2013吉林省中考数学试题（含答案） 23页

吉林省2013年中考数学试卷 一、单选题（每小题2分，共12分）‎ ‎1．（2分）（2013•吉林）计算：﹣2+1的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎﹣1‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎﹣3‎ 考点：‎ 有理数的加法．‎ 分析：‎ 符号不相同的异号加减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，所以﹣2+1=﹣1．‎ 解答：‎ 解：﹣2+1=﹣1．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了有理数的加法法则：符号不相同的异号加减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．‎ ‎　‎ ‎2．（2分）（2013•吉林）不等式2x﹣1＞3的解集（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＞1‎ B．‎ x＞﹣2‎ C．‎ x＞2‎ D．‎ x＜2‎ 考点：‎ 解一元一次不等式；不等式的性质 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 移项合并同类项得到2x＞4，不等式的两边同除以2即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：2x﹣1＞3，‎ 移项得：2x＞3+1，‎ 合并同类项得：2x＞4，‎ ‎∴不等式的解集是x＞2．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能熟练地根据不等式的性质解不等式是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2分）（2013•吉林）用6个完全相同的小正方体组合成如图所示的立方体图形，它的主视图为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．‎ 分析：‎ 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ 解答：‎ 解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层有3个正方形．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎4．（2分）（2013•吉林）如图所示，体育课上，小丽的铅球成绩为6.4m，她投出的铅球落在（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 区域①‎ B．‎ 区域②‎ C．‎ 区域③‎ D．‎ 区域④‎ 考点：‎ 近似数和有效数字．‎ 分析：‎ 根据小丽的铅球成绩为6.4m，得出其所在的范围，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵6＜6.4＜7，‎ ‎∴她投出的铅球落在区域④；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了近似数，关键是根据6.4求出其所在的范围，用到的知识点是近似数．‎ ‎　‎ ‎5．（2分）（2013•吉林）端午节期间，某市一周每天最高气温（单位：℃）情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎22‎ B．‎ ‎24‎ C．‎ ‎25‎ D．‎ ‎27‎ 考点：‎ 中位数；折线统计图．‎ 分析：‎ 根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可．‎ 解答：‎ 解：把这组数据从小到大排列为：20，22，22，24，25，26，27，‎ 最中间的数是24，‎ 则中位数是24；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．‎ ‎　‎ ‎6．（2分）（2013•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ h＞0，k＞0‎ B．‎ h＜0，k＞0‎ C．‎ h＜0，k＜0‎ D．‎ h＞0，k＜0‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 根据抛物线所的顶点坐标在x轴的上方即可得出结论．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线y=﹣2（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，‎ ‎∴h＞0，k＞0．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎7．（3分）（2013•吉林）计算：=　2　．‎ 考点：‎ 二次根式的乘除法 分析：‎ 首先二次根式的乘法法则进行解答，然后化简．‎ 解答：‎ 解：原式=．‎ 故答案为2．‎ 点评：‎ 本题主要考查二次根式的乘法运算，关键在于正确的运用运算法则，最后要把结果化为最简根式．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•吉林）若a﹣2b=3，则2a﹣4b﹣5=　1　．‎ 考点：‎ 代数式求值．‎ 分析：‎ 把所求代数式转化为含有（a﹣2b）形式的代数式，然后将a﹣2b=3整体代入并求值即可．‎ 解答：‎ 解：2a﹣4b﹣5‎ ‎=2（a﹣2b）﹣5‎ ‎=2×3﹣5‎ ‎=1．‎ 故答案是：1．‎ 点评：‎ 本题考查了代数式求值．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a﹣2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•吉林）若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=　3　．‎ 考点：‎ 解一元二次方程-配方法．‎ 分析：‎ 此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：‎ ‎（1）把常数项移到等号的右边；‎ ‎（2）把二次项的系数化为1；‎ ‎（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．‎ 解答：‎ 解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 x2+6x+32=7+32，‎ 配方，得 ‎（x+3）2=16．‎ 所以，m=3．‎ 故填：3．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：‎ ‎（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．‎ ‎（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•吉林）分式方程的解为x=　2　．‎ 考点：‎ 解分式方程．‎ 分析：‎ 观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：‎ 解：去分母得：2（x+1）=3x，‎ 去括号得：2x+2=3x，‎ 移项得：2x﹣3x=﹣2，‎ 合并同类项得：﹣x=﹣2，‎ 把x的系数化为1得：x=2，‎ 检验：把x=2代入最简公分母x（x+1）=6≠0，‎ 故原分式方程的解为：x=2．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 此题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•吉林）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′=　20　度．‎ 考点：‎ 旋转的性质．‎ 分析：‎ 根据旋转的性质可得AB=AB′，∠BAB′=40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，‎ ‎∴AB=AB′，∠BAB′=40°，‎ 在△ABB′中，∠ABB′=（180°﹣∠BAB′）=（180°﹣40°）=70°，‎ ‎∵∠AC′B′=∠C=90°，‎ ‎∴B′C′⊥AB，‎ ‎∴∠BB′C′=90°﹣∠ABB′=90°﹣70°=20°．‎ 故答案为：20．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为　（4，0）　．‎ 考点：‎ 勾股定理；坐标与图形性质 分析：‎ 首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC﹣AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．‎ 解答：‎ 解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8），‎ ‎∴AO=6，BO=8，‎ ‎∴AB==10，‎ ‎∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，‎ ‎∴AB=AC=10，‎ ‎∴OC=AC﹣AO=4，‎ ‎∵交x正半轴于点C，‎ ‎∴点C的坐标为（4，0），‎ 故答案为：（4，0）．‎ 点评：‎ 本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•吉林）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是　6　cm（写出一个符合条件的数值即可）‎ 考点：‎ 垂径定理；勾股定理．‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AB，即可得出AP的范围是大于等于5cm且小于等于8cm，举出即可．‎ 解答：‎ 解：∵OC⊥AB，‎ ‎∴∠ACO=90°，‎ ‎∵OA=5cm，OC=3cm，‎ ‎∴由勾股定理得：AC==4cm，‎ ‎∴由垂径定理得：AB=2AC=8cm，‎ 只要举出的数大于等于5且小于等于8cm即可，如6cm，‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是求出AP的范围．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB的长度为a，BC的长度为b，其中b＜a＜b．将此矩形纸片按下列顺序折叠，则C′D′的长度为　3a﹣2b　（用含a、b的代数式表示）．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）‎ 分析：‎ 由轴对称可以得出A′B=AB=a，就有A′C=b﹣a，从而就有A′C′=b﹣a，就可以得出C′D′=a﹣2（b﹣a），化简就可以得出结论．‎ 解答：‎ 解：由轴对称可以得出A′B=AB=a，‎ ‎∵BC=b，‎ ‎∴A′C=b﹣a．‎ 由轴对称可以得出A′C′=b﹣a，‎ ‎∴C′D′=a﹣2（b﹣a），‎ ‎∴C′D′=3a﹣2b．‎ 故答案为：3a﹣2b．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称的运用，代数式的运用，折叠问题在实际问题中的运用，解答本题时利用折叠问题抓住在折叠变化中不变的线段是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（每小题5分，共20分）‎ ‎15．（5分）（2013•吉林）先化简，再求值：+，其中a=3，b=1．‎ 考点：‎ 分式的化简求值 分析：‎ 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=3，b=1代入原式进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=+‎ ‎=‎ ‎=，‎ 当a=3，b=1时，原式==．‎ 点评：‎ 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2013•吉林）在一个不透明的箱子中装有3个小球，分别标有A，B，C．这3个小球除所标字母外，其它都相同．从箱子中随机地摸出一个小球，然后放回；再随机地摸出一个小球．请你用画树形图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标字不同的概率．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法 分析：‎ 依据题意画树状图法分析所有可能的出现结果即可解答．‎ 解答：‎ 解：如图所示：‎ P（两次摸出的小球所标字母不同）==．‎ 点评：‎ 此题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）（2013•吉林）吉林人参是保健佳品．某特产商店销售甲、乙两种保健人参．甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元王叔叔用1200元在此特产商店购买这两种人参共15棵．求王叔叔购买每种人参的棵数．‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用 ‎ ‎ 分析：‎ 设王叔叔购买了甲种人参x棵，购买了乙种人参y棵，根据条件可以建立方程x+y=15和100x+70y=1200，由这两个方程构成方程组求出其解即可．‎ 解答：‎ 解：设王叔叔购买了甲种人参x棵，购买了乙种人参y棵，由题意，得 ‎，‎ 解得：．‎ 答：王叔叔购买了甲种人参5棵，购买了乙种人参10棵．‎ 点评：‎ 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时找到反应整个题意的两个等量关系建立方程是关键．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）（2013•吉林）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在每个网格中标注了5个格点．按下列要求画图：‎ ‎（1）在图①中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个；‎ ‎（2）在图②中，以格点为顶点，画一个正方形，使其内部已标注的格点只有3个，且边长为无理数．‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质 分析：‎ 根据要求画图即可．（1）至少要有两条边相等；（2）四条边相等，四个角都是直角即可．‎ 解答：‎ 解：（1）部分画法如图所示：‎ ‎（2）部分画法如图所示：‎ 点评：‎ 本题考查的是应用与设计作图，熟知等腰三角形与正方形的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 四、解答题（每小题7分，共28分）‎ ‎19．（7分）（2013•吉林）“今天你光盘了吗？”这是国家倡导“厉行节约，反对浪费”以来的时尚流行语．某校团委随机抽取了部分学生，对他们进行了关于“光盘行动”所持态度的调查，并根据调查收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图：‎ 根据上述信息，解答下列问题：‎ ‎（1）抽取的学生人数为　200　；‎ ‎（2）将两幅统计图补充完整；‎ ‎（3）请你估计该校1200名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 分析：‎ ‎（1）根据扇形统计图所给的数据，求出赞成的所占的百分比，再根据赞成的人数，即可求出总人数；‎ ‎（2）根据总人数和所占的百分比，即可补全统计图；‎ ‎（3）用赞成所占的百分比乘以总人数，即可得出该校1200名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数．‎ 解答：‎ 解：（1）赞成的所占的百分比是1﹣30%﹣10%=60%，‎ 抽取的学生人数为：120÷60%=200（人）；‎ 故答案为：200．‎ ‎（2）根据题意得：‎ 无所谓的人数是：200×30%=60（人），‎ 反对的人数是：200×10%=20（人），‎ 补图如下：‎ ‎（3）根据题意得：‎ ‎1200×60%=720（人），‎ 答：该校1200名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数有720人．‎ 点评：‎ 此题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）（2013•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△BCE；‎ ‎（2）若AC=3cm，则BE=　6　cm．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 分析：‎ ‎（1）求出∠ACD=∠BCE，根据SAS推出两三角形全等即可；‎ ‎（2）根据全等得出AD=BE，根据勾股定理求出AB，即可求出AD，代入求出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，‎ ‎∴CD=CE，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACB=∠DCE，‎ ‎∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，‎ ‎∴∠ACD=∠BCE，‎ 在△ACD和△BCE中 ‎，‎ ‎∴△ACD≌△BCE；‎ ‎（2）解：∵AC=BC=3，∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=3，‎ 又∵DB=AB，‎ ‎∴AD=2AB=6，‎ ‎∵△ACD≌△BCE；‎ ‎∴BE=AD=6，‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2013•吉林）某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：‎ 课题 测量教学楼高度 方案 一 二 图示 测得数据 CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°，‎ EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43°‎ 参考数据 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，‎ tan22°≈0.40‎ sin13°≈0.22，cos13°≈0.97‎ tan13°≈0.23‎ sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62‎ sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93‎ 请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度（结果保留整数）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用 分析：‎ 若选择方法一，在Rt△BGC中，根据CG=即可得出CG的长，同理，在Rt△ACG中，根据tan∠ACG=可得出AG的长，根据AB=AG+BG即可得出结论．‎ 若选择方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB=可得出FB的长，同理，在Rt△ABE中，由tan∠AEB=可求出EB的长，由EF=EB﹣FB且EF=10，可知﹣=10，故可得出AB的长．‎ 解答：‎ 解：若选择方法一，解法如下：‎ 在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9，‎ ‎∵CG=≈=30，‎ 在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°，‎ ‎∵tan∠ACG=，‎ ‎∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12，‎ ‎∴AB=AG+BG=12+6.9≈19（米）．‎ 答：教学楼的高度约19米．‎ 若选择方法二，解法如下：‎ 在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°，‎ ‎∵tan∠AFB=，‎ ‎∴FB=≈，‎ 在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°，‎ ‎∵tan∠AEB=，‎ ‎∴EB=≈，‎ ‎∵EF=EB﹣FB且EF=10，‎ ‎∴﹣=10，解得AB=18.6≈19（米）．‎ 答：教学楼的高度约19米．‎ 点评：‎ 本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（7分）（2013•吉林）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P是该反比例函数图象上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）判断△QOC与△POD的面积是否相等，并说明理由．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题 分析：‎ ‎（1）根据点B与点A关于y轴对称，求出B点坐标，再代入反比例函数解析式解可求出k的值；‎ ‎（2）设点P的坐标为（m，n），点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求出S△POD，根据AB∥x轴，OC=3，BC=4，点Q在线段AB上，求出S△QOC即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵点B与点A关于y轴对称，A（﹣3，4），‎ ‎∴点B的坐标为（3，4），‎ ‎∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B．‎ ‎∴=4，‎ 解得k=12．‎ ‎（2）相等．理由如下：‎ 设点P的坐标为（m，n），其中m＞0，n＞0，‎ ‎∵点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴n=，即mn=12．‎ ‎∴S△POD=OD•PD=mn=×12=6，‎ ‎∵A（﹣3，4），B（3，4），‎ ‎∴AB∥x轴，OC=3，BC=4，‎ ‎∵点Q在线段AB上，‎ ‎∴S△QOC=OC•BC=×3×4=6．‎ ‎∴S△QOC=S△POD．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性较强．‎ ‎　‎ 五、解答题（每小题8分，共16分）‎ ‎23．（8分）（2013•吉林）如图，在△ABC中，AB=BC．以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F．连接AE、BE，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．‎ ‎（1）求证：直线FB是⊙O的切线；‎ ‎（2）若BE=cm，则AC=　2　cm．‎ 考点：‎ 切线的判定 分析：‎ ‎（1）欲证明直线FB是⊙O的切线，只需证明AB⊥FB；‎ ‎（2）通过解直角△AEB求得AB的长度；然后在等腰直角△ABC中，根据勾股定理来求斜边AC的长度即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AEB=90°．‎ ‎∵∠BAE=60°，‎ ‎∴∠ABE=30°，‎ ‎∴∠ADE=∠ABE=30°，‎ ‎∴∠FDC=∠ADE=30°．‎ ‎∵∠F=15°，‎ ‎∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°．‎ 又∵在△ABC中，AB=BC，‎ ‎∴∠ACB=∠CAB=45°，‎ ‎∴∠ABC=90°，即AB⊥FB．‎ 又∵AB是直径，‎ ‎∴直线FB是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵在直角△AEB中，BE=cm，∠BAE=60°，‎ ‎∴AB===2（cm）．‎ ‎∴在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AB=2cm，则AC=AB=2cm．‎ 故答案是：2．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的判定、解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）（2013•吉林）甲、乙两名大学生去距学校36千米的某乡镇进行社会调查．他们从学校出发，骑电动车行驶20分钟时发现忘带相机，甲下车前往，乙骑电动车按原路返回．乙取相机后（在学校取相机所用时间忽略不计），骑电动车追甲．在距乡镇13.5千米处追上甲后同车前往乡镇．乙电动车的速度始终不变．设甲方与学校相距y甲（千米），乙与学校相离y乙（千米），甲离开学校的时间为t（分钟）．y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：‎ ‎（1）电动车的速度为　0.9　千米/分钟；‎ ‎（2）甲步行所用的时间为　45　分；‎ ‎（3）求乙返回到学校时，甲与学校相距多远？‎ 考点：‎ 一次函数的应用 分析：‎ ‎（1）根据图象由速度=路程÷时间久可以求出结论；‎ ‎（2）先求出乙追上甲所用的时间，再加上乙返回学校所用的时间就是乙步行所用的时间．‎ ‎（3）先根据第二问的结论求出甲步行的速度，就可以求出乙回到学校时，甲与学校的距离．‎ 解答：‎ 解：（1）由图象，得 ‎18÷20=0.9‎ 故答案为：0.9；‎ ‎（2）乙从学校追上甲所用的时间为：（36﹣13.5）÷0.9=25分钟，‎ ‎∴甲步行所用的时间为：20+25=45分钟．‎ 故答案为：45；‎ ‎（3）由题意，得 甲步行的速度为：（36﹣13.5﹣18）÷45=0.1．‎ 乙返回到学校时，甲与学校的距离为：18+0.1×20=20．‎ 答：乙返回到学校时，甲与学校相距20km．‎ 点评：‎ 本题考查了速度=路程÷时间的运用，追击问题的运用，解答本题时认真分析函数图象反应的数量关系是关键．‎ ‎　‎ 六、解答题（每小题10分，共20分）‎ ‎25．（10分）（2013•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿A F D的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm2）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）‎ ‎（1）当点P运动到点F时，CQ=　5　cm；‎ ‎（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；‎ ‎（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式．‎ 考点：‎ 相似形综合题 分析：‎ ‎（1）当点P运动到点F时，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，即可求出答案；‎ ‎（2）根据在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上得出方程t+t﹣3=8，求出即可；‎ ‎（3）求出DE=AC=3，DF=BC=4，证△MBQ∽△ABC，求出MQ=x，分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，根据y=PN•PD代入求出即可；②当4≤x＜时，重叠部分为矩形，根据图形得出y=3[（8﹣X）﹣（X﹣3））]；③当≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，根据图形得出y=3[（x﹣3）﹣（8﹣x）]，求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）当点P运动到点F时，‎ ‎∵F为AC的中点，AC=6cm，‎ ‎∴AF=FC=3cm，‎ ‎∵P和Q的运动速度都是1cm/s，‎ ‎∴BQ=AF=3cm，‎ ‎∴CQ=8cm﹣3cm=5cm，‎ 故答案为：5．‎ ‎（2）设在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上，如图1，‎ 则t+t﹣3=8，‎ t=，‎ BQ的长度为×1=（cm）；‎ ‎（3）∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，‎ ‎∴DE=AC=×6=3，‎ DF=BC=×8=4，‎ ‎∵MQ⊥BC，‎ ‎∴∠BQM=∠C=90°，‎ ‎∵∠QBM=∠CBA，‎ ‎∴△MBQ∽△ABC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ MQ=x，‎ 分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，‎ y=PN•PD ‎=x（7﹣x）‎ 即y=﹣x2+x；‎ ‎②当4≤x＜时，重叠部分为矩形，如图3，‎ y=3[（8﹣X）﹣（X﹣3））]‎ 即y=﹣6x+33；‎ ‎③当≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，‎ y=3[（x﹣3）﹣（8﹣x）]‎ 即y=6x﹣33．‎ 点评：‎ 本题考查了函数的应用，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，用了分类讨论思想．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2013•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．‎ ‎【猜想与证明】‎ 填表：‎ m ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=　　．请证明你的猜想．‎ ‎【探究与应用】‎ ‎（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为　　；‎ ‎（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；‎ ‎【联想与拓展】‎ 如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为　　．‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ 猜想与证明：‎ 把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从而得出均有=；‎ 探究与证明：‎ ‎（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论；‎ ‎（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论；‎ 联想与拓展：‎ 由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积，就可以求出其比值．‎ 解答：‎ 解：猜想与证明：‎ 当m=1时，1=x2，1=x2，‎ ‎∴x=±2，x=±3，‎ ‎∴AB=4，CD=6，‎ ‎∴；‎ 当m=2时，4=x2，4=x2，‎ ‎∴x=±4，x=±6，‎ ‎∴AB=8，CD=12，‎ ‎∴；‎ 当m=3时，9=x2，9=x2，‎ ‎∴x=±6，x=±9，‎ ‎∴AB=12，CD=18，‎ ‎∴；‎ ‎∴填表为 m ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 对任意m（m＞0）均有=．‎ 理由：将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±2m，‎ ‎∴A（﹣2m，m2），B（2m，m2），‎ ‎∴AB=4m．‎ 将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±3m，‎ ‎∴C（﹣3m，m2），D（3m，m2），‎ ‎∴CD=6m．‎ ‎∴，‎ ‎∴对任意m（m＞0）均有=；‎ 探究与运用：‎ ‎（1）∵O、Q关于直线CD对称，‎ ‎∴PQ=OP．‎ ‎∵CD∥x轴，‎ ‎∴∠DPQ=∠DPO=90°．‎ ‎∴△AOB与△CQD的高相等．‎ ‎∵=，‎ ‎∴AB=CD．‎ ‎∵S△AOB=AB•PO，S△CQD=CD•PQ，‎ ‎∴=，‎ ‎（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，‎ ‎∴PO=PB=m2，AB=2OP ‎∴m2=m4，‎ ‎∴4m2=m4，‎ ‎∴m1=0，m2=﹣2，m3=2．‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m=2，‎ ‎∴OP=4，AB=8，‎ ‎∴PD=6，CD=12．‎ ‎∴S△AOB==16‎ ‎∴S△CQD==24，‎ ‎∴S△CQD﹣S△AOB=24﹣16=8．‎ 当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，‎ ‎∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP ‎∴m2=m4，‎ ‎∴9m2=m4，‎ ‎∴m1=0，m2=﹣3，m3=3．‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴m=3，‎ ‎∴OP=6，AB=12，‎ ‎∴PQ=9，CD=18．‎ ‎∴S△AOB==54‎ ‎∴S△CQD==81，‎ ‎∴S△CQD﹣S△AOB=81﹣54=27；‎ 联想与拓展 由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m2），D（3m，m2），‎ ‎∵AE∥y轴，DF∥y轴，‎ ‎∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m，‎ ‎∴y=（﹣2m）2，y=（3m）2，‎ ‎∴y=m2，y=m2，‎ ‎∴E（﹣2m，m2），F（3m，m2），‎ ‎∴AE=m2﹣m2=m2，DF=m2﹣m2=m2．‎ S△AEM=×m2•2m=m3，‎ S△DFM=m2•3m=m3．‎ ‎∴=．‎ 故答案为：；；．‎ 点评：‎ 本题考出了对称轴为y轴的抛物线的性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．‎