ中，∠ＣＢＡ＝４５°， ∴ＤＢ＝ＣＤ≈５．５９（千米）， ∴ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ≈８．２９＋５．５９≈１３．９（千米）． 答：改直后公路 ＡＢ的长为 １３．９千米． 第 ２２题图 ２２．（本题满分 １０分）如图，直线 ｌ与⊙Ｏ相切于点 Ａ，点 Ｐ 在直线 ｌ上，直线 ＰＯ交⊙Ｏ于点 Ｂ，Ｃ，ＯＤ⊥ＡＢ，垂足为 Ｄ，交 ＰＡ于点 Ｅ． （１）判断直线 ＢＥ与⊙Ｏ的位置关系，并说明理由；（５ 分） （２）若 ＰＢ＝ＯＢ＝６，求 ) ＡＣ的长．（５分） 解：（１）ＢＥ与⊙Ｏ相切． 理由如下：∵ＯＡ＝ＯＢ，ＯＤ⊥ＡＢ，∴∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＤ． 又∵ＯＥ＝ＯＥ， ∴△ＯＢＥ≌△ＯＡＥ． ∴∠ＯＢＥ＝∠ＯＡＥ． ∵ＰＡ与⊙Ｏ相切于点 Ａ，∴∠ＯＡＥ＝９０°． ∴∠ＯＢＥ＝９０°． 又∵ＯＢ是⊙Ｏ的半径， ∴ＢＥ是⊙Ｏ的切线； （２）∵ＰＢ＝ＯＢ＝６， ∴ＯＡ＝６，ＯＰ＝１２． 在 Ｒｔ△ＯＰＡ中，ｓｉｎＰ＝ＯＡ ＯＰ＝６ １２＝１ ２， ∴∠Ｐ＝３０°， ∴∠ＡＯＣ＝∠Ｐ＋∠ＰＡＯ＝１２０°． ∴ｌ)ＡＣ ＝１２０π×６ １８０ ＝４π． ２３．（本题满分 １０分）甲乙两地相距 ８０００米．张亮骑自行车从甲地出发匀速前往 乙地，出发 １０分钟后，李伟步行从甲地出发同路匀速前往乙地．张亮到达乙 地后休息片刻，以原来的速度从原路返回．如图所示是两人离甲地的距离 ｙ （米）与李伟步行时间 ｘ（分）之间的函数图象． （１）求两人相遇时李伟离乙地的距离；（５分） （２）请你判断：当张亮返回到甲地时，李伟是否到达乙地？（５分） 第 ２３题图 解：（１）张亮的速度为 ８０００÷（１０＋３０）＝２００米／分， 根据图象两人相遇时他们离乙地的距离为（５０－３５）×２００＝３０００（米）． 即李伟离乙地的距离为 ３０００米； （２）李伟还没到达乙地． 理由如下：相遇后，张亮返回甲地用时为 （８０００－３０００）÷２００＝２５（分）． 李伟的速度为 ５０００÷５０＝１００米／分， 即李伟到达乙地还需用 ３０００÷１００＝３０（分）． 由于 ３０＞２５， 所以当张亮回到甲地时，李伟还没到达乙地． 第 ２４题图 ２４．（本题满分 １２分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， 点 Ｄ在 ＢＣ延长线上，连接 ＡＤ，过 Ｂ作 ＢＥ⊥ＡＤ，垂足为 Ｅ， 交 ＡＣ于点 Ｆ，连接 ＣＥ． （１）求证：△ＢＣＦ≌△ＡＣＤ；（４分） （２）猜想∠ＢＥＣ的度数，并说明理由；（４分） （３）探究线段 ＡＥ，ＢＥ，ＣＥ之间满足的等量关系，并说明理由．（４分） （１）证明：∵ＢＥ⊥ＡＤ，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＣＢＦ＝∠ＣＡＤ＝９０°－∠Ｄ． 又∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＤ＝９０°， ∴△ＢＣＦ≌△ＡＣＤ； （２）解：∠ＢＥＣ＝４５°， 理由如下：解法一： 如解图①，在 ＢＦ上截取 ＢＧ＝ＡＥ，连接 ＣＧ， 由（１）知∠ＣＢＦ＝∠ＣＡＤ， 又∵ＡＣ＝ＢＣ， ∴△ＢＣＧ≌△ＡＣＥ．（ＳＡＳ） ∴ＣＧ＝ＣＥ，∠ＢＣＧ＝∠ＡＣＥ． ∵∠ＢＣＧ＋∠ＡＣＧ＝９０°， ∴∠ＡＣＥ＋∠ＡＣＧ＝９０°，即∠ＥＣＧ＝９０°． ∴∠ＢＥＣ＝４５°． 第 ２４题解图① 解法二： 由（１）知∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＣＢＦ＝∠ＣＡＤ， ∴△ＡＥＦ∽△ＢＣＦ． ∴ＥＦ ＣＦ＝ＡＦ ＢＦ，即ＥＦ ＡＦ＝ＣＦ ＢＦ． ∵∠ＡＦＢ＝∠ＥＦＣ， ∴△ＥＦＣ∽△ＡＦＢ． ∴∠ＢＥＣ＝∠ＢＡＣ． 又∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＢＡＣ＝４５°，即∠ＢＥＣ＝４５°． 解法三： 如解图②，以 ＡＢ为直径作⊙Ｏ，连接 ＯＣ，ＯＥ， 第 ２４题解图② ∵∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°， ∴ＯＣ＝ＯＥ＝１ ２ＡＢ． 即 Ｃ，Ｅ都在以 ＡＢ为直径的⊙Ｏ上， ∵ ) ＢＣ＝ ) ＢＣ， ∴∠ＢＥＣ＝∠ＢＡＣ． ∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＢＡＣ＝４５°，即∠ＢＥＣ＝４５°； （３）解：ＢＥ－ＡＥ 槡＝ ２ＣＥ或 ＡＥ 槡＋ ２ＣＥ＝ＢＥ． 解法一： 如解图①，在 ＢＦ上截取 ＢＧ＝ＡＥ，连接 ＣＧ， 由（２）知△ＢＣＧ≌△ＡＣＥ，ＢＧ＝ＡＥ，∠ＥＣＧ＝９０°，∠ＢＥＣ＝∠ＥＧＣ＝４５°， ∴ＧＥ＝ ＣＧ２＋ＣＥ槡 ２ 槡＝ ２ＣＥ． ∵ＢＥ－ＢＧ＝ＧＥ， ∴ＢＥ－ＡＥ 槡＝ ２ＣＥ． 解法二： 如解图③，延长 ＡＤ到点 Ｈ，使得 ＡＨ＝ＢＥ，连接 ＣＨ， 第 ２４题解图③ 由（１）知，∠ＣＢＦ＝∠ＣＡＤ， 又∵ＡＣ＝ＢＣ，ＡＨ＝ＢＥ， ∴△ＢＣＥ≌△ＡＣＨ． ∴ＣＥ＝ＣＨ，∠ＣＥＢ＝∠ＣＨＡ． 由（２）得∠ＢＥＣ＝４５°， ∴∠ＣＨＡ＝∠ＣＥＢ＝４５°，∠ＣＥＨ＝９０°－４５°＝４５°， ∴∠ＥＣＨ＝９０°． ∴ＥＨ＝ ＣＨ２＋ＣＥ槡 ２ 槡＝ ２ＣＥ． ∵ＡＨ－ＡＥ＝ＥＨ， ∴ＢＥ－ＡＥ 槡＝ ２ＣＥ． 解法三： 如解图④，延长 ＤＡ到点 Ｐ，使得 ＥＰ＝ＢＥ，连接 ＢＰ                                                                                                                                                     ， ８５ ０ 第 ２４题解图④ 则△ＢＥＰ是等腰直角三角形， ∴∠Ｐ＝∠ＰＢＥ＝４５°，ＰＢ 槡＝ ２ＢＥ． ∵ＡＣ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ＝９０°， ∴∠ＡＢＣ＝４５°． ∴∠ＰＢＡ＝４５°－∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＣ． 由（２）知∠ＢＥＣ＝４５°， ∴∠Ｐ＝∠ＢＥＣ． ∴△ＰＢＡ∽△ＥＢＣ． ∴ＰＡ ＥＣ＝ＰＢ ＥＢ 槡＝ ２． ∴ＰＡ 槡＝ ２ＣＥ． ∵ＰＥ－ＡＥ＝ＰＡ， ∴ＢＥ－ＡＥ 槡＝ ２ＣＥ． ２５．（本题满分 １４分）定义：若抛物线 Ｌ２：ｙ＝ｍｘ２＋ｎｘ（ｍ≠０）与抛物线 Ｌ１：ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ（ａ≠０）的开口大小相同，方向相反，且抛物线 Ｌ２经过 Ｌ１的顶点，我们称抛 物线 Ｌ２为 Ｌ１的“友好抛物线”． （１）若 Ｌ１的表达式为 ｙ＝ｘ２－２ｘ，求 Ｌ１的“友好抛物线”的表达式；（４分） （２）已知抛物线 Ｌ２∶ｙ＝ｍｘ２＋ｎｘ为 Ｌ１∶ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ的“友好抛物线”，求证：抛 物线 Ｌ１也是 Ｌ２的“友好抛物线”；（５分） （３）平面上有点 Ｐ（１，０），Ｑ（３，０）．抛物线 Ｌ２：ｙ＝ｍｘ２ ＋ｎｘ为 Ｌ１：ｙ＝ａｘ２的“友 好抛物线”，且抛物线 Ｌ２的顶点在第一象限，纵坐标为 ２，当抛物线 Ｌ２与线段 ＰＱ没有公共点时，求 ａ的取值范围．（５分） （１）解：依题意，可设 Ｌ１的“友好抛物线”的表达式为 ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ， ∵Ｌ１：ｙ＝ｘ２－２ｘ＝（ｘ－１）２－１， ∴Ｌ１的顶点为（１，－１）． ∵ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ过点（１，－１）， ∴代入得 －１＝－１２＋ｂ，即 ｂ＝０． ∴Ｌ１的“友好抛物线”为 ｙ＝－ｘ２； （２）证明：∵Ｌ２：ｙ＝ｍｘ２＋ｎｘ的顶点为（－ｎ ２ｍ，－ｎ２ ４ｍ）， Ｌ１：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ的顶点为（－ｂ ２ａ，－ｂ２ ４ａ）． 又∵Ｌ２为 Ｌ１的“友好抛物线”， ∴ｍ ＝－ａ． ∵Ｌ２过 Ｌ１的顶点， ∴ －ｂ２ ４ａ＝ｍ×（－ｂ ２ａ）２＋ｎ×（－ｂ ２ａ）． 化简得 ｂｎ＝０． 把 ｘ＝－ｎ ２ｍ代入 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，得： ｙ＝ａ×（－ｎ ２ｍ）２＋ｂ×（－ｎ ２ｍ）＝－ｎ２ ４ｍ－ｂｎ ２ｍ＝－ｎ２ ４ｍ， ∴抛物线 Ｌ１经过 Ｌ２的顶点． 又∵Ｌ１与 Ｌ２的开口大小相同，方向相反， ∴抛物线 Ｌ１也是 Ｌ２的“友好抛物线”； （３）解：依题意，ｍ＝－ａ， ∴Ｌ２：ｙ＝－ａｘ２＋ｎｘ的顶点为（ｎ ２ａ，ｎ２ ４ａ）． ∴ｎ２ ４ａ＝２，即 ａ＝１ ８ｎ２＞０． 当 Ｌ２经过点 Ｐ（１，０）时，－ａ＋ｎ＝０， ∴ａ＝８． 当 Ｌ２经过点 Ｑ（３，０）时，－９ａ＋３ｎ＝０， ∴ａ＝８ ９． ∴当抛物线 Ｌ２与线段 ＰＱ没有公共点时，０＜ａ＜８ ９或 ａ＞８                                                                                                           ． ９５ 　　　 　 ２０１７年南平市初中毕业班适应性检测 数 学 试 题 （考试时间：１２０分钟　满分：１５０分） ★友情提示：①所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效； ②试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题（本大题共 １０小题，每小题 ４分，共 ４０分．每小题只有一个正确的选 项，请在答题卡的相应位置填涂） １．计算：（－３）２＝ （　Ａ　） Ａ．９ Ｂ．－９ Ｃ．６ Ｄ．－６ ２．２０１６年，南平市生产总值（ＧＤＰ）完成 １４５７７４００００００元，将 １４５７７４００００００用科 学记数法表示为 （　Ｃ　） Ａ．１４５７７４×１０６　Ｂ．１４５７７．４×１０７　Ｃ．１．４５７７４×１０１１　Ｄ．０．１４５７７４×１０１２ ３．下列调查中，适宜采用普查方式的是 （　Ｄ　） Ａ．对一批 ＬＥＤ节能灯使用寿命的调查 Ｂ．对冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查 Ｃ．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 Ｄ．对大型民用直升机各零部件的检查 ４．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点 Ｏ，ＡＢ∥ＯＣ，ＣＤ与 ＯＡ 交于点 Ｅ，已知∠Ａ＝３０°，则∠ＤＥＯ的度数为 （　Ｄ　） Ａ．４５° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．７５° 第 ４题图 ５．若 ａ 槡＜ １７－２＜ｂ，且 ａ，ｂ是两个连续整数，则 ａ＋ｂ的值是 （　Ａ　） Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ ６．如图是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，则它的左视图是 （　Ｄ　） 第 ６题图 　　 ７．若一组数据 ２，３，４，５，ｘ的方差与另一组数据 ２５，２６，２７，２８，２９的方差相等，则 ｘ的值为 （　Ｃ　） Ａ．１ Ｂ．６ Ｃ．１或 ６ Ｄ．５或 ６ ８．如图，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，分别以点 Ａ和点 Ｃ为圆心，以相同的长（大于 １ ２ＡＣ）为半径作弧，两弧相交于点 Ｍ和点 Ｎ，作直线 ＭＮ交 ＡＢ于点 Ｄ，交 ＡＣ 于点 Ｅ，接连 ＣＤ．下列结论错误的是 （　Ｂ　） Ａ．ＡＤ＝ＣＤ　　Ｂ．∠Ａ＝２∠ＤＣＢ　　Ｃ．∠ＡＤＥ＝∠ＤＣＢ　　Ｄ．∠Ａ＝∠ＤＣＡ 第 ８题图 　　　　 第 ９题图 ９．如图，矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝２，Ｏ为对角线 ＡＣ的中点，点 Ｐ，Ｑ分别从 Ａ 和 Ｂ两点同时出发，在边 ＡＢ和 ＢＣ上匀速运动，并且同时到达终点 Ｂ，Ｃ，连接 ＰＯ，ＱＯ并延长分别与 ＣＤ、ＤＡ交于点 Ｍ，Ｎ．在整个运动过程中，图中阴影部分 面积的大小变化情况是 （　Ｃ　） Ａ．一直增大 Ｂ．一直减小 Ｃ．先减小后增大 Ｄ．先增大后减小 １０．对某一个函数给出如下定义：如果存在常数 Ｍ，对于任意的函数值 ｙ，都满足 ｙ ≤Ｍ，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的 Ｍ中，其最小值称为 这个函数的上确界．例如，函数 ｙ＝－（ｘ＋１）２ ＋２，ｙ≤２，因此是有上界函数， 其上确界是 ２．如果函数 ｙ＝－２ｘ＋１（ｍ≤ｘ≤ｎ，ｍ＜ｎ）的上确界是 ｎ，且这个 函数的最小值不超过 ２ｍ，则 ｍ的取值范围是 （　Ｂ　） Ａ．ｍ≤ １ ３ Ｂ．ｍ＜１ ３ Ｃ．１ ３＜ｍ≤ １ ２ Ｄ．ｍ≤ １ ２ 二、填空题（本大题共 ６小题，每空 ４分，共 ２４分．将答案填入答题卡的相应位置） １１．若代数式 １－槡 ｘ有意义，则实数 ｘ的取值范围是ｘ≤１． １２．因式分解：３ａｘ２＋６ａｘ＋３ａ＝３ａ（ｘ＋１）２． １３．两组数据：３，５，２ａ，ｂ与 ｂ，６，ａ的平均数都是 ６，若将这两组数据合并为一组数 据，则这组新数据的众数为８． １４．如图，已知 ＡＤ∥ＢＣ，要使四边形 ＡＢＣＤ为平行四边形需要增加的一个条件 是：ＡＤ＝ＢＣ或 ＡＢ∥ＤＣ或∠Ａ＝∠Ｃ或∠Ｂ＝∠Ｄ．（只填一个你认为正确的 条件即可，不添加任何线段与字母） 第 １４题图 　　　　 第 １５题图 １５．如图，已知菱形 ＡＢＣＤ的边长为 ４，∠Ｂ＝６０°，点 Ｏ为对角线 ＡＣ的中点，⊙Ｏ 半径为 １，点 Ｐ为 ＣＤ边上一动点，ＰＥ与⊙Ｏ相切于点 Ｅ，则 ＰＥ的最小值 是槡２． １６．有 Ａ，Ｂ，Ｃ三种不同型号的卡片，每种卡片各有 ７张．其中 Ａ型卡片是边长为 ２的正方形，Ｂ型卡片是长为 ２、宽为 １的矩形，Ｃ型卡片是边长为 １的正方 形．从其中取出若干张卡片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一 个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分）．可以拼成５种面积 不同的正方形． 三、解答题（本大题共 ９小题，共 ８６分．在答题卡的相应位置作答） １７．（８分）计算：｜－５｜＋ｔａｎ４５°－ ３ 槡－８． 解：原式 ＝５＋１－（－２） ＝８． １８．（８分）先化简，再求值：２ｂ２＋（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）－（ａ－ｂ）２，其中 ａ＝－３，ｂ＝１ ２． 解：原式 ＝２ｂ２＋ａ２－ｂ２－（ａ２＋ｂ２－２ａｂ） ＝２ｂ２＋ａ２－ｂ２－ａ２－ｂ２＋２ａｂ ＝２ａｂ， 当 ａ＝－３，ｂ＝１ ２时，原式 ＝２×（－３）×１ ２＝－３． １９．（８分）解分式方程： ３ ｘ－２＝５ ｘ． 解：３ｘ＝５（ｘ－２）， ３ｘ＝５ｘ－１０， ３ｘ－５ｘ＝－１０， －２ｘ＝－１０， ｘ＝５． 经检验 ｘ＝５是原方程的解，∴ｘ＝５． ２０．（８分）如图是由 ２４个边长为 １的小正方形组成的 ６×４网格，此时小正方形 的顶点称为格点，顶点在格点上的三角形称为格点三角形．已知△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝２，ＡＣ 槡＝ ５，ＢＣ 槡＝ １３． （１）在图①所给的网格中画出格点△ＡＢＣ； （２）在图②所给的网格中共能画出４个与△ＡＢＣ相似且面积最大的格点三角 形，并画出其中一个（不需证明）． 第 ２０题图 解：（１）画出△ＡＢＣ如解图①； （２）４； 如解图②．（△ＤＥＦ，△ＨＧＭ，△ＦＮＥ，△ＭＰＨ，只要画出其中的一个即可） 第 ２０题解图 ２１．（８分）某校在七、八年级开展以“百日攻坚战，再上新台阶，建设新南平”为主 题的征文活动，校学生会对这两个年级所有班级的投稿情况进行统计，并制 成了如图所示的两幅不完整的统计图． （１）投稿 ２篇的班级个数在扇形统计图中所对应的扇形的圆心角等于３０°； （２）求该校七、八年级各班投稿的平均篇数； （３）投稿 ９篇的 ４个班级中，七、八年级各有两个班，学校准备从这四个班中 选出两个班代表学校参加上一级的比赛，请你用列表法或画树状图的方法求 出所选两个班不在同一年级的概率． 第 ２１题图 解：（１）３０； 【解法提示】由条形统计图可知投稿 ６篇的班级个数为 ３个，所占百分比为 ２５％，∴班级总数为 ３÷２５％ ＝１２（个）．∴投稿 ２篇的班级个数在扇形统计 图中所对应的圆心角为 １ １２×３６０°＝３０                                                                                                                                                     °． ０６ ０ （２）班级总数 ＝ ３ ２５％ ＝１２（个）． 投稿 ５篇的班级有 １２－１－２－３－４＝２（个）． ∴１×２＋２×３＋２×５＋３×６＋４×９ １２ ＝６（篇）． ∴该校七、八年级各班投稿的平均篇数为 ６篇； （３）设七年级两个班级为 ａ１，ａ２，八年级两个班级为 ｂ１，ｂ２，可列表如下： ａ１ ａ２ ｂ１ ｂ２ ａ１ （ａ１，ａ２） （ａ１，ｂ１） （ａ１，ｂ２） ａ２ （ａ２，ａ１） （ａ２，ｂ１） （ａ２，ｂ２） ｂ１ （ｂ１，ａ１） （ｂ１，ａ２） （ｂ１，ｂ２） ｂ２ （ｂ２，ａ１） （ｂ２，ａ２） （ｂ２，ｂ１） 或画树状图如解图： 第 ２１题解图 结果为：ａ１ａ２，ａ１ｂ１，ａ１ｂ２，ａ２ａ１，ａ２ｂ１，ａ２ｂ２，ｂ１ａ１，ｂ１ａ２，ｂ１ｂ２，ｂ２ａ１，ｂ２ａ２，ｂ２ｂ１，一 共 １２种等可能的情况，其中符合条件的有 ８种． ∴Ｐ（所选两个班正好不在同一年级）＝８ １２＝２ ３． ２２．（１０分）如图，已知点 Ａ（６，０），Ｂ（０， 槡２ ３），Ｏ为坐标原点，点 Ｏ关于直线 ＡＢ 的对称点 Ｃ恰好落在反比例函数 ｙ＝ｋ ｘ（ｋ＞０）的图象上，求 ｋ的值． 第 ２２题图 　　　　 第 ２２题解图 解：∵点 Ａ（６，０），Ｂ（０， 槡２ ３）， ∴ＯＡ＝６，ＯＢ 槡＝２ ３． 在 Ｒｔ△ＡＯＢ中，ｔａｎ∠ＢＡＯ＝ＯＢ ＯＡ＝槡３ ３， ∴∠ＢＡＯ＝３０°． 如解图，连接 ＯＣ，过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ＡＯ于 Ｆ点． ∵点 Ｏ关于直线 ＡＢ的对称点是 Ｃ， ∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＯＡ＝ＡＣ，∠ＡＯＣ＝６０°． ∴△ＡＯＣ为等边三角形，ＡＯ＝ＣＯ＝６， ∵ＣＦ⊥ＡＯ，∴ＯＦ＝１ ２ＯＡ＝３，ＣＦ＝ＯＣ·ｓｉｎ∠ＦＯＣ 槡＝３ ３． 则点 Ｃ的坐标为（３， 槡３ ３）． ∵点 Ｃ在反比例函数 ｙ＝ｋ ｘ（ｋ＞０）的图象上， ∴ｋ 槡 槡＝３×３ ３＝９ ３． ２３．（１０分）如图，ＡＢ为⊙Ｏ直径，且弦 ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｅ，过点 Ｂ作⊙Ｏ的切线与 ＡＤ的延长线交于点 Ｆ． （１）若 ＥＮ⊥ＢＣ于点 Ｎ，延长 ＮＥ与 ＡＤ相交于点 Ｍ．求证：ＡＭ＝ＭＤ； （２）若⊙Ｏ的半径为 １０，且 ｃｏｓＣ＝４ ５，求切线 ＢＦ的长． 第 ２３题图 （１）证明：证法一：∵∠Ａ与∠Ｃ对同弧 ＢＤ， ∴∠Ａ＝∠Ｃ． ∵ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｅ， ∴∠ＣＥＢ＝９０°， ∴∠Ｃ＋∠ＣＢＥ＝９０°． ∵ＭＮ⊥ＢＣ，∴∠ＮＥＢ＋∠ＣＢＥ＝９０°． ∴∠Ｃ＝∠ＮＥＢ． ∵∠ＮＥＢ＝∠ＡＥＭ， ∴∠ＡＥＭ＝∠Ａ， ∴ＡＭ＝ＭＥ． ∵∠ＡＥＭ＝∠Ａ，∠ＭＥＤ＋∠ＡＥＭ＝９０°，∠ＥＤＡ＋∠Ａ＝９０°， ∴∠ＭＥＤ＝∠ＥＤＡ， ∴ＭＥ＝ＭＤ， ∴ＡＭ＝ＭＤ； 证法二：∵∠ＣＤＡ与∠ＣＢＡ对同弧 ＡＣ， ∴∠ＣＤＡ＝∠ＣＢＡ． ∵ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｅ， ∴∠ＡＥＤ＝９０°． ∴∠ＭＥＤ＋∠ＭＥＡ＝９０°． ∵ＭＮ⊥ＢＣ， ∴∠ＥＮＢ＝９０°， ∴∠ＣＢＡ＋∠ＢＥＮ＝９０°， ∵∠ＭＥＡ＝∠ＢＥＮ， ∴∠ＭＥＤ＝∠ＣＢＡ． ∴∠ＭＥＤ＝∠ＣＤＡ， ∴ＭＥ＝ＭＤ； ∵∠ＭＥＤ＋∠ＡＥＭ＝９０°，∠ＣＤＡ＋∠Ａ＝９０°， ∴∠ＡＥＭ＝∠Ａ． ∴ＡＭ＝ＭＥ． ∴ＡＭ＝ＭＤ； （２）解：∵ＢＦ与⊙Ｏ相切于点 Ｂ，∴ＡＢ⊥ＢＦ． ∴∠ＡＢＦ＝９０°． ∵∠Ｃ与∠Ａ对同弧 ＢＤ，∴∠Ｃ＝∠Ａ， ∴ｃｏｓＡ＝ｃｏｓＣ＝４ ５． ∴ｃｏｓＡ＝ＡＢ ＡＦ＝４ ５，∴ＡＦ＝５ ４ＡＢ＝５ ４×２０＝２５， ∴ＢＦ＝ ＡＦ２－ＡＢ槡 ２＝ ２５２－２０槡 ２＝１５． ２４．（１２分）如图，已知二次函数 ｙ＝ａｘ２ ＋ｂｘ＋ｃ的图象经过 Ａ（３，０），Ｂ（０，１），Ｃ （２，２）三点． （１）求二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的解析式； （２）设点 Ｄ（６ ５，ｍ）在二次函数的图象上，将∠ＡＣＢ绕点 Ｃ按顺时针方向旋转 至∠ＦＣＥ，使得射线 ＣＥ与 ｙ轴的正半轴交于点 Ｅ，且经过点 Ｄ，射线 ＣＦ与线 段 ＯＡ交于点 Ｆ．求证：ＢＥ＝２ＦＯ； （３）是否存在点 Ｈ（ｎ，２），使得点 Ａ，Ｄ，Ｈ构成的△ＡＤＨ是直角三角形？若存 在，有几个符合条件的点 Ｈ？（直接回答，不必说明理由） 第 ２４题图 　　　　 第 ２４题解图① （１）解：把 Ａ（３，０），Ｂ（０，１），Ｃ（２，２）代入 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ， 得 ９ａ＋３ｂ＋ｃ＝０ ｃ＝１ ４ａ＋２ｂ＋ｃ{ ＝２ ，解得 ａ＝－５ ６ ｂ＝１３ ６ ｃ      ＝１ ． ∴二次函数的解析式为 ｙ＝－５ ６ｘ２＋１３ ６ｘ＋１； （２）证明：如解图①，过点 Ｃ作 ＣＭ⊥ＯＡ于点 Ｍ，ＣＮ⊥ｙ轴于点 Ｎ． ∵Ａ（３，０），Ｂ（０，１），Ｃ（２，２）， ∴ＣＭ＝ＣＮ＝２，ＣＡ＝ＣＢ 槡＝ ５． ∴Ｒｔ△ＮＢＣ≌Ｒｔ△ＭＡＣ． ∴∠ＣＡＦ＝∠ＣＢＥ． ∵将∠ＡＣＢ绕点 Ｃ按顺时针方向旋转至∠ＦＣＥ． ∴∠ＦＣＥ＝∠ＡＣＢ． ∴∠ＦＣＥ－∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＢ－∠ＢＣＦ，即∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＥ． 又∵ＣＢ＝ＣＡ． ∴△ＡＣＦ≌△ＢＣＥ（ＡＳＡ）， ∴ＡＦ＝ＢＥ． ∵二次函数的解析式 ｙ＝－５ ６ｘ２＋１３ ６ｘ＋１，当 ｘ＝６ ５时，ｍ＝１２ ５． ∴Ｄ（６ ５，１２ ５）． 设直线 ＣＤ：ｙ＝ｋｘ＋ｂ，把 Ｃ（２，２），Ｄ（６ ５，１２ ５）代 入 得 ２ｋ＋ｂ＝２ ６ ５ｋ＋ｂ＝１２{ ５ ，解 得 ｋ＝－１ ２ ｂ{ ＝３ ． ∴直线 ＣＤ：ｙ＝－１ ２ｘ＋３． ∴Ｅ（０，３），ＢＥ＝２，∴ＡＦ＝ＢＥ＝２． ∴ＦＯ＝ＯＡ－ＡＦ＝１， ∴ＢＥ＝２ＦＯ                                                                                                                                                   ； １６ ０ （３）解：存在 ４个符合条件的点 Ｈ，使得点 Ａ，Ｄ，Ｈ构成的△ＡＤＨ是直角三 角形． 【解法提示】如解图②，有四个符合条件的 Ｈ点，使得点 Ａ，Ｄ，Ｈ构成的 △ＡＤＨ是直角三角形：①过 Ｄ作 ＤＨ１⊥ＡＤ，交直线 ｙ＝２于点 Ｈ１；②过 Ａ作 ＡＨ２⊥ＡＤ，交直线 ｙ＝２于点 Ｈ２；③以 ＡＤ为直径画圆，交直线 ｙ＝２于 Ｈ３、 Ｈ４．∴存在 ４个符合条件的点 Ｈ，使得点 Ａ，Ｄ，Ｈ构成的△ＡＤＨ是直角三 角形． 第 ２４题解图② ２５．（１４分）如图，已知正方形 ＡＢＣＤ的边长为 ２，以 ＤＣ为底向正方形外作等腰 △ＤＥＣ，连接 ＡＥ，以 ＡＥ为腰作等腰△ＡＥＦ，使得 ＥＡ＝ＥＦ，且∠ＤＥＣ＝∠ＡＥＦ． （１）求证：△ＥＤＣ∽△ＥＡＦ； （２）求 ＤＥ·ＢＦ的值； （３）连接 ＣＦ，ＡＣ，当 ＣＦ⊥ＡＣ时，求∠ＤＥＣ的度数． 第 ２５题图 （１）证明：∵△ＡＥＦ和△ＤＥＣ是等腰三角形，且∠ＤＥＣ＝∠ＡＥＦ， ∴∠ＥＡＦ＝１８０°－∠ＡＥＦ ２ ， ∠ＥＤＣ＝１８０°－∠ＤＥＣ ２ ． ∴∠ＥＡＦ＝∠ＥＤＣ． ∴△ＥＤＣ∽△ＥＡＦ； （２）解：由（１）得△ＥＤＣ∽△ＥＡＦ， ∴ＥＤ ＤＣ＝ＥＡ ＡＦ． ∵ＤＣ＝ＡＢ，∴ＥＤ ＡＢ＝ＥＡ ＡＦ． ∵∠ＤＥＡ＝１８０°－９０°－∠ＥＤＣ－∠ＤＡＥ＝９０°－∠ＥＤＣ－∠ＤＡＥ， ∠ＢＡＦ＝９０°－∠ＥＡＦ－∠ＤＡＥ， ∴∠ＢＡＦ＝∠ＤＥＡ． ∴△ＢＡＦ∽△ＤＥＡ． ∴ＢＦ ＤＡ＝ＡＢ ＤＥ，即 ＤＥ·ＢＦ＝ＤＡ·ＡＢ＝４； （３）解：∵∠ＤＥＣ＝∠ＡＥＦ， ∴∠ＤＥＡ＝∠ＣＥＦ． ∵ＤＥ＝ＣＥ，ＡＥ＝ＦＥ， ∴△ＡＤＥ≌△ＦＣＥ（ＳＡＳ）． ∴ＡＤ＝ＦＣ＝ＢＣ． ∵△ＢＡＦ∽△ＤＥＡ， ∴∠ＡＢＦ＝∠ＥＤＡ，∠ＦＢＣ＝∠ＣＤＥ． ∵△ＣＢＦ和△ＥＤＣ是等腰三角形． ∴∠ＢＣＦ＝∠ＤＥＣ． ∵ＣＦ⊥ＡＣ，∴∠ＡＣＦ＝９０°． ∵∠ＡＣＢ＝４５°，∴∠ＢＣＦ＝４５°． ∴∠ＤＥＣ＝４５                                              °． ２６ ０